Tóm tắt PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 8

-1MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Theo xu thế toàn cầu hóa và hội nhập quốc tế hiện nay, nền giáo dục nước ta cũng đang trong tiến
trình đổi mới căn bản, toàn diện. Nếu như trước đây giáo dục chú trọng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học
sinh và giúp người học hình thành hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ thì ngày nay, điều đó vẫn còn đúng,
còn cần nhưng chưa đủ. Trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa với những tác động
tích cực của nền kinh tế tri thức và tiến bộ của thông tin, truyền thông, giáo dục cần phải giúp người học hình
thành một hệ thống phẩm chất, năng lực đáp ứng được với yêu cầu mới.
Do đó dạy học phát triển phẩm chất, năng lực người học có vai trò trung tâm chi phối đến sự thành
công của việc thực hiện nội dung, chương trình, mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo.
Năng lực mô hình hóa Toán học là một trong 5 năng lực thành tố cốt lõi đã được CTGDPT TT Việt
Nam quy định trong môn Toán. Có thể nói mô hình là được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó,
mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán
học, trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Mô hình
hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn
bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác
tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Mô hình hóa cũng cho thấy
mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học. Cách tiếp cận
này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học.
Một số nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Danh Nam, Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Tân An đã cho
thấy MHH trong dạy học toán giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải
quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua
đó, giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng phương pháp MHH trong
dạy học giúp HS phát triển các kỹ năng toán học.
Trong chương trình đại số toán lớp 8, mô hình hóa để xây dựng một số khái niệm có tính khái quát
cao. Thông qua dạy học, những đơn vị kiến thức này có thể hình thành cho học sinh lớp 8 năng lực mô hình
hóa, một yếu tố quan trọng cho việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
Vì những lý do trên đây, đề tài nghiên cứu được chọn là:
“ Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Đại số lớp 8 ” .
2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba thập kỉ qua đó là MHH toán
học và ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống. Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa
toán học với thực tiễn (thế giới bên ngoài toán học). Tuy nhiên, chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc
vận dụng phương pháp này trong dạy và học toán ở nhà trường phổ thông. Trong các nghiên cứu gần đây của
tác giả Nguyễn Danh Nam đã trình bày một cách khái quát vai trò của phương pháp MHH trong dạy học
toán, phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết
các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua đó,


-2giúp học hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng phương pháp MHH trong dạy học
giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát
hiện và GQVĐ có hiệu quả hơn . Nguyễn Danh Nam (2013) cũng chỉ ra rằng, phương pháp MHH nâng cao
tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua trao đổi nhóm, sử dụng
phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình GQVĐ, MHH và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn. Qua đó,
tăng cường tính liên môn trong học tập các môn như địa lý, khoa học, lịch sử, môi trường.
Tác giả Nguyễn Ngọc Anh trong công trình “Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để giải các
bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học Toán lớp 12 THPT ” đã trình bày các định
hướng xây dựng hệ thống bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế kèm theo những hướng dẫn về
phương pháp dạy học hệ thống bài tập có gắn với các tình huống thực tiễn. Tuy nhiên, nghiên cứu này cũng
chưa đề cập đến việc thiết kế và vận dụng các mô hình toán học.
Tác giả Bùi Huy Ngọc trong nghiên cứu “Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học
và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện
pháp khai thác nội dung thực tế trong dạy học nội dung Số học và Đại số ở trường THCS nhằm phát triển
năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn cho HS.
Nghiên cứu của tác giả Phan Anh “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho
HS THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đã làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình
huống thực tiễn trong quá trình dạy học HS THPT qua phần Đại số và Giải tích. Tuy nhiên, các kết quả
nghiên cứu chỉ mới đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của HS phổ thông.
Tác giả Phan Thị Tình trong nghiên cứu “Tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học
môn Xác suất thống kê và môn Quy hoạch tuyến tính cho sinh viên ngành Toán Trường Đại học Sư phạm”

đã xây dựng kết nối giữa một số kiến thức và bài toán trong môn học với kiến thức toán phổ thông phục vụ
cho dạy học Toán ở trường phổ thông. Tác giả Nguyễn Thị Tân An trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa
ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình.
Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của quá trình toán học hóa giúp HS có thể định
hướng khi đứng trước một tình huống toán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học.Nghiên cứu
của tác giả Lê Thị Hoài Châu cũng đã làm rõ khái niệm mô hình hóa toán học và vấn đề vận dụng MHH
trong dạy học toán học bậc THPT ở Việt Nam.
Tóm lại, chưa có nghiên cứu tổng thể nào về việc vận dụng MHH trong dạy học môn Toán ở trường
THCS của Việt Nam. Do vậy, nghiên cứu này góp phần khẳng định tính hiệu quả của việc vận dụng MHH
trong dạy học nhằm phát tienr NL MHH, tăng cường mối liên hệ giữa toán học nhà trường với thực tiễn cuộc
sống.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là đưa ra một số phương pháp MHH trong dạy học Đại số lớp 8 nhằm phát triển
năng lực MHH toán học cho HS; góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học đại số lớp 8.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học đại số lớp 8 ở trường Trung học cơ sở.


-3- Đối tượng nghiên cứu: Năng lực người học, khả năng phát triển MHH, các bài toán được giải bằng
cách lập phương trình.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy rõ nhu cầu của việc hình thành năng lực của người học nói chung
và năng lực mô hình hóa toán học nói riêng.
- Phân tích các tài liệu giáo dục để làm rõ bản chất của năng lực mô hình hóa Toán học ở người học.
- Phân tích các tài liệu tâm lí, giáo dục để khẳng định việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học là
hoàn toàn phù hợp với đối tượng HS THCS.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học ở HS.
6. Phạm vi nghiên cứu
6.1.Giới hạn về nội dung nghiên cứu
Luận văn tập trung phân tích vai trò của MHH và nghiên cứu quy trình vận dụng MHH trong dạy học

phương trình ở Đại số lớp 8 . Luận văn cũng đề xuất xây dựng 1 số biện pháp để đẩy mạnh việc vận dụng mô
hình hóa toán học trong dạy học giải bài toán băng cách lập phương trình ở đại số 8 .
6.2. Giới hạn về khách thể điều tra
Đề tài tiến hành khảo sát thực trạng của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong quá trình
dạy học toán, thực trạng của việc sử dụng MHH trong quá trình dạy học đại số 8 ở một số trường THCS.
7. Giả thuyết khoa học
Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn có thể xác định được thực trạng việc vận dụng mô hình hóa Toán
học thông qua dạy học đại số lớp 8 THCS. Trên cơ sở đó, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp
sư phạm thích hợp trong dạy học đại số 8 thì có thể bồi dưỡng năng lực này cho người học, góp phần vào
việc nâng cao chất lượng dạy học đại số 8.
8. Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong
và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho mô hình hóa
toán học thông qua dạy học môn Toán THCS.
- Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học tập của học sinh bằng
phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc vận dụng mô hình hóa toán học vào bài học.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm thông qua quan sát dự giờ, xây dựng và thử nghiệm
được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất.


