Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9 năm 2018-2019 - Trường THCS&THPT Võ Nguyên Giáp

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 – HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2018­2019
CHỦ ĐỀ :  CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hệ phương trình: 
(D) cắt (D’) 
(D)  //  (D’) 
(D)   (D’) 

ax + by = c , a 0 ( D )
a ' x + b ' y = c ', a ' 0 ( D ')
a
a'
a
  =
a'
a
  =
a'
 

b
 
b'
b
b'
b
=
b'

c
 

c'
c
 
c'

 

 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 

 Hệ phương trình vô nghiệm.

 

 Hệ phương trình có vô số nghiệm. 

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài toán cơ bản : 
1. Giải các hệ phương trình : 
1 1 1
+ =
3x + y = 3
2x + 5 y = 8
3 x − 2 y = −3
x −2 y = 2
x y 12
a) 
 

b) 
c) 
d) 
e) 
3 x + 4 y =1
2x − y = 7
2x − 3y = 0
2 x + 3 y = −2
8 14
+ =1
x y
2. Xác định hàm số của đường thẳng d, biết đường thẳng d đi qua hai điểm A và B , biết : 
a)  A(−1;3)   và  B (2; −4)  
b)  A(5; −3)   và  B (−2;3)  
c)  A(0; −3)   và  B (1; −2)  
3. Tìm giá trị tham số của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hay vô nghiệm .
3 x − my = −2
x + y =1
a) 
b) 
mx − 12 y = 6
mx + 2 y = m
* Toán nâng cao :
Bài tâp 1: 
̣
Cho hệ phương trình  

x + y= m
     (1)
2 x − my = 0

1. Giải hệ phương trình (1) khi m =  –1 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
HD:    1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.
2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2.

1


2b) Hệ (1) vô nghiệm khi:  

1
1
=
2 −m
 
  
1 m
2
0

a
b
=
a' b'

m = −2
  
m 0

3. Hệ (1) có nghiệm: x = 

1
1
=
2 −m

c
 
c'

m
.
0

 m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm.  

2m
m2
; y = 
.
m+2
m+2
2m
m2
 + 

 = 1
m+2
m+2

4. Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 

 m2 + m – 2 = 0 
.
Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y)  thỏa: x + y = 1.
Bài tâp 2: 
̣
Cho hệ phương trình  

x + y = k +2
     (1)
2x + 4 y = 9 − k

1. Giải hệ (1) khi k = 1.
2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.
3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
HD:     1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1.
2. Hệ (1) có nghiệm x = –8  và y = 7 khi k = – 3 .
3. Hệ (1) có nghiệm: x = 

5k − 1
5 − 3k
; y = 
.
2
2

Bài tâp 3: 
̣
Cho hệ phương trình  

x + y= 3
     (1)
2 x − my = 1

1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD:    1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1.
2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m =  −
2b) Hệ (1) vô nghiệm khi:  m = – 2. 
3. Hệ (1) có nghiệm:  x = 

3m +1
5
; y = 
.
m+2
m+2

2

3
.

4

m = 1(thoa
 ? K co nghieƒm)
m = − 2(kho‹
ng thoa ? K co nghieƒ

m)


Bài tâp 4: 
̣
Cho hệ phương trình  

mx − 2 y = −1
     (1)
2x + 3 y = 1

1. Giải hệ phương trình (1) khi m =  3 .
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x =  −
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.

1
2
 và y =   .
2
3

1
5

; y =  .
13
13
1
2
2
2a) Hệ (1) có nghiệm x =  −  và y =    khi m =  − .
2
3
3

HD:    1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x =  −

2b) Hệ (1) vô nghiệm khi:  m = –2. 
3. Hệ (1) có nghiệm: x = 

−1
m+2
; y = 
.
3m + 4
3m + 4

Bài tâp 5 : 
̣
Cho hệ phương trình  

x + y = 4
     (1)
2x + 3y = m

1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
2. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 

x>0
.
y<0

HD:  1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.
2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
Theo đề bài: 

x>0
 
y<0

 

Bài tâp 6: 
̣
Cho hệ phương trình  

12 − m > 0
 
m −8 <0

 

m < 12

 
m< 8

 m < 8.

2 x + y = 3m + 1
     
3 x + 2 y = 2m − 3

1. Giải hệ phương trình khi m = – 1.
2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 

x < 1
.
y < 6

HD:  1. Khi m = – 1 , hệ pt  có nghiệm: x = 1 và y = – 4.
2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m .
Theo đề bài: 

x < 1
y < 6

  

Bài tập 7: Cho hệ phương trình : 

m < −1
 

m > −3

  – 3 <  m  <  – 1 .

− 2mx + y = 5
    (1)
mx + 3 y = 1

1. Giải hệ (1) khi m =  1.
2. Xác định giá trị của m để hệ (1):  a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
3


Dạng toán : Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 
Bài 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết  
thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
Bài 2: Một ô tô đi từ A và  dự định đến B lúc 12 giờ trưa . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 
2 giờ , Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và 
thời điểm xuất phát của ô tô. 
Bài 2’: Một ô tô đi từ  A đến B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời gian đi sẽ  
giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 15 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ  A  
đến B của ô tô. 
Bài 3:  Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi  
ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút.  
Tính vận tốc mỗi xe.
 Bài 4 :  (3 điểm)  Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 12 giờ thì đầy bể . Nếu lúc 
đầu chỉ mở vòi I chảy trong  8 giờ rồi tắt , sau đó mở vòi II chảy trong  20 giờ  thì  cũng đầy bể  . Hỏi mỗi vòi 
chảy riêng thì bao lâu đầy bể .
  Bài 5

 
 :  (3 điểm) Trên công trường , hai đội A và B cùng làm chung một công việc  và sẽ hoàn thành trong  4  
2
ngày . Nhưng nếu đội A làm một mình trong 2 ngày rồi nghỉ ,  đội B tới làm tiếp  4 ngày nữa thì được   công 
3
việc . Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì bao lâu xong công việc.
 Bài 6 :  (3 điểm) Số tiền mua 10 quả táo và 7 quả lê là 44 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả táo và 8 quả lê là 31 
nghìn đồng . Hỏi giá mỗi quả táo và mỗi quả lê là bao nhiêu nghìn đồng . 
Bài 7: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm  
110cm2. Nếu giảm cả  hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ  giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam 
giác.
  Bài 8
 
