Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số bài toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG

I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 môn toán, chương trình thường được
kết thúc vào khoảng giữa hoặc cuối tháng tư. Thời gian còn lại tới lúc các em bước
vào thi THPTQG còn khoảng 2 tháng. Đây là một khoảng thời gian rất quan trọng
để các em ôn lại các phần kiến thức đã học. Về cơ bản các em phải làm tốt hai vấn
đề:
Vấn đề thứ nhất: Cần lên kế hoạch về thời gian để ôn tập cho từng phần.
Vấn đề thứ hai: Tìm tài liệu để ôn tập và phương pháp ôn tập hiệu quả
Vấn đề thứ nhất các em có thể tự giải quyết được, vấn đề thứ hai tôi nghĩ
đây là một điều khó khăn đối với các em.
Để giúp các em giải quyết vấn đề này đó là lý do tôi chọn đề tài SKKN này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu này giúp các em có một tài liệu và phương pháp ôn tập
phần Hình học giải tích trong không gian hiệu quả vừa đảm bảo thời gian ôn tập
hạn chế vừa đảm bảo cơ bản đủ về nội dung kiến thức và được xắp xếp một cách
hệ thống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiện cứu của đề tài là chất lượng ôn tập của học sinh cuối cấp
chuẩn bị cho thi THPTQG, cụ thể là chất lượng ôn tập phần Hình học giải tích
trong không gian lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Với lý do, mục đích như trên, tôi xác định rõ đối tượng nghiên cứu và xây
dựng phương pháp nghiên cứu. Đó là xây dựng nội dung đề tài, áp dụng trong
giảng dạy thực tế hai năm, năm học 2015-2016 và năm 2016-2017. Thống kê kết
quả trước ôn tập và sau ôn tập qua các lần thi thử chất lượng ôn tập thi THPTQG
do trường tổ chức và Sở tổ chức. Từ đó rút ra kết luận, đánh giá hiệu quả đề tài từ
đó chỉnh xửa và hoàn thiện đề tài.

1

1.5. Những điểm mới của SKKN
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong học tập, ôn tập là một phần không thể thiếu. Dạy kiến thức mới luôn
đi kèm với ôn tập. Ôn tập giúp người học hồi nhớ kiến thức, hoàn thiện kỷ năng và
là một phần không thể thiếu trước mỗi kỳ thi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho thấy một số vấn
đề sau:
+ Học sinh khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp, tài liệu ôn tập.
+ Kết quả thi thử phần kiến thức này ở học sinh không đồng đều, số bài thi
đạt điểm cao ít, rất nhiều bài bị mất điểm ở phần cơ bản do quên hoặc hiểu không
đúng bản chất.
+ Thời gian để xử lý bài toán dài, phát hiện vấn đề còn chập, xử lý chưa trôi
chảy, kết quả không cao.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
* Giải pháp thứ nhất: Hướng dẫn học sinh ôn tập dựa vào sách giáo
khoa và sách bài tập
+ Ưu diểm: Hệ thống kiến thức cơ bản, đầy đủ.
+ Nhược điểm:
Nội dung kiến thức trang bị cho học sinh tiếp cận lần đầu, không phù hợp với
việc ôn tập nước rút.
Nội dung bài tập không thực sự sát với đề thi hiện tại
Lượng kiến thức chưa được hệ thống lại, học sinh không có được cách nhìn
tổng thể cho phần kiến thức này

2

+ Kết luận: Giải pháp này rất mất thời gian, hơn nữa hiệu quả là không cao.
* Giải pháp thứ hai: Hướng dẫn học sinh tự ôn tập dựa vào hệ thống bài tập
theo chuyên đề đã được học bồi dưỡng
+ Ưu diểm: Dễ thực hiện vì học sinh đã có sẵn tài liệu học
+ Nhược điểm: Kiến thức chưa phải là kiến thức tổng hợp, bài tập chủ yếu
giải bằng kiến thức của bài học trước đó nên không phù hợp khi học sinh đã học
xong chương trình.
+ Kết luận: Không đáp ứng được yêu cầu thời gian và trọng tâm kiến thức
Từ những thực tế trên tôi đã nghiên cứu và xây dựng một giải pháp của
SKKN là “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số dạng toán
hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG”
* Giải pháp của đề tài: “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một
số dạng toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi
THPTQG”