-4NỘI DUNG CỦA KHÓA LUẬN
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1. Khái niệm mô hình hóa
1.1.1. Mô hình và mô hình hóa.
Trước tiên ta cần phân biệt được hai từ “mô hình” và “mô hình hóa”. Mô hình có thể được hiểu là
đối tượng vật lý (ví dụ mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học
tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như hệ tiên đề của hình học Ơclít). Mô hình được mô tả như một vật
dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế . Thông qua mô hình,
ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này

còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó . Mô hình ở đây còn
có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí
cả các mô hình ảo trên máy vi tính . Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học
để mô tả về một hệ thống nào đó.
MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề toán học. Quá trình này tuân theo một
quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như: công thức, thuật
toán, phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị biểu diễn,… để từ đó học sinh có một cái nhìn rõ ràng hơn
về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn.
Có thể nói MHH toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó HS được yêu cầu khám phá tri
thức thông qua môn toán hoặc các tình huống thực tế có tính chất liên môn khác. Vì vậy, tích hợp các tình
huống thực tế hàng ngày vào các tình huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích
cho HS thấy tính ứng dụng thực tiễn của toán học. Do đó, với tri thức toán học, GV có thể sử dụng mô hình
để giải thích và giúp HS hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống. Các mô hình toán học cụ thể như đồ
thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương trình,… đều biểu thị các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Mason
& Davis (1991) cho rằng mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các
đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của
đối tượng mà không cần đến vật thật. Điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối
cảnh áp dụng của mô hình đó .
1.1.2. Toán học hóa.
Freudenthal coi toán học hóa là một hoạt động toán học. Ông giải thích rằng nguồn gốc của động từ
“toán học hóa” là sự tương tự như các từ tiên đề hóa, công thức hóa, lược đồ hóa. Toán học hóa liên quan đến
việc tổng quát hóa, công thức hóa. Công thức hóa bao gồm MHH, biểu tượng hóa, lược đồ hóa và xác định,
tổng quát hóa để hiểu vấn đề. De Lange định nghĩa toán học hóa là “một hoạt động có tổ chức và cấu trúc, ở
đó kiến thức và kĩ năng được sử dụng để khám phá các mối quan hệ, cấu trúc, quy luật chưa biết”. Khái niệm
toán học hóa theo chiều ngang và chiều dọc được sử dụng để giải thích sự khác nhau giữa biến một “vấn đề
sang bài toán” và “quá trình giải quyết trong nội bộ toán học” . Theo De Lange (1987) thì toán học hóa theo
chiều ngang liên quan đến việc chuyển vấn đề thực tiễn thành vấn đề toán học còn toán học hóa theo chiều


-5dọc là quá trình giải toán và gọt dũa lại bài toán thực tiễn đã được chuyển thành bài toán “thuần túy”. Theo

Freudenthal (1991) thì toán học hóa theo chiều ngang là chuyển từ vấn đề thực tiễn đến bài toán thuần túy,
còn toán học hóa theo chiều dọc là giải bài toán trong nội bộ toán học. Nói cách khác, nó là quá trình mô tả
một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể GQVĐ đó với công cụ toán. Trong trường hợp này, toán
học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học. De Lange (1987) liệt kê các hoạt
động trong quá trình toán học hóa theo chiều ngang như: xác định kiến thức toán học cụ thể trong ngữ cảnh
chung; lược đồ hóa; lập công thức và phác thảo hình ảnh về vấn đề theo nhiều cách khác nhau; khám phá các
mối quan hệ; khám phá các quy luật; nhận ra các khía cạnh tương tự trong ngữ cảnh khác nhau; chuyển vấn
đề thực tiễn thành bài toán; chuyển vấn đề thực tiễn thành mô hình toán học đã biết. Ông cũng đề cập đến
một số hoạt động chứa những thành phần của toán học hóa theo chiều dọc như: biểu diễn mối quan hệ theo
công thức; cung cấp các quy luật; gọt dũa và điều chỉnh mô hình; sử dụng các mô hình khác nhau; kết nối và
tích hợp các mô hình; công thức hóa khái niệm toán học mới; tổng quát hóa khái quát hóa. Toán học theo
chiều dọc là quá trình xảy ra trong thế giới toán học. Thông qua quá trình này, HS đạt được một trình độ toán
học cao hơn. Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn
đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học. Các tình
huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán.
1.1.3. Mô hình hóa ở cấp học trung học cơ sở.
Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủ đề rộng hơn. Bài tập toán
thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệ giữa các bộ môn toán học, giải quyết các vấn đề thực
tiễn dưới dạng các vấn đề toán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thức
toán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bài toán ứng dụng toán học.
Từ đó chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ 3 là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13].
1.2. Quy trình mô hình hóa
1.2.1. Bài toán mô hình hóa trong chương trình môn Toán của Việt Nam
Các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và
lý tưởng hóa. Điều đó được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán này
chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển
động nhanh dần đều,... Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho
kết quả để trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp". Nói như thế không có nghĩa các bài
toán có trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc
rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài toán có nội

dung thực tiễn là cầu nối đầu tiên nối liền toán học với cuộc sống, vì lí do sư phạm mà có sự can thiệp của
các tác giả của sách giáo khoa như đã trình bày ở trên.
Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài toán mở, khi làm việc với
chúng, học sinh phải tự mày mò tìm ra giả thiết hoặc kết luận. Các bài toán mở về phía kết luận là các bài
toán mà khi giải chúng cần phải mày mò biện luận các trường hợp có thể xảy ra. Trong dạy học, giáo viên
nên quan tâm đến các loại bài toán này, bởi chúng phản ánh thực tiễn sát thực và là cái giá giúp giáo viên
hình thành cho học sinh nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng.


