SKKN: Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

MỤC LỤC
 MỤC LỤC                                                                                                                                   
 
..................................................................................................................................
   
 1
 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU                                                                                                         
 
........................................................................................................
   
 1
 I.    Đặt vấn đề                                                                                                                              
 
.............................................................................................................................
   
 1
 Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ                                                                                    
 
...................................................................................
   
 2
I. Cơ sở lí luận của vấn đề..........................................................................2
II. Thực trạng vấn đề: ................................................................................3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: ................................4
V. Hiệu quả SKKN: ..................................................................................18
 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị                                                                                        
 
.......................................................................................
    
 19
I. Kết luận: ..............................................................................................19

II. Kiến nghị: ..........................................................................................20

 1


Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
 
Trong trường THCS môn toán được xem là môn công cụ có tác dụng rèn 
luyện và phát triển tư  duy, đặt nền móng và có sự  hỗ  trợ  rất nhiều cho các 
môn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái  
độ  mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành  ở  bậc tiểu học, mặt khác nó góp 
phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ  cần thiết để  tiếp tục lên 
THPT, TH chuyên, học nghề  hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi 
hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Vì vậy trong việc dạy toán đòi hỏi 
người giáo viên phải chọn lọc hệ  thống kiến thức đồng thời  sử  dụng đúng 
phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư  duy của học sinh.  
Cùng với việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất  
đạo đức, các thao tác tư duy để giải toán. 
Tôi nhận thấy trong chương trình toán 9  ở  chương 4 phần đại số  thì 
khiến thức về hệ thức Vi­ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong 
việc giải toán. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, 
kiểm tra học kỳ, các đề  thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài toán về 
phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi ­ ét  trong sách giáo khoa có nội  
dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong quá trình 
dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 ­ 2017, 2017 ­ 2018 tôi 
nhận thấy học sinh  vận dụng hệ thức Vi­ét vào giải toán còn rập khuôn chưa 
được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi­ét vào được vào nhiều loại toán.
        Đứng trước thực trạng này, tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất  
lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí 

Vi­ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả 
năng tư  duy phát triển các năng lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú  
học tập của học sinh. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề  tài: “Một số   ứng 
dụng của định lí Vi­ét trong chương trình toán 9” 
II. Mục đích nghiên cứu: 
Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi­ét sẽ giúp học sinh 
vận dụng thành thạo nhưng 
̃ ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong giải phương  
trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham 
khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao.
Trang bị  cho học sinh một số  kiến thức về  ứng dụng của định lí Vi­ét  
nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ 
động sáng tạo và sử  dụng các kiến thức đã học để  là công cụ  giải quyết  
những bài tập có liên quan.
 1


Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên 
cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
+ Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
+ Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
           + Rèn luyện kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp 
trong từng trường hợp cụ thể.
+ Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
+  Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thông qua các bài  
kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
+  Đặt ra các tình huống có vấn đề  nhằm giúp các em biết cách tìm tòi 
kiến thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. 
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ  thống các phương pháp cơ  bản và 
nhận dạng, hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để 

giải bài tập.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị 
quyết số 29­NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông  
theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao  ở  các lớp  
học dưới và phân hóa dần  ở  các lớp học trên; giảm số  môn học bắt buộc;  
tăng môn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị 
quyết thì  Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của  
Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình 
thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực  
chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để  hoàn 
chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành  
nghề  và có ý thức hướng nghiệp để  tiếp tục học lên THPT học nghề  hoặc  
tham gia vào cuộc sống lao động.
Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ thức Vi­ét : 
Hệ thức Vi­ét: 
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0)  thì: 
x1 + x2 = −
x1.x2 =

b
a

c
a

Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)
+ Nhẩm nghiệm:  Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) 
 2

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = 
 

c
a

Nếu a ­ b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = ­1, x2 = ­
+ Nếu có hai số u và v thoã mãn: 

c
a

S =u+v
   thì u và v là hai nghiệm của 
P = u.v

phương trình:   x2 – Sx + P = 0.  Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P   0.
Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét  nằm  ở  chương 
IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: 
+ Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi­ét và ứng dụng hệ  thức  
Vi­ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và  
tích của chúng.
+ Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết 
vừa học.
II. Thực trạng vấn đề: 
Theo chương trình học như  trên, thì học sinh được học Định lý Vi­ét 
nhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi­
ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt. 

Qua việc dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp tôi nhận thấy các em  
học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử 
dụng hệ thức Vi­ét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc 
hai có chứa tham số. 
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi­ét rất đa dạng có mặt trong nhiều  
kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi,  
thi vào một số trường THPT...  
Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…
để  nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả  năng học môn Toán giữa các em 
trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh  
còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai 
nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số  bài toán dạng: Tìm 
giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện  
cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, ...  
thì với học sinh đại trà, đa số  các em thường tỏ  ra lúng túng, không biết cách 
giải.
Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số  học sinh không 
làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà 
dẫn thân vào các tệ  nạn xã hội như  chơi game, bi da, đánh bài ... Một số  gia  
đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến 
việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt.
 3


Kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc  ứng dụng hệ  thức Vi­ét trong  
năm học 2016 ­ 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên 
đề:
Lớp

Sĩ số

Điể
học sinh m 
giỏi

TL  Điểm  TL 
%
khá
%

Điểm  TL 
TB
%

Điểm 
dưới 
TB

TL 
%

9A5

40

02

5

07

17.5 11

27.5 19

47.5

9A6

35

02

5.7

05

14.3 13

37.1 15

42.9

9A7

36

04

11.