 :  (3 điểm) Nhà Cúc có một mảnh vườn trồng rau bắp cải. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống 
trồng cùng một số cây cải bắp. Mai tính rằng: Nếu tăng thêm 1 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì 
số cây toàn vườn ít đi 16 cây. Nếu giảm đi 2 luống, nhưng mỗi luống tăng thêm 5 cây thì số rau toàn vường sẽ 
tăng thêm 30 cây . Hỏi vườn nhà Mai trồng bao nhiêu cây cải bắp . 
 Bài 9: Hiện tại cha hơn con 28 tuổi. Tuổi của cha cách đây 10 năm gấp đôi tuổi của con bây giờ. Hỏi hiện tại 
cha bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi .
Bài 10:  Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 200m .
 Người ta làm một lối đi xung quanh (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. 
(xem hình bên) . 
Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn,
 biết diện tích trồng trọt của khu vườn là 2016 m2
4


CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P): y = ax2  VÀ (D): y = ax + b (a   0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Hàm số y = ax2(a 0): 
Hàm số y = ax2(a 0) có những tính chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. Gốc tọa độ 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Gốc tọa độ 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):
Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
Dựa và bảng giá trị   vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b:
Lâp ph
̣
ương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D): cho 2 vê phai cua 2 ham sô băng nhau       
̀
̀
̣
̉
̉
̀
́ ̉ ̉
̀
́ ̀
2
đưa vê pt bâc hai dang ax
̀
̣
̣
 + bx  + c = 0.

Giai pt hoanh đô giao điêm:
̉
̀
̣
̉
+ Nêu 
́ ∆  > 0   pt co 2 nghiêm phân biêt 
́
̣
̣
(D) căt (P) tai 2 điêm phân biêt.
́
̣
̉
̣
+ Nêu 
́ ∆  = 0   pt co nghiêm kep  
́
̣
́
(D) va (P) tiêp xuc nhau.
̀
́ ́
+ Nêu 
́ ∆  < 0   pt vô nghiêm 
̣
(D) va (P) không giao nhau.
̀
2
3. Xac đinh sô giao điêm c

́ ̣
́
̉ ủa hai đồ thị :(P): y = ax (a 0) và (Dm) theo tham sô m:
́
Lâp ph
̣
ương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D
̀
̀
̣
̉
̉
̀ m): cho 2 vê phai cua 2 ham sô băng nhau      
́ ̉ ̉
̀
́ ̀
2
đưa vê pt bâc hai dang ax
̀
̣
̣
 + bx  + c = 0.
Lâp 
̣ ∆  (hoăc̣ ∆ ' ) cua pt hoanh đô giao điêm.
̉
̀
̣
̉
Biên luân:
̣

̣
+ (Dm) căt (P) tai 2 điêm phân biêt khi 
́
̣
̉
̣
̉ ́
 tim m.
̀
∆  > 0  giai bât pt 
+ (Dm) tiêp xuc (P) tai 1 điêm 
́ ́
̣
̉ ∆  = 0  giai  pt 
̉
 tim m.
̀
+ (Dm) va (P) không giao nhau  khi 
̀
̉ ́
 tim m.
̀
∆  < 0  giai bât pt 
1. Vẽ đồ thị các hàm số sau :
a)  y = x 2  

b)  y = − x 2

c)  y = 2 x 2

d)  y = −2 x 2

e)  y =

2. Sự tương giao giữa hai đồ thị 
Bài 1: Cho :  ( P) : y = x 2  
(d ) : y = 2 x + 3  
a) Hãy vẽ  ( P)  và  (d )  trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của  ( P)  và  (d )  
Bài 2: Cho :  ( P) : y = − x 2  
(d ) : y = x − 6  
c) Hãy vẽ  ( P)  và  (d )  trên cùng một hệ trục tọa độ.
d) Tìm tọa độ giao điểm của  ( P)  và  (d )  
1
Bài 3: Cho :  ( P) : y = x 2  
2
(d ) : y = x + 4  
5

1 2
x
2

f)  y =

−1 2
x
4

g)  y = −4 x 2

 

 


e) Hãy vẽ  ( P)  và  (d )  trên cùng một hệ trục tọa độ.
f) Tìm tọa độ giao điểm của  ( P)  và  (d )  
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
3. Xác định hàm số của đường thẳng, Parbol
Bài 1: Cho hàm số  ( P) : y = ax 2
a) Xác định hàm số của  ( P)  biết rằng  ( P)  đi qua điểm M(­1;2) .
b) Vẽ  ( P)  tìm được ở câu a) 
c) Tìm các điểm trên  ( P)  có tung độ bằng 18
Bài 2: Cho hàm số  ( P) : y = mx 2
(d ) : y = 2 x − 6
a. Xác định hàm số của  ( P)  biết rằng   (d )  cắt   ( P)  tại một điểm có hoành độ bằng 2. 
Tìm tọa độ giao điểm thứ hai của  (d )  cắt   ( P)  .
b. Vẽ  ( P)  và  (d )  tìm được ở câu a) 
Bài 3: Cho hàm số  ( P) : y = mx 2
(d ) : y = 4 x − 4
a)
Xác định hàm số của  ( P)  biết rằng   (d )  tiếp xúc với  ( P) . Tìm tọa độ 
tiếp điểm khi đó . 
b)
Vẽ  ( P)  và  (d )   ở câu a) 

2
Bài 4:  Cho hai ham sô y = – 2x
̀
́
  co đô thi (P) va y = – 3x  + m co đô thi (D
́ ̀ ̣
̀
́ ̀ ̣ m).
1. Khi  m = 1, ve (P) va (D
̃
̀ 1) trên cung môt hê truc toa đô vuông goc Oxy. 
̀
̣
̣ ̣
̣
̣
́
Xac đinh toa đô cac giao điêm
́ ̣
̣
̣ ́
̉  
cua chung.
̉
́
2. Xac đinh gia tri cua m đê:
́ ̣
́ ̣ ̉
̉
1

a)   (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng  − .
2
b)   (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c)   (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
1
Bài 5: a) Vẽ đồ thị  ( P) : y = x 2
4
và B

b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 4 và 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A  

x2
 co đô thi (P) va y = ­x + m co đô thi (D
́ ̀ ̣
̀
́ ̀ ̣ m).
2
1. Vơi m = 4, ve (P) va (D
́
̃
̀ 4) trên cung môt hê truc toa đô vuông goc Oxy. 
̀
̣
̣ ̣
̣
̣
́
Xac đinh toa đô cac giao điêm
́ ̣
̣