-61.2.2. Vấn đề bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Toán cho học sinh
Trung học cơ sở.
Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây
dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với các nhà toán học, mô
hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược
lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của
họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới). Song đối với giáo viên thì mô hình
ấy đã tồn tại.
Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình
hóa là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh. Như vậy, để đạt được mục đích dạy
học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học
1.2.3. Quy trình vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học toán THCS.
Với những bài toán tổng hợp, có nội dung thực tiễn giáo viên cũng cần trang bị cho học sinh quy trình
để giải bài toán thực tế theo các bước sau:
Bước 1: Đọc, hiểu nội dung bài toán thực tiễn đã cho
Bước 2: Toán học hóa bài toán thực tiễn đã cho
Bước 3: Dùng kiến thức toán đã được học, giải bài toán đã được toán học hóa
Bước 4: Quay lại tình huống ban đầu trả lời.
Đối với các bài toán của PISA, người ta sử dụng quy trình Toán học hóa để giải các bài toán đó. Quy
trình này gồm có 4 bước:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế

Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến
thức toán học có liên quan.
Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua
quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học
Bước 4: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định những hạn chế của lời giải.
Ví dụ: Một ô tô khởi hành lúc 4 giờ sáng từ A để đi về B, đến 5 giờ một xe khác cũng đi từ A về B.vận
tốc xe 2 hơn xe 1 là 12 km/giờ. Xe ô tô thứ hai tới B lúc 12 giờ, còn xe ô tô thứ 1 về b lúc 12 giờ 30
phút.Tính vận tốc của mỗi xe?



Vấn đề đặt ra: Tìm vận tốc mỗi xe
Toán học hóa:

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x ( km/h) (x> 0)
Vận tốc xe thứ hai là : x+12 (km/h)
Thời gian ô tô 1 đi là: 12h30’- 4= 8,5 h
Thời gian ô tô 2 đi là: 12h- 5h= 7h


-7Quãng đường AB là: 8,5x= 7( x+12)



Giải bài toán: 8,5x= 7( x+12) � x = 56
Giải quyết thực tiễn: Vận tốc xe 1 là 56km/h, xe 2 là 68km/h.

1.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa
1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán

1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố của toán học trong thực tiễn
1.3.3. Hiểu được ý nghĩa của các số liệu thống kê từ thực tiễn
1.4. Năng lực và cấp độ mô hình hóa
1.4.1. Năng lực mô hình hóa của học sinh
1.4.2. Năng lực mô hình hóa của giáo viên
1.4.3. Cấp độ mô hình hóa
1.5. Thực trạng bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học đại số lớp 8 ở trường THCS.
1.5.1. Học sinh
Dựa vào Phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành điều tra 190 HS ở
lớp 8 và lớp 9 trường THCS Xuân Quang (Huyện Tam Nông – Phú Thọ) và trường THCS Tứ Mỹ (Huyện
Tam Nông – Phú Thọ) vào tháng 3/2018. Kết quả thu được thể hiện qua bảng 1.3, 1.4 và biểu đồ 1.5 dưới
đây :

Bảng 1.3. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống
Mức độ
Rất cần thiết
Cần thiết
Không cần thiết

Tỉ lệ (%)
80,2
17,6
2,2

Bảng 1.4. Bảng thống kê về nhu cầu muốn biết về những ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống

Nhu cầu biết về ứng dụng thực tế của môn
Toán
Có
Không

Tỉ lệ (%)
97,8
2,2

Hình 1.5. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của môn Toán


-8-

Dựa vào các thống kê, biểu đồ trên chúng ta thấy rằng đa số HS nhận thức được tầm quan trọng của
môn Toán (17,6% cho rằng Toán học là cần thiết và có đến 80,2 % cho rằng nó rất cần thiết cho cuộc sống)
cũng như rất muốn biết về ứng dụng của nó trong thực tế cuộc sống (97,6%). Tuy nhiên có đến một nửa số
HS được hỏi nghĩ rằng môn Toán là môn học khó (40,7%) hoặc rất khó (12,1%).
1.5.2. Giáo viên
Thông qua trao đổi, tìm hiểu một số GV dạy toán (25 GV) thuộc các trường THCS Xuân Quang –
Huyện Tam Nông, Tứ Mỹ - Huyện Tam Nông, Chu Văn An – Huyện Thanh Sơn, Vĩnh Lại - Huyện Lâm
Thao thuộc Tỉnh Phú Thọ về việc hiểu biết và khai thác ứng dụng thực tế vào dạy học môn Toán. Kết quả thu
được như sau:
- Tìm hiểu ứng dụng Toán học trong thực tế: hầu hết những GV trên có quan tâm đến việc khai thác
tình huống thực tế vào dạy học môn Toán và điều này được thể hiện ở hai cấp độ như sau:
+ Một số ít GV quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào thực tế.
+ Số GV còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử dụng các bài tập trong SGK, sách
bài tập.
- Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán: Qua trao đổi với những GV trên thì 100% các thầy
cô đều cho rằng nếu tăng cường khai thác các tình huống thực tế vào dạy học thì có thể làm cho HS tích cực
hơn trong việc học môn Toán. Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác các tình huống thực tế vào dạy học hiện nay
của GV còn hạn chế. Chúng tôi cho rằng hạn chế trên có thể do những nguyên nhân chính sau:
+ Khối lượng kiến thức yêu cầu ở mỗi tiết học là khá nhiều và độ khó tăng dần theo cấp học khiến GV vất
vả trong việc hoàn thành bài giảng trên lớp.

+ Do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra một cách thường xuyên và cụ thể trong quá
trình đánh giá (các nội dung yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tế xuất hiện rất ít trong
các kì thi).
+ Do áp lực thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục nên dẫn đến cách dạy và cách học phổ biến hiện nay là
“thi gì, học nấy”, “không thi, không học”. Khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của GV Toán
còn nhiều hạn chế.
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HS THÔNG QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ 8.


-92.1. Định hướng vận dụng MHH trong dạy học đại số 8 THCS.
2.1.1. Định hướng 1: Tăng cường đưa những tình huống trong cuộc sống thực vào dạy học môn Toán ở
bậc phổ thông, rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào thực tế.
Việc khai thác PISA phải giúp tăng cường đưa những tình huống trong cuộc sống thực vào dạy học
môn Toán ở bậc phổ thông, rèn luyện khả năng, ý thức ứng dụng toán học vào thực tế đặc biệt là khả năng
toán học hóa cho HS. Nói về yêu cầu đối với bộ môn Toán trong nhà trường phổ thông, tác giả Trần Kiều cho
rằng “Học Toán trong nhà trường phổ thông thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý,
phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết…cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt
tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen
vận dụng Toán học vào thực tế” . Vì vậy trong quá trình dạy học GV cần giúp HS thấy được nhu cầu vận
dụng toán học vào thực tế nói cách khác là giúp HS thấy được tầm quan trọng, tính hữu ích của Toán học
trong cuộc sống hàng ngày. Để làm được điều đó, bên cạnh những bài tập SGK, GV cần biết tận dụng triệt để
nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, bổ sung thêm những tình huống, bài tập có nội dung thực tế
vào chương trình giảng dạy. Hoạt động này phải được tiến hành thường xuyên và trong một thời gian dài.
Bên cạnh đó, muốn vận dụng toán học vào thực tế, HS phải biết cách chuyển đổi thông tin tình huống thực tế
ban đầu về dạng ngôn ngữ toán học và xử lý nó dựa trên nền những kiến thức toán học đã có. Đây là cơ sở
cho việc nghiên cứu các sự vật, hiện tượng dựa trên các mô hình (phương pháp mô hình hóa) khi các em học
lên các lớp trên. Bởi vậy, việc khai thác những tư tưởng, bài toán của PISA phải góp phần thể hiện định
hướng nói trên.
Ví dụ 1: “Giá sách” (Trích từ tài liệu PISA) (Sau khi học xong bài Bội và ước toán 6 giáo viên có

thể đưa ra bài toán).
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp
nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít.
Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu
hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách?
Để giải quyết bài toán trên ta có thể tiến hành theo quy trình sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế
Vấn đề đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế
giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như
không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra.
Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến
thức toán học có liên quan.
Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và
14, Theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 26, 33, 200, 20, 510.
GV có thể hướng dẫn HS tóm tắt theo bảng sau:
Cho
biết