1

05

13.9 07

19.4 20

55.6

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi­ét  
trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết 
và tiết luyện tập về hệ thức Vi­ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời  
rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. 
Rèn luyện các kỹ  năng nhận dạng, phân dạng toán có sử  dụng hệ  thức 
Vi­ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải 
thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. 
Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử 
dụng hệ thức Vi­ét từ  đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về 
chuyên đề Hệ thức Vi­ét và ứng dụng của nó.
Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi 
còn đưa nội dung chuyên đề  cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo.  
Kết quả  nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp 
dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi­ét vào  
giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. 
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 
Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
Rèn kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp trong từng 
trường hợp cụ thể.

Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thông qua các bài 
kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ  thức trong giải toán về 
phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, g iúp học sinh có tư 
duy linh hoạt và sáng tạo.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) (*)
Ứng dụng 1:   Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 4


      Trường hợp 1:  Phương trình bậc hai có các hệ  số  có quan hệ  đặc  
biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu a + b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = 1  và  x2 =

c
a

b) Nếu a  −  b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = −1 và  x2 =

−c
a

Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2):  
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 
a)   35x2 ­ 37x + 2 = 0    ;       c)   x2 ­ 49 x ­ 50 = 0  
 
Giải:
     a) Phương trình: 35x2 ­ 37x + 2 = 0.

Ta có a + b + c = 35 + (­ 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:
c
a

x1 = 1,  x2 =   = 

2
35

    c) Phương trình: x2 ­ 49 x ­ 50 = 0
Ta có  a ­ b + c = 1 ­ 49 ­ 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: 
c
a

x1= ­1; x2 =  −  = 50
    Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các  
hệ số a ­ b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các  
hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? 
Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2):  
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
b)

(

)

3x 2 − 1 − 3 x − 1 = 0 ;

2
d)  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)

Giải:
 b) Phương trình:  3x 2 − ( 1 − 3 ) x − 1 = 0

(

)

Ta có  a − b + c = 3 + 1 − 3 − 1 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: 
c
a

x1= ­1; x2 =  −  = 

1
3
=
3
3

2
d) Phương trình:  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)
 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m 0).
Ta có   a + b + c = m − 1 − ( 2m + 3) + m + 4 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: 

c
a

x1= 1;  x2 = =

m+4
m −1

Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta  
có thể nhẩm nghiệm như sau:
Phương pháp: 
 5


b
a

­

Bước 1: Tính  x1 + x2 = −  và  x1.x2 =

­

Bước 2: Nếu  −

b
a

Z  và 

c
a

c
a

Z thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt.

Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) 
Nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a) x2 ­ 7x + 12 = 0
;
b) x2 + 7x + 12 = 0
Giải:
a)  Ta có:  3 + 4 =

−b
c
= 7  và  3.4 = = 12 .
a
a

Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. 
 b) Tương tự như câu a) ta có ­3 + (­4) = ­7 và (­3)(­4) = 12. 
 Ta nhẩm được hai nghiệm là  x1 = −3; x2 = −4
Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1.  7 x 2 + 500 x − 507 = 0
2.  1,5 x 2 − 1, 6 x + 0,1 = 0

(

)

(

)

3.  2 − 3 x 2 + 2 3x − 2 + 3 = 0
Ứng dụng 2: Tìm giá trị  của tham số  khi biết một nghiệm của 
phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.
Phương pháp: 
      + Cách 1: Thay giá trị  nghiệm đã biết vào phương trình để  tìm tham số,  
sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét để tìm nghiệm còn lại.
     + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi­ét  
để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét còn lại để tìm giá trị  
của tham số.
Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
Dùng hệ thức Vi – ét để  tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị 
của m trong mỗi trường hợp sau:  
a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7
b) Phương trình x2 ­ 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5
Giải:  a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1)
Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được  m = −2  .
Theo hệ thức Vi­ét, ta có :  x1.x2 = −35 .  Mà x1= 7 nên  x2 = −5  
Cách   2:  Vì   phương  trình  có   nghiệm  nên   theo   hệ   thức   Vi­ét,   ta  có   : 
x1.x2 = − 35
 Mà x1 = 7 nên  x2 = −5 .
 
Mặt khác   x1 +  x2 = − m m = −2
b) Đáp số :   x2 = 0,5 , m = 6, 25

 6


Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên 

với ví dụ  2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy  
vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp.
Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
c) Phương trình  4 x 2 + 3 x − m 2 + 3m = 0 , biết nghiệm  x1 = −2
2
d)  Phương trình  3 x − 2 ( m − 3) x + 5 = 0 , biết nghiệm  x1 =

Hướng dẫn: 

−3
4

5
4
2
2
− m + 3m
5 −m + 3m
    Mà  x1 x2 =
 hay  −2. =
4
4
4
 Suy ra  m1 = −2; m2 = 5

c) Theo hệ thức Vi­ét:  −2 + x2 =

e) Đáp số :   x2

1

3

x2 =

m 2 − 3m − 10 = 0 .