A. Tóm tắt lý thuyết
1/ Tọa độ vectơ, tọa độ điểm
r
r
r
r
r
a

(
a
;a
;a
)

�
a

a
i

a
j

a
k
1 2 3
1
2
3
+
uuuu
r
r
r
r
M
x
;
y
;
z
�
OM


x
i

y
j

z
k


M
M M
M
M
M
+
uuu
r
AB
 ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A )
+
2/ Các phép toán vectơ

a1  b1
�
r r
�
ab� �
a2  b2
�

a3  b3
�
+

3


r r
a
+ �b  ( a1 �b1 ;a2 �b2 ;a3 �b3 )
r
k.a
 ( ka1 ;ka2 ;ka3 )
+
+

rr r r
r r
a.b  a . b cos(a ;b )  a1b1  a2b2  a3b3

r r �a 2a 3 a 3a1 a1a 2 �
�
�
a,b
� � �b b ; b b ; b b �
�2 3 3 1 1 2 �
+
r r
r
r

�
a
;b�
�
�
a
b
* Lưu ý: Vectơ tích có hướng
vuông góc vơi hai vectơ và

�a1  kb1
rr r
r
r
�
��
a,b �
�
� 0 � k �R : a  kb � �a2  kb2
r
r
�a  kb
3
�3
a
b
+ và cùng phương
rr r
r r r
�

�
a,b
.c  0
+ Ba vectơ a, b, c đồng phẳng  � �
(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)

uuu
r uuur uuur
AB,
AC , AD không đồng phẳng.
+ A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện 
r
r
r
r
r
a
b
c
a
b
+ Cho hai vectơ không cùng
và vectơ đồng phẳng với
và
r phương
r r
 k,l R sao cho c  k a  lb
uuur
uuur
MA  k MB

+ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k
thì ta có :
x  kxB
y  kyB
z  kz B
xM  A
; yM  A
; zM  A
1 k
1 k
1 k
(Với k ≠ -1)





+ Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :

xM 

xA  xB
y  yB
z  zB
; yM  A
;z M  A
2
2
2

4


xA  xB  xC
�
�x G 
3
�
y  y B  yC
�
� �yG  A
3
�
z  z B  zC
�
zG  A
�
3
�
+ G là trọng tâm của tam giác ABC
4/ Góc
a. Góc giữa hai vectơ
rr
rr
a.b
A.A'  B .B'  C .C'
cos(a,b )  r r 
a .b
A2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2

b. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x +
B’y + C’z + D’= 0.
uur uur
n P .nQ
uur uur
A.A'  B.B'  C.C'
cos  cos(n P ,nQ )  uur uur 
nP . nQ
A2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2
Ta có :
0
(0 ≤φ≤900)
uur uur
  900 � nP  nQ

 hai mặt phẳng vuông góc nhau.
c. Góc giữa hai đường thẳng
r
a  ( a1 ;a2 ;a3 )
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP
r
a  ( a'1 ;a'2 ;a'3 )
(’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
r uu
r
a .a'
r uu
r
a1 .a'1  a2 .a'2  a3 .a'3

cos  cos(a ,a' )  r uu
r 
a . a'
a12  a22  a32 . a'12  a'22  a'32
d. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
r
r
a  ( a1 ;a2 ;a3 )
n  ( A;B;C )
() đi qua M0 có VTCP
, mp(α) có VTPT
.
Gọi φ là góc hợp bởi () và mp(α)

5


rr
sin   cos(a ,n ) 

Aa1 +Ba 2 +Ca 3
A 2  B 2  C 2 . a12  a22  a32

5. Khoảng cách
a. Khoảng cách giữa hai điểm

AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )2  ( z B  z A )2
b. Khoảng cách từ điểm tới mặt
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi
công thức :

d( M 0 , ) 

Ax 0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

c. Khoảng cách từ điểm tới đường

r
a
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M0 có VTCP .
uuuuuu
rr
[M 0 M ,a ]
d( M , ) 
r
a

d.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
r
uu
r
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a , (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a'
r uu
r uuuuur
[ a,a' ].MM '
d(  ,') 
r uu
r
[a,a' ]

