Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH

HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 6/03/2014

Đề thi có 01 trang 

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
 

 
Câu 1
a) Giải phương trình  2 2 x  1  x 2  1  . 

3 x 3  xy 2  2 y
b) Giải hệ phương trình   3
 
2
 y  x y  2 x.
Câu 2
a) Cho a, b, c 

  thỏa mãn a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1. Tính  P  a 2012  b 2013  c 2014  . 

b)  Cho x,y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

x2 y 2
4x2 y 2


. 
y 2 x2 ( x 2  y 2 ) 2

Câu 3
Giả sử phương trình 

x2 y 2 z 2
 
 3  có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau 
yz zx xy

 a b c
(a; b; c); ( p; q; r );  ; ;  . Chứng minh  (ap 2 ; bq 2 ; cr 2 ) cũng là nghiệm của phương trình đó. 
 p q r
Câu 4
Tam giác ABC có AB=AC=a; ABC  ACB    (00 ;900 ) . Gọi M là trung điểm của BC. 
Góc  xMy  quay quanh điểm M sao cho Mx, My cắt AB, AC tại D, E. 
a) Tính tích BD.CE theo a; \alpha. 
b)  Gọi  d( M ; DE )  R . Chứng minh rằng AB, AC là các tiếp tuyến của (M;R). 
c)  Tìm vị trí của D; E sao cho  S ADE  lớn nhất. 
Câu 5
Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính R=1 sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất 
kỳ khác  3. Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh 

của một tam giác có một góc lớn hơn  120 0 . 
---------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.