Bài tập xác suất và thống kê

ĐINH VĂN GĂNG

BÀI TẬP
XÁC SỎẤT
VÀ
THÓrỉQ KÊ
(T á i bản lấ n th ứ tá m )

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
VIỆT
NAM
•
t


Công ty CP Dịch vụ xuất bán Giáo dục Gia Định - Nhà xuất bán Giáo dục
Việt Nam giữ quyển công bô' tác phẩm.

19 - 2010/C X B /337 - 224 4/G D

Mã số ; 7K432mO - D A I


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KẺ được biên soạn tiếp theo
cuốn Lí thuyết xác suất và thống kẽ (Nhà xuất bản Giáo dục • 1999)
nhàm giúp sinh viên trong việc tự học.
Về cơ bản, thứ tự các chương mục ở cuốn sách này giống như cuốn li
thuyết, ở mỗi mục, hay chương khi không phân ra các mục nhỏ, đều có
phần tóm tảt li thuyết, các vỉ dụ và sau đó là các bài íập.

Các bài tập mẩu dưới dạng vi dụ được giải chi tiết có những ghi chú
thém khi cắn thiết. Các bài tập phần lởn được hướng dần giải, còn một số
có chỉ dần hay đáp số. Đ ể rèn luyện k ĩ nàng giải toán càc bạn sinh vién nên
cố gắng tự giải, khi thật cẩn hãy tham khảo phần trả lời để kiểm tra. Các
bạn nên chú ỷ đến các lập luận trong lời giải ở các bài tập có dấu '
Chúng tòi xin cảm ơn Tiến s ĩ Vũ Thê Hựu đà góp ý kiến đóng gỏp để
bản thảo được tốt hơn, cảm ơn Nhà xuất bản Giảo dục đà tạo điều kiện dể
cuốn sách sớm tới tay bạn đọc
Xin được trân trọng cảm ơn và mong bạn đọc xa gắn góp ý bổ sung
cho tài liệu được hoàn thiện.
TP. Hó Chí Minh, tháng 4 nâm 1999
T Á C GIẢ



CHƯƠ NG I

KHÔNG GIAN XÁC SU Á T
§1. ĐẠI SỐ CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
• Phép tỉìử được hiểu là sự thực hiện một số điều kiện. Mỗi
phép thứ có gắn với một sò kết quả có thể xảy ra. Ta kí hiệu các
biên cò ngầu nhiên có liên quan đến các phép thứ bởi các chữ cái
in hoa A, B, c , ... Với mỗi biến cố có liên quan tới một phép thử, ta
phai kháng định được rằng: Khi một kết quả nào đó cua phép thử
được thực hiện thì nó xảy ra hay không xảy ra.
• Ta gọi A, B là đồng nhất và viết A = B, nếu với mỗi kết quả
cua phép thứ chúng cùng xày ra hoặc cùng không xảy ra.
• Sự không xuất hiện của A được coi ỉà sự xuất hiện của “đối
A*\ kí hiệu A'. hay A .

• Sự xuất hiện đồng thời của A, B được coi là sự xuât hiện cũa
A qĩao /i, ki hiệu A n B, hay AB.
• Sự không thể’ xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là biến
cô không thế có, kí hiệu là ộ, hay V.
• A , ĩ ỉ đư ợc g ọ i là X ỉ i ì ì g k h ắ c n h a u n ô u A B ~ <ị>.

• Sự xuất hiện của ít n h ất một trong 2 biến cô A, B được coi là
sự xuất hiện của A hợp fì, kí hiệu A B. Khi AB = (Ị) ta viết A + B
thay cho A B.


• Sự chác chán xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là
chác c/ỉa/ỉ. kí hiệu Q, hay ư.
• Nếu sự xuất hiện cũa A luôn kéo theo sự xuât hiện
ta nói A kéo theo B và kí hiệu A c B.

b ỉ ời ì co

cLÌa

B thi

Rỏ ràng A = B o A c B v à B c A .
Mòt số tính chất:
\C
a)

n
A

A.
^ 1=1
( n

J
Ạ

i=l
n
Af

V 1=1

b)

)

i=i

A(Bl>C) = ABuAC
Au(BC) = (Al^BXAu C).