* Lưu ý: Độ dài vectơ

r
a  a12  a22  a32

6. Diện tích, thể tích
a. Diện tích tam giác
1 uuur uuur
S ABC  [ AB,AC ]
2
b. Diện tích hình bình hành

6


S ABC

uuu
r uuur
 [ AB,AC ]

c. Thể tích hình chóp tam giác
r uuur uuur
1 uuu
V  [ AB,AC ]. AD
6
.
d. Thể tích hình hộp
uuu

r uuur uuur
V  [ AB,AC ]. AD
.
B. Một số dạng bài tập trọng tâm
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ, nhận dạng hình học
Trong phần này học sinh sẽ vận dụng công thức để tìm tọa độ điểm, véc tơ, nhận
dạng hình học. Qua phần này học sinh ôn tập được các phép toán cũng như công
thức trong hình học tọa độ không gian
“VD1. Cho tam giác ABC có: A(1; 2; -1); B(3; -1; 2); C( 4; 0; 1). Tìm toạ độ chân
đường cao AH.” [1]
Hướng dẫn
Cách 1:
- Viết phương trình cạnh BC là (d)
- Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là (P)
- Giải hệ hai phương trình (d) và (P) được tọa độ H
Cách 2:
uuur uuur
- Gọi H(x;y;z); Giải hệ điều kiện B,H,C thẳng hàng và AH  BC ta được tọa

độ H
Cách 3:
- Viết phương trình cạnh BC là (d)

7


uuur uuur
- H thuộc (d), H có một ẩn, Giải AH  BC được tọa độ H.

“VD2. Cho A( 1; 0 ;2), B( 2; 1 ;3) , C( -1 ;2 ; 0) , D( 1; 1; 2) , E( 0; -1 ; 6)

a/ CMR: A,B,C,D đồng phẳng.
b/ CMR: A,B,C,E là bốn đỉnh của một hình tứ diện.” [1]
Hướng dẫn
a/ Cách 1:
uuu
r uuur uuur
�
AB
, AC �
. AD  0
�
- Tính �
suy ra A,B,C,D đồng phẳng
Cách 2:

uuu
r uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
AB
, AC , AD và chứng minh tồn tại k,l để AB  k AC  l AD suy ra
- Tính
A,B,C,D đồng phẳng
Cách 3:
- Viết phương trình (ABC), chứng minh D thuộc (ABC)
b/ Hoàn tự như câu a, yêu cầu học sinh có thể giải bằng 3 cách trên
“VD3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

b/ Tính thể tích hình hộp.
c/ Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
d/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C.”[1]
Hướng dẫn
a/ Cách 1:

8


Để tìm tọa độ điểm nào ta đặt tọa độ điểm đó rồi
giải điều kiện suy ra tọa độ
VD: Tìm C
uuur uuur
Đặt C(x;y;z), Giải AD  BC ra tọa độ C

Cách 2:
Dùng công thức tọa độ trung điểm ta suy ra
VD: Tìm C: biết B,D suy ra I, biết I,A suy ra C
uuu
r uuur uuur
�
V�
AB, AD �
. AA '
�
b/ Tính
c/ Tìm tọa độ trọng tâm của VA ' BD, VB ' CD ' là G1, G2 chứng minh A,C’, G1, G2
thẳng hàng
d/ Giải như VD1
“VD4. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt

là hình
chiếu của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của
A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
a/ Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
b/ Chứng minh rằng N1N2  AN3 .
c/ Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để
PQ//M1N1.”[1]
Hướng dẫn
a/ Dùng pp vẽ hình để suy nhanh tọa độ hình
chiếu của một điểm lên trục tọa độ và lên
phẳng tọa độ

mặt

* Lưu ý:

9


- Hình chiếu của A lên trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ là:
 x A ;0;0  ;(0; y A ;0);(0;0;z A )
- Hình chiếu của A lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx lần lượt có tạo độ
là: ( x A ; y A ;0);(0; y A ; z A );( x A ;0;z A )
uuuuur uuuur
b/ Tính N1N 2 . AN3  0 suy ra (đpcm)
uuur
c/ Ta tìm ngay tọa độ P,Q bằng công thức chia tỷ số. Dùng phép toán PQ cùng
uuuuur
phương M1N1 suy ra k.
Bài tập tự luyện

“Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
�
F=�
AB,AC
.(
OA+
3CB
)
�
�
a/ Tính
.
b/ Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
d/ Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình
chóp.”[1]
“Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a/ Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c/ Tính các góc của tam giác ABC.
d/ Tính diện tích tam giác BCD.
e/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh
A.”[1]

“Bài 3: Cho

r
r
r
ur
a  ( 0;1; 2 ); b  ( 1; 2; 3 ); c  ( 1; 3; 0 ); d  ( 2; 5; 8 )

r r r
a,
a/ Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ b, c không đồng phẳng.

