Đề thi học kì 2 môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN LỚP 11 THPT
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ tên HS:.....................................................................
Số báo danh: .............................................................
.

Đề có 02 trang, gồm 16 câu

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm).
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = cot x là hàm số:
A.

1
.
sin 2 x

B. −

1
.
sin 2 x

Câu 2: Kết quả của giới hạn lim+
x→1

A.

2
.
3

D. -

1
.
cos 2 x

C.

1
.
3

D. +∞ .

x3 + x cos x + sin x
liên tục trên:
2sin x + 3
 3

C.  − ; +∞  .
 2


B. [1;5] .

A. [ −1;1] .

1
.
cos 2 x

−2 x + 1
là:
x −1

B. −∞ .

Câu 3: Hàm số=
( x)
y f=

C.

D.  .

Câu 4: Các mặt bên của một khối chóp ngũ giác đều là hình gì?
A. Hình vuông.

B. Tam giác đều.

C. Ngũ giác đều.

D. Tam giác cân.

3

C. − .
2

D. 0 .

−3n 2 + 5n + 1
Câu 5: Kết quả của giới hạn lim
là:
2n 2 − n + 3

A.

3
.
2

B. +∞ .

 x2 − x − 2
khi x ≠ 2

y f=
( x)  x − 2
=
Câu 6: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
liên tục tại
m
khi x = 2

x = 2.

A. m = 3 .

B. m = 1.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số=
y

(x

(

)

(

) ( 3x

A. y ' 2019 x3 − 2 x 2
=
C. y ' =
2019 x3 − 2 x 2

2018

2018

3

C. m = 2 .

− 2 x2

)

2019

D. m = 0 .

là:

(

)(

)

(

)(

)

B. y ' =2019 x3 − 2 x 2 3 x 2 − 4 x .

.
2

)

− 4x .

D. y ' =2019 x3 − 2 x 2 3 x 2 − 2 x .

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và
ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?


A. BC ⊥ (SAH).

B. HK ⊥ (SBC).

C. BC ⊥ (SAB).

D. SH, AK và BC đồng quy.

9n 2 − n − n + 2
Câu 9: Giá trị của giới hạn lim
là:
3n − 2

A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. +∞ .

Câu 10: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f ( x) =
− x3 + x tại điểm M (−2;6). Hệ số góc

của (d) là
A. −11 .

B. 11 .

( )

C. 6 .

D. −12 .

n

− 2n+1 + 1 2n 2 + 3  a 5
5

Câu 11: Biết rằng lim 
+ 2
+ c với a, b, c ∈  . Tính giá trị của
n +1
=
b
 5.2n + 5
− 3 n −1 


biểu thức S = a 2 + b 2 + c 2 .

A. S = 26 .

( )

B. S = 30 .

Câu 12: Kết quả của giới hạn lim

x→+∞

A. +∞ .

(

C. S = 21 .

)

D. S = 31 .

x 2 + x − 3 x3 − x 2 là:

B. −∞ .

C. 0 .

D.

5
.
6

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm).
Câu 13:(1.0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
n 2 + 2n + 1
.
a) lim
2n 2 − 1

2 x +1 − 3 8 − x
b) lim
.
x→0
x

Câu 14: (1.0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2 x3 − 5 x + 1 =
0 có đúng 3 nghiệm.
Câu 15: (2.5 điểm) Cho hàm số y=
= f ( x ) x3 – 3 x 2 + 1 có đồ thị (C).
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng −1 .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d
có phương trình 3 x + 7 y − 1 =0 .
Câu 16: (2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a.
a. Chứng minh BD ⊥ ( SAC ) .
b. Tính góc giữa SB và (SAD).
c. Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD).
....................Hết.................


KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018-2019
HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN: TOÁN LỚP 11 THPT
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu, trong bài làm của thí sinh phần tự luận yêu
cầu phải lập luận chặt chẽ, lôgic, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.
* Trong mỗi câu nếu thí sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với bước giải sau có
liên quan. Ở câu 16 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Học sinh có lời giải khác với đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức độ của
từng câu.
* Điểm bài kiểm tra là tổng các điểm thành phần. Nguyên tắc làm tròn điểm bài kiểm tra học
kỳ theo Quy chế đánh giá, xếp loại học sinh.
Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm)
Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm.
Câu 1
2
3
4
5
6
ĐA B
B
D
D
C
A

7
C

8
C

9
A

10
A

11
B

12
D

Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Câu
Ý
Nội dung
13
Tính các giới hạn
a
 2 1 
 2 1 
n 2 1 + + 2 
2
1 + + 2 
n + 2n + 1
n n 
n n 

=
lim

lim
= lim 
2
1 
1 


2n − 1
n2  2 − 2 
2− 2 
n 
n 


1
=
2
b
2 x +1 − 2 + 2 − 3 8 − x
2 x +1 − 3 8 − x
= lim
lim
x→0
x→0
x
x
 2 x +1 − 2
2− 3 8− x 