• Họ các biến cố ngẫu nhiên Ai, A^,

A„ được gọi là họ

đẩy

n

đủ nếu chúng từng đôi xung khắc và ^ A, = Q1=1

• Định nghĩa: A \B = AB^
• Một biến cố ngầu nhiên được gọi là phức hợp nếu nó có thê
biểu diễn được dưới dạng hợp của hai biến cô không đồng nh ât với
nó. Một biến cò khòng là phức hợp được gọi là biến cô sơ cấp. Vậy
một biến cô phức hợp có thể xuất hiện iheo nhiều cách khác nhau.
Biến cô sơ cấp chỉ xuất hiện theo một cách duy nhât. Các biến cố
sơ cấp từng đôi xung khắc. Tập hợp mọi biến cố sơ cấp của một
p h é p t h ử được g ọi l à h h ô r t g g i a n c á c h i ê n c ô Hơ c ấ p . T a c ù n g k í h i ộ u

nó là Q.
• Khi không gian biến cố sơ cấp gồm hữu h ạn ph ần tứ thì mỗi
biến cò ngẫu nhiên A được biểu diễn một cách duy n h ấ t dưới dạng

6


tòng cũa một số (hữu hạn) các biến cô sơ cấp thích hợp với nó. Các
hiến cô sơ cấp thường dược kí hiệu bởi chữ e, hay to. Sô biến cô sơ
cấp thích hợp với A được kí hiệu là n(A).
Một số kết quả của giải tích tô hợp:
• Cho 2 dãy hcnj hạn các phần tử ai, a-2, ..., 3n và bi, b-2, ..., b„v Số cặp
(aj, bk) khác nhau từ hai dãy trên băng n X m. Mở rộng, nếu xét k dãy với
số phần tử ở các dãy tương ứng là ĩii, 112, ... , Hk thì sò nhóm
k
í
) khác nhau thành lập từ k dãy đó bàng Ị~Ịnj .
ị= \

• Số các hoán vỊ của dãy n phần tử bằng n!
• Cho tập hợp gồm n phần tử. Mỏi tập con k phần tử
(1 < k < n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Sô tố hợp
châp k của n phần tứ bàng

= . .,
, ■. .
k !( n -k ) !

• Mỗi nhóm k phần tử có thể trùng nhau, không phán biệt thứ
tự cứa tập n phần tử được gọi là tổ hợp lặp chập k của n. Sô tổ hợp
lập chập k của n ki hiệu ( 5 ' , khi đó, Q I =

J

• Mỗi bộ k phần tử có thứ tự, rút từ tập n phần tử được gọi là
một chinh hợp chập k cùa n,
Sô chính hợp chặp k cúa n bằng

= n(n-l)(n-2)...(n- k+1).

• Mồi nhóm k phần tử có thứ tự, có thế trùng nhau rút từ tập
toàn thể gồm n phần tử được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n. Sô chỉnh hợp lặp chập k của n bằng

= n*'.

B. V I D Ụ
1.
Xét phép thử gieo một xúc xắc 2 lấn. Hãy mô tả không gian biến cố

sơ cấp c ủ a phép thử này. Tìm số n(A), n(B) với:
a) A; "Tổng sô nốt xuất hiện chia hết cho 3'’.


b) B: 'Trị tuyệt đòi của hiệu sổ nốt lá chẵn".
GỈẢÌ

Nêu ta kí hiệu (i, j) chỉ răng xúc xắc thứ n h ất xuất hiện i nốt,
xúc xắc thứ hai xuất hiện j nốt thì mỗi biến cố sơ cấp cùa phép thứ
là một cặp (i, j) với i, j = 1,6 . Tức là các chinh hợp lặp chập 2 cua
6. Vậy Q =

ij = 1.6 Ị.

a) A = {(ij)6Í2: i+j : 3
= {(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4). (4,2), (3,3), (3,6), (6,3),
(4,5), (5,4), (6 ,6 )

Vậy n(A) “ 12.
b) B =i j = 1.6 : |i - j|

2

= 1(1,3), (1,5), (3,1), (5,1), (2,4), (2,6). (4.2k (6,2), (3,5),
(5,3), (4,6), (6,4), (1,1), (2,2), (3,3), (4.4), (5,5), (6,6)1

Vậy: n(B) = 18.
2.
Bắn ba vièn đạn váo một bia. Gọi A,: “viên đ ạ n thứ i trúng bia’
(i = 1. 2, 3). Xét cá c biến cố ngẫu nhiên:

A: “Có đúng một vién đạn trúng bia”
B: “Có ít nhất hai vièn đạn trúng bia"
C: “Cả ba viên đ é u khòng trúng bia”
D: “Hai viên sa u trúng bia".
Hãy biểu diễn A, B. c, D, A

B, B\c qua cá c A,,

(i = 1.2.3).

GỈÁỈ

A = AiA/Aa^’ +
4- Ai^'A2‘‘A:ì
B=
+ AịA2*^A,3 + A]*^A.*A'Ì + AịA^A-ị.

c =
;
D = AỊA2A3 + A ị *^AoA'ì = A^A^.
Av^'B = A 1U A 2U A 3

B \c = B (vì B
8

c = ệ).