Tên vật liệu

Số

Số

Số

tấm gỗ dài tấm gỗ ngắn kẹp nhỏ

Số
kẹp lớn

Số ốc
vít


-10Vật liệu cần thiết để
làm một cái giá sách
Vật liệu đang có
Yêu
cầu

4

6

12

2

14

26

33

200

20

510

Tìm số cái giá sách người thợ có thể làm được nhiều nhất từ vật liệu đã có

Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua
quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa và giải quyết bài toán
Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc có thể làm được bao nhiêu cái giá sách?” thành một vấn đề toán
học. Đó có thể là tìm bội số lớn nhất của tập đầu tiên (4, 6, 12, 2 và 14) thỏa mãn tập còn lại (26, 33, 200, 20,
510).
Học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm k là số tự nhiên lớn nhất
(k khác 0) đồng thời thỏa mãn các điều kiện: 4k �26;6k � 33; 12k �200; 2k �20; 14k �510.
Cách 1: Học sinh trung bình có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo bảng dưới đây:
Tên vật liệu

Số

Số

Số

Số

Số ốc

tấm gỗ dài tấm gỗ ngắn kẹp nhỏ
kẹp lớn
vít
Vật liệu cần thiết để làm một cái giá sách
4
6
12

2
14
Vật liệu cần thiết để làm hai cái giá sách
8
12
24
4
28
Vật liệu cần thiết để làm ba cái giá sách
12
18
36
6
42
Vật liệu cần thiết để làm bốn cái giá sách
16
24
48
8
56
Vật liệu cần thiết để làm năm cái giá sách
20
30
60
10
70
Vật liệu cần thiết để làm sáu cái giá sách
24
36
72

12
84
So với vật liệu đang có
26
33
200
20
510
Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập còn lại. Ở bài toán trên, học sinh
sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ
ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 giá sách.
Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số rất lớn thì cách làm này không
khả thi. Vậy còn cách làm nào khác không?
Cách 2: Học sinh khá giỏi có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo sự ước tính: 26/4 = 6 + số còn
lại; 33/6 = 5 + số còn lại, các tỉ số 200/12; 20/2 ; 510/14 đều lớn hơn hoặc bằng 10. Vậy câu trả lời là 5.
Bước 4: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định cả những hạn chế của
lời giải
Ý nghĩa thực tế của bài toán là với các thành phần được liệt kê ở đầu bài người thợ có thể làm được 5
cái giá sách tuy nhiên dựa trên việc quan sát số liệu đã được liệt kê ở cách 1 ta nhận thấy rằng chỉ cần có
thêm 3 tấm gỗ ngắn, ta có thể đóng thêm được một cái giá sách nữa.
Và trên thực tế ta có thể cưa 2 tấm gỗ dài còn thừa thành 3 tấm gỗ ngắn chẳng hạn. Bài tập trên giúp
học sinh có vận kiến thức toán học vào thực tế một cách rất tự nhiên. Đó là những kiến thức về tìm bội số
của một số với điều kiện cho trước.


-11Hơn nữa bài toán cũng cho thấy một khía cạnh rất thực tế khi làm việc là xảy ra vấn đề thừa thiếu
nguyên vật liệu trong sản xuất, người lao động phải xem xét đánh giá lựa chọn phương án để có được hiệu
quả kinh tế cao nhất.
2.1.2. Định hướng 2: Tăng cường các hoạt động thực hành nhằm rèn luyện các kĩ năng thực hành toán
học gần gũi thực tế.

Thuật ngữ “các kỹ năng thực hành toán học gần gũi thực tế” ở đây có thể hiểu là một số các kỹ năng
quan trọng, rất cần thiết mà con người phải có trong cuộc sống ngày nay như: kỹ năng tính toán; kỹ năng
dựng và đọc hiểu đồ thị, biểu đồ; kỹ năng thu thập và xử lí số liệu thống kê…Việc khai thác PISA vào dạy
học môn Toán phải giúp tăng cường các hoạt động thực hành, rèn luyện kĩ năng toán học gần gũi thực tế bởi
vì các kỹ năng này là nhóm kỹ năng rất quan trọng trong hoạt động vận dụng toán học vào thực tế. Kỹ năng
tính toán chẳng hạn như tính nhanh, tính nhẩm, tính gần đúng, tính có sử dụng công cụ (bảng tính, máy tính
bỏ túi)… là kỹ năng toán học nền tảng, không những là cơ sở cho các kỹ năng tính toán khác trong môn Toán
mà còn cần thiết cho các môn học khác và trở nên không thể thiếu được trong những hoạt động thuộc nhiều
lĩnh vực khác nhau. Ngoài ra một số kĩ năng thực hành toán học gần gũi với thực tế đời sống khác như: kỹ
năng dựng và đọc hiểu đồ thị biểu đồ, kỹ năng thu thập và xử lí số liệu… là yếu tố không thể thiếu được để
học tập hay đi vào cuộc sống lao động. Các kỹ năng thực hành này những yếu tố cốt lõi, còn lại sau khi HS
đã quên nhiều lý thuyết, nhiều công thức toán học và có tính thực hành, ứng dụng cao trong thực tiễn. Như
vậy kỹ năng thực hành toán học gần gũi với thực tế đời sống có mặt trong vốn văn hóa toán học của mỗi
người dù họ làm việc ở bất kỳ lĩnh vực nào. Có thể thấy rằng trong thực tế cuộc sống các kỹ năng này không
tách nhau mà thường đan xen, hỗ trợ lẫn nhau cùng phối hợp ở những mức độ khác nhau trong các hoạt động
vận dụng toán học vào thực tế của mỗi cá nhân.
Ví dụ 2: Bác Chiến đi xe máy từ Phú Thọ đến Yên Bái vơí vận tốc 30km/h, khi đến Yên Bái bác
Chiến nghỉ 20 phút rồi quay về Phú Thọ với vận tốc 25km/h.Tính quãng đường Phú Thọ- Yên Bái biết tổng
thời gian đi và về là 5h50 phút?
* Vấn đề đặt ra: Tính quãng đường bác Chiến đi từ Phú Thọ đến Yến Bái.
* Toán học hóa:
Lúc đi
Lúc nghỉ
Lúc về

s
x

v
30

x

25

t
x/30
1/3
x/25

Ta có thời gian đi, thời gian nghỉ và thời gian về là 5h50 phút, từ đó thiết lập mối quan hệ giữa các đại
lượng để lập phương trình.
* Giải bài toán:
Gọi quãng đường Phú Thọ- Yên Bái là x (km) , x>0

x
Thời gian đi từ Phú Thọ đến Yên Bái: 30 (h)
Thời gian nghỉ:

