Luyen thi DH chuyen de 6.Dạo hàm

ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
Bài 6 . Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
( )
( )
1 ( 1) . !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2
n n
n
n

n n
n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n
y ax b y
ax b
n
y x y x
n
y x y x


+


= =
+ +

= + =
+

= = +
ữ

= = +
ữ

Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1 x
.
a) Tính y, y, y
b) Chứng minh rằng:
( )
1
!
(1 )
n
n
n
y
x
+
=

.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y =
2
2
1
x
x
; b) y =

2
2008
5 6
x
x x +
.
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0, x (a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x


>
.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +

2
2
x
với x > 0.
Có
2
1
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
= + = > >
+ +
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) =
sin 2x
x


với
(0; )
2
x


.
Có
2
cos sin

'( )
x x x
f x
x

=
.
1
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x


g(x) là hàm NB trên
(0; )
2

g(x) < g(0) với
(0; )
2
x


.
f(x) là hàm số NB trên
(0; )
2

f(x) > f(
2

) =
2

,
(0; )
2
x


.
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) e
x
> x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1 -
2
2
x
với x > 0; e) sinx x -
3
6
x
với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.

0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x



+ Bớc 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0

), f(x) và f(x
0
).
+ Bớc 3: Kết luận
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng:
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )

'( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x



=


.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x

+
;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1x x+
thì giới hạn có dạng:

0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x



. Do đó:
3
0
1 1
lim '(0)
x
x x
f
x

+
=
.
Có
2
3
1 1
'( )
2 1
3 ( 1)

f x
x
x
= +

+
; f(0) =
1 1 5
3 2 6
+ =
Vậy
3
0
1 1 5
lim
6
x
x x
x

+
=
.
b)
3
4
7
9 1
lim
7

x
x x
x

+ +

; ĐS:
5
96

c)
3
1
(2 1) 3 9
lim
1
x
x x x
x

+ +

; ĐS:
4
3
d)
3
3
0
1 1

lim
1 cos
x
x x
x x

+ +
+
; ĐS:
5
2
.
2
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
HD:
3
3
3 3
0 0
1 1
1 1
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x
x
x x x x
x

+ +
+ +
=
+ +
.
e)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

+ +
; f)
3
2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x

+

;

4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, x
3
, .... của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), ..., f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên rồi kết luận.
M =
[ ; ]
max ( )
a b
f x
, m =
[ ; ]
min ( )
a b
f x
* Bài toán 3: Xác định tham số để các phơng trình hoặc bất phơng trình có nghiệm.

+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x . .<=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . . .
Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị.
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x
y
trên đoạn [-1;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln
=
trên đoạn [1;e
3
].
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
326
)1(4 xxy
+=

trên đoạn [-1;1] .
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
++>+
xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx
+
Từ miền xác đinh của x suy ra







4
27
;0t
.
Biến đổi thành f(t) = t
2
+ t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < -6.
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
222
)1()1.(
+++
xxxxa

HD Đặt t = x
2
+ x dùng miền giá trị suy ra a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + + + =
HD: m 2.
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x
4 2 2
3cos 5.cos 3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
+ +
HD Đặt t = cosx BBT 0 m 2.
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx
+=+
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xxy 2cossin2
48
+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 (4 4 )
x x x x
y

= + + với 0 x 1 .
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 xxy
+=

* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị của hàm số.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
3
Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn
a)
2
2
3
12
x
y
x x
+
=
+ +
; b)
2
8 3
1
x
y
x x
−
=
− +
;
c)
2sin 1
cos 2

x
y
x
+
=
+
; d)
sin cos
sin 2 cos 3
x x
y
x x
−
=
+ +
.
4
Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn

5