Đề Thi HSG Trường 0809

P. GD- ĐT VŨNG LIÊM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG
TR. NGUYỄN THỊ THU Môn TOÁN Lớp 9 (Năm học : 2008 – 2009)
Thời gian làm bài : 120 phút
--------------
A. SỐ HỌC : (2 điểm)
1) Chứng minh rằng :
2
4 28n n+
chia hết cho 8 với n là số nguyên
2) Tìm số tự nhiên n để
2
2 6n n+ +
chia hết cho
4n +
B. ĐẠI SỐ : (4 điểm)
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình (ẩn số x) sau:
a)
2
1
4
1
4
=
+
+
+
−
−
x
x
x

x
b)
( )
10 24 40 60 2008 2 1 2 3 5x+ + + = − + + +
c)
3
2
1
2
−
+>
−
xx
x
Bài 2 : ( 2 điểm)
a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
2
3 5A x x= − −

b) Biết a + b + c = 0 và abc ≠ 0. Hãy chứng minh rằng :
0
111
222222222
=
−+
+
−+
+
−+
cbabacacb

c) Rút gọn :
a
aaaa
a
a
aa
a
C
1
1
2
12
2
−−+








−
−
−
++
+
=
( với a > 0, a
1

≠
)
C. HÌNH HỌC: (4 điểm)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Từ điểm D trên BC ( D khác điểm B và C) vẽ
đường thẳng vuông góc với BC cắt AB, AC ở E và F. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của
BE và CF.
a) Chứng minh rằng tứ giác DIAK là hình bình hành.
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC và điểm D thì DIAK là hình chữ nhật, hình
thoi ?
Bài 2 : (2 điểm)
Gọi AC là đường chéo của hình bình hành ABCD (Â < 1v). Từ C vẽ đường vuông
góc với đường thẳng AB tại E và vuông góc với đường thẳng AD tại F.
Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC
2


HƯỚNG DẪN CHẤM:
Câu Nội Dung Điểm
Số
học
1. Ta có:
( )
( )
2
4 28 4 7
4 1 24
+ = +
= + +
n n n n

n n n
Vì
4 ( 1) 8
+
Mn n
nên
2
4 28 8
+
Mn n
với
n N
∈
1,0
2. Ta có:
( ) ( )
2
2 6 2 4 14n n n n+ + = − + +
Khi đó:
{ }
2
2 6 4 14 4
4 1;2;7;14
3; 10
n n n n
n
n n
+ + + ⇔ +
⇔ + ∈
⇔ = =

M M
1,0
Đại
số
1.a) ĐKXĐ:
1x
≠ ±
PT suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4 1 4 1 2 1
0 6
x x x x x
x
− + + + − = −
⇔ =
Vậy PT đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
1.b)

( )
( )
( )
( )
2
10 24 40 60 2008(2 1) 2 3 5
2 3 5 2008 2 1 2 3 5

2 3 5 2008 2 1 2 3 5
2008 2 1 0
1

2
x
x
x
x
x
+ + + = − + + +
⇔ + + = − + + +
⇔ + + = − + + +
⇔ − =
⇔ =
0,25
0,25
0,25
1.c) Bất phương trình trở thành:
( ) ( )
( ) ( )
2
0 2 3 0
2 3
x x
x x
−
> ⇔ − − <
− −
Lập bảng xét dấu:

x 2 3
(x – 2)(x – 3) < 0 + 0 – 0 +
Vậy : 2 < x < 3
0,25
0,25
0,25
2.a) Ta có:
2
2
3 29 29
3 5
2 4 4
A x x x
 
= − − = − − ≥ −
 ÷
 
Khi đó:
29 3
min
4 2
A x= − ⇔ =
0,25
0,25
2.b) Từ
0a b c b c a
+ + = ⇒ + = −

( ) ( )
2 2

b c a⇒ + = −

2 2 2
2b c a bc⇒ + − = −
Tương tự, ta có:
2 2 2
2c a b ca+ − = − và
2 2 2
2a b c ab+ − = −
Khi đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
2 2 2
a b c
b c a c a b a b c bc ca ab abc
+ +
+ + = + + = − =
+ − + − + − − − −
0,25
0,25
0,25
Câu Nội Dung Điểm
Đại
số
2.c)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2

2 1 2 1 1 1
1 1
a a a a a a a
C
a
a a
+ − − − + + − +
= ×
+ −

( ) ( )
( )
( )
2
1 1
2
1 1
a a
a
C
a
a a
+ −
= ×
+ −

2C =
0,25
0,25
0,25

Hình
học
1.a) Chứng minh: DIAK là hình bình hành
- C.minh được : AI // DK
- C.minh được : AK // DI
Suy ra: DIAK là hình bình hành
1.b)
- Hình bình hành DIAK là hình chữ nhật
·
0
90BAC ABC⇔ = ⇔ ∆
vng cân tại A
- Hình bình hành DIAK là hình thoi
DI DK⇔ =
D⇔
là trung điểm của BC
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2. Chứng minh: AB.AE + AD.AF =
AC
2
- Kẻ BH
⊥
AC
( )
H AC∈
- Chứng minh được:

ABH ACE
∆ ∆
:

(góc nhọn)
AB AH
AC AE
⇒ =

. .AB AE AC AH⇒ =
(1)
- Chứng minh được:
BCH CAF
∆ ∆
:

(góc nhọn)
BC CH
AC AF
⇒ =

. .BC AF AC CH⇒ =
(2)
- Mà : BC = AD (2 cạnh đối hbh) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:
AB.AE + AD.AF = AC
2
.
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
* Lời giải khác, nếu đúng cho điểm tương đương.
K
I
E
F
B
C
A
D
H
F
E
B C
A
D
P. GD- ĐT VŨNG LIÊM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG
TR. THCS HIẾU PHỤNG Môn TOÁN Lớp 9 (Năm học : 2008 – 2009)
Thời gian làm bài : 120 phút
--------------
A. SỐ HỌC : (2 điểm)
Chứng minh:
a)
5n 3 n n 2
2 5 .3

+ +
+
chia hết cho 17 với n là số tự nhiên
b)
4 3 2
3n 14n 21n 10n− + −
chia hết cho 24 với n là số nguyên
B. ĐẠI SỐ : (4 điểm)
Bài 1: (2 điểm)
Cho bốn số dương x
1
, x
2
, x
3
, x
4

a) Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 x 1 x 1 x 1 x 16 x x x x+ + + + ≥
b) Từ bất đẳng thức trên hãy suy ra nghiệm nguyên dương của phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 x 1 x 1 x 1 x 16 x x x x+ + + + =
Bài 2 : ( 2 điểm)
1) Phân tích đa thức
x 5 x 6− +
thành nhân tử

2) Cho biểu thức:
2 x 9 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 x 3
− + +
= − +
− + − −
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 1
C. HÌNH HỌC: (4 điểm)
Bài 1 : (1 điểm)
Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình có diện tích
lớn nhất là hình vuông.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và trung tuyến AM. Đường phân
giác trong của góc A cắt đường trung trực của BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với BA
tại E và DF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:
a) AD là phân giác của HAM
b) Ba điểm E, M, F thẳng hàng
c) Tam giác BDC vuông cân