10


r r ur
ur
a,
b,
d
b/ Chứngr tỏr rằng bộ ba vectơ
đồng phẳng, hãy phân tích vectơ d
a, b
theo hai vectơ
.
r
r r r
u   2; 4;11
a, b, c
c/ Phân tích vectơ
theo ba vectơ
.”[1]

“Bài 4: Cho A(2 ; 3 ; 1), B( 4; 1; -2) , C( 6; 3 ; 7), D( -5; -4; 8)
a/ CMR : ABCD là một tứ diện.
b/ Tính diện tích tam giác ABC ; Thể tích tứ diện D.ABC Từ đó suy ra chiều
cao DH của tứ diện.”[1]
“Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Có đỉnh A trùng gốc toạ độ O,
B(a; 0; 0), D( 0; a; 0), A’(0; 0 ;b) biết a, b > 0. M là trung điểm của CC’.
a/ Tính thể tích tứ diện B.DA’M theo a,b.
b/ Xác định tỷ số a/ b để (A’BD) vuông góc với (MBD).”[2]

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Trong không gian Oxyz, phương trình dạng Ax
r + By + Cz + D = 0 với
n  ( A;B;C )
A2+B2+C2≠0 là phương trình của mặt phẳng, trong đó
là một vectơ
pháp tuyến của nó.
r
n  ( A ; B; C )
2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ
làm
vectơ pháp tuyến có dạng :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3. Mặt phẳng
r
r (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và song song hoặc chứa giá của 2 vectơ
a  ( a1 ; a 2 ; a 3 )
b  (b1;b 2 ;b3 )
và
thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

r
r r �a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 �
�
n�
a
�,b � �b b ; b b ; b b �
�2 3 3 1 1 2 �
.
II. Khi viết phương trình mặt phẳng:
1. Tìm được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến thì phương trình là:

11


A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
r
n( A;B;C )
2. Tìm được vectơ pháp tuyến
, chưa biết điểm đi qua thì phương
trình là: Ax+By+Cz+m =0 trong trường hợp này từ đk đề bài ta lập một phương
trình là giải được m.
3. Tìm được tọa độ điểm mà chưa tìm được vectơ pháp tuyến, thường sẽ tìm
vectơ pháp tuyến bằng hai cách:
Cách 1: Lấy tích có hướng của 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng
Cách 2: Đặt ẩn cho vectơ pháp tuyến
phương trình là tìm ra được A,B,C

r
n( A;B;C )

, ba ẩn nhưng chỉ cần lập 2

4. Nếu chưa biết cả hai yếu tố điểm và vectơ pháp tuyến thì ta gọi phương
trình mặt phẳng là: Ax+By+Cz+D =0 có 4 ẩn nhưng chỉ cần lập 3 phương trình là
đủ tìm được A,B,C,D
“VD1. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và
D( -1;1;2).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với
mp(ABC).”[1]
Hướng dẫn
r uuu
r uuur
�
n�
AB,AC
�
�, Điểm đi qua thì chọn A,B
a/ Ta tìm vectơ pháp tuyến bằng cách:
hoặc C đều được.
uuur
b/ Điểm đi qua là trung điểm của AC, pháp tuyến chính là AC
r uuu
r uuur
�
n�
AB,CD

�
�
c/ Điểm là A hoặc B đều được, pháp tuyến là
d/ Điểm là C hoặc D, pháp tuyến là

r uuur uuuuuuu
r
�
n�
CD,n
( ABC ) �
�

12


“VD2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm M( 2; 5; 3) , N(0; 3; 1) và
vuông góc với mặt phẳng (P): 2x -3y –z +6 =0.”[1]
Hướng dẫn
r
uuuu
r uuur
�
n�
MN
� ,n(P) �
Điểm là M hoặc N, pháp tuyến là
“VD3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của 2 mp: (M): x – 2y +
z – 1 = 0, (N): - x + y + 2z + 2 = 0. Và (Q) vuông góc với giá của véctơ
uuu

r 4
AB( 1; ;1 )
3
[1]
Hướng dẫn

uuu
r
+ Điểm đi qua là điểm bất kỳ thuộc giao tuyến của (M) và (N), pháp tuyến là AB
+ Lập song phương trình (Q) cần chọn một điểm thuộc giao tuyến của (M) và (N)
thử vào (Q) xem thỏa mãn hay không để KL (Q) tồn tại hay không
“VD4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm
M(2;1;-1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp
với mặt phẳng (P) một góc 450.”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là M đã biết
r
2
2
2
+ Vectơ pháp tuyến chưa biết, ta đặt là n  ( A;B;C ),A  B  C �0