1
20’= 3 (h)


-12x
Thời gian đi từ Yên Bái về Phú Thọ: 25
Tổng thời gian đi về là 5h50’=

x 1 x
5
 

5
30 3 25
6

5

(h)

5
6 (h) nên ta có:

� x= 75

* Giải quyết vấn đề thực tiễn: Quãng đường từ Phú Thọ đến Yên Bái là 75km. Bác Chiến đi với vận
tốc nhỏ nên tốn nhiều thời gian, nếu bác đi với vận tốc 40-50 km/h thì sẽ rút ngắn được thời gian trên đường.
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh
lớp 8 THCS trong dạy học Toán.
2.2.1. Biện pháp 1: Tạo hứng thú cho người học thông qua việc chỉ ra tác dụng của các kiến
thức toán học khi giải quyết các tình huống thực tiễn xung quanh.
Tạo hứng thú học tập bằng cách làm cho HS nhận thức được mục tiêu, lợi ích của bài học: Hứng thú là
một thuộc tính tâm lí mang tính đặc thù cá nhân. Hứng thú có tính lựa chọn. Đối tượng của hứng thú chỉ là
những cái cần thiết, có giá trị, có sức hấp dẫn với cá nhân. Vậy vấn đề gì thu hút sự quan tâm, chú ý tìm hiểu
của các em? Trả lời được câu hỏi này nghĩa là người GV đã sống cùng với đời sống tinh thần của các em,
biến đổi những nhiệm vụ học tập khô khan phù hợp với những mong muốn, nhu cầu, sở thích, nguyện vọng
(tất nhiên là phải tích cực, chính đáng) của HS.
Trong việc dạy học bài toán bằng cách giải phương trình và hệ phương trình, để tạo hứng thú cho
HS, GV cần chỉ ra tác dụng của việc học dạng toán này:
- Học dạng toán này chúng ta được tiếp xúc với các tình huống có trong thực tế như: hai xe đi ngược
chiều gặp nhau; tàu bè đi xuôi, ngược dòng nước; diện tích mảnh đất (ruộng, nền nhà…) khi thay đổi các
kích thước; bài toán về công việc hai đội làm chung làm riêng;…

-Chúng ta sẽ giải quyết được một số tình huống xảy ra trong thực tế mà trước kia chúng ta chưa biết
cách giải quyết như:
+ Nếu bạn A và bạn B cùng tham gia giao thông, hai bạn đi ngược chiều, xuấtphát ở hai đầu quãng
đường và ở hai thời điểm khác nhau, thì ta có thể biết được thời điểm hai bạn gặp nhau trên đường.
Bài tập 3: Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì 4 ngày xong việc. Nếu họ làm
riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong
bao nhiêu ngày để xong việc ?
Giải:
Gọi thời gian đội I làm một mình là x (ngày) (x > 0)
Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là
x + 6 (ngày)

1
Mỗi ngày đội I làm được x công việc.
1
Mỗi ngày đội II làm được x  6 công việc.


-131
Mỗi ngày có hai đội làm được 4 công việc.
Ta có phương trình

1
1
1
x + x6 = 4
 x. (x+6) = 4x + 4x + 24  x 2 - 2x - 24 = 0  x 2 - 6x + 4x - 24 = 0
 (x-6) (x+4) = 0  x = 6 hoặc x = - 4 (loại)
Vậy đội I làm một mình mất 6 ngày
Đội II làm một mình mất 12 ngày.

2.2.2. Biện pháp 2: Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế vào hệ thống ví dụ, bài tập
trong sách giáo khoa.
Hiện nay việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học đang được quan tâm tuy nhiên số
lượng các bài tập đã có sẵn chưa thật nhiều và đa dạng. Bởi vậy, việc có một hệ thống bài tập bổ sung vào hệ
thống bài tập đã có sẵn trong SGK là rất hữu ích và cần thiết.
Ở mỗi dạng toán cho HS tập làm việc với các bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. GV
cần cho HS luyện tập nhuần nhuyễn các dạng toán từ dễ tới khó, từ đơn giản dến phức tạp: HS cần được học
làm các dạng toán đơn giản trước để bước đầu làm quen với các công thức, cách chuyển đổi ngôn ngữ, cách
trình bày bày, cách kiểm tra kết quả thu được…Sau khi đã thành thạo và quen dần với việc làm dạng toán
này thì GV mới nên đưa ra những bài tập ở mức độ phức tạp hơn để HS linh hoạt trong cách suy nghĩ, tư duy
và phát triển NL toán học nói chung và năng lực mô hình hóa toán học nói riêng. Việc nâng cao độ phức tạp
của bài toán làm HS không cảm thấy nhàm chán về cách làm, cách trình bày dập khuôn, đồng thời làm cho
HS hứng thú tìm ra lời giải. Ví dụ: Với dạng toán quãng đường: Bước đầu GV nên đưa ra các bài toán chỉ
một phương tiện tham gia chuyển động (có một lượt đi hoặc có cả lượt đi và lượt về), sau đó là hai phương
tiện tham gia chuyển động cùng chiều, hoặc ngược chiều, hoặc gặp vật cản ở giữa đường phải dừng lại…
Cuối cùng GV nên bổ sung dạng toán tàu, bè…đi ở đường sông, biển…( có thêm vận tốc dòng nước).
Tập trung rèn kỹ năng mô hình hóa toán học ở mỗi dạng toán:


Dạng toán số học:
Bài tập 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng cácchữ số bằng 7 .Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai

chữ số thì được số lớn hơn số đã cho là 180.Tìm số đã cho?
Hướng dẫn: Ở đây đề bài đưa ra câu hỏi là: Tìm số đã cho. HS có xu hướng làm bài gọi ẩn theo đề
hỏi tức là đề hỏi gì thì gọi ẩn số như vậy. Do đó sẽ xảy ra trường hợp có học sinh gọi ẩn là số đã cho. Nếu gọi
ẩn như vậy bài toán sẽ đi vào bế tắc. GV cần hướng dẫn HS phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó
đặt vấn đề :
+ Một số tự nhiên có hai chữ số bao gồm các thành phần nào? ( hàng chục và hàng đơn vị). Muốn
tìm được số đã cho là đi tìm chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị nên sẽ gọi ẩn là chữ số hàng chục và
chữ số hàng đơn vị.