= 5 , m = 11

Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) có nghiệm x1 
và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Toán 9_tập 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x2 – 5x + 3
;
b) 3x2 + 8x + 2
           Giải:
3
a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 
2
3
2 x 2 –  5 x   + 3  = 2 ( x − 1) x −
= ( x − 1) ( 2 x − 3)
2
b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 = 

− 4 + 10
, x2 = 
3

− 4 − 10
3

3 x 2 +  8 x   + 2  = 3 x +

4 − 10
3

x+

4 + 10
 
3

Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 6x + 9
;
b) 2x2 + 5x + 3
Ứng dụng 4:  Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có hai 
nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. 
4.1. Tính giá trị  của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình 
bậc hai đã cho.

 7


  
Phương pháp: Biến đổi biểu thức về  dạng chỉ  chứa tổng và tích hai  
nghiệm, áp dụng hệ thức Vi­ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các  
nghiệm.

Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học toán 9_tập 2,Nhà xuất bản GD)
          Cho phương trình  x 2 ­ 5x + 3 = 0. Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương 
trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:
 

1

1

a)  A = x + x      ;    b)  B = x12 + x22
1
2

   ;

c) C = x13 + x23       

 

Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2  nên theo hệ thức Vi­ét  ta có: 
1

x +x

1

S

 x1 +  x2 = 5  

x1.x2 =  3

5

          a)  A = x + x = 1x x 2 = P = 3
1
2
1 2
b)  B =  x12 +x2 2  = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 =  52 –  2.3  =  19
2

          c)  C  = x13 +  x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 +  x2 ) = 53 − 3.5.3 = 80    
3

1

1

e)  E = x 2 + x 2    ;      f)  F = x1 − x2   
1
2

­ Mở rộng bài toán:   d)  D = x14 +  x2 4    ;  

d)  D = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = (S 2 − 2P )2 − 2P 2 = 52 − 2.3 − 2.32 = 343
2

2

1 1 x12 + x22 S 2 − 2 P 52 − 2.3 19

+ = 2 2 =
=
=
x12 x22
x1 x2
P2
32
9

e)  E =

f)  F = x1 − x2 = ( x1 −  x2 ) 2 =   ( x1 + x2 ) 2 −  4 x1 x2   =   52 −  4.3  = 13 
4.2.  Tìm điều kiện của tham số  để  hai nghiệm của phương trình  
thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức:
Phương pháp: 
         ­ Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có nghiệm (hoặc nếu  
nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)
+Sử dụng một số hệ thức thường gặp:
 

Theo hệ thức Vi­ét  ta có: 

 S = x1 +  x2    
P = x1.x2

          x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1x2 = S 2 − 2P    ;           x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3PS
2

(

)

3

2

x14 + x24 = x12 + x22 − 2 x12 x22 = (S 2 − 2P ) 2 − 2P 2 ;
1

1

1

2

  x2 + x2 =

x12 + x22 S 2 − 2 P
=
x12 x22
P2

  ;              x1 − x2

=

1
1
x + x2
S

+
= 1
=
x1 x2
x1 x2
P

( x1 −  x2 )

2

= 

( x1 + x2 )

2

−  4 x1 x2   =   S 2 −  4 P   

+ Sử  dụng các hệ  thức trên biến đổi hệ  thức chứa nghiệm về  dạng chỉ  
chứa tổng và tích hai nghiệm, từ  đó áp dụng hệ  thức Vi­ét ta được phương  
trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham  
số.    
+ Đối chiếu giá trị  tìm được của tham số  với điều kiện có nghiệm của  
phương trình đã cho rồi kết luận.
 8


Các ví dụ:   
Ví dụ  1: Tìm m để  phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có 

hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
          a) x12 + x22 = 8

  ;

   b) 

1
1
+
=3
x1 x2

;

c)  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9

Giải:    Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có 
∆ ' = 1− m

           Để phương trình (1) có nghiệm thì  '  0   1 − m 0
          Theo hệ thức Vi­ét ta có: 

  m 1 

x1 + x2 = −2
x1 x2 = m

a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 ­ 2x1x2 = 4 ­ 2m
    Để  x12 + x22 = 8 

 4 ­ 2m = 8 

 m = ­2 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8 
b) Ta có 
Để 

 m = ­2 

x + x2 −2
1
1
+
= 1
=
x1 x2
x1 x2
m

1 1
+ =3
x1 x2

−2
=3
m

m=

−2
(thoả mãn điều kiện)
3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
c) Ta có:  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9

                 

7m = 7

( x1 + x2 )

2

1
1
+
=3
x1 x2

− 7 x1 x2 = 9

m=

−2
3

4 ( −2 ) − 7m = 9

2

m = 1  (t/m)

Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9

m =1

Nhận xét: 
Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến 
đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình.
  Đối với loại hệ  thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx 1  nx2  = p) 
hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng x m ­ xn = p ) thì ta thường kết 
hợp với một trong hai hệ  thức của Vi­ét để  được hệ  phương trình. Giải hệ 
phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi­ét ta 
tìm được giá trị của tham số.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số)  có hai 
nghiệm x1, x2 thoả mãn :
          a) 3x1 + 2x2 = 1
      ;
  
 b) x12 ­ x22 = 6
 
2
Giải:    Phương trình x  + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có 
∆ ' = 1− m
 9


           Để phương trình có nghiệm thì  '  0   1 − m 0

          Theo hệ thức Vi­ét ta có: 

  m 1 

x1 + x2 = −2
x1 x2 = m

x1 + x2 = −2 (1)
a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi­ét ta có hệ:   3x1 + 2 x2 = 1 (2)    
x1 x2 = m
(3)

            Giải hệ  (1), (2)  ta được  x1= 5; x2= ­7
            Thay vào (3) ta được m = ­35 (thoả mãn điều kiện)
x12 − x22 = 6 (1)
b) Kết hợp giả  thiết với hệ  thức Vi­ét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (2)  Giải hệ  (1), 
x1 x2 = m
(3)
5
2

1
2

5
4

(2) ta được x1= −   ;   x2  =   . Thay vào (3) ta được m = ­   (thoả  mãn điều 
kiện)

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình  mx2 ­ 2(m + 1)x + (m ­ 4) = 0  ( m là tham số) (1)
Tìm giá trị m để:
a) Phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn:  x1 = 2x2
c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm  x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài  tập 2:  Cho phương trình    2 x 2 − 4mx + 2m 2 − 1 = 0 (2)  ( m là tham số)
Tìm   m   để   phương   trình   (2)   có   hai   nghiệm   x1;   x2  thoã   mãn: 
2
2 x1 + 4mx2 + 2m 2 − 1 > 0 .
4.3. Tìm điều kiện của tham số để  biểu thức chứa hai nghiệm của  
phương trình đạt các giá trị cực trị:
   
Phương pháp: 
          +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
          + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó  
vận dụng hệ  thức Vi­ét đưa biểu thức về  dạng chỉ  chứa tham số. Từ  đó sử  
dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng  
thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).
 
Ví dụ:  Cho phương trình x2 ­ 2(m ­ 1)x + m ­ 5 = 0  (m là tham số).  
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị  nào của m thì biểu 
thức:
2
2
a)   A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2
2
b)   B = x1 x2 − x1 − x2  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Giải:  
 10


3
Ta có  ∆ '   =   ( m − 1) − ( m   − 5 ) = m − 3m + 6 = m −
2
2

2

+

2

15
> 0 , nên phương
4

trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
     Theo hệ  thức Vi­ét ta có: x1+ x2 = 2(m ­ 1)  và x1x2 = m ­ 5
a) Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 ­ 2x1x2  = 4(m ­ 1)2 ­ 2(m ­ 5) 
2

5
                                    = 4m  ­ 10m +14 =  2m −
2
2
5

5
31 31
Vì  (2m − ) 2 0∀m , nên  2m −
+
2
2
4 4

+

2

5
2

Dấu “=” xảy ra khi  2m − = 0
Vậy Amin = 

m=

5
31
  khi   m = 
4
4

31
4

5

(t/m)
4

b) Ta có:  B = x1 x2 − x12 − x22 = 3x1 x2 − ( x1 + x2 )

2

           

B = 3 ( m − 5 ) − 4 ( m − 1) = −4m 2 + 11m − 19 = −4( m −

Vì  −4(m −

11 2
)
8

2

0∀m , nên  −4( m −

11
=0
8
11
m=
8

Dấu “=” xảy ra khi  m −
Vậy  BMa x =

−183
16

11 2 183
) −
8
16

m=

−

11 2 183
) −
8
16

183
16

11
 (t/m)
8

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình: x2 ­ mx+ (m ­ 2)2 = 0. Tìm giá trị  lớn nhất và 
nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 2: Cho phương trình:  x 2

2m 1 x m 2

1
2

0      (1)

1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
        2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 
x2 sao cho biểu thức  M x1 1 . x2 1  đạt giá trị nhỏ nhất? 
Ứng dụng  5:     Tìm   hệ  thức  liên hệ   giữa  hai  nghiệm  không phụ 
thuộc vào tham số
    
Phương pháp:   
          + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ  thức Vi­ét ta có hai hệ  
thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ  một trong hai hệ thức ta  
biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ  
thức cần tìm. 
          + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.
     (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).
Các ví dụ:   
 11


Ví dụ 1 :  Cho phương trình x2 ­ 2(m + 1) x + m = 0  (1).Tìm hệ thức liên 
hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
1
Giải:  Ta có     ' =  ( m + 1) − 1 = m + m + 1 = m +
2
2

2

2

2

+

3
4

2

1
1
3
        Vì  m +
0∀m
m+
+ > 0∀m  hay  ' > 0  ∀m
2
2
4
       Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
x1 + x2 = 2(m + 1) (1)
       Theo hệ thức Vi­ét ta có  
x1 x2 = m
(2)