(Chỉ cần lập đủ 2 phương trình là ra A,B,C)
r r
n
+ Phương trình thứ nhất có được từ:  i và phương trình thứ hai có được từ
r uur
cos( n,nP )  cos 450
( phần này học sinh cần biết phương pháp chọn để tìm nhanh A,B,C)
“VD5. Trong không gian Oxyz cho A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Viết phương

trình mặt phẳng (P) đi qua A,B đồng thời cách C một khoảng bằng

3 .”[1]

13


Hướng dẫn
+ Điểm đi qua đã biết là A hoặc B
r
n  ( A;B;C ),A2  B 2  C 2 �0
+ Pháp tuyến chưa biết ta đặt là
r uuu
r
n

AB
+ Cần lập 2 phương trình: Phương trình 1 có được từ đk:
, phương trình thứ
hai có từ: d( C ,( P ))  3
* Chú ý: Những bài toán lập phương trình mặt phẳng chưa biết vectơ pháp tuyến
mà cho giữ kiện “ Góc” hoặc “ Khoảng cách” thì thường phải đặt ẩn cho vectơ
pháp tuyến, ba ẩn và cần lập được hai phương trình kết hợp phương pháp chọn để
tìm nhanh ba ẩn của vectơ pháp tuyến.
Bài tập tự luyện
“Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0; 1; 2), B( -2; 3; 1),C(
-1; 0; 2)”[1]
Bài 2: Tìm phương trình mp(Q) đi qua M( 1; 0 ;3) và song song với mp: 5x - 7y
+3z -8 = 0.
Bài 3: lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua M(1; -2; 5) và vuông góc với

đường thẳng AB với A( 0; 5; 3) , B( 1; 2; 4).
Bài 4: Cho A( 1; 2; 1), B( 0; 3; -2) , C( 3; 0; 4) , D( 4; 1; 5) , E( 5; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng qua E và song song với AB , CD.
Bài 5: Cho 4 điểm: A(0; -1; -1) , B( 2; 1; 3), C( -1; -2; 2) , D( -3; 0; -2)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và song song với
AD, BC.
b/ Viết phương trình (Q) đi qua AB và song song với CD.
Bài 6: Cho 2 mặt phẳng (P) : x-2y+3z+1=0

; (Q): 5x+y-z-2=0

a/ CMR: (P) vuông góc với (Q).

14


b/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc toạ độ O và giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P) , (Q).
“Bài 7: Cho hình lập phương : ABCDA’B’C’D’ có: A(0; 0; 0) , B( a; 0; 0) , D( 0;
a; 0), A’(0; 0; a).

uur 1 uuur
AI  AC
4
a/ Tìm điểm I thoả mãn:
b/ Viết phương trình mặt phẳng ( IB’D’).
c/ mp(IB’D’) cắt Ox,Oy tại E,F. CMR: E, I, F thẳng hàng, EF // BD.”[2]
Bài 8: viết phương trình mp (P) đi qua giao tuyến của 2 mp: x+2y+3z-5=0 ; 3x2y-z+1=0 và chắn trên Ox, Oy những đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3); B(0;-1;2),C(1;1;1). Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A, gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ (P) đến B bằng

khoảng cách từ (P) đến C.
Bài 10: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến
của 2 mặt phẳng (  ) : 2 x  y  1  0 và (  ) : 2 x  z  0 và tạo với

( Q ) : x  2 y  2 z  1  0 một góc  mà

cos  

2 2
9 .

