Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán diện tích (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET
VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

HÀ NỘI, 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET
VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học:
Th.S Phạm Thanh Tâm

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô trong
khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong tổ Hình học của khoa Toán trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em trong quá trình làm khoá
luận tốt nghiệp.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh
Tâm, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để em có
thể hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của
bản thân có hạn chế nên trong quá trình nghiên cứu khó tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của
em được hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh Phúc, ngày 1 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu khoá luận "Ứng dụng nguyên lí Dirichlet
vào giải bài toán diện tích", em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn
thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu này em đã đưa vào mục Tài liệu
tham khảo của khoá luận.
Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của
bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm cũng
như các thầy cô trong tổ Hình học.
Khóa luận của em không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác.

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Vĩnh Phúc, ngày 1 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ..............................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... ........ 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài .............................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. . 3
5. Phương pháp nguyên cứu ....................................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ............................................................................................... .. 3
7. Cấu trúc đề tài ........................................................................................................... 3
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH..................................................4
1.1 Khái niệm về hình và diện tích hình .................................................................. 4
1.1.1 Khái niệm về hình ..............................................................................4
1.1.2 Diện tích hình.....................................................................................6
1.2 Các phương pháp giải bài toán diện tích ........................................................ 11
1.2.1 Phương pháp diện tích .....................................................................11
1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm...............................................................13
1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích ...........................................................14
1.2.4 Phương pháp suy luận .....................................................................16
1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước..................................................18

1.3 Đẳng hợp – mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện ................................. 20
1.3.1 Khái niện về đẳng hợp .....................................................................20
1.3.2 Tính chất...........................................................................................20
1.3.3 Mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện .......................................21
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI
TOÁN DIỆN TÍCH...........................................................................................25
2.1 Nguyên lí Dirichlet ............................................................................................ . 25


2.1.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản...............................................................25
2.1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng ............................................................26
2.1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp ....................................................26
2.1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng .....................................26
2.1.5 Nguyên li Dirichlet vô hạn ...............................................................27
2.2 Ứng dụng .............................................................................................................. 28
2.3 Một số bài toán đề nghị...................................................................................... 46
KẾT LUẬN....…………………………………………………………………48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................49


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1.

Vai trò của môn Toán

- Môn Toán là môn học không chỉ trang bị cho học sinh những
kiến thức toán học chính xác mà còn hình thành ở học sinh những phương
pháp suy luận và tư duy làm việc khoa học, logic.
- Môn toán cung cấp cho học sinh Tiểu học những kiến thức cơ
bản ban đầu, là cơ sở cho quá trình học tập, sớm hình thành và rèn luyện các
kĩ năng, tư duy logic giúp học sinh nắm vững hơn các kiến thức toán học, tạo
cho học sinh niềm tin, niềm vui trong học tập.
1.2. Vị trí của bài toán diện tích
-

Các kiến thức toán học được đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học

gồm 4 nội dung chính là số học, đại lượng và phép đo đại lượng, các yếu tố
hình học và giải toán có lời văn. Các nội dung kiến thức này có mối liên hệ
mật thiết, hỗ trợ và bổ sung cho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lực
toán học của học sinh Tiểu học. Trong đó, bài toán diện tích của các hình nói
riêng chiếm một số lượng tương đối lớn trong mảng toán hình học. Những bài
toán diện tích thường rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Các bài
toán này không những được trình bày trong sách giáo khoa mà còn được trình
bày trong nhiều tài liệu tham khảo khác và có trong các kì thi học sinh giỏi
bậc Tiểu học.
1.3. Sự cần thiết của nguyên lí Dirichlet
-

Ứng dụng nguyên lí Dirichlet được ứng dụng rất nhiều vào việc

chứng minh các bài toán số học, đại số, tổ hợp, hình học,… Trong đó, thực tế
nhiều bài toán diện tích phát biểu rất đơn giản nhưng để giải chúng, chúng ta
cần một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức về tổ hợp và hình học. Sử dụng
nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán diện tích nói riêng và các bài toán

SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang

1


hình học tổ hợp nói chung là phương pháp kết hợp giữa tổ hợp và hình học.
Nhờ có ứng dụng của nguyên lí Dirichlet mà nhiều bài toán khó trong lĩnh
vực hình học tổ hợp đặc biệt là các bài toán diện tích được giải quyết một
cách chọn vẹn và cho các lời giải hay.
- Nguyên lí Dirichlet

do nhà toán học Peter Guster Lijeune

Dirichlet (1805-1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834. Nguyên
lí Dirichlet là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quả
sâu sắc của toán học. Dùng nguyên lí Dirichlet trong nhiều trường hợp người
ta dễ chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định. Sử
dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều về kiến thức và khả năng tính
toán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể và
linh hoạt trong cách tư duy. Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứng
dụng nguyên lí Dririchlet vào bài toán diện tích.
Xuất phát từ những lý do trên, để thấy được cái hay, cái hiệu quả cũng
như làm thành một cách thức mới để vận dụng vào quá trình giảng dạy sau
này và giúp các em học sinh có được phương pháp giải bài toán diện tích , em
quyết định lựa chọn và nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào
giải bài toán diện tích” dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Phạm Thanh Tâm.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và đưa vào trong thực tiễn quá trình giảng dạy
bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của nguyên lí

Dirichlet vào giải các bài toán diện tích.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài
- Đối tượng: nguyên lí Dirichlet và những bài toán diện tích có ứng dụng
nguyên lí Dirichlet để giải.
- Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán diện tích giải được bằng nguyên lí
Dirichlet.


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet.
- Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán diện
tích.
- Hệ thống lại một số dạng bài tập diện tích có ứng dụng nguyên lí
Dirichlet để giải.
5. Phương pháp nguyên cứu
- Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm đưa ra cái nhìn tổng
quát về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện các bài toán có thể
giải quyết được bằng nguyên lí Dirichlet.
- Phân tích tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập có ứng dụng nguyên lí
Dirichlet.
6. Giả thuyết khoa học
- Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lại
được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học
môn Toán, đặc biệt là bộ môn Hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
7. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
chính của khóa luận được trình bày trong hai chương:
- Chương 1: Diện tích một hình.
- Chương 2: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải bài toán diện tích.

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH
1.1 Khái niệm về hình và diện tích hình
1.1.1 Khái niệm về hình
a)

Hình chữ nhật

A

B

Hình chữ nhật ABCD có:
- 4 góc đỉnh A, B, C, D đề là góc vuông.
- 4 cạnh gồm: 2 cạnh dài là AB và CD, 2 cạnh
ngắn là AD và BC.

D
Hai cạnh dài có độ dài bằng nhau, viết là: AB = CD.

C

Hai cạnh ngắn có độ dài bằng nhau, viết là: AD = BC.
Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và hai cạnh ngắn
bằng nhau.
Độ dài cạnh dài gọi là chiều dài, độ dài cạnh ngắn gọi là chiều rộng.
A
b) Hình vuông

B

Hình vuông ABCD có:
- 4 góc đỉnh A, B, C, D đề là góc vuông.
- 4 cạnh có độ dài bằng nhau:
AB = BC = CD = DA.

D

C

Hình vuông có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
c) Hình tròn

M

Hình tròn tâm O, bán kính OM đường kính AB
Nhận xét: Trong một hình tròn:
A
Tâm O là trung điểm của đường kính AB.
Độ dài đường kính gấp 2 lần dồ dài bán kính.

O

B


d) Hình bình hành
Hình bình hành ABCD có:

A

- AB và DC là hai cạnh đối diện, AD và BC

B

là hai cạnh đối diện.
- Cạnh AB song song với cạnh DC.
Cạnh AD song song với cạnh BC.

D

C

- AB = DC và AD = BC.
Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
e) Hình thoi

B

Hình thoi ABCD có:
- Cạnh AB song song với cạnh DC.
Cạnh AD song song với cạnh BC.

C

A

- AB = BC = CD = DA.
Hình thoi có hai cặp cạnh đối diện song song và bốn

cạnh bằng nhau.

D

f) Hình tam giác
Hình tam giác ABC có:

A

- Ba cạnh là: cạnh AB, cạnh AC, cạnh BC.
- Ba đỉnh là: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C.
- Ba góc là:
Góc đỉnh A, cạnh AB và AC (gọi tắt là góc A)
Góc đỉnh B, cạnh BA và CB (gọi tắt là góc B)
Góc đỉnh C, cạnh CA và CB (gọi tắt là góc C)
g) Hình thang

B
A

C
B

Hình thang ABCD có:
- Cạnh đáy AB và cạnh đáy CD. Cạnh bên AD
và cạnh bên BC.