̣ ́
̉  
cua chung.
̉
́
2. Xac đinh gia tri cua m đê:
́ ̣
́ ̣ ̉
̉
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài tâp 6: 
̣
 Cho hai ham sô y =
̀
́

6


c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
Bài tập 7: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của  (P) và 
(D), xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Phương trình bậc hai một ẩn :

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng  ax 2 + bx + c = 0 , trong đó :
x là ẩn  
a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và  a 0  
2. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0)   (1)
a. Phương trình bậc hai khuyết c:
x=0
ax 2 + bx = 0   x (ax + b) = 0  
−b  
x=
a
b. Phương trình bậc hai khuyết b:
ax 2 + c = 0     ax 2 = −c  
Nếu a và c cùng dấu thì PT vô nghiệm
−c
Nếu a và c trái dấu thì PT có hai nghiệm trái dấu  x =
 
a
c. Phương trình bậc hai đầy đủ : ax 2 + bx + c = 0 (a 0)
Cách 1) Nhẩm nghiệm:
x1 = 1
a + b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:
c.
x2 =
a
x1 = − 1
a – b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:
c.
x2 = −
a
Cách 2: Giải theo công thức nghiệm

b) Giải với  ∆ ' : 
b
Nếu b = 2b’  b’ =
∆ ' = (b’)2 – ac.
2
− b '+ ∆ '
−b '− ∆ '
Nếu  ∆ ' >  0   phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x1 =
;  x2 =
a
a
−b '
Nếu  ∆ ' =  0   phương trình có  nghiệm kép:  x1 = x2 =
.
a
Nếu  ∆ ' <  0   phương trình vô nghiệm.
c) Giải với  ∆ :
Tính  ∆ = b2 – 4ac.
7


Nếu  ∆  >  0 

 phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x1 =

Nếu  ∆  =  0 

 phương trình có  nghiệm kép:  x1 = x2 =

Nếu  ∆  <  0 

 phương trình vô nghiệm.

−b + ∆
−b − ∆
;  x2 =
2a
2a

−b
.
2a

1. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
S = x1 + x2 = −
a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì ta có:

c
P = x1x2 =
a

u+v=S
u.v = P
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P   0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi­ét:
2
2
2
Tổng bình phương các nghiệm:  x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2  = S2 – 2P.
1 1 x1 + x2 S

=
= .
Tổng nghịch đảo các nghiệm:  +
x1 x2
x1x2
P
b) Định lý đảo: Nếu 

1
1
x12 + x22 S2 − 2P
+
=
=
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:  2
.
x1
x22 (x1x2 )2
P2
2
2
Bình phương của hiệu các nghiệm:  (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2  = S2 – 4P.
3
3
3
Tổng lập phương các nghiệm:  x1 + x2 = (x1 + x 2 ) − 3x1x2 (x1 + x2 )  = S3 – 3PS

Ví dụ 1:  Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1 1
a)  x12 + x22 .

b) + .
c)  (x1 − x2 )2
 d)  x13 + x23
x1 x2
Giải:
Phương trình có  ∆ ' = 1 > 0 
b
S = x1 + x2 = − = 12
a
pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi­ét cho pt (1): 
.
c
P = x1x2 = = 35
a
2
2
2
2
2
a)  x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2  = S  – 2P = 12  – 2.35 = 74.
1 1 x1 + x2 S 12
=
= =  .
b)  +
x1 x2
x1x2
P 35
c)  (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 -4P = 122 – 4.35 = 4.
d)  x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 )  = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1)  (m là tham số). 

1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm  với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải:
8

b
a

.


1. Phương trình (1) có  ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) =  4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2  0,  ∀ m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm  với mọi m.
2.
b − 2m + 1
S = x1 + x2 = − =
2S = − 2m + 1
a
2
Áp dụng hệ thức Vi­ét cho phương trình (1): 
c m −1
2P = m − 1
P = x1x2 = =
a
2

 2S + 4P = ­1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = ­1 : Đây là hệ thức cần tìm.
Ví dụ 3: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
 

Giải:
Theo đề bài 

 u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 

Phương trình (*) có  ∆ = 9 > 0 
Vậy: 

∆ =3

x1 = 7
x2 = 4

 x2 – 11x + 28 = 0(*)

.

u=7
u=4
  hay 
v=4
v=7

Ví dụ 4: Cho hai số a =  3 +1 và b = 3 –  3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b.
Giải:
a + b = ( 3+1) + (3 –  3) = 4.
a.b = ( 3+1). (3 –  3) = 2 3.
Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0   x2 – 4x + 2 3  = 0: Đây là pt cần tìm.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các  phương trình : 

a ) x 2 − 2 x − 15 = 0  
b) − 3x 2 + 10 x − 7 = 0
c)2 x 2 − 12 x − 5 = 0
1
e) − x 2 + = 0
g)  2018 x 2 + 2019 x + 1 = 0
f)5 x − x 2 = 0
4
Bài 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

d)2 x 2 − 5 = 0

 

h)  x 4 − 3 x 2 − 4 = 0

Bài 3: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào 
m.
Bài tập 4 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số)   (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài tập 5 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số)   (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 5.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
9


4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1).  
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A =  x12 + x 22 theo m.
4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài  7: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1).  
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m để  x12 + x 22 = 10.
Bài 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x  + 4m + 1 = 0 (1). 
1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 
2. Tìm m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
Bài tập 9:  Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0  (m là tham số)    (1).
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ  thức liên hệ  giữa các 
nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
Bài 10:  Cho phương trình:  x2 – mx – 4  = 0     (m là tham số)  (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm  giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:  x12 + x22 = 5

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc giá trị của m.
Bài 1:) Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2mx – 4m – 4 = 0(1)
Bài 11: a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi Giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 ­ x1x2 = 13
Bài 12: Cho phương trình x2 + (m – 2)x – m + 1 =0
a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 + x22 ­6x1 x2
Bài 13: Cho phương trình (ấn số x): x2 – 4x + m – 2 = 0 (1)
a) Giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm
10


b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 – x2 = 8
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN
 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
Bài tập 1: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn  
số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD:  Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x  N, 0 < x   9)
Chữ số hàng đơn vị: 10 – x 
Số đã cho có dạng:  x(10 − x)  = 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 
x2 − x − 2 = 0  
Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 2:  Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng 
thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
HD: 