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng
I. Phương trình đường thẳng:

1. Phương trình tham số của đường thẳng :

�x  x 0  a1t
�
�y  y 0  a 2 t (t �R)
�
z  z0  a 3t
�
(1)
r
a  (a1;a 2 ;a 3 )

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và
chỉ phương của đường thẳng.
2. Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :

x  x 0 y  y0 z  z 0


a1
a2
a3

là vectơ

(2)

15


Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và
chỉ phương của đường thẳng.

r
a  (a1;a 2 ;a 3 )

là vectơ

II. Khi viết phương trình đường thẳng
1. Tìm được điểm đi qua và vectơ chỉ phương thì phương trình là (1), (2).
2. Khi tìm được điểm mà chưa biết vectơ chỉ phương ta thường có 2 cách:
uur
rr
uur
rr
�

�
u

a,b
+ Cách 1: Tìm 2 vectơ a,b cùng vuông góc với ud khi đó d � �
uur
u
+ Cách 2: Đặt d ( x; y;z ) , có 3 ẩn nhưng chỉ cần lập 2 phương trình là tìm ra

3. Ta cũng có thể tìm 2 điểm đi qua, thường một điểm sẵn có và một điểm
phải đặt ẩn rồi giải ra.( gọi là phương pháp 2 điểm)
4. Ta tìm được 2 mặt phẳng chứa đường thẳng đó, viết phương trình 2 mặt
phẳng đó và suy ra phương trình đường thẳng.( gọi là phương pháp 2 mặt)
“VD1. Trong không gian Oxyz, Cho 2 mặt phẳng (P):x-2y+3z-1=0 và (Q): x+yz+1=0 và điểm A(0; -3; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song
với cả (P) và (Q).”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là A đã biết
+ Tìm vectơ chỉ phương: Là

uur uur uur
ud  �
nP ,nQ �
�
�

“VD2. Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) . CMR A thuộc
(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là A
uur

n
+ Vectơ chỉ phương là: P

16


x y z 1
 
1 . Lập phương
“VD3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): 2 4
trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1), d vuông góc và cắt đường thẳng a.”[1]
Hướng dẫn
Cách 1: Ta dùng phương pháp 2 điểm:
+ Gọi B là giao điểm của d và a, B thuộc a có một ẩn
uuu
r uu
r
AB

u
a ra tọa độ B, khi đó d là đường AB
+ Giải đk
Cách 2: Ta dùng phương pháp 2 mặt
+ Lập phương trình (P) chứa a và A
+ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với a
+ d là giao tuyến của (Q) và (P) suy ra phương trình d
“VD4.Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng
x 1 y z  2
 
1

3
(a): 2
Viết pt đường thẳng d đi qua giao điểm A của (P) và (a) đồng thời vuông góc với
(a) và nằm trong mp(P).”[1]
Hướng dẫn
Cách 1:
+ Tìm điểm: Là giao của a và (P)
r uur uu
r
�
u�
n
,u
�P a �
+ Tìm vectơ chỉ phương: Là
Cách 2: Phương pháp 2 mặt
+ Mặt thứ nhất chính là: (P)
uu
r
u
+ Mặt thứ hai là: (Q) đi qua giao điểm của a và (P), có vectơ pháp tuyến là a

17


+ Khi đó d là giao tuyến của (P) và (Q)
“VD5. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;-1;1) và đường thẳng

V:

x y2 z


1
2
2 và (P): x-y+z-5=0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,

0
nằm trong (P) và hợp với ( V) một góc 45 .”[1]

Hướng dẫn
+ Tìm điểm là: A
r
u(a;b;c)
+ Tìm vectơ chỉ phương: Ta đặt
ba ẩn nhưng cần tìm 2 phương trình,
r uur
phương trình thứ nhất có được từ u  nP ; phương trình thứ 2 có được từ
cos( V,d)  cos 450

Chỉ cần 2 phương trình kết hợp pp chọn ta được a,b,c.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) . CMR A thuộc
(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; -5)
và song song với đường thẳng (a) là giao tuyến của 2 mp(P): 3x-y+2z-7=0 và (Q):
x+3y-2z+3=0.

x y z 1
 

1 . Lập phương
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): 2 4
trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1) và d vuông góc và cắt đường thẳng (a).
 x 1  3t

 y 2  t
 z 3  t


Bài 4: Trong không gian Oxyz, Cho 2 đường thẳng (a):
và (b) là giao
tuyến của 2 mp sau: (P): x+1=0 ; (Q): x+y-z+2=0 và một điểm A(0; 1; 1).
Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với (a), đi qua A và cắt (b).

18


Bài 5: Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng
(a):

x 1 y z2
 
2
1
3

Viết pt đường thẳng d đi qua giao điểm A của (P) và (a) đồng thời vuông góc với
(a) và nằm trong mp(P).