-14+ Số tự nhiên có 2 chữ số sẽ được biểu diễn dưới dạng nào? Các thành phần hàng chục hàng đơn vị
là số hay chữ số? Để số đó là số tự nhiên có hai chữ số thì chữ số hàng chục cần có điều kiện gì?
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x, điều kiện 0  x �7 và x �N
Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
Số đã cho có dạng:

x(7  x) = 10x + 7 - x = 9x + 7

Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới có dạng

x0(7  x)

= 100x + 7 - x = 99x + 7
Theo bài ra ta có phương trình:
( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180 � 90x = �

x = 2 (Thoả mãn điều kiện)

Vậy: Chữ số hàng chục là 2
Chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5
Số phải tìm là 25.
2.2.3. Biện pháp 3: Tăng cường đưa những bài tập có nội dung thực tế vào kiểm tra, đánh giá.
Một trong những nguyên nhân làm cho việc dạy và học các bài toán có nội dung thực tế hiện nay chưa
đạt được hiệu quả như mong đợi đó là bởi yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra một
cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá. Các bài toán yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức
toán học vào thực tế xuất hiện rất ít trong các kì thi của nước ta. Theo chúng tôi đây chính là vấn đề cốt lõi,
nếu cách kiểm tra đánh giá có những thay đổi phù hợp sẽ tạo ra động cơ cho GV để nghiên cứu, tìm hiểu,

khai thác các bài toán có nội dung thực tế vào dạy học cũng như tạo ra động cơ học tập tích cực cho HS.
Hiện điều này đã được thực hiện ở nhiều nước trên thế giới. Sau đây là một ví dụ .
Đề kiểm tra, đánh giá: GV có thể đưa ra từ hai đợt kiểm tra chất lượng HS trở lên, thời gian làm bài
tùy thuộc vào lượng kiên thức GV muốn HS đáp ứng: 15 phút, 30 phút hay 45 phút…
- Bài kiểm tra 15 phút: GV có thể đưa ra 2 bài kiểm tra 15 phút sau khi dạy học từ 2 đến 3 tiết học trên
lớp phần giải bài toán bằng cách lập phương trình. Mỗi đề gồm 1 bài toán thuộc 1 trong các dạng toán đã nêu
ở trên. Sau khi kiểm tra GV có thể nhận thấy tình hình chung của cả lớp, các sai sót thường gặp…để kịp thời
chỉnh sửa và tăng cường luyện tập cho HS.
- Bài kiểm tra 30 hoặc 45 phút: bài kiểm tra này sẽ được thực hiện sau khi thực hiện 2 bài kiểm tra 15
phút: đề bài ngoài việc đưa ra bài toán dạng “giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương rình”,
GV có thể đưa ra một số bài toán bổ trợ ở trước như: giải phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ phương trình,
giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu…
* Một số đề kiểm tra tham khảo:
- Đề kiểm tra 15 phút: Mỗi lần kiểm tra nên đưa ra hai đề để tránh trường hợp chép bài của nhau.
Đề 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h rồi quay về A với vận tốc 50 km/h. Thời gian lúc đi
ít hơn thời gian lúc về là 48 phút. Tính quãng đường AB.
Đề 2: Một xe ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50km/giờ, rồi quay về A với vận tốc 40km/giờ . Cả đi và
về mất thời gian là 5 giờ 24 phút . Tính chiều dài quãng đường AB .


-15- Đề kiểm tra 45 phút: Đề sẽ bao gồm từ 2 đến 3 câu. Trong đó có 1 câu là giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình, thường là câu cuối cùng trong đề, các câu ở trên có thể là giải 1 số phương
trình, vẽ đồ thị hàm số bậc nhất bậc 2 sau đó tìm giao điểm của 2 đồ thị…
Đề 1: Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trog 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ 2 được
điều đi làm việc khác. Tổ 1 đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 gì. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao
lâu xong công việc đó.
Đề 2: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520km. Khi đi được 240km thì ô tô tăng vận tốc thêm
10km/h nữa và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường
là 8 giờ.
Dựa theo quy trình mô hình hóa thì trong lời giải bài toán của HS cần trả lời được nững câu hỏi sau:

+ Bài toán thuộc dạng nào, các dữ kiện trong bài toán là gì?
+ Các chuyển đổi từ ngôn ngữ thường ngày sang ngôn ngữ toán học như thế nào? Có đúng đắn, phù
hợp và khoa học không?
+ Mô hình Toán học của bài toán là gì? (phương trình hay hệ phương trình tìm ra được là gì?)
+ Phương trình tìm ra được giải như thế nào? Nghiệm nào sẽ thỏa mãn, nghiệm nào phải loại bỏ?
+ Kết luận của bài toán là gì?
2.2.4. Biện pháp 4 : Xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi nội dung thực tế dùng cho ôn
tập cuối chương, cuối năm.
Bên cạnh việc xây dựng ví dụ, bài tập bổ sung cho việc dạy học, ta có thể khai thác những tư tưởng,
bài toán thực tế để xây dựng những bài tập có hệ thống câu hỏi mang nội dung thực tế cho dùng cho ôn tập
chương, ôn tập cuối năm, cuối cấp. Điều này đặc biệt thuận lợi khi đặc điểm của các bài tập của PISA như đã
trình bày ở trên là tích hợp và kết nối các nội dung kiến thức kiểm tra dựa trên bối cảnh của một thách thức
hay một vấn đề được phát sinh trong thế giới thực. Bài tập sau có thể đưa vào dạy học ôn tập môn Toán cuối
cấp THCS:
Bài tập 1 : Nhịp tim
Vì lý do sức khỏe, người ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ như trong thể thao để không vượt
quá tần số nhịp tim nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa
và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức sau :
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổi
Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút. Công thức mới như sau:
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)
Câu hỏi 1: Hoàn thiện bảng 2.1 về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:

Bảng 2.1. Bảng nhịp tim đối đa được khuyến cáo
Tuổi (theo năm)

9

1
2

1
5

1
8

2
1

2
4


-16Nhịp tim tối đa được khuyến cáo cũ
(công thức cũ)
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo mới

2
11

2
08

2

2
05

2

02

1

1
99

1

1
96
1

(công thức mới)
01,7
97,5
95,4
91,2
Câu hỏi 2: Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao
nhiêu?
Câu hỏi 3: Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ
giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi.
Câu hỏi 4: Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là 80% của nhịp tim
tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập
thể dục theo tuổi.
Câu hỏi 5: Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào? Hãy giải
thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.
Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức khỏe con người. Để làm được bài toán này, HS cần phải
chuyển được những thông tin đã cho trong đề bài thành những phương trình đại số (hay hàm số), biết vận
dụng các kỹ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra.