280
Nửa chu vi hình chữ nhật: 
 = 140 (m).
2
Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài của hình chữ  nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ  nhật mới có diện  
tích:
  (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 
5x = 430 
x = 86 (thỏa ĐK)
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m 
và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước  
thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ  nhất sẽ chảy đầy bể  chậm hơn vòi thứ  hai 27 giờ. Hỏi nếu  
chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
HD: 
Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
1
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được    (bể).
x
1
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được 
  (bể).
x − 27
1

Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được   bể, 
18
do đó nên ta có pt:
1
1
1
+
=
   x2 – 63x + 486 = 0.
x
x − 27 18
Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).
11


Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.
Bài tập 4: Một khối học sinh lớp 9 được giao nhiệm vụ  trong buổi lao động là trồng 1900 cây xanh. Khi làm 
việc có 5 học sinh được cử đi làm việc khác nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 1 cây nữa so với dự định . 
Hỏi khối 9 đó có bao nhiêu học sinh, biết mỗi học sinh trồng số cây như nhau
Giải : 
Gọi x là số học sịnh khối 9 tham gia trồng cây trong buổi lao động. 
ĐK : x: nguyên dương và x > 5
     Đại lượng

Số cây trồng

Số học sinh

Dự định

1900

x

Thực tế

1900

x – 5

Trường hợp 

Số cây trồng của 
một học sinh
1900
x
1900
x −5

1900
 (cây) 
x
Nhưng thực tế , Số học sinh tham gia trồng cây là : (x – 5 ) (hs)
1900
Số cây trồng của mỗi học sinh trong thực tế là : 
 (cây )
x −5
Vì khi làm việc mỗi học sinh phải trồng thêm 1 cây nữa so với dự định 
1900
1900

−1 =
 nên ta có phương trình : 
x −5
x
  1900 x − x ( x − 5) = 1900( x − 5)  
  1900 x − x 2 + 5 x = 1900 x − 9500  
  x 2 − 5 x − 9500 = 0  
Giải phương trình trên , ta được :  x = 100  (thỏa ĐK) 
Hoặc  x = −95   (không thõa ĐK)
Vậy  số học sinh của khối 9 là 100 học sinh .
Khi đó : Số cây trồng của mỗi học sinh theo dự định là : 

Một số bài tập tự luyện :
Bài tập 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó .
Bài tập 2: Cho hai số hơn kém nhau 3 đơn vị . Biết tổng bình phương của hai số này bằng 89. Hãy xác định hai  
số đã cho .
Bài tập 3: Tìm ba số nguyên liên tiếp , biết rằng chúng là số đo của ba cạnh của một tam giác vuông.
Bài tập 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng  
giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
Bài tập 5: Hai lớp 9A và 9B cùng làm chung một công việc và hoàn thàng trong 6 giờ . Nếu làm riêng thì mỗi  
lớp phải mất bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc , cho biết lớp 9A làm nhanh hơn lớp 9B là 5 giờ .
2
Bài tập 5: Hai lớp 9A và 9B cùng làm chung một công việc và trong 4 giờ thì được   công việc . Nếu làm riêng 
3
thì mỗi lớp phải mất bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc . Nếu làm riêng thì mỗi lớp phải mất bao  
nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc , cho biết lớp 9A làm nhanh hơn lớp 9B là 5 giờ .

12

Bài tập 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn và sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể . Nếu chỉ sử dụng một vòi  
thì phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? cho biết vòi I chảy nhanh hơn vòi II 4 giờ .
Bài tập 7: Hai bạn An và Hà cùng đạp xe đạp đến trường cùng một lúc trên một quãng đường dài 12 km. Vận 
tốc của bạn An lớn hơn vận tốc của bạn Hà là 3 km/h nên bạn An đến trường trước bạn Hà là 12 phút . Tính 
vận tốc mỗi bạn . 
Bài tập 8 : Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được 1 
giờ , ô tô dừng lại đổ xăng 10 phút. Do đó để đến B đúng hẹn , xe phải tăng tốc 6km/h. Tính vận tốc của ô tô 
lúc đầu.
Bài tập 9: Một nhóm học sinh dự định chuyển 105 bó sách về thư viện của trường , với điều kiện mỗi bạn 
chuyển số bó sách như nhau . Đến buổi lao động có 2 bạn bị ốm không tham gia được , vì vậy mỗi bạn còn lại 
phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển . Hỏi số học sinh ban đầu của nhóm là bao nhiêu .
Bài 10: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm . Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng như kế 
hoạch đề ra , những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành sớm kế hoạch 2 
ngày . Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày họ sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 11: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 150 hs khối 9 . Lúc sắp khởi hành có 5 xe được 
điều đi làm việc khác . Vì vậy mỗi xe phải chở thêm 5 hs nữa mới hết số hs  . Tính số xe lúc đầu của đội , biết 
rằng số hs mỗi xe chở là bằng nhau .
Bài 12:  Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm  
2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m2.
 
CHỦ ĐỀ :  HÌNH HỌC 
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Dựng đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh 
AC tại N. Gọi K là giao điểm của CM và BN .
a. C/m tứ giác AMKN nội tiếp.
b. C/m  AK ⊥ BC  
ﾷ
ﾷ
c. C/m  OMC
 . Từ đó suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMKN.
= BAK

o
d. Cho ABC = 60  và BC = 12 cm . Tính thể tích hình tạo thành khi quay  ∆BMC   quanh MC cố 
định .
Bài 2:  Cho  (O; R)  và đường kính AB cố định . Qua B kẻ tiếp tuyến d với đường tròn (O) . Trên đường thẳng d 
lấy điểm M ( M B ), MA cắt đường tròn (O) tại C.
b. C/m   BM 2 = CM . AM  
c. Gọ D là trung điểm của AC . C/m 4 điểm O,B, M, D cùng thuộc một đường tròn. Xác 
định tâm I của đường tròn này.
d. Cho R = 3cm,  ﾷABC = 60o  . Tính độ dài cung nhỏ BC .
e. Cho M di động trên d. Tìm quỹ tích điểm D.
 Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , kẻ hai đường cao BM và CN. Đường thẳng MN cắt (O) tại D và E. 
a. C/m tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn đó .
b. Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) . C/m  Ax // MN 
c. C/m tam giác ADE cân 
d. Giả sử AB cố định , C lưu động trên cung lớn AB . Tìm quỹ tích của điểm I.
13


