Đề thi học kì 2 môn Toán 9 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT UBND Quận Nam Từ Liêm

UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn TOÁN: Lớp 9
Năm học: 2017-2018
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1. (2,0 điểm)
2
x
x + 2 2x + 8
và B =
( x  0; x  4; x  36 )
+
−
x −6
x +2
x −2 x−4
1. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25 .
2. Rút gọn biểu thức A .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B .
Bài II. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một tổ sản xuất theo kế hoạch cần làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định. Thực tế,
do thao tác hợp lý mỗi ngày tổ làm thêm được 10 sản phẩm nên không những hoàn thành sớm hơn
kế hoạch 2 ngày mà còn vượt mức kế hoạch 50 sản phẩm.Tính số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi
ngày theo kế hoạch.
Bài 3. (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình sau:

Cho hai biểu thức A =

2( x + y) + x + 2 = 7

5 ( x + y ) − 2 x + 2 = 4
2. Cho phương trình sau: x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để hệ
phương trình có hai nghiệm phân biết x1 ; x2 thỏa mãn: x12 + x22 − ( x1 + x2 ) = 4 .
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) , điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP, AQ
của đường tròn ( O ) , với P, Q là hai tiếp điểm. Qua P kẻ đường thẳng song song với AQ cắt
đường tròn ( O ) tại M . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn ( O ) .
1. Chứng minh: APOQ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: AP 2 = AN . AM
3. Kẻ đường kính QS của đường tròn ( O ) . Gọi H là giao điểm của NS và PQ , I là giao
điểm của QS và MN .
a) Chứng minh: NS là tia phân giác của góc PNM .
b) Chứng minh: HI / / PM .
4. Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K . Gọi G là giao điểm của PN và AO; E là trung điể
của AP . Chứng minh ba điểm Q, G, E thẳng hàng.
Bài 5. (0,5 điểm)
4
3x y
+ .
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2 + 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M =
y
y 2x
-----------Hết----------

Hướng dẫn giải:
Bài I.
1. Thay x = 25 (TM) vào biểu thức B có:
2
= −2
25 − 6
Vậy x = 25 thì B = −2 .
B=

2. A =

x
x + 2 2x + 8
+
−
=
x +2
x −2 x−4

2
x +2

x −6
8
= 1−
x +2
x +2
8
8
 

Ta có: x  0  x  0  x + 2  2 
x +2 2

3. P : A =

2
2
=
:
x +2 x −6

−8
−8
−8
8

 1−
 1+
2
x +2 2
x +2
 p  −3 .

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (TM)
Vậy GTNN của P là −3 khi x = 0 .
Bài II.
Gọi số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm), ( x  N * )
600
(ngày)
x

Số sản phẩm mà tổ đã làm mỗi ngày thực tế làm là x + 10 (sản phẩm)
650
Số ngày tổ sản xuất làm theo thực tế là
(ngày)
x + 10
Theo đề bài tổ sản xuất hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày nên ta có phương trình:
600 650
−
= 2 (1)
x
x + 10
Giải phương trình (1)

Số ngày tổ sản xuất làm theo kế hoạch là

600( x + 10)
650 x
2 x( x + 10)
−
=
x( x + 10)
( x + 10) x x( x + 10)
 600( x + 10) − 650 x = 2 x( x + 10)
(1) 

 300( x + 10) − 325 x = x( x + 10)
 300 x + 3000 − 325 x =x 2 +10x
 x 2 + 35x − 3000 = 0
 x = 40( tm)


 x = −75(ktm)
Vậy số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm.


Bài III.

2( x + y) + x + 2 = 7
1/ Giải hệ phương trình sau: 
5 ( x + y ) − 2 x + 2 = 4

x + y = a
Đặt 

 x + 2 = b( x  −2)
2a + b = 7(1)
10a + 5b = 35


 9b = 27  b = 3
5a − 2b = 4
10a − 4b = 8

Thay b = 3 vào (1) ta được: 2a + 3 = 7  a = 2
a − x + y = 2
x + y = 2
x + y = 2

Trả ẩn: 



b = x + 2 = 3
x + 2 = 9
 x = 7(TM )


7 + y = 2
 y = −5


(TM )
 x = 7(TM )
x = 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (7; −5)
2/ x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
 = b 2 − 4ac =  −2(m + 1)  − 4.1.4m = 4(m + 1) 2 = 16m = 4(m2 + 2m + 1) − 16
2

= 4m2 + 8m + 4 − 16m = 4m2 − 8m + 4 = (2m − 2) 2  0m .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt    0  2m − 2  0  2m  2  m  1
Vậy m  1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 x1 + x2 = 2m + 2
Theo Vi – et ta có 
 x1 x2 = 4m
Đề bài cho x12 + x22 − ( x1 + x2 ) = 4  ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = 4
 (2m + 2)2 − 2.4m − (2m + 2) = 4
 4m2 + 8m + 4 − 8m − 2m − 2 − 4 = 0

 4m2 − 2m − 2 = 0

 m = 1( L)

 m = − 1 (TM )

2
Vậy m = −

1
thì phương trình thỏa mãn đầu bài.
2


Bài IV.
P

S

H
N

M
I

A

O

Q

1) Xét t/g APOQ có: APO = 900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) tại P)

AQO = 900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) tại Q)
 APO + AQO = 900 + 900 = 1800
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên t/g APOQ nội tiếp.
2) Xét (O), có: APN = AMP (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cung chắn NP )
Xét APN và AMP có NAP chung; APN = AMP (cmt)
 APN  AMP (g-g) 

AP AM
 AP 2 = AM . AN
=
AN
AP

3) a) Ta có: AQ ⊥ QS (AQ là tt của (O) ở Q); PM // AQ (gt)  PM ⊥ QS
Mà QS là đường kính của (O) nên S là điểm chính giữa của PM nhỏ.
 sd PS = sd SM  PNS = SNM
Vậy NS là phân giác của PNM .
b) Xét (O), có: SNM = PQS (2 góc nt chắn PS , SM )
hay HNI = HQI , mà N và Q là hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh IH
t/g HNQI nội tiếp  HIN = HQN .
Mà HQN = PMN (2 góc nt cùng chắn PN )  HIN = PMN
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IH // MP .


4) Gọi AO  PQ = {F}
Xét (O), có AP, AQ là hai tt cắt nhau tại A (gt)
 AP = AQ

Mà OP = OQ = R
 OA là trung trực của PQ .
 F là trung điểm của PQ .

AKN  PKA (g-g) 

AK NK
 AK 2 = NK .PK
=
PK AK

KNQ  KQP (g-g) 

KN KQ
=
 KQ2 = KN .KP
KQ KP

 AK 2 = KQ2 nên AK = KQ .
Xét APQ , có: AF , PK là các trung tuyến cắt nhau ở G
 G là trọng tâm.
Mà E là trung điểm của AP nên Q, G, E thẳng hàng.
Bài V.
Áp dụng BĐT Cô-sy ta có: 1 = x 2 +

M=

x 1
x −1
4

4 4x
 2 x2 . 2 =
0  − 
2
y
y
y
y 4
y 4

3x y  8 x y  5 x
8x y 5x
5 11
+
= + −
2
= 4− =
. −
y 2x  y 2x  y
y 2x y
4 4

y
8x
 y = 2x

2

x =
Dấu “=” xảy ra   y = 4 x


2


4
y=2 2
 x2 + 2 = 1 
y


Vậy MinM =

11
2
khi x =
;y=2 2 .
4
2