Cụ thể là :
- Câu 1 chỉ yêu cầu HS kỹ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trước.
- Câu 2 đòi hỏi HS phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo hai công thức cũ và
mới lần lượt là hai hàm số f(x) = 220 – x và g(x) = 208 – 0,7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút
và x đại diện cho tuổi tính theo năm. Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại
một điểm. HS có thể tìm ra được điểm này bằng cách giải phương trình 220 – x = 208 - 0,7 x hoặc giải hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn để suy ra là x = 40 và y = 180.
- Nội dung của câu 3,4 thực chất ứng với kỹ năng rút gọn biểu thức đó là rút gọn 220 –x – (208 – 0,7x)
và 0,8 (208 - 0,7x).
- Câu 5 sẽ được giải quyết dễ dàng nếu nếu HS biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa
độ (Hình 2.1).
Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi x > 40 ta đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía dưới đồ thị hàm g(x) = 208
– 0,7x và khi x < 40 thì đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x. Điều đó có
nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp
hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.


-17CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Trên cơ sở những nội dung đã đề xuất ở trên, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm mục
đích: Đánh giá chất lượng học sinh trước và sau khi thử nghiệm phương pháp dạy học tiếp cận năng lực: Phát
triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học Đại số lớp 8. Đồng thời đánh giá hiệu quả
của việc sử dụng các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học đã nêu ở trên.
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
3.2.1. Nội dung 1: GV phát phiếu điều tra về mức độ hiểu biết về chủ đề giải bài toán bằng cách lập
phương trình ở lớp 8 và đưa ra 1 bài toán để HS làm.
Qua đó cho ta thấy sự hiểu biết, sự quan tâm và niềm yêu thích đối với môn Toán và đặc biệt là ứng
dụng thực tế của Toán học.
3.2.2. Nội dung 2: Tiến hành giảng dạy ở 2 lớp theo 2 hướng đã nêu ở trên 1 tiết học.
Lớp 8A : Giảng dạy theo giáo án soạn truyền thống.

Lớp 8B : Giảng dạy theo giáo án soạn theo hướng phát triển năng lực MHH Toán học.
3.2.3. Nội dung 3: Sau khi dạy 1 tiết học tiến hành kiểm tra 15 phút ở cả 2 lớp
Đề bài chung: giải bài toán bằng cách lập phương trình
+ Lần 1:
Đề 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h rồi quay về A với vận tốc 50km/h. Thời gian lúc đi ít
hơn thời gian lúc về là 48 phút. Tính quãng đường AB.
Đề 2: Một xe ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50km/giờ, rồi quay về A với vận tốc 40km/giờ. Cả đi và về
mất thời gian là 5 giờ 24 phút , Tính chiều dài quãng đường AB.
Sau đó đánh giá chất lượng của học sinh 2 lớp thông qua điểm kiểm tra và thống kê các lỗi học sinh
thường mắc phải :
+ HS có hiểu đề bài yêu cầu tìm gì và có đặt điều kiện đúng cho ẩn số hay không?
+ HS có biết cách chuyển đổi ngôn ngữ trong bài sang ngôn ngữ Toán học hay không?
+ HS có tìm được các mối quan hệ giữ các dữ kiện trong bài để lập phương trình cho bài toán hay
không?
+ HS có giải đúng phương trình vừa tìm được và có xem xét sự phù hợp của nghiệm tìm được với điều
kiện đã đặt ra hay không?
+ HS có trả lời đúng và hợp lý câu hỏi bài toán đưa ra hay không?
3.2.4. Nội dung 4: Tiếp tục tiến hành dạy lớp 8B theo phương pháp phát triển năng lực mô hình hóa
như đã làm từ đầu thực nghiệm, đồng thời thay đổi cách dạy theo phương pháp mới cho lớp 8A.
3.2.5. Nội dung 5: tiến hành kiểm tra lần 2 sau khi cả 2 lớp cùng được học phương pháp tiếp cận phát
triển năng lực mô hình hóa .
+ Lần 2:


-18Đề 1: Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm trong 4
giờ, người thứ 2 làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì mất bao lâu
xong công việc.
Đề 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ,
người thứ 2 làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành
công việc trong bao lâu.

Sau đó tiếp tục đánh giá chất lượng HS. Các chỉ tiêu đưa ra đánh giá HS qua mỗi lần kiểm tra gồm:
+ HS có hiểu đề bài yêu cầu tìm gì và có đặt điều kiện đúng cho ẩn số hay không?
+ HS có biết cách chuyển đổi ngôn ngữ trong bài sang ngôn ngữ Toán học hay không?
+ HS có tìm được các mối quan hệ giữ các dữ kiện trong bài để lập phương trình cho bài toán hay
không?
+ HS có giải đúng phương trình vừa tìm được và có xem xét sự phù hợp của nghiệm tìm được với điều
kiện đã đặt ra hay không?
+ HS có trả lời đúng và hợp lý câu hỏi bài toán đưa ra hay không?
3.3. Tổ chức thực nghiệm
* Địa bàn thực hiện:
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng là HS lớp 8 với chủ đề giải bài toán bằng
cách lập phương trình tại trường THCS Xuân Quang- Huyện Tam Nông-Tỉnh Phú Thọ.
Thời gian tiến hành: tháng 4 năm 2018
-Tiến hành thực nghiệm:
* Đối tượng: chọn 2 lớp 8A và 8B: hai lớp có số HS tương đương và lực học tương đương
+ Lớp đối chứng: 8A: có 42 HS: Được dạy theo giáo án thiết kế như hướng dẫn ở sách giáo viên.
+ Lớp thử nghiệm: 8B: có 43 HS: Bài học được thiết kế theo hướng phát triển NL MHHTH ở HS.
Hai lớp đều do cùng 1 GV dạy để đảm bảo sự đồng đều về thời gian, cùng đề kiểm tra và biểu điểm
chấm theo thang điểm 10.
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm
Nội dung 1:
Bảng 3.1. Phiếu kiểm tra ban đầu:
Chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình
Câu hỏi

Trả lời

1.
Mức độ khó của dạng toán trên đối với
bản thân em là gì? (khó, bình thường hay dễ)

2.
Trong
thường gặp là gì?

chủ

đề

nêu

trên, các dạng toán


-193.
Trong các dạng toán em vừa nêu thì đối với
em, dạng toán nào dễ làm nhất, dạng toán nào khó làm
nhất?
Kết quả: phát ra 85 phiếu, thu về 85 phiếu
Câu hỏi 1: Trả lời “khó”: 35 HS (chiếm 41%)
Trả lời “bình thường”: 38 HS (chiếm 45%)
Trả lời “dễ”: 12 HS (chiếm 14%)
Câu hỏi 2: Tổng hợp các dạng học sinh nêu ra được: quãng đường, năng suất, làm chung làm
riêng,diện tích, số.
Số HS nêu được 4 dạng: 20 HS (chiếm 24%)
Số HS nêu được 3 dạng: 30 HS (chiếm 35%)
Số HS nêu được 2 dạng: 35 HS (chiếm 41%)
Không có HS nêu được 1 dạng và 0 dạng
Câu hỏi 3: Các đáp án thu được ở dạng toán dễ nhất là: diện tích và quãng đường.
Các đáp án thu được ở dạng toán khó nhất là: năng suất, quãng đường và số.

