Đề cương ôn tập HK2 môn Toán 9 năm 2017-2018 - Trường THCS Chu Văn An

UBND QUẬN TÂY HỒ
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN: TOÁN – LỚP 9

A. Lý thuyết:
I . Đại số:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, cách 
giải.
2. Hàm số . Tính chất, đồ thị hàm số.
3. Phương trình bậc hai: Định nghĩa, cách giải.
4. Hệ thức Vi – ét và ứng dụng.
5. Giải các phương trình  quy về bậc hai.
6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
II. Hình học
1. Các loại góc liên quan đến đường tròn, cung chứa góc
2. Tứ giác nội tiếp, đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.
3. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
4. Diện tích, thể tích các hình: Hình trụ, hình nón, hình cầu.
B . Một số bài tập tham khảo:
I . Đại số:
    * Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 9.
c) Tìm giá trị của x để 
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
e) Tìm m để phương trình  có hai nghiệm phân biệt.
f) Tính các giá trị của x để A < 1

g) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Bài 2: Cho biểu thức   với 
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị của B khi 
c) Tìm  x để 
d) Với x >1, hãy so sánh  với 
Bài 3: Cho biểu thức   với 
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị của C, biết 
c) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất
d) So sánh  với 1


* Dạng 2: Giải phương trình bậc hai. Hệ thức Vi – ét:
Bài 4: Cho phương trình   (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m;
b) Chứng minh rằng biểu thức  trong đó  là hai nghiệm của phương trình (1) không 
phụ thuộc vào giá trị m.
c) Với m = 2. Không giải phương  trình, tính giá trị biểu thức sau:
d) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu? Có hai 
nghiệm trái dấu? Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương? Có 
hai nghiệm đối nhau? Có hai nghiệm dương?
e) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm  mà . 
f) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm  mà .
Bài 5: Cho phương trình:   (1)
a) Giải phương trình với m = ­3
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính 
tổng hai nghiệm phương trình.
d) Tìm một hệ thức liên hệ giữ hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

e) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm  thỏa mãn hệ thức 
Bài 6: Cho phương trình   (1) có hai nghiệm .  Hãy lập phương trình bậc hai ẩn y sao 
cho hai nghiệm của nó:
a) Là số đổi của các nghiệm của phương trình (1)
b) Là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình (1)
  * Dạng 3: Hàm số và đồ thị:
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x ­2 và parabol (P): y = 
x2
Tìm tọa độ giao điểm A, B của (d) và (P).
Tính chu vi và diện tích tam giác AOB.
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ­2x – 2 và điểm A(­2;2) 
a) Chứng minh đường thẳng (d) đi qua A.
b) Tìm giá trị của a để parabol (P): y = ax2 đi qua điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua A và vuông góc với (d).
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):  và đường thẳng (d): . Tính các  
giá trị của m, n biết đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Song song với đường thẳng d = x và tiếp xúc với parabol (P);
b) Đi qua điểm A(1,5; ­1) và tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và 
(d) trong mỗi trường hợp trên.
c) Có hệ số góc bằng 5 và không cắt (P)
Bài 10 : Cho đường thẳng (d): 
a)
b)