Bài 4: Cho nửa đường tâm O đường kính BC . Điểm A thuộc nửa đường tròn tâm O sao cho cung AB nhỏ hơn 
cung AC . Lấy điểm D nằm giữa O và C. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt AC 
tại E.
a. C/m tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn đó .
b. C/m  ﾷABE = ﾷADE  
c. Đường thẳng DE cắt BA tại F . Gọi M là trung điểm của EF. 
C/m  AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính BC 
d. C/m FA. FB = FE . FD 
Bài 5:  Cho hình chữ nhật ABCD , với AB = 1 , BD = 2. Gọi E là điểm thuộc cạnh CD . Qua D kẻ đường thẳng 
vuông góc với BE cắt BE ở Hvà  cắt đường thẳng BC tại K .
a. C/m tứ giác BCHD nội tiếp .
b. Tính số đo góc CHK

c. C/m  BE . EH = CE . ED 
d. Khi E chạy trên cạnh CD thì điểm H chạy trên đường nào ?
Bài 6 :  Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , M là điểm chính giữa của cung AB . MC, MD lầ lượt cắt AB tại F, E . 
Tia DA cắt tia CM tại I, tia CB cắt tia DM tại K . 
Chứng minh :
ﾷ
ﾷ
a.  CID
= CKD
ﾷ
b.  ﾷADM = BCM
c. Tứ giác CDEF nội tiếp .
d. Tứ giác CDIK nội tiếp .
e. IK //AB .

Bài 7: Cho đường tròn (O) có dây AB vuông góc với đường kính CD tại E ( D thuộc cung nhỏ AB) . Một điểm 
H nằm giữa A và E  (H khác A và E ) . Kéo dài DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G. Gọi K là giao điểm 
của CG và BA . 
CMR :
a. Tứ giác CGHE nội tiếp được đương tròn .
b. DK ⊥ CH  
c. GD là tia phân giác của góc  ﾷAGB  , từ đó suy ra  AH . BK = BH . AK 
Bài 8: 

Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O ) cố định. Kẻ  tiếp tuyến MA, MB  với đường tròn  
(O) và cát tuyến MCD của (O) (Với A, B là tiếp điểm; C, D nằm trên đường tròn tâm O). Gọi H là trung điểm 
đoạn thẳng CD. 
a) Chứng minh: Tứ giác  MAOB  nội tiếp đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn này .
b) C/m : Điểm H cũng thuộc đường tròn  ( I )  
A

ﾷ
ﾷ
b) . So sánh góc  MOA
 với góc  MHA
D
c) Tìm qũy tích của điểm H khi cát tuyến MCD thay đổi .
H
C
M

O

B

14


Bài 9: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  (O; R)  vẽ tiêp tuyến AB, AC với đường tròn (O), với B, C là các 
tiếp điểm . Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kỳ , vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (với 
( I AB,    K AC )  .
a. C/m: Tứ giác AIMK nội tiếp .
b. Vẽ MP vuông góc với BC (với  (P BC ) .
ﾷ
ﾷ
C/m:  MPK
 
= MBC
c. C/m:  MI .MK = MP 2  
d. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích  MI .MK .MP  đạt giá trị lớn nhất .
Bài 10:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tai E. 

Kẻ EF vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác ABEF nội tiếp một đường tròn
b. Tia BD là tia phân giác của góc CBF
c. Tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.
Bài 11:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại H. 
Kẻ HI vuông góc với AD. 
e. C/m : Tứ giác CDHI nội tiếp đường tròn .
f. C/m : CH là tia phân giác của góc BCI
g. C/m : H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BCI
h. Gọi K là giao điểm của AB và CD 
C/m : K, H, I thẳng hàng .
Bài 12:      
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đó và M là điểm  
chính giữa của cung AC. Dây AC cắt dây BM tại H, đường thằng AM cắt đường thẳng BC tại E.
Chứng minh:       
a. Tứ giác EMHC nội tiếp được một đường tròn.
b.  EH vuông góc với AB.
c.  Tam giác ABE cân.
d. Khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì E di động trên đường cố định nào.     
Bài 13:   Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  (O; R)  vẽ tiêp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( với B, C là 
các tiếp điểm) và cát tuyến ADE. Gọ H là trung điểm của DE .
a. C/m : Tứ giác ABOH nội tiếp.
b. C/m : HA là tia phân giác của góc BHC.
c. BH cắt đường tròn (O) ở K. C/m : AE // KC   

 Ph  ần trắc nghiệm  
15


Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất .

ĐẠI SỐ : 
CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai  ẩn?
A. x – 3y  = 3              B. 0x – 0y = 7                 C. 0x  + 2y = ­5                D. 2x – 3 = 0 
Câu 2 :  Cho phương trình  :  x – 2y = 1  (1) .   Câu khẳng định nào sau đây là sai 
a. PT (1)  có  vô số nghiệm 
b. Cặp số (3 ; ­ 1) là nghiệm của PT(1)
x −1
c. PT (1) có nghiệm tổng quát là   x R, y =
2
d. PT (1) có nghiệm tổng quát là   ( x = 2 y + 1, y R, )
Câu 3:Trong mặp phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình  x − y = 0  được biểu diễn bởi đường thẳng :
A. đi qua điểm có tọa độ  (1;1)  và song song với Ox
B.  đi qua điểm có tọa độ  (1;1)  và song song với Oy
C.   là đường phân giác của góc xOy
D.    Đi qua gốc tọa độ và điểm  (1; −1)          
Câu 4: Cặp số ( ­2 ; ­1 ) là nghiệm của phương trình nào?
      A. 4x – y  = 7             B. 2x + 0y = ­ 4             
   C. 0x + 2y = 2               D. x + y = 0
Câu 5: Đường thẳng (d) ở hình vẽ bên, 
biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào sau đây:
A.  x − y = 0
B.  x + y = 0             
C.  x − y = 1
D.  x + y = 1

Câu 6: Cho phương trình   x − 2 y = 1  (1). Phương trình nào sau đây kết hợp với phương trình (1) để được một 
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm ?
      A. 4x – y  = 7             B. 2x + 0y = ­ 4           
     C. 0x + 2y = 2               D.  2 x − 4 y = 2