D

C

- Hai cạnh đáy là hai cặp cạnh đối diện song song.
Hình thang có một cặp cạnh đối diện song song.
1.1.2 Diện tích hình
Thông thường ta hiểu diện tích của một hình phẳng là một con số đặc
trưng cho sự rộng hẹp của phần mặt phẳng mà hình đó chiếm chỗ. Jordan là
người đầu tiên đưa ra định nghĩa chính xác của khái niệm diện tích và cách
xác định nó đối với một hình phẳng tùy ý.
a) Định nghĩa diện tích của đa giác F là một số, kí hiệu là S(F), sao cho thỏa
mãn các điều kiện sau đây:
1. S(F) > 0.
2. Nếu đa giác F là tập hợp của hai đa giác F1 và F2 sao cho hai đa giác
này không có các điểm trong chung thì S(F) = S(F1) + S(F2).
3. Nếu đa giác F bằng đa giác F’ thì S(F) = S(F’).
4. Hình vuông H có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài thì S(H) = 1.
Nhận xét: Người ta chứng minh rằng với mỗi đa giác F có duy nhất một số
S(F) thỏa mãn bốn điều kiện trên. Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, ta bỏ
qua chứng minh điều này, nhưng sẽ cho cách xác định số S(F) với mỗi đa giác
F.
b) Tính chất của diện tích
i) Mỗi đa giác đều có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là một
số dương.
ii) Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
iii) Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong
chung thì diện tích đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của những
đa giác đó.
iv) Hình vuông có cạnh là 1 thì có diện tích là 1.
Ví dụ: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = a, BC = b. Ta đặt hình vuông H có
các cạnh song song với các cạch của hình chữ nhật và ở một góc của hình chữ
nhật. Các đường của lưới hình vuông tạo thành một phép chia các cạnh AB và
BC. Gọi an tương ứng với An là số các đoạn của phép chia thứ n cạnh AB nằm
hoàn toàn trong AB.
C

A

B
D

Tương ứng số các đường thẳng của đường thẳng AB có chung với đoạn thẳng
AB ít nhất một điểm chung trong.
Đối với cạnh BC, những số ấy được kí hiệu là bn, Bn. Rõ ràng
.
Và:
Do đó:

và

.

.

.
.

Vì vậy S(ABCD) = ab.

c) Trong mặt phẳng, cho đa giác F nào đó và một hình vuông H có cạnh
bằng 1


F

H
Dựng các đường song song với các cạnh của hình vuông H và cách
nhau một khoảng bằng 1. Như vậy, trên mặt phẳng đã có lưới hình vuông và
ta gọi là lưới của bước chia thứ nhất. Gọi p1 là số hình vuông của bước chia
thứ nhất nằm hoàn toàn trong đa giác F và P1 là số hình vuông có ít nhất một
điểm chung với đa giác F. Trên hình vẽ p1 = 5, P1 = 27. Chia mỗi cạnh của
hình H thành 10 phần bằng nhau và qua các điểm chia kẻ các đường thẳng
song song với các cạnh của hình vuông thì hình vuông H được chia thành 100
hình vuông nhỏ. Dùng một trong các hình vuông đó và làm giống như hình
vuông H ta sẽ tạo được một lưới hình vuông của bước chia thứ hai. Chia mỗi
cạnh của hình vuông ở bước chia thứ hai làm 10 phần bằng nhau ta lại tạo
được lưới hình vuông của bước chia thứ ba,...
Cũng như trong bước chia thứ nhất ta gọi pn là số hình vuông của bước
chia thứ n nằm hoàn toàn trong đa giác F còn Pn là số các hình vuông của
bước chia này có ít nhất một điểm chung với F. Hiển nhiên ta có:

Như vậy ta có dãy số
giảm và bị chặn dưới. Do đó:

tăng và bị chặn trên và dãy số


Bây giờ ta chứng minh p=P. Với mỗi bước chia, số Pn – pn là số các
hình vuông vừa chứa các điểm trong và các điểm ngoài của đa giác, tức cũng

là số hình vuông có chứa ít nhất một điểm trên cạnh của đa giác. Nếu một
cạnh của đa giác có độ dài l thì số các hình vuông của bước chia thứ nhất
chứa ít nhất một điểm của cạnh này là nhỏ hơn hoặc bằng 2l + 4. Ở bước chia
thứ n và cạnh của hình vuông có độ dài là

nên số các hình vuông của bước

chia thứ này có điểm chung với cạnh nhỏ hơn hoặc bằng 2l.10n + 4.
Vậy
Do đó

trong đó a là số cạnh của tam giác.
, tức là p = P.