         Từ  (1)  và (2) ta được    x1 + x2 = 2 ( x1 x2 + 1)  là hệ  thức liên hệ  giữa hai 
nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ví dụ  2: Cho phương trình mx2 ­ 2(m ­ 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số  ). 
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ  thức liên hệ  giữa hai nghiệm  
không phụ thuộc vào m.
Giải :
     Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, 
do đó  m 0
     Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi­ét ta 
có:
                                    

2(m − 3)
6
= 2−
(1)
m
m
 
m +1
1
x1 x2 =
= 1+
(2)
m
m
x1 + x2 =

Ta có (2)   6x1x2 = 6 + 

6
  (3).
m

Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
2
2
Bài tập áp dụng : Cho phương trình  x − 2 ( m + 2 ) x + m + 4m + 3 = 0 . Tìm 
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Ứng dụng 6:  Lập phương trình bậc hai:
Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: 

S =u+v
   thì u và v là hai 
P = u.v

nghiệm của phương trình:   x2 – Sx + P = 0 (1).  Điều kiện để có hai số u và v 
là: S2 – 4P   0.
6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2:
Phương pháp: ­ Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.
 12


­ Sử dụng ứng dụng (1)  để lập phương trình 

                           

Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6.
Giải: 
Theo hệ thức Vi­ét, ta có :

S =u+v =5
. Vậy u; v là nghiệm của phương 
P = uv = 6

trình có dạng:  x 2 –  Sx   +  P   =  0 hay x 2 –  5 x   +  6  =  0 .
Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3
Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)  
 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.
a) – 3 và 7 

b) 2 và 

Giải: 
a) Ta có :

S = −3 + 7 = 4
P = −3.7 = −21

1
3

c)  1 − 3  và  2 + 3

(– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng: 
x 2 –  4 x   − 21 =  0 .

x 2 –  Sx   +  P   =  0
7
2
b) Đán số:  x 2 − x + = 0
3
3

c) Ta có :

S = 1− 3 + 2 + 3 = 3

(

)(

) (

P = 1− 3 . 2 + 3 = −

)

3 +1

  1 − 3   và   2 + 3   là nghiệm của 

phương trình:   x 2 − 3x + ( 3 + 1) = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
     a)  ­5 và 8

;

b)   α  và  3α

;

c)  3 − 2  và 

1
3− 2

6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức 
chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.
Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)  
Cho phương trình    2 x 2 − x − 15 = 0  có nghiệm x1, x2. Không giải phương 
trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường  
hợp sau:
1
1
a)
và 
;
b)  1 + x1  và  1 + x2
x1
x2
Giải: 
Phương trình  2 x 2 − x − 15 = 0  có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi­ét ta có:
1
15
 và  x1 x2 = −
2

2
1 1 x1 + x2 −1 1 1
1
−2
=
=
=
a) Ta có:  +
 ;  . =
x1 x2
x1 x2
15 x1 x2 x1 x2 15
x1 + x2 =

 13


1 1

1
2
Vậy x , x  là hai nghiệm của phương trình: x 2 + x − = 0  hay 15 x 2 + x − 2 = 0
15 15
1
2

1 5
=
2 2
1 −1 43

        ( 1 + x1 ) . ( 1 + x2 ) = 1 + ( x1 + x2 ) + x1.x2 = 1 + + =
2 15 30

b) Ta có:  ( 1 + x1 ) + ( 1 + x2 ) = 2 + ( x1 + x2 ) = 2 +

5
2

Vậy 1 + x1  và 1 + x2  là hai nghiệm của phương trình: x 2 − x +

43
=0
30

1
1
 và  x2 +
x1
x2
6.3. Giải hệ phương trình: 
Ứng dụng (1) thường được sử  dụng vào giải hệ  phương trình đối xứng  

Bài tập áp dụng:   x1 +

hai ẩn có dạng: 

f ( x, y ) = 0
g ( x, y ) = 0

f ( y, x) = 0

g ( y, x) = 0

Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau:
­ Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy
­ Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P.
­ Giải hệ mới để tìm S và P.
­ Các số cần tìm là nghiệm của phương trình   t 2 − St + P = 0.
Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương 
trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra.
 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
          a) 

x+ y =3
                
x2 + y 2 = 5

b)  

x− y =2
x + y 2 = 34
2

Giải:
a) Đặt S = x + y;   P = xy ,  ta có hệ phương trình:
                  

S =3
  
S − 2P = 5
2

   

S =3
x+ y =3
   . Do đó ta có: 
P=2
xy = 2

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình   X2 ­ 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 .       
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 1; 2 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;1)
b) Đặt S = x ­ y; P = xy ta có hệ phương trình:
             