3 Xét phép thử; "bán không hạn c h ế sò đạn vào một bia cho đ ế n khi
lân d ấ u tiên trúng bia thi dửng" Hảy mỏ tà không gian biến cò sơ cấp

tương ứng Hãy chỉ ra một hệ đáy đủ c á c biến cố.
(ỈỊAỈ

hiệu T: "viên âạn trúng bia ", do đó T : “viên đạn không trúng
bia”. Vậy:
íì = iT, T T, T T
r T.-.í- Mỗi biến cố sơ cấp ứĩig với
phép thứ nàv là bộ các chữ T' và một chừ T ờ cuối.
Dặt

A: “Phải bắn nhiều nhất hai lần”.
A"': “Phái bắn ít nhất ba lần ’'.

Vậy A = |T,T‘T|; khi đó |A, A^'Ị là một hệ đầy đu.
4.
Có bao nhíèu c á c h xép r quả cáu khác nhau vào n hộp. biết rẳng
mỗi hộp có thể ch ứ a nhiéu c á u ?
GỈAỈ

Mỗi quả cầu có thế xếp vào 1 trong n hộp, vậy có thê coi sô'
cách xếp hết r cầu vào n hộp như là cách chọn r trong n hộp có thứ
tự, có lặp lại. Do đó sỏ cách xếp r cầu vào n hộp bằng sô chính hợp
ỉặp chập r cùa a, nghĩa là bằiig
5 Cho sơ đó một m ạ ng điện nhu hình vẻ. Nó gốm ngắt điện K. các
bóng đèn Ai. A2, A3. Việc mạng bị mất điện (B) chỉ có thể do hòng c á c
bóng đ è n hoặc hỏng ngắt điện
Hãy biểu diễn B q u a A. (I = ỉ.3) và K
ở đày A

Bóng điện A bi hòng".

K "Ngắt điện K bị hòng".
UIAỈ

Theo sơ đỏ trè n thì mạng bị inất điện (sự kiệu B xảy ra) nếu
một trong các trường hợp sau xảy ra;
aì Ngắt điện K bị hỏng (không nối mạch được)


b) Cả 3 bóng đèn đều hong (Ai, A^, A.-ị xảy ra)
c) Bóng A;i và bóng Aị hỏng.
d) Bóng A;ì và bóng A2 hồng.
Vậy ta có biểu diễn: B = K u A 1A2A3 u AiA.ịA/

A^AriAi''.

Có bao nhiêu c á c h khác nhau đ ể rút cùng lúc 4 q u ả n bài từ một cồ
bàl 52 quàn? Có bao nhiéu cách khác nhau để rút lẩn lượt 3 q u à n bái từ cổ
bài 52 quán?
6

.

GIÁ ỉ

•
Mỗi kết quả khác nhau của việc rút cùng lúc 4 trong 52 quân
bài là 1 tổ hợp chặp 4 của 52. Vậy sò kết quả khác nhau này là:
CỈ 2 = - ? % = 270 725.
4148!

•
Tương tự, khi rút lần lượt 3 trong 52 quân bài, ta có số cách
khác nhau là AỈ 2 = 52.51,50 = 132 600.
7.
CÓ bao nhièu c á c h s ắ p 5 người vào ngổi trén một ghê dái sao cho
có 2 người định trước luôn ngói cạnh nhau?
GIÁI

Coi hai người đó là A, B, vậy có hai cách để sắp A, B cạnh
nhau là AB, BA. Coi ràng AB là một “vị trí” còn lại 3 người khác ở
các vị trí còn lại, vậy có 4! cách sắp 4 vị trí này. Do đó sô cách sắp
5 người vào 1 ghế dài sao cho A, B luôn cạnh nhau là:
2 . 4 ! = 48.

c . BÀI TẬP
Chứng minh các hệ thức sau (khi A, B là các biến cô ngẫu

1.

nhiôn):
a) iA vjB f =
b) (AB)^' =
c)
10

= A + A'B.


2 Với A. B là các biên cò ngầu nhièn, trong điều kiện nào ta
cổ h ệ t h ứ c A ^ B = A?

3- Bán 4 vièn đạn vào niục tièu. Ta gọi
A, ; “viên đạn thứ i trúng mục tiêu”, i = 1,4
Hãy bièu diễn các biến cô sau theo A,, A,^
a) Có đúng một viên trúng mục tiêu.
b) Có ít n h ất 2 viên trúng rnục tiêu.
c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu.
4. Một lò hàng có 50 sản phấm. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu
nhién cùng ỉúc 5 sản phẩm đẻ kiểm tra? Có bao nhiêu cách chọn
ngẫu nhiên lần lượt 5 sán phẩm?
5. Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 4 số, có thể có bao
nhiêu máy có các chừ sô khác nhau? Có bao nhiéu máy có sô 0 ở
cuối CÒII c á c c h ừ sỏ c ò n lại đ ề u k h á c n h a u ?

