tai lie vat ly

Dùng ẩn phụ vào việc giải các ph ơng trình
Có thể xem dùng ẩn phụ vào việc giải các phơng trình là một trong
các con đờng chủ yếu .Điều đó thể hiện ở các mặt sau đây:
-Một bộ phận khá lớn các phơng trình đều đợc giải bằng cách dùng
ẩn phụ.
-Khác với các loại toán khác nói chung chỉ dùng một ẩn phụ ,với
các phơng trình việc dùng nhiều ẩn phụ là tơng đối phổ biến
-Lại có thể dùng các ẩn phụ có tính chất khác nhau để giải cùng một
bài toán
-Tính chất chủ yếu đó còn thể hiện ở tính đa dạng của việc dùng ẩn
phụ
ậ đây tôi xin trình bày 6 dạng cơ bản sử dụng ẩn phụ để giải phơng
trình vô tỉ
Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai
Dạng2:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích
Dạng 3:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp
Dạng 4:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình của ẩn phụ đó , còn ẩn ban
đầu coi là tham số
Dạng 5: Sử dụng ẩn phụ đa về
Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai
Thí dụ 1:Giải phơng trình
10.
8
3
+
x
=3(x
2
-x+6)
Giải:
Điều kiện x

-2.
Để phát hiện ẩn phụ ,ta hãy tìm mối liên hệ giữa các biểu thức
chứa ẩn tham gia trong phơng trình đó là:
Dễ thấy rằng
(x+2).( x
2
-2x+4)=x
3
+8
Chắc cũng ít ngời nghĩ đến mối liên hệ thể hiện bởi hệ thức sau
(x+2)+( x
2
-2x+4 ) = x
2
-x+6
Khi đó phơng trình đợc biến đổi về dạng:
10
2
+
x
.
42
2
+
xx
=3.
[ ]
)42()2(
2

+++
xxx
ẩn phụ sẽ xuất hiện nếu ta chia hai vế cho x
2
-2x+4


0 với mọi x ,
phơng trình đợc biến đổi về dạng
10
42
2
2
+
+
xx
x
=3






+
+
+
1
42
2

2
xx
x
Đặt u=
42
2
2
+
+
xx
x


0
Phơng trình với ẩn phụ u có dạng
3u
2
-10u+3=0

u=3 hoặc u=
3
1
Trở về tìm x bằng cách giải 2 phơng trình sau:
42
2
2
+
+
xx
x

=3

9x
2
-19x+34=0 vô nghiệm
42
2
2
+
+
xx
x
=
3
1


x
2
-11x-14=0

x=
2
17711

>-2
Ví dụ 2:Giải phơng trình
3x
2
+21x+18+2

77
2
++
xx
=2 (1)
ở ví dụ 2 này chúng ta phải quan sát để tìm đợc mối liên quan giữa
các biểu thức trong phơng trình
Lời giải: Đặt
77
2
++
xx
=y ,điều kiện (ĐK):y

0
Phơng trình (1) có dạng 3y
2
+2y-5=0.Từ đó tìm đợc y=1 (thoã mãn)
và y=-
3
5
(loại)
Suy ra
77
2
++
xx
=1

x

2
+7x+6=0
Phơng trình này có 2 nghiệm x=-1 và x=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là
{ }
1;6

Dạng 2:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích
a)Sử dụng một ẩn phụ
Thí dụ :Giải phơng trình
x
2
+
1
+
x
=1(2)
Lời giải:
Đặt
1
+
x
=t, ĐK: t

0
Phơng trình 2 có dạng(t
2
-1)
2
+t =1

t(t-1)(t
2
+t-1)=0
Từ đó tim đợc t=0,t=1,t=
2
51
+
, và t=
2
51

,
Vì t

0 nên loai giá trị t=
2
51

,
*Với t=0 thì x=-1
*Với t=1 thì
1
+
x
=1

x=0
*Với t=
2

51
+
, thì
1
+
x
=
2
51
+

x+1=
4
)51(
+
2
51


x=
2
51

Vậy tập nghiêm của phơng trình (2) là

2
51
;1;0
b) Sử dụng hai ẩn phụ
Thí dụ :Giải phơng trình

2
(x
2
+8)=5
8
3
+
x
(3)
Đối với phơng trình này vì cả hai vế đều không âm nên nếu bình ph-
ơng cả hai vế của phơng trình ta cũng tìm đợc nghiệm của nó (cách
1) nhng nếu dùng ẩn phụ ta cũng giải quyết đợc bài toán đó một
cách đơn giản
Lời giải:
Điều kiện : x

-2 (*)
Cách 1:Với điều kiện (*) cả hai vế của (3) đều không âm nên
(3)

2(x
2

+8)
2
=25(x
3
+8)


2x
4
-25x
3
+32x
2
-72=0


(2x
2
-5x+6)(x
2
-10x-12)=0 (4)
Nhận thấy (2x
2
-5x+6)=2(x
2
-
4
5
)
2

+
8
23
>0 với mọi x.
Do đó (4)

x
2
-10x-12=0
Phơng trình này có hai nghiệm x
1
=5-
37
và x
2
=5+
37
đều thoã mãn
(*)
Vậy nghiệm của phơng trình (3) x
1
=5-
37
và x
2
=5+
37
Cách 2:Đặt u=
2
+

x
,v=
42
2
+
xx
(u

0,v>0).
Khi đó u
2
=x+2, v
2
=x
2
-2x+4 ,u
2
v
2
=x
3
+8, 2u
2
+v
2
=x
2
+8.
Phơng trình (3) có dạng
2

(2u
2
+v
2
)=5uv

(2
2
u-v)(u-
2
v)=0

2
2
u=v hoặc u=
37
2
v
Với 2
2
u=v thì 2
42
+
x
=
42
2
+
xx

X
2
-10x-12=0.Phơng trình này có hai nghiệm là5

37
đêu thoả
mãn
Với u=
2
v thì
2
+
x
=
842
2
+
xx

2x
2
-5x+6=0.Phơng trình này vô nghiệm
Tơng tự các bạn hãy dùng nó để giải các phơng trình khác
Ví dụ :Các bạn hãy giải phơng trình sau:
2(x
2
+2)=5
1
3

+
x
ậ đây các bạn đặt u=
1
+
x
;v=
1
2
+
xx