Bài 6: Trong không gian Oxyz, Cho 3 đường thẳng:

x 1 y2 z  2


1
4
3

d1:

 x 3t

 y 1  t
 z 5  t


; d2:

và d3 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x-y+4z-3=0 ; 2x-

y-z+1=0.
Viết pt đường thẳng d song song với d1 và cắt cả d2 ; d3 .
Bài 7: Trong không gian Oxyz, Cho A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng d1:
x 2 y2 z 3


2
1
1

; d2:

x  1 y  1 z 1


1
2
1

a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d1
b/ Viết pt đường thẳng d biết d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Bài 7: Trong không gian Oxyz, viết pt đường thẳng d đi qua A(1; -1; 1) và cắt cả 2
đường thẳng sau:

d1:

 x 1  2t

 y t
 z 3  t


và d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x+y+z-1=0 ; y+2z-3=0.

Bài 7: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P):
y+2z=0 và cắt cả 2 đường thẳng:

d1:

 x 1  t


 y t
 z 4t


;

d2:

 x 2  t

 y 4  2t
 z 1


19


Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 2) và 2 đường thẳng: d1:

; d2:

x y  1 z 1


2
1
1

 x 1  t


 y  1  2t
 z 2  t


a/ Viết pt mp(P) qua A đồng thì song song với cả d1 ; d2 .
b/ Tìm 2 điểm M,N lần lượt thuộc d1 ; d2 sao cho A,M,N thẳng hàng.
Bài 9: Trong không gian Oxyz, Cho d1 là giao tuyến của 2 mp có pt: x-8z+23=0 ;
y-4z+10=0; d2 là giao tuyến của 2 mp có pt: x-2z-3=0 ; y+2z+2=0 . Viết pt
đường thẳng d song song với Oz và cắt cả d1, d2.

x 1 y  3 z  2


3
 2
1

Bài 9: Trong không gian Oxyz, Cho d1:
pt đường thẳng d qua M(-4; -5; 3) và cắt cả d1 ; d2 .

; d2:

 x 2  2t

 y  1  3t
 z 1  5t


. Lập

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
+ Kết quả kiểm tra chất lượng ôn thi của học sinh trước khi áp dụng đề
tài SKKN
Lớp

Số
HS
12A1 92
12A4

Điểm dưới
TB (<5)
SL
%
18
20%

Điểm TB
(5,6)
SL
%
25
27%

Điểm khá
(7,8)
SL
%
30

33%

Điểm giỏi
(9,10)
SL
%
19
20%

+ Kết quả kiểm tra chất lượng ôn thi của học sinh sau khi áp dụng đề tài
SKKN
Lớp

Số
HS
12A1 92

Điểm dưới
TB (<5)
SL
%

Điểm TB
(5,6)
SL
%

Điểm khá
(7,8)
SL

%

Điểm giỏi
(9,10)
SL
%

20


12A4

8

10

21

22

36

39

27

29

Từ những kết quả trên cho thấy sau khi SKKN được áp dụng, chất lượng học
sinh được nâng cao rõ rệt. Từ đó cho thấy hiệu quả của đề tài SKKN là tốt, có thể

áp dụng để nâng cao chất lượng giảng dạy của Giáo viên cũng như chất lượng ôn
tập của học sinh.
III. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh thì vai trò của người thầy giữ vị
trí rất quan trọng. Đặc biệt là công tác nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm, viết SKKN
nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn dạy và học nảy sinh.
SKKN này có khả năng ứng dụng cho công tác ôn thi của thầy cô, là tài liệu
tự học cho học sinh cuối lớp 12
SKKN này mới chỉ được viết cho một phần kiến thức môn toán lớp 12 có thể
mở rộng viết cho các phần kiến thức còn lại.
3.2. Kiến nghị
Đây là một SKKN đã mang lại hiệu quả thiết thực, bản thân tác giả xin kiến
nghị với nhà trường giới thiệu tới rộng rãi tới học sinh khối 12 để các em sử dụng
nâng cao kết quả môn học.
Nhà trường cần có kế hoạch khuyến khích giáo viên thực hiện SKKN này ở
các bộ môn để nâng cao chất lượng chung của trường.
Cuối cùng xin cảm ơn bạn đọc và xin trân thành lắng nghe các ý kiến đóng
góp của bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm
2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

21

22