6 . Giái vò địch bóng đá quốc gia gồm 14 đội mạnh được thi đảu

theo thế thức hai lượt trên sân nhà và trên sân khách, ỉỉỏi phải tổ
chức tống cộng bao nhiêu trận đấu? Tính cả lượt đi và lượt về mỗi
đội phái đáu mấy trận?
7. Một lõ hàng có N sản phấm tốt và n sản pháni xấu. Chọn
ngẫu nhién cùng lúc k sán phẩm. Hãy tính số cách chọn k sản
phám, trong dó có / sản phắin tốt, ớ đây 0 < / < k.
8 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

9. Một lớp học có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nừ. Có bao
Iihịẻu cách chia đê trong mồi nửa lớp có 10 nani sinh và 10 nừ
ísiiih?
10. Một tò sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nừ. cần chia tổ
th à n h 4 nhóm đều nhau. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi
nhóm có niộí nữ.

11


§2. XÁC SUẤT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
• Định nghĩa cố điển cùa xác suất: Nếu A là một biên cò ngầu
nhiên có n(A) biên cỏ sơ cấp thích hợp với nó trong một khòng
gian biến cô sơ cấp gồm niQ) biến cô sơ cấp có củng kỉìủ năng xuất
hiện, thì tỉ sỏ PíA) = —— *( 1 ) được ưọi là xác siiấỉ cua A.
niíì)

•

Như vậy đê áp dụng được định nghĩa cò điên này ÌIIỎ hìiih
phép thử phải thỏa màn:
- n (Q ) < oc, n g h ĩ a là k h ô n g g i a n b i ế n c ố sơ c ấ p g ồ m hừ u h ạ n

phần tử.
- Các biến cỏ sơ cấp phải có cùng khá năng xuất hiện.
• Định nghĩa xác suất bằng hình học (Butffon): Klii n(£2) vỏ
ìiạn, các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện ta có thế dùng
định nghĩa theo quan điếm hình học đế tính xác suất.
• Giả sử một điểm được rơi ngầu nỉìièn vào một nũén 1) với sô
đo là mes(D). A là một miền con nào đó cùa I) với sò do nies(A).
Khi đó xác suất đế điểm rơi vào miền A dược xác định bới ti số:
P,A) =

nies(D)

(2)

ở đày số đo có thế là độ dài, diện tích hay th ể tích tùy thuộc
vào miền D được xét trên đường thắng trong mặt phăng hay trong
không gian ba chiều.
• Hệ tiên đề (A. N. Koỉniogorov) của xác suất:
i.
Có niột tập Í-Ị ^ (ị) gọi la khổng qiaìì bĩCỉi co sơ cap. Moi
được gọi là một biỂn cỏ sơ cấp.
II.
Có một ơ-đại số <^4 các tập con cua íì. Mồi A e
là một biến cô ngẫu nhiên.
12

được gọi


III. Với niỗi A €

(lột tương ứng một sô thực P(A) > 0 gọi là

xàic siiàt cua A.

IV. F (U) = 1.

V. Nếu |A,, i > II là họ vò hạn các biến cố ngầu nhiên từng đôi
xiiing khác thì
(tiên dề 1=1

11

Bộ ba (Q, rí.v, P) được gọi ià không gian xác sưổt.
•

Tính chất của xác suất

1) Piệ) = 0
2 ) Nếu |Ai, A;^,

Ani là họ hữu hạn biên cố ngẫu nhiên từng
'
»
đỏ)i xung khắc thì P! I A, I = ^ P ( A , ) (tính chất cộng tính).
Vi =l
Ì
1=1
3) P(A' j B) = P(A) + P(B) - P(AB).
4) Nếu A c B thì P(A) < P(B).
5) VAe ri-4, có 0 < P(A) < 1 và P(A*^) = 1 - P(A).
6 ) Nếu dảv biến cò ngẫu nhiên lAn,

n > 1| thỏa điều kiện

ú) , 3 An 3 A„^1 1';...
Aj^ = A thi P(An)

u

P(A) (n~> x).

6 ’) Nếu dãy bièn cố Iigẫu nhiên lAn, n > li thòa điều kiện
(i) A „ c An^i c . . .

(ii)

A„ = A thì P(A„) -> PíA) (n-> x).
n=l

Các lính chát 6 ), 6 ’) dược gọi là tính liên tục của xác suất.