Như vậy với đa giác F ta xây dựng được S(F) = p = P. Số S(F) này
thỏa mãn các điều kiện và nó là diện tích của đa giác F.
Đối với một hình phẳng tùy ý Ø cũng làm như trên ta sẽ được hai số p
và P. Tuy nhiên có những hình Ø mà p P. Những hình Ø mà p = P gọi là
những hình đo được diện tích.
d) Diện tích của các hình đặc biệt
Ở Tiểu học, học sinh được làm quen với các hình đa giác và học cách
xây dựng các công thức tính diện tích của các đa giác sau: hình chữ nhật, hình
vuông, hình bình hành, hình tam giác, hình thoi và hình thang.
Các công thức tính diện tích của các đa giác:
 Công thức tính diện tích hình chữ nhật
S=axb
(với chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b)

a
b

a

 Công thức tính diện tích hình vuông
S=axa
(với a là độ dài cạnh vuông)

a

 Công thức tính diện tích hình bình hành
S=axh

h

(với độ dài cạnh đáy là a và chiều cao h)
 Công thức tính diện tích hình tam giác
S=
(với độ dài cạnh đáy là a và chiều cao h)
 Công thức tính diện tích hình thoi

h
a
n

S=
(với độ dài hai đường chéo là m và n)

m
a

 Công thức tính diện tích hình thang
S=

h

(với độ dài cạnh đáy là a và b, chiều cao h)
 Diện tích đa giác

b

Việc tính diện tích của một đa giác bất kì thường được quy về việc
tính các diện tích của các hình đặc biệt trên.
Chú ý: Trong các công thức trên, các đại lượng được tính trong cùng một
hệ đơn vị đo.


1.2 Các phương pháp giải bài toán diện tích
Khi giải các bài toán, học sinh không chỉ cần phải nắm vững các kiến
thức mang tính chất công cụ đã nêu ở phần 1 mà còn phải biết tới các phương
pháp giải toán để lựa chọn được các phương pháp phù hợp cho từng bài.
Đối với các bài toán diện tích đa giác thì sử dụng hầu hết các phương
pháp giải toán, trong đó có một số phương pháp được sử dụng nhiều hơn như:
phương pháp diện tích, phương pháp giả thiết tạm, phương pháp suy luận,
phương pháp dùng đơn vị quy ước, phương pháp sơ đồ diện tích.
1.2.1 Phương pháp diện tích
Phương pháp diện tích là phương pháp giải các bài tập liên quan tới
diện tích các hình.
Khi giải các bài tập sử dụng phương pháp này, người ta thường :
 Vận dụng công thức tính diện tích các hình bằng cách: áp dụng

trực tiếp công thức tính diện tích khi đã biết độ dài các đoạn thẳng là các phần
của công thức tính diện tích hoặc nhờ công thức tính diện tích mà tính độ dài
một
đoạn thẳng là yếu tố của hình.
 Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, người ta có thể dùng
tỉ số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diệc tích như một phương tiện để
giải toán, giải thích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về
độ dài
đoạn thẳng, về diện tích. Điều này thường được thể hiện dưới những hình
thức sau: cụ thể đối với hình tam giác:
-

Khi diện tích không đổi thì độ dài đáy và chiều cao là hai đại

lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
-

Khi độ dài cạnh đáy không đổi thì diện tích và chiều cao là hai

đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.


-

Khi chiều cao không đổi thì diện tích và độ dài cạnh đáy là hai

đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.


Đối với một hình đa giác khác hình tam giác cũng có thể dùng tỉ số

dưới những thể hiện tương tự.
 Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích, tổng
hợp trên hình:
Có những bài toán diện tích đa giác đòi hỏi phải biết vận dụng các thao
tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo
diện tích. Điều này được thể hiện như sau :
- Nếu một hình được chia thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình
đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ được chia.
- Hai hình có diện tích bằng nhau mà có phần chung thì hai phần còn
lại sẽ có diện tích bằng nhau.
- Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ
được hai hình mới có diện tích bằng nhau.
Ví dụ:
Một hình thang có đáy bé dài 12 dm, đáy lớn bằng

đáy bé. Khi kéo

dài đáy lớn thêm 5 dm thì diện tích hình thang tăng lên 20 dm2. Tính diện tích
ban đầu.
Lời giải :
Độ dài đáy DC là :