Câu 7 : Đường thẳng (d) ở hình vẽ bên, 
biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào sau đây:
A.  x − y = 3
B.  x + y = 3             
C.  x − y = −3
D.  x + y = −3

Câu 8:Trong mặp phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình  x + 0 y = 3  được biểu diễn bởi đường thẳng 
:
A. song song với Oy và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
B.  song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
C.   Là đường phân giác của góc xOy
D.    Đi hai điểm có tọa độ  (0;3)   và  (3;0)          
16


 
x+ y = 2
 có :
2x − y = 1
      A. nghiệm duy nhất             B. Có hai nghiệm                C. Vô ngiệm               D. Vô số nghiệm 
x − 3y = 2
Câu 10 :  Hệ phương trình 
 có :
2x − 6 = 1
      A. nghiệm duy nhất             B. Có hai nghiệm                C. Vô ngiệm               D. Vô số nghiệm 
Câu 9 :  Hệ phương trình 

Câu 11:Trong mặp phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình  0 x + y = 3  được biểu diễn bởi đường 
thẳng :

A. song song với Oy và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
B.  song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
C.   Là đường phân giác của góc xOy
D. Đi hai điểm có tọa độ  (0;3)   và  (3;0)          
x− y =5
 có :
−2 x + 4 y = −10
      A. nghiệm duy nhất             B. Có hai nghiệm                C. Vô ngiệm               D. Vô số nghiệm 
Câu 12 :  Hệ phương trình 

x + my = 3
 có vô số nghiệm khi :
x− y =3
      A.  m = −3                             B.  m = −1
C.  m = 1
x + my = 3
Câu 14 :  Hệ phương trình 
 có nghiệmduy nhất khi :
x− y =3
      A.  m −1                             B.  m = −1
C.  m 1
Câu 13 :  Hệ phương trình 

D.  m = 3

D.  m = 1

x 1
2 x 5 y 12
      A. ( 2 ; 1 )                            B. ( 1 ; 2 )                              C. ( 1 ; ­ 2 )                 D. ( ­1 ; 3 ) 

Câu 15: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình  

CHƯƠNG IV: 

HÀM SỐ 

y = ax 2 (a

0)  

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
−1 2
x  kết luận nào sau đây là đúng ?
2
A. Hàm số luôn nghịch biến
B. Hàm số luôn đồng biến
C. Hàm số nghịch biến khi x>0, đồng 
D. y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. 
biến khi x<0
Câu 2: Cho hàm số y =   y = 3x 2  kết luận nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số luôn nghịch biến
B. Hàm số luôn đồng biến
C. Hàm số nghịch biến khi x>0, đồng 
D. Hàm số đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
biến khi x<0
Câu 1: Cho hàm số y =  

Câu 3:  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai:
Cho hàm số   y = 2 x 2    khi đó:
17

A.  Đồ thị hàm số là một Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng. 
B.  Hàm số đồng biến khi x > 0 và  nghịch biến khi x < 0.
C.  Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
D.  Nếu  y = 8  thì x = 2 .
Câu 4: Hàm số  y = −3 x 2  đồng biến khi :
A.  x > 0  
B.  x = 0  
C.  x = −3  
D.  x < 0  
Câu 5: Hàm số  y = mx 2  đồng biến khi  x > 0  và nghịch biến khi  x < 0  nếu : 
A.  m > 0  
B.  m < 0  
C.  m 0  
D.  m 0  
2
Câu 6: Hàm số  y = (m + 1) x  đồng biến khi  x > 0  và nghịch biến khi  x < 0  nếu : 
A.  m > −1  
B.  m < −1  
C.  m < 1  
D.  m > 1  
2
Câu 7: Hàm số  y = (m − 2) x  đồng biến khi  x < 0  và nghịch biến khi  x > 0  nếu : 
A.  m > −2  
B.  m < −2  
C.  m < 2  
D.  m > 2  
Câu 8: 2. Để  ( P) : y = ax 2  đi qua  A(1; −4)  thì hệ số a bằng :
A.  a = −4

B.  a = −2
C.  a = 2
Câu 9: 2. Điểm A (­2; ­1) thuộc đồ thị hàm số nào ?
x2
x2
A.  y   
B.  y   
C.  y 
4
4

D.  a = 4

x2
 
2

D.  y   

x2
2

Câu 10: Trong những phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình bậc hai một ẩn.
A. 2x2 – 3 = 0
B.  −3x 2 + 5 x = 0
C.  −7 x 2 = 0
D.  0 x 2 − 2 x + 11 = 0
Câu 11: 2. Giá trị nào của a dưới đây thì đường thẳng  (d ) : y = 2 x + a   tiếp xúc với  ( P) : y = x 2   :
−1
1

A.  a = −1
B.  a = 1
C.  a =
D.  a =
4
4
2
Câu 12: 2  Cho  ( P) : y = 2 x   và  (d ) : y = 7 x − 5 . Số điểm chung của  ( P)  và  (d )  là :
A. 0
B.  1
C.  2
D. 3
Câu 13: Phương trình   x 2 − 5 x = 0  có tập hợp nghiệm là :
A.  S = { 0}   , 
B.   S = { 5}  , 
C.  S = { 0;5}
Câu 14: Phương tình: ax 2 + bx + c = 0   (a 0)   có hai nghiệm khi :
A.  ∆ < 0  
B.  ∆ = 0
          C.  ∆ 0

D.  S = { 0; −5}

Câu 15: Phương tình: ax 2 + bx + c = 0   (a 0)   có hai nghiệm phân biệt khi :
A.  ∆ < 0  
B.  ∆ = 0
          C.  ∆ 0
2
Câu 16: Phương tình: ax + bx + c = 0   (a 0)   có nghiệm kép khi :
A.  ∆ < 0  

B.  ∆ = 0
          C.  ∆ 0
Câu 17: Phương tình: ax 2 + bx + c = 0   (a 0)   vô nghiệm khi :
A.  ∆ < 0  
B.  ∆ = 0
          C.  ∆ 0
2
Câu 18 : Cho phương trình ax  + bx + c = 0 (a   0). (1)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai.
a. Nếu  a.c < 0  thì PT(1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Nếu  ∆ = b 2 − 4ac > 0  thì PT(1) có hai nghiệm phân biệt.
18