VA


B. VÍ DỤ
1.
Một hộp cò 100 tấm thẻ như nhau được ghi c á c số từ 1 đ ẻ n 100, Rút
ngầu nhiẽn hai thè rói đặt theo thứ tụ tù trải q ua phải Tim xác su ấ t để
a) Rut được hai thé lập nén

một số có 2 chữ sỏ

b) Rút đưỢc hai thẻ lặp nén

một só chia hết cho 5.
GĨAÌ

a) A: "Hai thẻ rút được
được 2 the ìú iư vậy ta chỉ có
số 1, 2, ... , 9, nghía là n(A) =

Hiển nhiên n(Q) =

lập nên một sỏ có 2
chữ s ố ' .Dế rút
thế rút 2 trong các thé mang các chữ
.
và các biến sô sơ cáp của phép thứ

này cùng khả năng xuá't hiện í vì rút ngầu nhiên).

b) B: "Hai thé rút được lập nên một sô chia hết cho 5
Đè có biến cô sơ cấp thích hợp với B ta rút thẻ thứ hai một
cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số; 5, 10, 15, 20, , 95, 100, và
rút 1 trong 99 thẻ còn lại đ ặt vào vị trí đầu. Do đó n(B) = 99.20. Ta
có: n(Q) = A^ịịịị = 99.100, vậy theo (1):

__

QQ 2 n

2 Một hộp có chứa 7 c ầ u trắng và 3 cấu đen cùng kích thước Rút

ngẫu nhién cùng lúc 4 cấu. Tìm xác su ấ t đ ể trong 4 c á u rút được có:
a) 2 c á u đe n

b) it nhất 2 cầu đen
c) toàn cắu trắng.

14

iilAỈ

Rút ngầu nhiên cùng lúc 4 trong 10 cầu nén các biến cố sơ cấp
có cùng khá nầng xuất hiện và n(Q) = C/(,.
a) A: "Trong 4 cầu rút được có 2 cầu đ e n t a có: n(A) = 0 3 .0 7 .
Vạy P,A.= C Ỉ : í ^ , 0,30.
10

b)
B; 'Trong 4 cầu rút được có ít n h ất 2 cầu đen". Khi đó
níB) = C?C 3 + C Ì C 3 . Vì “ít n h át 2 cáu đen” có nghĩa là “có đúng 2
cầu đen” hoậc “có cá 3 cầu đen”, vặy:
P(B)

cĩcị+cịcị

1

10

c)
C: “Trong 4 cầu chọn được có toàn cầu trắn g ”. Khi đó
n(C) = CỊ . Vậy:
P(C)

cị _ 1
cín
6
^'10

3.
Khi gọi điện thoại một khách hàng đã quèn mất 2 chữ sô cuối mà
chỉ nhớ rằng đó là 2 chữ số khác nhau nèn đánh chọn ngẫu nhiên 2 sỏ.
Tim xác su ấ t đ ể người đó thực hiện đưỢc cuộc liên ỉạc.
GỈẢỈ

Đặt A: "người đó thực hiện được cuộc lién lạc". Điều đó có
n gh ĩa là người đó đã chọn đúng được hai sò cuôi khác nhau đó
và
n(A) = 1.
Sò khả n ăng khác nhau người đó có thể chọn là n(0) = Aj^„ =
- DO ( s ò c ií c h c h ọ n c ó t h ứ l ự , k h ô n g t r ả

lại

2 t r o n g 1 0 c h ừ số: 0 , 1,

2 , ..,9).

Vậy P( A) =

90

5: 0.0! 1.

15


4. Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tót và 3 ống kém chât luộng Chọn

ngảu nhién lán lượt khòng trà lại 2 ông. Tìm xác suất để:
a) cả hal ông chọn được đẻu tốt
b) chỉ ống thuốc chọn ra đấu tiên là tốt
c) trong hai ố ng có it nhất một ống thuốc tòl.
GIAỈ

Hộp thuốc có tòng cộng 5 + 3 = 8 (ỏng). Chọn ngẫu nhién lần
lượt khòng trả lại 2 trong 8 ống nên các kết quả sơ câp có cùng
khả náng xuất hiện và n(Q) =
= 56.
aì Đặt A: ”Cá hai ống thuốc chọn được đều tốt”, vặy
n(A) =
= 20.
Suy ra P(A) =

20

56

= 0.357 .

b) B: “Ống thuốc chọn ra đẩu tiên là tôV’, vậy n(B) =
= 15. T a có P ( B ) = - - ^ 0 ,2 6 8 .

56

c) C: ‘T ro n g hai ông chọn được có ít nhất một ống thuốc tôt
Áp dụng tính chất:
P(C)= 1 - P(C‘^) = 1 - - ị =

56

* 0,893.