S =2
S 2 + 2 P = 34

S =2
x− y =2
       Do đó ta có: 
P = 15
xy = 15

Suy ra   x + (­y) = 2 và  x(­y) = ­15  hay  x và (­y) là nghiệm của phương trình
               X2 ­ 2X ­ 15 = 0,  giải ra ta được X1 = 3; X2 = ­5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 3;5 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 5;3) .
Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình:
x 2 + xy + y 2 = 4
           a) 

     
x + xy + y = 2

   b) 

xy ( x + 1)( y − 2) = −2
x2 + x + y 2 − 2 y = 1

 14


Giải:
S2 − P = 4
      a)   Đặt S = x + y; P = xy  ta có hệ phương trình :  
     
S+P=2

            

S = 2 ,  P = 0 hoặc S = ­3;  P = 5

Do đó ta có: 

x+ y = 2
x + y = −3
    hoặc 
xy = 0
xy = 5

Suy ra    x, y  là nghiệm phương trình  X2 ­ 2X = 0 (1)  hoặc  X2 + 3X + 5 = 0 

(2)
Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2.
Giải (2):  ∆ = 32 − 4.1.5 = −11 < 0    phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 0; 2 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 )
           b)       Đặt   x2  + x = S;     y2  ­ 2y = P ta đưa về  hệ  đối xứng hai  ẩn sau: 
SP = −2
      
S + P =1

Suy ra S, P là nghiệm phương trình  X2 ­ X ­ 2 = 0.
 Giải ra ta được X1= ­1;  X2 = 2. Vậy 

S
P

1
S
 hoặc 
2
P

2
1

x + x = −1
x +x=2
    ho
ặ
c  (II)
y2 − 2 y = 2

y 2 − 2 y = −1
2

 Từ đó ta có  (I)

2

Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)
Bài tập áp dụng  ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011)
Giải hê ph
̣ ương trinh : 
̀

xy − x + y = 7
x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 11

    (I)

Hướng dẫn: 
Hê ph
̣ ương trinh (I)
̀

( u + v)
uv = 6

2

= 25

( x+1) ( y −1) = 6
( x+1) 2 + ( y −1) 2 =13

Đặt u = x+1; v = y­1. Ta có 

       

Có hai trường hợp :
u+v =5
uv = 6
u + v = −5
+ Trường hợp 2: 
uv = 6

+Trường hợp 1: 

u =3 u=2
x=2
x =1
 
v=2 v=3
y=3
y=4
u = −3 u = −2
x = −4
x = −3
v = −2 v = − 3
y = −1 y = −2

Ứng dụng 7:  Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp: Dựa vào quan hệ về  dấu của tổng và tích hai số  với dấu của  
hai số  đó, kết hợp với hệ  thức Vi­ét thì ta sẽ  xét được dấu của hai nghiệm  
hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. 
 15


∆
Dấu nghiệm x1
x2
S
P
Điều kiện chung
m
Trái dấu 
P < 0
m
∆ 0 ; P > 0
Cùng dấu 
P > 0 ∆ 0
∆ 0 ; P > 0 ; S > 0
Cùng dương  +
+ S > 0 P > 0 ∆ 0
Cùng âm 
­
­
S < 0 P > 0 ∆ 0 ∆ 0  , P > 0 và S < 0
Chú ý:  Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm  
hay không. 
Ví dụ 1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình 

sau:
     a)   x2 ­ 2x + 5 = 0
         
b)   x2 ­ 2x ­ 5 = 0
     c)   x2  ­ 5x +1 = 0
d)   x2 + 5x +1 = 0
Giải: 
      a) Ta có    ' = ­4 < 0 nên phương trình vô nghiệm
      b)  Ta có   P = ­5 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
∆' = 2 > 0

      c)  Ta có  S = 5 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  
P =1> 0
∆' = 2 > 0
       d) Ta có  S = −5 < 0  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
P =1> 0

Ví dụ 2:  Cho phương trình: x2 + (2m ­ 1)x + m ­ 1 = 0 (m tham số)  (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có:
         a) Hai nghiệm trái dấu.
         b) Hai nghiệm phân biệt đều âm.
         c) Hai nghiệm phân biệt đều dương.
         d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Giải: 
2
2
Ta có:  ∆ = ( 2m − 1) − 4. ( m − 1) = 4m 2 − 4m + 1 − 4m + 4 = 4m 2 − 8m + 5 = 4 ( m − 1) + 1
              Vì  4 ( m − 1) 0∀m 4 ( m − 1) + 1 > 0∀m  với mọi m).
     ∆ > 0∀m  
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay  m − 1 < 0     m < 1 

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 
2

2

∆>0
                             S < 0
P >0

∀m
1 − 2m < 0
m −1 > 0

1
2
m >1
m>

m > 1         

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
                      

∆>0

∀m

S >0
P>0

1 − 2m > 0
m −1 > 0

1
2
m >1
m<

không có giá trị  nào của m thoả mãn
 16


d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau 
tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi 

∆ 0
  
S =0

 1 ­ 2m = 0   m = 

1
2

1
2
Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a   0) với Parabol 
(P):y = mx2 (m   0):
8.1. Lập phương trình đường thẳng y = ax + b  (a   0) đi qua 2 điểm A 

(xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m   0).
Cơ sở lý luận : Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao  
điển là nghiêm của phương trình: mx2 = ax + b   mx2 ­ ax ­ b = 0. 
Vậy  m =

