Đề thi học kì 2 môn Toán 9 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Quận Hoàng Mai

UBND QUẬN HOÀNG MAI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 – 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

MÔN TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài : 90 phút

I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1. Cặp số  1; 2  là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
x  5y  9
A. 
6 x  2 y  2

2 x  y  7

B.  3
 x  4 y  3

x  y  1
C. 
2 x  y  4

2 x  2 y  0
D. 
x  y  3

Câu 2. Điều kiện của m để phương trình x 2  2mx  m 2  4  0 có hai nghiệm x1  0, x2  0
là:
A. m  2

C. m  2

B. m  2

D. m  16

Câu 3. Cho đường tròn  O, R  đường kính AB, dây AC  R . Khi đó số đo độ của cung
nhỏ BC là:
A. 60 0

B. 120 0

C. 90 0

D. 150 0

Câu 4. Độ dài của một đường tròn là 10 (cm). Diện tích của hình tròn đó là:
A. 10  cm2 

B. 100  cm2 

C. 50  cm2 

D. 25  cm2 

II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm)
Bài I ( 2,5 điểm)
 2
x2 


1. Giải hệ phương trình sau: 
 3 
 x  2

1
3
y 1
2
8
y 1

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y  x 2 và đường thẳng (d) :
y  2mx  2m  1
a) Với m  1 . Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1; y2 ); B( x2 ; y2 ) sao cho tổng
các tung độ của hai giao điểm bằng 2 .


Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do
mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian
quy định 1 ngày và chở thêm được 5 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó
trong bao nhiêu ngày?
Bài III. (3,5 điểm)
Cho đường tròn  O  có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa
cung nhỏ CD . Đường kính MN của đường tròn  O  cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ
trên cung lớn CD (E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt
nhau tại P.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp

b) Chứng minh: EI.MN=NK.ME
c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ
d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi
E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố
định.
Bài IV (0,5 điểm): Cho a; b; c  0 , chứng minh rằng:

a
b
c
a
b
c





ab bc ca
bc
ca
a b


I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1. A, C
Câu 2. B
Câu 3. B
Câu 4. D
II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm)

Bài I
 2
x2 

1) 
 3 
 x  2

1
3
y 1
2
8
y 1

I 

ĐKXĐ: x  2; y  1
Đặt

1
1
 a;
 b  a  0, b  0 
x2
y 1
4a  2b  6
 2a  b  3
 7a  14
a2

(TMĐK)



3a  2b  8
3a  2b  8 b  1
 3a  2b  8

I   

 1
5

 x  2  2
2 x  4  1  x 



2
1
y



1
1


 y  2
 1

 y  1
5

Vậy hệ phương trình có nghiệm (  x; y    ; 2 
2


2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y  x 2 và đường thẳng (d) :

y  2mx  2m  1
a. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :
 x 2  2mx  2m  1  x 2  2mx  2m  1  0

Thay m  1 vào phương trình ta được :
 x 1 y 1
x 2  2 x  3  0  ( x  1)( x  3)  0  
 x  3  y  9


Vậy khi m  1 thì  d  giao  P  tại hai điểm phân biêth là (1;1) và (3;9)
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :
 x 2  2mx  2m  1  x 2  2mx  2m  1  0

 '  m2  2m  1  (m  1)2  0, m  1

(1)

Suy ra (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1; y1 ) và B( x2 ; y2 )
x1  ( P)  y1  x12
x2  ( P)  y2  x22

 x1  x2  2m
Áp dụng định lí viet ta có : 
 x1 x2  2m  1
Vì tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 nên ta có:
y1  y2  2  x12  x22  2  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  2

 m  0(TM)
 4m2  2(2m  1)  2  4m2  4m  0  
 m  1(KTM)

Vậy m  0 thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1; y2 ); B( x2 ; y2 ) sao cho tổng
các tung độ của hai giao điểm bằng 2 .
Bài II. Gọi thời gian chở hàng theo kế hoạch là x (ngày, x  1 )
Năng suất của đội xe theo kế hoạch là

120
(tấn/ngày)
x

Thời gian chở hàng thực tế là x  1 (ngày)
Năng suất thực tế là

125
(tấn/ngày)
x 1

Vì đội xe chở hàng vượt mức 5 tấn/ ngày nên ta có phương trình
 x  6 (TMDK)
125 120


 5  5 x 2  10 x  120  0  
x 1 x
 x  4 (KTMDK)

Vậy thời gian chở hàng theo kế hoạch là 6 ngày
Bài III.


Cho đường tròn  O  có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa
cung nhỏ CD . Đường kính MN của đường tròn  O  cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ
trên cung lớn CD (E khác C, D, N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt
nhau tại P.
e) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp
f) Chứng minh: EI.MN=NK.ME
g) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ
h)

Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh

khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố
định.

N

E

O

C

I

K

M

D

P

Q

a) Xét đường tròn  O  đường kính MN có:
M là điểm chính giữa CD  MN  CD tại I  MID  900
E   O   MEN  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác IKEN có: MID  MEN  900  900  1800
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác IKEN nội tiếp.
b) Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên MEI  MNK (cùng chắn IK )
Xét MEI và MNK có:

MEI  MNK (cmt) 
  MEI
EMI chung

c) Xét MNP có:

MNK (g.g) 

EI
ME

 EI .MN  NK .ME
NK MN


ME  NP



PI  MN
  K là trực tâm MNP  NK  MP tại Q  NQP  90
ME  PI  K 

Xét tứ giác NIQP có NIP  NQP  900
Mà 2 góc này cùng nhìn đoạn NP
Do đó tứ giác NIQP nội tiếp.
Suy ra QNP  QIP (cùng chắn PQ )

(1)

Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) nên QNP  EIK (cùng chắn EK )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra QIP  EIK .
Do đó IK là phân giác của EIQ .
d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi
E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định.

Ta có:

 DEM  DHC  dv 
ME  NP 
/
/
ME
CH




CH  NP 
 MEC  ECH  slt 

Mà DEM  MEC ( 2 góc nt chắn 2 cung = nhau)  EHC  ECH  EHC cân tại E
 EN là trung trực của CH

Xét DCH có: IN là trung trực của CD (dễ dãng cm)  NC  ND
EN là trung trực của CH (cmt)  NC  NH
 N là tâm đường tròn ngoại tiếp DCH  H   N ; NC 

Mà N, C cố định => H thuộc đường tròn cố định khi E chạy trên CD
Bài IV
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b  c ta được
a  b  c 
2



 a b  c   0 

2a
a

hay
abc
a b  c 

2
1

abc
a b  c 

a
2a

bc abc

1


Chứng minh tương tự ta được

2b
b

ca abc

 2

c
2c

ab abc

 3

Công 1 ,  2  và  3  vế theo vế ta được

a
b
c


2
bc
ca
ab
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c  0 , trái với giả thiết a, b, c  0 . Do vậy dấu
"  " không xẩy ra.

a
b
c


2
bc

ca
ab

Suy ra
Ta cm

a
ac

ab abc

Thật vậy ta có

 *

 4

a
ac

 a 2  ab  ac  a 2  ab  ac  bc (luôn đúng do a, b, c  0 )
ab a bc

Tương tự ta có

b
ba

bc abc

c
cb

ca abc

5
6

Cộng  4  ,  5  và  6  vế theo vế ta được
a
b
c


2
ab bc ca

**

Từ  * và  ** suy ra

a
b
c
a
b
c






ab bc ca
bc
ca
a b