5. Một nhóm 8 người ngổi trên một ghé dài, Tim xác su á t đế hai người
xác định trước luôn ngối cạnh nhau. Tim xác su ấ t để hai nguờí đó luõn ngói
c á c h nhau 2 người.
GỈAỈ

S ố c á c h i i g ò i k h á c liliau t u a 8 I ig ư ờ i t r è i i gViế d à i b h i i g s ố h o í í n

vị của 8 phần tứ, vậy n(Q) = 8 !
a)
Ta coi 2 người đó là A, B. Họ có 2 cách sáp thứ tự là AB,
BA. Khi 2 người đó coi là chiếm 1 “vị trí” thi số biến cò sơ cấp
16


thích hợp với sự kiện; “2 người đó luôn ngồi cạnh nhau’' băng so
hoáii vị cua 7 'VỊ trí”, kết hợp với 2 khả năng đáo chỗ giữa A và B.
Nếu đặt u: “Hai người đó luôn ngồi cạnh nhau” thì n(a) = 2.7!
Vậy P(u) =

8!

= 0,250.

b) Đặt ị^; “giừa A, B có 2 người khác”.
Đê tìm n(P) ta tiến hành các lựa chọn:
- Chọn 1 trong 5 vị tri đầu tiên cho A (coi A ngồi trước).

- Hoán đổi A, B, có 2! cách.
- Sắp 6 người còn lại vào 6 vị tri còn lại, có 6 ; cách.
Theo dịnh lí về sô nhóm ta có lUP) = 6 ! 2! 5.
Vậy P(p) =
■

2’

8!

^

^0,1786.

6.
Một tổ học sinh gổm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm
đ é u nhau. Tim xác s u ã t đ ể mỗi nhổm có 1 nữ.
GỈAỈ

Đặt A: ‘‘ở 3 nhóm học sinh mỗi nhóm có 1 nữ sinh”.
Đè tim n(£2) ta thực hiện:
“ Cỉiọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào 1 nhóm, vậy có
c ị khá năng thực hiện khác nhau.
- Chọn 3 trong 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai, vậy có
Cg khà n àng thực hiện khác nhau.
- Còn 3 em đưa vào nhóm thứ ba, có c ị ~ 1 khả năiig
thực hiện khác nhau.
Vậy; n(Q )=
Vì phán ngẫu uhiên nên các biến cố sơ câp trong không gian
lỉiến cò sơ cấp n à y có cùng kha- ỉiiỉiig MUÃÌ lúOĩir

trung tàm th ố n g

ị

riN THỤ VIÊN Ị

17

V

C iO /

M

ũ

ĩ ỉ ẽ


Đế tìm níA) ta thực hiện:
+ Phán 3 nữ sinh thành 3 nhóm nên có 3! cách khác nhau.
+ Phân 6 nain sinh thành 3 nhóm theo cách như trên, ta có
C^.C^ .l cách khác nhau.
Từ đó ta được n(A) = 3! Cg.C 4 . và:
P(A) =

C

3^3
9^6

. 0,3214 .

7* Dưới tác động c ủ a một chất phòng xạ c á c nhiểm s ắ c thể c ủ a một

tế bào bị gãy thành hai mảnh, trong đó chỉ có một m à n h chứa tâm động.
C á c mảnh náy sau dó lại gắn lại đỏi một một cá ch ngẫu nhièn và té bào s ẽ
số n g sót đưỢc nếu mỗi c ặ p m ảnh gắn lại chỉ ch ứ a một tám động Tim xác
su ấ t dể tế bào số n g sót được, biết rằng tè bào đó có n nhiễm s ắ c thể bị
gãy.
GỈAỈ

Đặt A: “Tế bào có n nhiễm sắc thể bị gãy sau đó sống sót
được”. Tìm níQ). Té bào có n nhiễm sắc thế bị gãy đòi nên có 2n
mánh (n mánh có tám động, n mành không chứa tâm động). Kết
hợp ngảu nhiên 2 n mánh th à n h n cạp theo cách:
- Chọn ngầu
cỉn

c

n h ién

2 trong 2u mảnh ghép thành một cặp có

năng.

- Chọn ngẫu nhiên 2 trong 2n-2 còn lại ghép thành 1 cặp, có
khả năng.

- 2 mánh cuối cùng tạo thành cặp cuối cùng.
Do vậy
m a) = c ị „ c l


=

(2!)"

18


Dê “t ế bào sống sót được” ta thực hiện:
“ P hán n m ảnh chứa tám động th à n h n nhóm theo n! khả
năng.
” Kết hợp mỗi mảnh có tâm động với 1 mảnh khòng chứa tám
dộng, theo định lí về sô cặp, ta có n(A) = (n!).
Vậy P(A)

(n!)-( 2 !)"
(2 n)!

8 '. Lai hai gióng hoa m à u hổng và m à u đò người ta được ba két quả:
Cây ở thé h ệ s a u có hoa m á u hóng, đỏ, h o ặc cá n h se n với cùng khả năng.
Chọn n g ẫ u nhièn 5 hạt hoa lai đem gieo. Tim xác su ấ t để:
a) có đ ú n g ba cây m à u đỏ
b) có 2 c â y m à u đò, 2 cây m à u cá n h se n và 1 cây màu hồng.
GIÁ!