Theo hệ thức Vi­et, ta có:  

xA

xB

x A .x B

a
m
     (*)
b
m

Từ (*) tìm a và b   Phương trình  (d)
Ví dụ  1:   Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x 2. Gọi A và B là 2 điểm 
thuộc  (P)  có hoành độ  lần lượt xA  = ­ 1 ; xB  = 2. Lập phương trình đường 
thẳng đi qua A và B.
Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a   0) 
Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) : 
x2 = ax + b   x2 ­ ax – b =0 (*).
Ta có: xA = ­ 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*).
xA xB a
a 1
Theo hệ thức Vi­ et, ta có:  

     
b 2
xA xB
b
      Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2.
8.2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm 
M(xM; yM)
Cơ sở lý luận : Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình:
mx2 ­ ax ­ b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Vi­et, ta có:
x1
x 1x 2

x2

a
b
m

Ví dụ 2: Cho (P):  y

    a và b    phương trình tiếp tuyến.
x2
4

; A   (P) có hoành độ  xA = 2 lập phương trình đường 

thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
 Giải    : Giả  sử  phương trình tiếp tuyến tại A là (d) : y = ax + b. Phương trình 
x2
hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :  = ax + b   x2 ­ 4ax ­ 4b = 0   (*)

4
 17


Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*): x1 = x2 = 2
Theo Viet ta có: 

x1
x 1x 2

x2

4a
4b

   

a 1
b

1

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x ­ 1
IV. Tính mới của giải pháp: 
Qua 3 năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tôi  
thấy khả  năng vận dụng các kiến thức về   ứng dụng hệ  thức Vi­ét  của học 
sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh  
hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức mới góp phần nâng cao  
chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Các  ứng dụng của hệ  thức được sắp xếp khoa học, có tính logic, từ 

dạng cơ  bản đến mở  rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. 
Hầu hết các dạng bài đều xuất phát từ  các bài tập cơ  bản trong sách giáo 
khoa, sách bài tập, sách mô hình trường học mới, sau đó phát triển dần lên 
nhằm kích thích tính tư duy sáng tạo của học sinh. 
Việc phân dạng, chọn các ví dụ  tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư 
duy cho học sinh thì sẽ  tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, 
nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách  
giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ  nắm vững vấn đề, phát 
hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa học nhất. 
Sáng kiến kinh nghiệm được viết theo chuyên đề  nên mang tính tổng  
quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra bám  
sát theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, chú trọng hình thành và 
rèn luyện các kĩ năng cho các em.
Qua việc nghiên chuyên đề thì người giáo viên giang day toan co môt cai
̉
̣
́ ́ ̣ ́ 
nhin tông quat vê các 
̀ ̉
́ ̀
ứng dụng của định lý Vi­ét trong chương trình toán 9, 
cập nhât th
̣ ương xuyên nh
̀
ưng d
̃ ạng toan, nh
́
ưng thu thuât giai toan hiêu qua. 
̃
̉

̣
̉
́
̣
̉
V. Hiệu quả SKKN: 
Trên đây là là một số   ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong chương trình 
toán 9 mà tôi đã áp dụng giảng dạy thực tế  tại trường THCS Buôn trấp, tôi 
nhận thấy hiệu quả học tập của học sinh đã được nâng lên đáng kể  đặc biệt 
là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng 
học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết 
quả như sau:
     + Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán cơ bản  
đạt hiệu quả cao đối với học sinh trung bình. Đối tượng học sinh khá giỏi đã 
 18


biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về   ứng dụng định lý Vi­ét để  giải các 
bài toán khó, mới trong các đề thi.
+ Đã cải thiện rất lớn về năng lực giải phương trình bậc hai và bậc ba của 
học sinh. Học sinh phần nào đã biết cách phân dạng, sử  dụng khá linh hoạt 
các phương pháp biến đổi để giải toán, đặc biệt các em đã chú ý hơn việc tìm 
điều kiện xác định và đã có ý thức kiểm tra lại kết quả có thỏa mãn điều kiện 
của bài toán hay không.    
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh hơn dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học  
tập và yêu thích bộ môn toán hơn.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ  bản hay gặp phải trong quá trình 
giải toán liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi­ét.
+ Trong thời gian năm học 2017 ­ 2018 áp dụng SKKN này vào giảng dạy tôi  
đã thu được kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi­ét 

như sau: 
Lớp

Sĩ số

Điể
học sinh m 
giỏi

TL  Điểm  TL 
%
khá
%

Điểm  TL 
TB
%

9A3

39

10

25.
6

11

28.2 13

9A5

40

11

27.
5

14

35

9A7

36

13

36.
1

10

27.7 7

6

Điểm 

dưới 
TB

TL 
%

33.3

05

12.8

15

09

22.5

19.4

06

16.6

+ Qua nghiên cứu SKKN này người giáo viên đã hệ  thống, phân loại bài 
tập thành từng dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đến mới, từ  cụ  thể  đến tổng 
quát, từ  dễ  đến khó, từ  đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ  nhận  
thức của học sinh.
+ Giáo viên có tài liệu tham khảo khi giảng dạy các tiết tăng tiết tại trường  
cũng như ôn luyện học sinh giỏi.