a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P):  tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB theo m.
c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
d) Tìm tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua khi m thay đổi.
   *  Dạng 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bài 11 : Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 
120km trong một thời gian nhất định. Đi được một nửa quãng đường, xe nghỉ 30 phút 
nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 20km/h trên nửa quãng đường 
còn lại. Tính vận tốc dự định của ô tô.
Bài 12 : Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 72km, sau đó chạy ngược dòng 
khúc sông đó 54km, hết tổng cộng 6h. Tính vận tốc thực của ca nô? (biết vận tốc 
nước là 3km/h)
Bài 13 : Hai người cùng làm chung một công việc sau 6h thì xong. Nếu người thứ 
nhất làm một mình trong 2 giờ rồi nghỉ, để người thứ hai làm tiếp 3h thì được  công 
việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì hết mấy giờ?
Bài 14 : Hai A, B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84%. Tính riêng trường 
A có tỉ lệ đỗ là 80%. Tính riêng trường B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học dự thi của 
mỗi trường.
Bài 15 : Một đội xe cần chở 36 tấn hàng.  Trước khi làm việc đội bổ sung thêm 3 xe 
nên mỗi xe đã chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? 
(Biết số hàng chở trên các xe có khối lượng bằng nhau)
/>II. Hình học :
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa 
của cung AB không chứa điểm C, D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. 
Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. 
Chứng minh rằng:
a) 
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK // AB
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A.
Bài 17: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng 
AO, AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn 
(O’) tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh B, F, C thẳng hàng
b) Chứng minh AB, CD, FE đồng quy

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
d) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiêp tam giác BDE


e) MN là một tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (M, N là tiếp điểm). Chứng minh AB 
đi qua trung điểm của MN
f) Tìm điều kiện DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O’)
Bài 18: Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (. 
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC một hình vuông ACED. Tia EA cắt nửa đường tròn 
tai F. Nối BF cắt ED tại K.
a) Chứng minh 4 điểm B, C, D, K thuộc cùng một đường tròn
b) Chứng minh AB = EK
. 
c) Cho 
Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của đường tròn 
(O)
d) Tìm vị trí của điểm A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.
Bài 19: Cho đường tròn (O, R) với đường kính AB cố định, EF là đường kính quay 
quanh O. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại B. Nới AE, AF cắt đường thẳng d 
tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhât.
b) Chứng minh AE.AM = AF. AN
c) Hạ AD vuông góc EF tại I. CM I là trung điểm MN.
d) Gọi H là trực tâm . Chứng minh rằng khi đường kính EF di động, H luôn thuộc một 
đường tròn cố định
          ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP MÔN TOÁN 9­BA ĐÌNH
I. Biến đổi đồng nhất các biểu thức chứa căn thức bậc hai:

M

Bài 1: Cho 

2x

x 2
x 4

1
x

a) Rút gọn biểu thức M;
P

Bài 2: Cho 

x 2
x x 1

x
2

x

2

 (với x≥0; x≠4)

b) So sánh M với 1;
1
4 x
.
x 1 3

c) Tìm x để M <  .

 (với x≥0)
P

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để 
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
M=

1
2

8
9

;

x + x + 10
1
1
−
:
x−9

x −3
x −3

Bài 3: Cho 
 (với x≥0; x≠9)     và          N =
a) Tính giá trị của biểu thức N khi x = 16;      b) Rút gọn biểu thức M;
c) Tìm x để M < N.
P

x
x 1

x
2
:
x 1
x

x +1

 
           

2 x
x x 1

Bài 4: Cho 
     (với x≥0; x≠1)
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để P =2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1.
A

Bài 5: Cho 

x 1
x 2 x

1
x

2

.x 3 x

2

    (với x>0; x≠4)
1
2

a) Rút gọn biểu thức A;     b) Tìm x để A< ;
           
c) Tìm các giá nguyên của x để A có giá trị nguyên.
M=

 Bài 6 :   Cho 

x
1

2
+
:
x−4
x −2
x −2

a) Rút gọn biểu thức M;
P=

Bài 7: Cho 

 (với x≥0; x≠4)
4
5

b) Tìm x để M =  ;

1
1
2
+
:
x+ x
x +1
x +1

c)So sánh M và M2.

 (với x>0)

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để P =1;
Bài 8: (Đề thi vào lớp 10 ngày 8/6/2016)

1
2

c) So sánh P và  .