Mỗi k ết quả của phép gieo 5 h ạ t hoa lai có thể cho các màu đỏ,
hồng, hoặc cánh sen, nghĩa là các màu có thể lập lại, không chú ý
đến thứ tự. Vậy n(Q) = c Ị (số tổ hợp lặp chập 5 của 3 màu).
a) Dặt A: ‘T ro n g 5 cáy hoa lai có đúng 3 cây cho hoa dỏ '
Vậy níA)

và P{A)

b) Đ ặt B: “Trong 5 cây hoa lai có 2 cáy cho hoa màu đò»2cáy
cho hoa màu cánh sen và 1 cày cho hoa màu hổng”.
Ivhi đó.

n(B) = C?C?CÌ = 1. Vây P ( B ) = -

21

9 *. T r o n g m ộ t h ộ p c ó 6 b i đ ỏ , 5 b i x a n h v ồ 4 b i tr ắ n g c ù n g k íc h th ư ớ c.

Rút n gẳu nhiên lán lượt từng viên không trả lại cho đ ế n khi được viên bi dò
thì dừng Hãy tìm x á c s u ẵ t đ ể
a) rút dưỢc 2 viên bi xanh và 1 viên bi trắng (A)

11)


b) không có vièn bi xanh náo được rút ra (B).
(ỈỈAỊ

a) Do đòi hỏi rút được 2 bi xanh. 1 bi tráng trước khi rút được
bi đỏ đế dừng nên tống cộng ta phái rút lần lượt không trá lại 4

trong 15 bì, do đó niíì) = A/;;.
Đè rút đúng theo yêu cầu cua A ta thực hiện:
- Rút 2 trong 5 bi xanh lần lượt khòng trả lại nêa có A ị khá
năng thực hiện.
- Rút 1 trong 4 bi trắng, có A \ khả nàng thực hiện.
- Sắp xếp 2 bi trắ n g trong 3 bi trắng và xanh có

c\

khá năng

thực hiện.
- Rút viên thứ tư là bi đó trong 6 bi đỏ, có AỊ, khá nấng thực
hiện. Vậy n(A) =

c ^ AỊ, và:
A 2 Ạ 1(^2 Ạ 1
A í,

Ạ.
91

b) Nêu không có viên bi xanh nào được rút ra có nghĩa là hoặc
rút viên đầu tiên đã được viên bi đỏ B,í, hoặc viên bi đò được rút ra
sau i viên trắng: B, ( i = 1, 2, 3, 4). Vậy:
P(B) = P(Bo) + P(B,) + PíB.) + P(Ba) + P(B,)
=

•^15

^15

-^15

-^15

. ^ 1^ ]
-^15

_ 16380
= -- - _ ” = 0,5454 .
30030
10*. Trong kho có n đòi giày cùng số nhưng khác m àu nhau. Chọn
ngẫu nhiên cùn g lúc 2k chiếc giày {2k < n). Tìm xác su ấ t đ ể có đúng 2
chiếc g h é p được thành 1 đòi giày?

20


GỈÁI

Do chọn 2k chiếc trong 2n chiếc giày nên có n(Q) = c ịn
Đặt A; “Trong 2k chiếc chọn được có đúng 1 đôi giày”.
Đế tim n(A) ta thực hiện
- Chọn 1 trong n đôi giày, có c 1, = n (khả năng).
- Chọn 2 k-2 đôi trong n-1 đôi, có
- Từ mỗi đôi

iấ y 1

chiếc, có

2^^ ^

cách chọn

khả năng.
p2k-2n,2k-2

Vậy n(A) = n.2^^ ^

và P(A) =

'

C ibA

-------

2n

11. Một thanh s ắ t độ dài / (đơn vị dài) đưỢc bẻ thành 3 khúc một cách
ngẫu nhiên. Tìm xác suất để 3 khúc đó tạo được một tam giác.
GỈÁỈ

Gọi X, y. / “ (x + y) là độ dài tương ứng của các khúc. Khi đó
các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ phải thỏa:
> 0

( 1) ị y > 0

</ - (x + y) > 0

Trong một tam giác thì: “Tổng hai
cạnh phãi lớn hơn cạnh thứ ba”, nghĩa
là (x,y) phải thỏa hệ:
u

x^yf(/-x-y)

(2) ^y < x - l - ( / - x - y )

o

>
X

/~x-y
21


X<
co (2')

X+ > >

(2 ’) thế hiện ớ miền có gạch chéo tré n hình 1.
Vậy xác suất phải tìm là

vì ;