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị
I. Kết luận: 
“Một số ứng dụng của định lí Vi­ét trong chương trình toán 9” là tài liệu 
và kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng trong chương trình đại số  9.  
 19


Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả  trong  
việc giải các bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai và 
phương trình bậc cao hơn. Qua quá trình dạy còn giúp học sinh từng bước 
hình thành và phát triển tư  duy toán học để  vận dụng hiệu quả  vào các môn 
học khác, vào thực tiễn cuộc sống.
Một số ứng dụng của hệ thức Vi­ét giải là một tài liệu dạy học đem lại 
hiệu quả cao trong quá trình dạy nội dung chương 4 đại số 9.  Nhưng để đạt 
hiệu quả  tốt nhất thì người giáo viên trước khi giải một bài toán thì cần cho 
học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ dễ đến khó để tìm ra phương pháp  
phù hợp để giải. Sau đó cho học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng 
và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải. 
Đối với mỗi chuyên đề  toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi 
sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư  duy, hướng giải và phát triển bài toán. Sau  
đó ra bài tổng hợp để  học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp  
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề  và tôi tin chắc rằng 
toán học sẽ  là niềm say mê với tất cả  học sinh. Phần đông các em đều có 
hứng thú làm bài tập nếu như bài tập đó có phương pháp giải hoặc vận dụng  
các phương pháp giải của một loại toán khác.  
Đê co thê găt hai đ
̉ ́ ̉ ̣ ́ ược những thanh công thì đoi hoi cac em h
̀
̀ ̉ ́
ọc sinh phaỉ  

co môt s
́ ̣ ự  nô l
̃ ực rât l
́ ớn, môt s
̣ ự  quyêt tâm hoc tâp h
́
̣ ̣ ết kha năng cua ban thân
̉
̉
̉
 
minh. Chinh vi vây s
̀
́
̀ ̣ ự  đông viên, quan tâm, giup đ
̣
́ ỡ cua lanh đao nhà tr
̉ ̃
̣
ường, 
gia đinh va nh
̀
̀ ưng giao viên  la rât l
̃
́
̀ ́ ớn. Nhât la đôi v
́ ̀ ́ ơi l
́ ứa tuôi hoc sinh l
̉
̣

ớp 9,  
khi mà đăc điêm tâm li l
̣
̉
́ ưa tuôi cua cac em co tac đông không nho đên viêc hoc
́
̉
̉
́
́ ́ ̣
̉ ́
̣
̣  
tâp cua cac em. Trong quá trình d
̣
̉
́
ạy học giáo viên phải khéo léo lồng ghép các 
tình huống “có vấn đề”  nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. 
Những ứng dụng của hệ thức là vấn đề  tương đối mới mẻ  và hết sức 
khó khăn cho học sinh  ở  mức trung bình nên giáo viên cần cho các em làm 
quen dần. Vì các dạng toán trong SKKN này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ 
những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến 
thức, biết tư duy sáng tạo tìm cách giải dạng toán mới. 
Do kinh nghiệm còn hạn chế  nên quá trình viết khó tránh khỏi những  
đơn điệu và hạn chế, nhưng tôi hi vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta 
hiểu kỹ hơn về một số ứng dụng của hệ thức Vi–ét trong chương trình toán 9. 
Tôi thực sự mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các  
thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để  đề  tài này thực sự  hấp dẫn và có hiệu 
quả khi đến với các em học sinh.

II. Kiến nghị:  
Giáo viên có chương trình hướng dẫn, định hướng cho học sinh chọn  
mua sách tham khảo tất cả các môn học. Đối với việc bồi dưỡng HSG toán 9 
 20


nên chia từng mảng kiến thức cho từng giáo viên ôn tập để chất lượng giảng  
dạy được nâng lên.
Nhà trường tiếp tục tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp 9 để  các em  
có thể ôn tập, mở rộng kiến thức.
Phòng GD & ĐT Krông Ana tổ  chức nhiều buổi chuyên đề  về  từng  
mảng kiến thức khó để  giáo viên có thể  chia sẻ, học tập lẫn nhau và không  
ngừng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. 
Phổ  biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành các 
chuyên đề để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng  
giảng dạy. 
Buôn Trấp, ngày 02 tháng 03 năm 2019
Người viết
­
Nguyễn Thị Cẩm Linh

 21


NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN 

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN 
………………………………………………………………………………
 22


………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN 

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9
2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán trung học cơ 
sở.
3) Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp 
10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
4) Bồi   dưỡng  học   sinh  giỏi  toán   9   (   Nhóm  tác   giả:  Nguyễn   Đức  Tân, 
Nguyễn Anh Hoàng, Nguyễn Đoàn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ 
Quang Thanh…). Nhã xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
5) Sách 50 bộ  đề  toán thi vào lớp 10 chuyên chọn ( Tác giả: Minh Tân ). 
Nhà xuất bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương,  
Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

7) Các tài liệu tham khảo về hệ thức Vi­ét trên Internet,...  

 23