A

12 : 3 x 4 = 16 (dm)

B

12 dm

Chiều cao BH của tam giác ABCD là :
20 x 2 : 5 = 8 (dm)
Diện tích hình thang ABCD là:
(16 + 12) x 8 : 2 = 112 (dm2)
Đáp số: 112 dm2

D

H

C

5 dm

E


Nhậ n xét : ở ví dụ trên, trong khi giải bài toán đã sử dụng phương
pháp diện tích, nhờ đó lời giải bài toán ngắn gọn và chính xác.
1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm
Thường sử dụng với bài toán trong đó đề cập đến hai đối tượng người,
vật có tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau. Ta thử đặt một
trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện của bài toán, một khả
năng không có thật, thậm chí vô lí. Tất nhiên, giả thiết ấy chỉ là tạm thời
nhưng phải tìm được giả thiết ấy nhằm đưa bài toán về một tình huống quen
thuộc đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra
cái phải tìm.
Phương pháp này thường được tiến hành như sau:
-

Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ liệu của bài

toán nhưng vẫn tôn trọng các dữ liệu khác của bài toán.
- Từ dữ liệu hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan tới
nó, cũng có sự thay đổi theo điều kiện bài toán.
- Phân tích sự thay đổi đó rồi đối chiếu với dữ liệu của bài toán, phát
hiện nguyên nhân của sự thay đổi và tìm ra phương pháp điểu chỉnh thích hợp
để đáp ứng toàn bộ điều kiện.
Ví dụ:
Người ta mở rộng một cái ao hình vuông về bốn phía như hình vẽ. Sau
khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 320 m2. Tính diện tích ao khi chưa mở
rộng.
Lời giải :
2m


Ta chuyển ao cũng về một góc của ao mới sao cho hai cạnh của ao cũ
trùng với hai cạnh của ao mới và chia phần diện tích mở rộng thành 2 hình
chữ nhật bằng nhau và một hình vuông như hình vẽ :

4m
4m

Diện tích phần ao hình vuông là:
4 x 4 = 16 (m2)
Diện tích một phần ao hình chữ nhật là:
(320 – 16) : 2 = 152 (m2)
Cạnh của ao khi chưa mở rộng là:
152 : 4 = 38 (m)
Diện tích ao khi chưa mở rộng là:

38 x 38 = 1444 (m2)
Đáp số : 1444 m2
Nhậ n x ét: Bài toán trên có thể giải nhiều phương pháp khác
nhau nhưng giải bằng phương pháp giả thiết tạm kết hợp phương pháp diện
tích thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn và cho đáp án một cách nhanh chóng.
1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích
Phương pháp sơ đồ diện tích được dùng để giải bài toán có nội dung đề
cập đến 3 đại lượng. Giá trị của 1 trong 3 đại lượng bằng tích các giá trị của 2
đại lượng còn lại. Dùng phương pháp sơ đồ diện tích ta sẽ giải nhanh được
các bài toán đó vì đã đưa được về các bài toán trực quan là bài toán diện tích
hình chữ nhật.


Ba đại lượng thường thấy trong bài toán diện tích đa giác là:
a. Với hình chữ nhật: diện tích, chiều dài, chiều rộng:
Diện tch = chiều dài x chiều rộng
b. Với hình vuông: diện tích, cạnh, cạnh:
Diện tch = cạnh x cạnh
c. Với hình tam giác: diện tích, độ dài cạnh đáy, chiều cao:
Diện tch =
d. Với hình thang : diện tích, độ dài cạnh đáy, chiều cao:
Diện tch =
e. Với hình bình hành: diện tch, độ dài cạnh đáy, chiều cao:
Diện tch = độ dài đáy x chiều cao
f. Với hình thoi : điện tích, độ dài đường chéo 1, độ dài đường chéo 2.
Diện tch =
Ví dụ:
Người ta định lát một nền nhà bằng loại gạch vuông canh 20 cm nhưng
khi đi mua thì không còn loại gạch đó nên phải dùng loại gạch vuông cạnh 15
cm. Khi đó, số gạch cần dùng nhiều lúc đầu dự định là 140 viên. Hỏi người

đó phải mua bao nhiêu viên gạch mới đủ lát nền.
Lời giải:
Diện tch một viên gạch cạnh 20 cm là:
20 x 20 = 400 (cm2)
Diện tch một viên gạch cạnh 15 cm là:
15 x 15 = 225 (cm2)
Gọi a là số viên gạch vuông cạnh 15 cm cần mua.
Ta có: diện tch nền nhà bằng = diện tích viên gạch x viên gạch (*)


Ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa: diện tch viên gạch, số lượng
gạch, diện tích nền nhà bằng sơ đồ sau:

400

Diện tích viên gạch (cm2)

225

S1
S0

S2
Số lượng viên gạch

a-140

140

a

Từ (*) và sơ đồ trên ta có: vì diện tích nền nhà là không đổi nên:
S1 + S0 = S2 + S0 hay S1 = S2
Vậy ta có: (400 – 225) x (a – 140) = 225 x 140 a
= 320
Vậy cần 320 viên gạch vuông cạnh 15 cm thì vừa đủ lát nền.
Nhậ n x ét : Với việc sử dụng phương pháp sơ đồ diện tch ta đã
giải được giải bài toán khá dễ dàng. Cách giải này rất dễ hiểu, phù hợp với tư
duy của học sinh.
1.2.4 Phương pháp suy luận
Là phương pháp giải toán mà học sinh phải biết suy luận đúng
đắn, chặt chẽ trên cơ sở vận dụng những kinh nghiệm sống của mình.
Để giải các bài toán bằng phương pháp này, học sinh cần luyện
tập cách quan sát, cách lập luận, cách xem xét các vấn đề, khả năng bao
quát tất cả các trường hợp xảy ra của vấn đề và vận dụng những kiến thức đã
học và tình huống cụ thể.
Ở Tiểu học, bài toán giải cần sử dụng phương pháp suy luận là bài toán
chỉ có vỏ là hình còn nội dung là bài toán số.


Ví dụ :
Cho hai hình vuông có số đo cạnh là số tự nhiên. Hiệu diện tch của hai
cạnh đó là 11 cm2. Tính diện tch hai hình đó.
Bài giải :
Gọi hình vuông lớn có cạnh a cm là ABCD, hình vuông bé có cạnh b
cm là MNPQ.
Ta giả thiết đặt hình vuông bé vào hình vuông lớn sao cho cạnh MN
trùng với cạnh AB, cạnh MQ trùng với cạnh AD, đỉnh A trùng với đỉnh M
như hình vẽ.
A

M

B

N
b cm

1
Q
2

a cm

P
C

D

Chia phần diện tích thành hai hình chữ nhật 1 và 2 rồi cắt ghép chúng,
chuyển 1 xuống sát hình 2 ta sẽ được hình chữ nhật mới có diện tch
bằng diện tch của 2 hình vuông bà bằng 11 cm2 và có hai cạnh là:
A M

N

B
b cm

Q

D

1
K

2
a+b cm

C

1

BP

a-b cm

N


Chiều rộng = a - b
Chiều dài = a + b
Diện tch = (a – b) x (a + b) = 11 (cm2)
Độ dài hai cạnh là số tự nhiên nên:
11 = 11 x 1 = 1 x 11
Cũng vì độ dài hai cạnh của hai hình vuông cũng là các số tự nhiên nên:
a+b>a–b
Vậy ta có: a – b = 1 và a + b = 11
(ở đây đã đưa về bài toán quen thuộc là: tìm hai số khi biết tổng và hiệu)
Độ dài cạnh a của hình vuông lớn là:
a = (11 + 1) : 2 = 6 (cm)

Độ dài cạnh b của hình vuông bé là:
b = 11 – 6 = 5 (cm)
Diện tch hình vuông lớn là:
6 x 6 = 36 (cm2)
Diện tch hình vuông bé là:
5 x 5 = 25 (cm2)
Đáp số: 36 cm2 và 25 cm2
Nhậ n x ét: Ta nhận thấy rằng ở bài toán này khi sử dụng phương
pháp suy luận bài toán sẽ đơn giản hơn và các lập luận này rất phù hợp, dễ
hiểu đối với học sinh Tiểu học vì đã đưa về dạng toán điển hình quen thuộc
đó là Tìm hai số khi biết tổng và hiểu.
1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước
Trong thực tế và trong toán học chúng ta đã gặp trường hợp các
bài toán lấy một số nào đó, một vật nào đó… làm đơn vị để tính. Chẳng hạn:
khi đong gạo nhiều nơi lấy bát, lấy ống sữa bò hoặc một vật nào đó để
đong. Nhiều bài toán số học cũng lấy một số làm đơn vị quy ước để tính.