= lim
+
x→0 

x
x






2x
x
= lim 
+

x→0  x
x +1 +1 x  4 + 23 8 − x + 3 8 − x 2  




 


2
1
13


=
=
+
lim 
x→0
x + 1 + 1 4 + 2 3 8 − x + 3 8 − x 2  12



(

(

) (

) (

(

0.25
0.25

)

)

)

(

(

14

Điểm
1.0

0.25

)

)

Chứng minh rằng phương trình 2 x3 − 5 x + 1 =
0 có đúng 3 nghiệm.
Xét hàm số f ( x) = 2 x3 − 5 x + 1 là hàm số xác định và liên tục trên R.
Mặt khác f (−2) =
1; f (1) =
7
−5; f (0) =
−2; f (2) =
Ta có: f (−2). f (0) =(−5).1 =−5 < 0 nên phương trình f ( x) = 0 có ít nhất
1 nghiệm thuộc khoảng ( −2;0 ) .
Tương tự:

0.25
1.0
0.25
0.25

1


f (0). f (1) =(−2).1 =−2 < 0 nên phương trình f ( x) = 0 có ít nhất 1
nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
f (1). f (2) =
(−2).7 =
−14 < 0 nên phương trình f ( x) = 0 có ít nhất 1
nghiệm thuộc khoảng (1;2 ) .

Do các khoảng ( −2;0 ) ; ( 0;1) ; (1;2 ) rời nhau nên phương trình f ( x) = 0
có đúng 3 nghiệm.
Cho hàm số y=
= f ( x ) x3 – 3 x 2 + 1 có đồ thị (C).

15
a

b

0.25
0.25
2.5

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng −1

1.0

Tại điểm có hoành độ bằng −1 thì tung độ bằng −3
Ta có: f ' ( x ) = 3 x 2 – 6 x nên f ' ( −1) = 9

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M (−1; −3) là:
y + 3 = 9( x + 1) ⇔ y = 9 x + 6
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d có phương trình 3 x + 7 y − 1 =0 .

0.25
0.25

Đường thẳng d: 3 x + 7 y − 1 =0 có hệ số góc kd = −

3
7

Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C) . Khi đó, tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc là:
=
k f=
' ( x0 ) 3 x0 2 – 6 x0 .

0.5
1.5

0.25
0.25

Để tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d thì: k .kd = −1 .
7
1
7
Hay 3 x02 – 6 x0 =⇔ x0 =
− hoÆc x0 =

3
3
3

0.25

1
17
Với x0 =− ⇒ y0 = , tiếp tuyến có phương trình:
3
27
y=

7
1 17 7
38
= x+
(x + ) +
3
3 27 3
27

7
71
Với x0 =⇒ y0 =
− , tiếp tuyến có phương trình:
3
27
y=

0.5

7
7 71 7
218
(x − ) −
= x−
3
3 27 3
27

0.25
16

2.5

2


S

2a

D

H

A
K
O

a

0.25

B

a
b

C

Vì đáy là hình vuông nên BD ⊥ AC
(1)
Mặt khác, vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD
(2)
Từ (1) và (2) ta có BD ⊥ ( SAC ) (đpcm)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, BA ⊥ AD do đó: BA ⊥ ( SAD)

0.25
0.25
0.25


Nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc BSA

0,5


Trong tam giác vuông SAB ta có: tan BSA

=

c

AB a 1
 ≈ 270
nên BSA
= =
SA 2a 2

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) gần bằng 270.
 = 1 cho điểm tuyệt đối.
Lưu ý: Học sinh tính được tan BSA
2
Ta có ( SAC ) ∩ ( SCD) =
SC

0.5

Kẻ DH ⊥ SC , ( H ∈ SC ) , HK ⊥ SC , (K ∈ AC ) ta có: SC ⊥ ( DHK )
Do đó (( SAC );( SCD)) = ( HK ; HD)
Trong tam giác vuông SCD với đường cao DH, ta có:
1
1
1
1
1
6
5a 2
2

=
+
=
+
=
⇒ DH =
6
DH 2 DS 2 DC 2 5a 2 a 2 5a 2
HK CH
=
=
Lại có: ∆CHK  ∆CAS ⇒
AS CA
⇒ HK
=

1
2 3

a
2=

a
⇒ CK =
3

CD 2 − DH 2
=
CA

a2 a2
+
=
3
6

a
1
=
6a 2 2 3

a
. Vậy K trùng với O.
2

0.25

Trong tam giác OHD, ta có:
a 2 5a 2 a 2
+
−
OH + HD − OD
3
6
2

=
cos OHD
= =
2OH .OD

a a 5
2. .
3 6
2

2

2

10
5


 là góc nhọn nên (( SAC=
);( SCD)) (=
HK ; HD) OHD
Vậy OHD

Hay : cos(( SAC );(
=
SCD)) cos
=
OHD

10
5

0.25

3

4