D.  ∆ > 0

D.  ∆ > 0
D.  ∆ > 0
D.  ∆ > 0


c. Nếu  a + b − c = 0  thì PT(1) có hai nghiệm phân biệt : x1 = −1  ;  x2 =
d. Nếu  a + b + c = 0  thì PT(1) có hai nghiệm phân biệt : x1 = 1  ;  x2 =

−c
 
a

c
 
a

Câu 19: Phương tình: ax 2 + bx + c = 0   (a 0)   có hai nghiệm khi :
A.  ∆ < 0  
B.  ∆ = 0
          C.  ∆ 0
2
Câu 20: Phương tình: 2018 x + 2019 x + 1 = 0   có nghiệm :
x1 = 1
x1 = −1
x1 = −1
A. 
B. 
        C. 
1  
−1
1
x2 =
x2 =
x2 =
2018
2018
2018

D.  ∆ > 0
x1 = 1
D. 

x2 =

−1

2018

 Câu 21            
 
 yêu l
 
 Câu 22
 
 : Phương trình  3 x 2 − 4 x − 7 = 0  có một nghiệm là  −1  , nghiệm còn lại là :
−7
−3
3
7
A. 
B. 
C. 
D. 
3
7
7
3
2
Câu 23: Nếu phương trình  ax + bx + c = 0(a 0)  có hai nghiệm  x1 ; x2  thì : 
−b
−b
−c
c
A.  x1 + x2 =
B.  x1 + x2 =
 

          C.  x1.x2 =
D.  x1.x2 =
2a
a
a
2a
Câu 24: Biết x1 = 2 là một nghiệm của phương trình x2 – 10x + 16 = 0, nghiệm còn lại là :
A. – 16  , 
B.  – 8 , 
C.  8  , 
D. 16
Câu 25: Cho biết hai số có tổng bằng 3 và có tích bằng 2. Vậy hai số là nghiệm của phương trình 
A.  x 2 − 3x − 2 = 0
B.  x 2 − 3 x + 2 = 0
C.  x 2 + 3 x − 2 = 0
D.  x 2 + 3 x + 2 = 0
Câu 26: Phương tình: x 2 + 2 x + m − 1 = 0   có một nghiệm bằng 1 thì m bằng  :
A.  m = −2  
B.  m = 2
          C.  m = 3
D.  m = 4
Cho phương tình  ax 4 + bx 2 + c = 0(a 0)   (1) 
Đặt   t = x 2   (t 0)  
Khi đó PT(1) trở thành  at 2 + bt + c = 0  
Câu 27:  Nếu PT(2) có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 28:  Nếu PT(2) có 2 nghiệm phân biệt đều âm thì số nghiệm của PT(1) là : 

A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 29:  Nếu PT(2) có một nghiệm âm và một nghiệm dương thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 30:  Nếu PT(2) có một nghiệm bằng 0 và một âm  thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 31:  Nếu PT(2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 32:  Nếu PT(2) có nghiệm kép âm thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
Câu 33:  Nếu PT(2) có nghiệm kép dương thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3
D. 4
19

Câu 34:  Nếu PT(2) vô nghiệm thì số nghiệm của PT(1) là : 
A.  0
B. 2
          C. 3

D. 4

CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Góc nào sau đây có số đo bằng cung bị chắn ? 
A.

Góc ở tâm .

C. Góc nội tiếp .

B.

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung .

D. Góc có đỉnh bên trong đường tròn .

Câu 2: Cho AB là dây cung của đường tròn (O; 4 cm), biết AB = 4 cm, số đo của cung nhỏ AB là:
A. 60o       

B. 120o       

Câu 3: Góc nội tiếp bằng 300 thì chắn cung có số đo:
A.  150

    
B. 300

C. 30o       

D. 90o

C. 600

D. 1500

Câu 4: Góc chắn cung 900 có số đo bằng 450 là góc: 
 
A. Góc ở tâm 
B. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.      
C. Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn 
D. Góc có đỉnh nằm trong đường tròn 
Câu 5: Góc ABC là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn
chắn cung 600 và cung 900. Khi đó  ﾷABC = ....0
A.  150
    
B. 300
C. 750
D. 1500
Câu 6: Trong hình dưới đây, góc nào là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung :
A

I

K

B

O

O
O

A

a.  ﾷAOB  

M

C

N

O

H

x

B

ﾷ
b.  MIN

ﾷ

c.  BAC

ﾷ
d.  HKx

Câu 7: Hình nào sau đây nội tiếp được trong đường tròn:                                                     
A. Hình thang, hình chữ nhật
C. Hình vuông, hình bình hành
B. Hình chữ nhật, hình thoi
D. Hình thang cân, hình vuông. 
Câu 8: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn thì:
ﾷ = 1800
ﾷ +C
ﾷ = 1800
ﾷ +D
ﾷ = 1800
ﾷ +D
ﾷ = 1800 .
A.   ﾷA + C
       B.  B
C.  C
D.  C
Câu 9. Độ dài cung 600 của đường tròn (O, 3cm) là:
A.  π  (cm)
     B. 2 π  (cm)
C. 3 π  (cm)
D. 6 π  (cm).                       
Câu 10: Độ dài của ( O; 2 cm) là: 
 
A. 2 π  (cm)

     B. 4 π  (cm)
C. 6 π  (cm)
  D. Cả 3 câu trên đều sai. 
0
2 
Câu 11: Diện tích hình quạt cung 60  bằng 4 cm  thì hình tròn đó có diện tích là: 
20


A.  2 (cm2)

    

B. 16 (cm2)

C. 24 (cm2)

Câu 12: Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm A và B sao cho : ﾷAOB = 60o  
Khi đó số đo cung nhỏ AB bằng : 
A. 30o    

 B. 60o    

 C . 90o     

D. 120o

ﾷ
Câu 13: Cho  BAC
= 35o   là góc nội tiếp chắn cung BC trong (O;R).