P(“3 khúc tạo được một tam giác”)

diện tích O L 3L 4
diện tích O L 1L 2

12*. (Bài t o á n Buư ton). Trèn m ặt p h ẳ n g có 2 đường thẳ ng so n g song
cách nhau một khoảng 2a Gieo n g ẫ u nhiên 1 c â y kim có chiéu dài 2/
{/ < a). Tìm xác s u á t đ ể c â y kim cắ t 1 trong 2 đường thẳ ng đó?
G /Á Ỉ

Phép thử: gieo cáy kim lên m ặ t phăng có 2 đường th ẳn g soiig
song. A: “Kim cắt 1 trong 2 đường th ẳ n g song song đó”.
N

(0 < ọ < 71
0
Gọi X là khoảng cách từ
trung điểm M của cây kim đến
đường th ẳ n g (m) gần nhất
(H.2). ọ là góc tạo bởi cây kim
và đường th ẳ n g in. Cặp ((p,x)
hoàn toàn xác định vị trí của
cây kim với:
(1)

Mỗi vị trí của kim ià một
biến cô sơ c ấ p CLÌa p h é p t h ứ ,
vậy chúng được biếu diễn bởi

các cặp (íp.x) thóa ( 1 ), nghĩa là
nó năm trong h ì n h 'c h ừ n h ật
OIBC và ta có;
22

o


độ đo (D) = diện tích (OIBC) = rr.a (H.2).
Cây kim cắt 1 trong 2 đường th ẳ n g khi và chỉ khi
0s X < MN=
= /.sintp. Vậy cá c biến cố sơ cấp thích hợp với A là các điểm {c|),x)
thoa 0 < X < /.sintp. Chúng thuộc miền A c D, tạo bởi
đường X = 0,
X = /.siiicp (phần có gạch chéo trong H.3).
lĩ

/.sintpciọ =21.

Ta có mesíA) =
(I

\ĩr>/A ^mes(A)
Vậy P(A)
= --- 21
- = -- .
mes(D)
na
13V Hai tàu thủy c ặ p vào một b ế n c ả n g một c á c h đ ộ c lập nhau trong
vòng một ngày đém . Biết rằng thời gian đỗ lại c ả n g đ ể bốc dỡ hàng cùa

táu thứ nhất là 1 giờ, c ủ a tàu thứ hal là 2 giờ. Tìm xác s u ấ t đ ể một trong hai
táu phải chờ đ ể cậ p bến.

GỉAI
Gọi X (giờ) là t h ờ i

đ i ế m t à u t h ứ n h ấ t cập b ế n .

y (giờ) là thời

điểm tàu thứ hai cập bến.
0Miền D xác định bởi (1) ^
[0Nẽu tàu 1 cập bến trước thì
điều kiện để tàu 2 phải chờ là
y - X < 1 {!)'

Nếu tàu 2 cập bếii trước thì
diéu kiện để tàu 1 phải chờ là
X - y < 2 ( !! ) .

^

H ình 4

Vậy A xảy ra <=> - 1 < X - y < 2 (đó chíiih là hệ (!) và (!!)) thể
hiện trên miền có gạch chéo trong hình 4. Thực hiện việc tính
toán đơn giàn ta có mes(D) = 24"; mes(A) = 24
« A ).

lììcs(D)

~2

+

và

=0,121.

23


14 Cho A, B. c là c á c biến cổ ngầu nhién trong không gian xác suáí
(Q .-fP).
a) C h ứ n g minh rằng P{Ao'B C ) = P(A) + P(B)+ P(C)
- P(BC) + P(ABC)

P(AB) - P(AC)

b) Mò rộng công thúc trên b ằ n g quy nạp
GIAI

a) P ì A^j B kjC) = P í(A '.'B )^C ) = P(AuB) -í-PíC) ^ P(íA'jBìC)

= P(A) + PíB) - P(AB) + P(C) - PíAC^.BC)
= PíA) + PíB) + P(C) - PíABì ~ P(AC) - P(BC) +
+ P(ABC)
/

b) Tống quát p

n

A

!
V

^
k -i

ì

'Mi • i2

Rò ràng còng thức (*) đúng với n = 2.
Già sứ còng thức đó đúng với n, ía chứng minh nó đúng với
n + 1. T hật vậy, vì
đúng với hợp 2 bién cò nên
\

II

A

í

n

n

A,

P ị | j A , U A ,., | = p

I

U -I
/

lk=l

ì

nAn 1

\k--l

n

=p

Ak
IV

U=1

k-1

J

\

n

Theo giả thiết

đúng với n nên ta tính dược p

A^
\

''

n

và

K

k=

Ị

\

theo công thức (*)Kết quá được chứng rninh sau khi đả ước lược các thành phán
đối nhau.

24

^