     Cho biểu thức A =  và   B =
a) Tính giá trị của A khi x = 25;     b) Chứng minh B = ;       
c) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là một số nguyên
II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Bài 1: Hai người làm chung một công việc thì sau 3 giờ  sẽ  xong. Nếu họ  cùng làm 
trong 2 giờ  sau đó người thứ  nhất nghỉ  thì người thứ  hai phải làm tiếp 4 giờ  nữa  
xong. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc
Bài 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và  
tổng các bình phương của hai chữ số của nó bằng 13.
 Bài 3 :   Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến  
B người đó nghỉ  30 phút rồi quay trở  về  A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 
km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc xe 
máy lúc đi từ A đến B.
 Bài 4 :   Một phân xưởng theo kế  hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một  
số  ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên  
phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế 
hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
 Bài 5 :   Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau đó 
lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn 

thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước 
là 4 km/h.
 Bài 6 :   Một nhóm thợ  đặt kế  hoạch sản xuất  400 sản phẩm. Trong 10 ngày đầu họ 
thực hiện đúng mức đề  ra. Những ngày còn lại họ  đã làm vượt mức mỗi ngày 5 sản 
phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần 
sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài 7: (Đề  thi vào lớp 10 năm 2016) Một mảnh vườn hình chữ  nhật có diện tích 
720m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng đi 6m thì diện tích mảnh  
vườn không đổi. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn
Bài 8:  (Đề  thi HK2 2013­ 2014):  Hai máy bơm nước cùng bơm thì sau 1 giờ  bơm 
được 26m3. Nếu máy thứ  nhất bơm trong 3 giờ  và máy thứ  hai bơm trong 2 giờ  thì 
được 63m3. Hỏi trong 1 giờ mỗi máy bơm được bao nhiêu m3 nước? 
Bài 9: (Đề thi HK2 2016 ­ 2017):  Tổng số học sinh khối 8 và khối 9 của một trường  
là 400 em, trong đó 252 em là học sinh giỏi. Tính số học sinh mỗi khối, biết rằng số 
học sinh giỏi khối 8 chiếm tỉ lệ 60%, số học sinh giỏi khối 9 chiếm tỉ lệ 65%.
III. Hệ phương trình. Phương trình bậc hai. Hàm số, đồ thị:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1)   ;                2)                   3) ;             
 4) ;
        5)                   6)                           
 


Bài 2: Cho hệ phương trình: 
    a) Giải hệ phương trình khi m = 2
 b) Tìm m để  hệ  có nghiệm duy nhất sao 
cho x.y có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
    a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y trái dấu.
    b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà .

Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m + 1 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = ­1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? 
Tìm nghiệm kép đó.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – x + m – 2 = 0, m là tham số. 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho: x12 + x22 = 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho: x13 + x23 = 11
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – m = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình  
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho:
a) x1 = 3x2
b) 2x1 + 3x2 = 6
2
2
Bài 7: Cho phương trình: x  – 2mx + m  – 1 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 
sao cho:
 
Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ­ x + 6 và parabol (P): y =  
x2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) b) A, B là hai giao điểm của (d) và (P). 
Tính diện tích  OAB
Bài 9: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
a) Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho x12 + x22 = 10
Bài 10: Cho parabol (P): y = –x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
A và B.
b) Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho x13 + x23 = –4 
Bài 11: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x – m2 + 9. 
a) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi m = 1

b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) nằm về hai phía của trục tung.
Bài 12: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m2 + m + 1. 
a) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d) và parabol (P) khi m = 1
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2 
sao cho =2
Bài 13: (Đề thi HK2 2016 ­2017): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x 2 
và đường thẳng (d): y = mx + 2 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân  
biệt A và B sao cho diện tích  AOB bằng 3 (đơnvị diện tích)
IV. Hình học:


Bài 1:  Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.  
Kẻ hai dây MC, MD lần lượt cắt AB tại E và F. CMR:
a) Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b) ME . MC = MF . MD.
c) Tứ giác CEFD nội tiếp.
d) Khi  thì tam giác OAM đều.
Bài 2: Cho tam giác ABC có  ba góc nhọn nội tiếp (O), đường cao BD, CE , M là trung 
điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c) Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.
d) Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì  DME là tam giác đều.
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn 
(C khác Avà B; CAtâm I đường kính CH cắt CA, CB lần lượt tại D và E.
a) Tứ giác CDHE là hình gì? Chứng minh.
b) Chứng minh tứ giác ADEB là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi M và N thứ  tự  là các trung điểm của AH và HB. Chứng minh DM, EN là  
các tiếp tuyến của đường tròn (I)

d) Gọi K  là giao điểm thứ  hai của đường tròn (I) và đường tròn (O), P là giao 
điểm của các đường thẳng CK và ED. Chứng minh P luôn nằm trên một đường 
thẳng cố  định khi C di động trên nửa đường tròn sao cho cung CA khác cung 
CB.
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường  
cao BE và CD cắt nhau tại H. đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại 
K.
a) Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. .
b) Chứng minh K và H đối xứng nhau qua BC
c)  Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
d)  Gọi M. N, P, Q thứ tự là hình chiếu của các điểm B, D, E, C trên tiếp tuyến xy 
tại A của đường tròn (O). Chứng minh MN = PQ
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định (AB < 2R). Điểm M thuộc cung lớn  
AB của đường tròn. Gọi I là trung điểm của dây AB. Vẽ  đường tròn (O’) qua M và 
tiếp xúc với AB tại A. Tia MI cắt đường tròn (O’) tại N, cắt đường tròn (O; R) tại C.
a) Chứng minh AN // BC.
b) Chứng minh tam giác INB và tam giác IBM đồng dạng.
c) Chứng minh BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN
d) Chứng minh rằng khi AB =  thì bốn điểm A, B, N, O cùng thuộc một đường 
tròn.
Bài 6: (Đề  thi HK2 2013­2014): Cho (O; R) có 2 đường kính AB, CD vuông góc với 
nhau. Trên cung nhỏ BC lấy điểm E. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt đường thẳng AB  


tại I. Đường thẳng DE cắt AB tại F. Qua F dựng đường thẳng vuông góc với AB và  
cắt đường thẳng EI tại K
a) Chứng minh: tứ giác OKEF nội tiếp 
b) Chứng minh: 
2

c) Chứng minh: DF. DE = 2R
d) Gọi P là giao điểm của OK và CF, Q là giao điểm của OE và KF. Chứng minh: P, 
Q, I thẳng hàng
Đề thi HK2 
2014­2015) Cho (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với 
Bài 7:  (
nhau. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M C, M B)
AM cắt OC tại E
a) Chứng minh tứ giác OEMB nội tiếp
b) Chứng minh: AE. AM = 2R2
c) Chứng minh:  AED đồng dạng với  FDA
d) DM cắt OB tại F. Chứng minh diện tích tứ  giác AEFD không phụ thuộc vào vị  trí  
điểm M trên cung nhỏ BC.  />

TRƯỜNG THCS & THPT
MV.LÔMÔNÔXỐP

KIỂM TRA HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Năm học: 2011 – 2012

Bài 1 (3 điểm):
Cho bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên (O) theo thứ tự đó sao cho ED cắt AB 
tại C với  và  Gọi giao điểm của AD với EB là M.
a) Tính số đo cung AE và BD nhỏ
b) Tính  
c) Tính diện tích quạt tròn AOE ứng với cung AE nhỏ của (O) khi R = 8cm.

Bài 2 (7 điểm):
Cho (O) và dây AB không đi qua tâm O. Kẻ đường kính PQ vuông góc với AB 

tại H (P thuộc cung AB lớn). Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài (O), đường thẳng PC 
cắt (O) tại điểm thứ hai là M và gọi MQ cắt AB tại K
a) Chứng minh tứ giác MKHP nội tiếp được
b) Chứng minh  
c) Chứng minh  
d) Cho A, B, C cố định, đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A, B. Gọi I là trung 

điểm của MB. Chứng minh I nằm trên một đường tròn cố định.