 Số đo cung nhỏ BC bằng : 
A. 35o     

B. 40o     

C. 70o    

 D. 140o

Câu 14: Cho hình vẽ bên , biết  ﾷAEC = 52O  
ﾷ  bằng :
Tổng số đo hai cung bị chắn  ﾷAC   và  BD
A. 26o    

 B. 52o    

 C . 76o     

D. 104o

ﾷ = 40O  và  CE
ﾷ = 118O
Câu 15: Cho hình vẽ bên , biết  BD
Khi đó số đo góc CAE bằng :
A. 39o    

 B. 78o    

 C . 79o     

D. 158o

Câu 16: Cho hình vẽ bên, biết : sđ ﾷAB = 60o  .
Khi đó số đo góc BAx bằng : 
A. 30o    
 B. 60o     
C . 90o   

  D. 120o

Câu 17: Tứ ABCD nội tiếp có  ﾷABC = 60o  . Vậy số đo của góc ADC là : 
A. 30o     

B. 60o     

C. 90o    

 D. 120o

Câu 18: : Chu vi của đường tròn được tính theo công thức :
A. 

πR
    
2

B.  π R    

C.  2π R    

 D.  2π R 2

Câu 19: : Chu vi của đường tròn có bán kính 3 cm
A.  2π     

B.  3π    

C.  6π    

 D.  9π

Câu 20:  Độ dài cung 120o của đường tròn có bán kính 3  cm
A.  2π     

B.  3π    

C.  6π    

 D.  9π

Câu 21: : Diện tích của đường tròn  (O; R) được tính theo công thức :
21

      D. 8 (cm2)


A.  π R     

B.  2π R    

C.  π R 2    

 D.  2π R 2

Câu 22: : Diện tích của đường tròn có bán kính 3 cm
A.  2π     

B.  3π    

C.  6π    

 D.  9π

Câu 23: Công thức  tính diện tích hình quạt tròn cung  n0  của  (O; R)  
Rπ
.n
A.   2R π
    B.  π R 2
C. 
180
Câu 24:  Diện tích của hình quạt tròn  ứng với cung 120o  bán kính 3  cm
A.  2π     

B.  3π    

C.  6π    

D. 

π R2

n
3600

 D.  9π

Câu 25: Cho hình bên, với AB là đường kính của (O).
Khi đó góc ACB bằng :
A. 30o    

 B. 40o    

 C . 60o     

D. 90o

 C . 80o     

D. 100o

Câu 26: Cho hình vẽ . Số đo x bằng : 
A. 25o    

 B. 50o    

Câu 27: Cho hình vẽ bên, với AC là đường kính của đường tròn (O)  
Khi đó số đo x bằng : 
A. 40o    

 B. 50o    

 C . 60o     

D. 90o

Câu 28: Trong các hình dưới đây, tứ giác nào nội tiếp được đường tròn  (O)  
N

F

P
O

M

E

G

I

O

V

C
A

O

Q

B

K

O

L

H

a. MNPQ

b. EFGH

D

c. IKLV

d. ABCD

Câu 29: Đường tròn có chu vi bằng  10π  cm thì có bán kính bằng : 
A.  5   cm   

B.  10  cm

C.  5 cm 

 D. 10 cm 

Câu 30: Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 4cm bằng : 
A.  2   cm   

B.  4  cm

C. 1cm 

 D.  1,5 cm 

Câu 31: Diện tích của hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 4cm bằng : 
A.  2π   cm   

B.  4π  cm

C.  6π cm 

Câu 32: Chu vi của hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 4cm bằng : 
22

 D. 16π cm 


A.  2π   cm   

B.  4π  cm

C.  6π cm 

 D.  16π cm 

Câu 33: Cho đường tròn  (O; r ) và đường tròn  (O; R) là đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp  hình vuông ABCD .
Khi đó : Tỉ số 
A. 

1
 
2

R
 bằng : 
r
B.  2  

3
C.   
2

D. 2

Câu 34: Cho đường tròn  (O; r ) và đường tròn  (O; R) là đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp  hình vuông ABCD .
Khi đó : Tỉ số 
A. 

1
 
2

R
 bằng : 
r

B. 

1
 
2

C.  2  

D. 2

Câu   35:   Cho   đường   tròn   (O; r ) và   đường   tròn   (O; R) là   đường   tròn   nội   tiếp   và   ngoại   tiếp   ngũ   giác   đều 
ABCDE .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng sai.
A.    sđ ﾷAB = 72O  

B.   r = Rco s 36o

C.   r = R sin 36o

D.  r = R sin 54o

Câu 36: Cho đường tròn  (O; r ) và đường tròn  (O; R) là đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ngũ giác đều  ABCD .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng sai.
A. 

R
2
=
    
r

3

B.   r = Rco s 30o

C.   r = R sin 60o

D. 

R
3
=
r
2

Câu 37: Khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định của nó ta được:
A.Một hình nón
B.Một hình trụ 
C. Một hình cầu 
D. Một hình nón cụt
Câu 38: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là:
A.  π R2 h
B. 4π R2
C. 2π Rh
Câu 39 : Diện tích xung quanh của một hình trụ có bán kính đáy 3cm và chiều cao 8cm là:
A.24 π (cm2) 
B. 48 π (cm2) 
C. 72 π (cm2) 
D. 243 π (cm2)
Câu 40: Công thức tính thể tích của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là:
A.  π R2 h

B. 4π R2
C. 2π Rh
D.  2π R2 h
Câu 41 : Thể tích  của một hình trụ có bán kính đáy 3cm và chiều cao 8cm là:
B.24 π (cm3 )
B. 48 π (cm3 )
C. 72 π (cm3 )
D. 243 π (cm3 )
Câu 42: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đường cao, ta được:
A.Một hình chữ nhật 
B. một hình thang cân
C.một hình thang 
D. một hình thang vuông
Câu 43: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là:
A.  π rl
B. 2π rl
C. π rh
D.  2π rh
23


Câu 44: Công thức tính thể tích của hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h là 
1
1
A.  π r 2h
B. π r 2l
C. π r 2h
D.  π r 2h
3
2

Câu 45: Diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy 6cm và chiều cao 8cm là : 
A.24 π (cm2) 
B. 30 π (cm2) 
C. 48 π (cm2) 
D. 60 π (cm2)
Câu 46 : Thể tích của một hình nón có bán kính đáy 6cm và chiều cao 8cm là : 
A.60 π (cm3 )  
B. 96 π (cm3 )
C. 144 π (cm3 )
D. 288 π (cm3 )
Câu 47: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vong quanh cạnh AB ta 
được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là:
C.20 π (cm2) 
B. 48 π (cm2) 
C. 15 π (cm2) 
D. 64 π (cm2)
Câu 48: Cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đường cao, ta được:
B.Một hình chữ nhật 
B. một hình thang cân
C.một hình thang 
D. một hình thang vuông

24