Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Du

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

NĂM HỌC 2018 – 2019



MÔN TOÁN

LỚP 10

Thời gian làm bài 180 phút



Câu 1: a) (3đ) Giải phương trình: 2  x2 



1 
1
 3 x    16  0
2 
x
x  

b) (3đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình:
x 2  2m  1 x  4m  3  0 là nhỏ nhất.





Câu 2: (3đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:

y

3  2x  x 3x  11
1  x2 

3x 2  2x  5

Câu 3: (3đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a, b, c, d . Chứng minh rằng số

A

a
b
c
d



không phải là một số nguyên.
a b c a b d b c d a c d

Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng
tam

 tâm
 giác
 ABC, lấy D
đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.Lấy J thỏa 2CJ  2AB  JM . Chứng minh
rằng IJ song song với AB.
Câu 5: (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A  0; 2  ; B  0; 4  ; C  6; 1
a) Chứng minh tam giác ABC cân.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Xác định tọa độ D Sao cho tứ giác ABDG là hình bình hành. Biết G là trọng tâm của tam
giác ABC.
Câu 6: (3đ) Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
d3
1




bcd cd a d ab abc 3


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2018-2019
Câu 4:

1 
1
Câu 1: a) 2  x2  2   3 x    16  0 (1)



x 



x

ĐK: x  0

1
1
 x2  2  t 2  2
x
x
 t  4
2
(1)  2t  3t  20  0  
t  5
 2
Đặt t  x 

A

G

t  4  x  2  3
x  2
5 

 t 
x  1
2

2
2
b) x   2m  1 x  4m  3  0 (2)




B

C
H

M
I
R
J

(2) có nghiệm

D

2

   0  4m  12m  13  0
2

  2m  3  4  0, m
F

 x  x2  2m  1
 Theo viet:  1
 x1 x2  4m  3
2



A  x12  x22  4m2  4m  7   2m  1  6  6



1
minA  6  m   .
2

Câu 2: y 

3  2x  x 3x  11
1  x2 

3x 2  2x  5

y có nghĩa

3  2x  0

3x  11  0

 1  x2  0

 1  x 2  3x 2  2x  5  0


3
x  2

 x   11

3

 x 1

2
 1  x  0
 3x 2  2x  5  0
 
 1  x  1.
Câu 3: Vì a, b, c, d  Z  nên

  
    
. 2CJ  JM  2AB  2AJ  2AC  AM  AJ  2AB

  
  5 
 3AJ  2AB  2AC  AM  5AM  AJ  AM
3
MJ

Mà M là trung điểmcủa AD nên
 2.
JD
MI
Gọi K là trung điểm của CD, ta có
 2 . Vậy ta
IK
MJ MI

 IJ // CD // AB .
có:
JD IK


A


a
b
c
d



a b c a b d b c d a c d

a
b
c
d




a b c d a b c d a b c d a b c d

1

 x, y, z  0
x xz

 
Mà  x
. Thật vậy,
y y z
y 1

x
1 x  y
y
 xz  yz  xy  xz  xy  yz
 x  y  z  y  x  z

x xz

y y z
a
a d

Nên
a b c a b c d

b
b c

a b d a b c d
c
a c

b c d a b c d
d
db

a c d a b c d
Suy ra A  2
Do đó 1  A  2  A không phải là một số nguyên.


Câu 5:
AB  6

Ta có: AC  3 5
BC  3 5

Vậy: Tam giác ABC cân tại C.
Gọi M là trung điểm AB nên M(0;-1). Vì tam giác ABC cân tại C nên CM là đường
cao đỉnh C của tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC là: S 

1
1
AB.CM  6.6  18 (ĐVDT)

2
2

Ta có: G=(-2;-1)

Vì tứ giác ABDG là hình bình hành nên:
 x  2
 xA  xD  xB  xG
 D

 y A  yD  yB  y G
 yD  7
Vậy: D=(-2;-7)
Câu 6:
Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1. Chứng minh rằng:


a3
b3
c3
d3
1




bcd cd a d ab abc 3
Chứng minh:
Theo AM-GM ta có:
a3

a b  c  d  2 2 

 a 
bcd
9
3 
3
b
bc  d  a  2 2 

 b 
cd a
9
3 
3
c
cd  a  b  2 2 

 c 
d ab
9
3 
2  ab  ac  ad  bc  bd  cd 
a3
b3
c3
d3






bcd cd a d ab abc
9
(1)
2 2
2
2
2
 a b c d
3
Theo AM-GM ta có:
3 a 2  b2  c 2  d 2 










2

2

2

 (a  b )  (a  c 2 )  (a 2  d 2 )  (b 2  c 2 )  (b 2  d 2 )  (c 2  d 2 ) 

 2  ab  ac  ad  bc  bd  cd 


1 2
2
a  b 2  c 2  d 2  ab  ac  ad  bc  bd  cd  (2)
3
9





Từ (1) và (2) suy ra:
a3
b3
c3
d3
1



 a 2  b 2  c 2  d 2 (3)
bcd cd a d ab abc 3
Mặt khác ta có:
a 2  b2 b 2  c 2 c 2  d 2 d 2  a 2
a 2  b2  c 2  d 2 




 ab  bc  cd  da  1 (4)
2
2
2
2
Từ (3) và (4) suy ra:
a3
b3
c3
d3
1




bcd cd a d ab abc 3
1
Dấu “=” xảy ra khi: a  b  c  d  .
2