Đạt điểm từ 9 trở lên

Đạt điểm từ 7 đến

Đạt điểm từ 5 đến

dưới 9

dưới 7

Đạt điểm dưới 5

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

8A

4

10

16

38

14

33

8

19

8B

5

12

14

33

17

40

7

15

Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra ban đầu


-20-

Hình 3.1 Biểu đồ kết quả bài kiểm tra ban đầu
Nội dung 3:
Bảng 3.3. Kết quả kiểm tra lần 1 của 2 lớp

Đạt điểm từ 9 trở

Đạt điểm từ 7 đến

Đạt điểm từ 5 đến

lên

dưới 9

dưới 7

Đạt điểm dưới 5

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

8A

5

12

15

36

15

36

7

12

8B

11

26

20

47

9

21

3

6


-21-

Hình 3.2. Biểu đồ kết quả kiểm tra lần 1 của 2 lớp
Các lỗi học sinh thường mắc phải: +Quên không đặt điều kiện cho ẩn số
+Không biết cách biểu diễn các mỗi quan hệ trong bài thành phương trình
+Giải phương trình còn sai sót
+Không trả lời câu hỏi đề đưa ra ( không có kết luận)
Nội dung 5:

Đạt điểm từ 9

Đạt điểm từ 7

Đạt điểm từ 5

trở lên

đến dưới 9

đến dưới 7

Đạt điểm dưới 5

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

8A

10

24

23

56

5

12

4

8

8B

16

37

25

58

2

5

0

0

Bảng 3.4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra của 2 lớp ở lần 2


-22-

Hình 3.3. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra của 2 lớp ở lần 2

Đạt điểm từ 9 trở

Đạt điểm từ 7 đến

Đạt điểm từ 5 đến

lên

dưới 9

dưới 7

Đạt điểm dưới 5

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Lần 1

5

12

15

36

15

36

7

12

Lần 2

10

24

23

56

5

12

4

8

Bảng 3.5: Bảng so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8A


-23-

Hình 3.4. Biểu đồ so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8A

Đạt điểm từ 9 trở

Đạt điểm từ 7 đến

Đạt điểm từ 5 đến

lên

dưới 9

dưới 7

Đạt điểm dưới 5

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Số HS

%

Lần 1

11

26

20

47

9

21

3

6

Lần 2

16

37

25

58

2

5

0

0

Bảng 3.6. Bảng so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8B


-24-

Hình 3.5. Biểu đồ so sánh kết quả giữa 2 lần kiểm tra của lớp 8B
Nhận xét chung:
Bảng 2: Ở bảng 2 ta có thể thấy rằng ban đầu lực học của HS hai lớp khá đồng đều, và số HS đạt điểm tốt
còn ít.
Bảng 3: Sau khi tiến hành thực hiện dạy học bằng phương pháp phát triển năng lực mô hình hóa ở lớp 8B thì
đã có kết quả khá rõ rệt: số HS đạt điểm giỏi tăng lên, số HS đạt điểm yếu kém giảm đi, chủ yếu là đạt điểm
khá.
Trong khi đó, áp dụng phương pháp dạy cũ cho lơp 8A thì kết quả bài kiểm tra của HS không có sự
thay đổi nhiều.
Bảng 4:
Lớp 8A: Sau khi áp dụng phương pháp dạy mới thì kết quả thu được khá tốt: số HS điểm giỏi tăng,
số HS đạt điểm yếu kém giảm đi, HS đạt điểm khá tăng rõ rệt
Lớp 8B: Tiếp tục áp dụng phương pháp dạy mới thì lớp 8B đã không có HS đạt điểm yếu kém, số
HS đạt điểm khá giỏi theo đó tăng lên
Về sai sót trong bài: qua các lần kiểm tra thì mức độ sai sót đã giảm nhiều. Chủ yếu HS bị trừ điểm là do
phần giải phương trình thu được.

KẾT LUẬN


-25Đối chiếu với mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, luận văn đã hoàn thành những nhiệm vụ sau đây:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển năng lực, phân loại năng lực, các biện pháp
phát triển năng lực nói chung và trong toán học nói riêng. Đặc biệt, luận văn đã trình bày khái niệm, đặc

diểm cơ bản của năng lực mô hình hóa toán học ở HS THCS như các bước, các giai đoạn mô hình hóa, các
biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở HS. Lý luận cho thấy, việc phát triển NL MHHTH ở
HS trong nhà trường phổ thông có vị trí rất quan trọng và là một mục tiêu của nền giáo dục phổ thông, đặc
biệt trong giai đoạn đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển NL như hiện nay.
- Căn cứ vào các NL có thể phát triển ở HS để đưa ra các biện pháp pháp phát triển năng lực phù hợp
với HS ở cả quá trình dạy học toán nói chung và trong chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình nói
riêng.
- Xây dựng được một số biện pháp phát triển NL MHHTH trong dạy học nội dung giải bài toán bằng
cách lập phương trình . Các biện pháp này nhằm mục đính chính là rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ,
thiết lập mô hình hóa (phương trình, hệ phương trình), giải quyết vấn đề của HS. Đưa ra được các dạng toán,
cách làm bài phù hợp dễ hiểu, các điều cần chú ý, ghi nhớ và thiết lập đề kiểm tra minh họa có mức độ khó
tăng dần.
- Quá trình thực nghiệm sư phạm đã khẳng định tính hiệu quả và tính khả thi của phương pháp dạy
học phát triển năng lực mô hình hóa ở HS THCS thông qua giải bài toán bằng cách lập phương trình .
- Luận văn trước hết có ý nghĩa đối với tác giả, vì đây là công trình nghiên cứu khoa học đầu tiên,
cũng là một nội dung quan trọng trong chương trình dạy học. Mong rằng luận văn đóng góp một phần nhỏ bé
trong công cuộc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực hiện nay nhằm nâng cao
chất lượng giáo dục, đồng thời có thể là một tài liệu tham khảo cho HS và GV.