Đề cương ôn tập HK2 môn Toán 9 năm 2017-2018 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm

TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐIỂM GREEN FIELDS ECOPARK
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II LỚP 9
NĂM HỌC 2017­2018
I­
 RÚT GỌN BIỂU THỨC 
Bài 1: Cho biểu thức:
1
7
+
:
x +2 x−4

A=

x −1
−1
x −2

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x để A>2
c. Tìm  x Z  để  A Z  
Bài 2: Cho biểu thức:
B=

x +3
+
x −9

1
x
:

; x > 0, x
x +3
x −3

9

a. Rút gọn biểu thức B
b. Tính giá trị của B khi  x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2  
c.

So sánh B và 

1
3

Bài 3: Cho biểu thức:
P=

2 x
2
6
−
;Q =
x −9
x +3
x−3 x

a. Tính giá trị của Q tại x=121
b.

Tìm giá trị của x để  A =

c. Rút gọn Q.
d. So sánh A và  A2
Bài 4: Cho biểu thức:
A=

Q 2 x +1
 
=
P
2

x+2
x
−
;B =
x+ x −2
x +2

3
x −3
−
x −1 x −1

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị của x để B=1
c.

Tìm m để 

B x
= m  có nghiệm.
A

Bài 5: cho biểu thức:

C=

x
x
2
2−x
+
: −
, x > 0, x 1
x x( x + 1)
x −1 x −1

a. Rút gọn C
b. Tính giá trị của C biết  x − 1 = 3  
c.

Giải Phương trình  C =

−1
2

d. Tìm giá trị nhỏ nhất của C khi x>1
Bài 6: cho biểu thức:

D=

1
1
3 x −3
−
.
x −1 x x − 1 x + x

a. Rút gọn biểu thức D.
b. Tìm x để D có giá trị nguyên.
II­

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH­ 
PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 7: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 124m, người ta mở rộng chiều 
dài thêm 5m, chiều rộng thêm 3m, do đó diện tích mảnh vườn tang thêm 255 m2
.Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu.
Bài 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút bể 
đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại và sau đó mở vòi 2 chảy 
1
5

trong 20 phút thì được   bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu thì sẽ 
đầy bể.
Bài 9: Để hoàn thành một công việc theo dự định cần có một số công nhân làm 
trong một số ngày nhất định. Nếu bớt đi 3 công nhân thì phải mất thêm 6 ngày mới 
hoàn thành công việc. nếu tang thêm 2 công nhân thì công việc hoàn thành sớm hơn 

2 ngày. Hỏi theo dự định cần bao nhiêu công nhân làm và làm trong bao nhiêu ngày?
Bài 10: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hang. Lúc 
sắp khởi hành, đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại. nhờ vậy so với ban đầu 
mỗi xe phải chở ít hơn 2 lần. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng 
mỗi xe phải chở như nhau.
Bài 11: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 840 km trong thời gian quy định. Sau khi 
đi được nửa quãng đường, ô tô dừng lại nghỉ 30 phút nên trên quãng đường còn 
lại, ô tô phải tăng vận tốc thêm  2km / h  để đến B đúng hẹn. Tính vận tốc ban đầu 
của ô tô.
Bài 12: Một ô tô khởi hành đi từ A đến B. sau đó 30 phút một xe máy đi từ B đến 
A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của ô tô là 24  km / h  . Ô tô đến B được 1 giờ 20 
phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 120 km.
Bài 13: Một phòng họp có 180 ghế và được chia thành các dãy có số ghế ở mỗi 
dãy đều bằng nhau. Nếu kê thêm mỗi dãy 5 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong 
phòng không đổi. Hỏi ban đầu số ghế trong phòng được chia thành bao nhiêu dãy?
III­HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 14: Giải các hệ Phương trình sau:
a)

x− y =3
 
3x − 4 y = 2

x −1 y
+ =1
3
2
b
 
x + 3 y −1

−
=2
2
3

1 1
+ =2
x y
c.
 
3 1
− =2
x y


1
3
+
=4
x + 2 2 y −1
d.
 
4
1
−
=3
x + 2 2 y −1

e.

2 x −y=3

f

x + y =3

7
4
5
−
=
2x + 3
3− y 3
5
3
13
+
=
2x + 3
3− y 6

 

Bài 15:
Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy

( d1 ) : y = − x + 3; ( d 2 ) : y = 3x + 15; ( d3 ) : (m − 1) x − 2my = 5

Bài 16: 
Cho hệ Phương trình 

x + my = 1
 
mx + y = 1

a) Giải hệ với m = ­2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + 2y = 5
c) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x , y là số nguyên
d)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VIET
Bài 17. giải các phương trình sau:
a ) x 2 + 3 x − 4 = 0                                                         b)2 x 2 + x + 3 = 0  

(

)

(

)

c)3 x 2 + 3 + 2 x + 2 = 0                                        d ) x 2 − 5 + 2 7 x − 6 − 2 7 = 0  

Bài 18. giải các phương trình sau:
c) x 4 + 4 x 2 + 4 = 16 x 2 − 8 x + 1
x + 4 2x − 3
+
=2
2x − 3 x + 4
h) 5 − x + x + 3 = 2

e)

b) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12 = 0
2

a) x 4 − 2 x 2 − 8 = 0

d ) x 4 + 6 x3 − 7 x 2 − 6 x + 1 = 0
1
1
g ) x3 + 3 = x +
x
x
i ) x + 13 = x + 1

 

 

1
2

Bài 19. Cho hàm số  y = − x 2  có đồ thị (P)
a)Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng ­1 và 2.
b)Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa 
độ tiếp điểm .
1
4

Bài 20. Cho parabol (P) :  y = x 2  
a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc  là k và đi qua M (1,5 ; ­1).
b) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau.
c) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Bài 21. Cho parabol (P) :  y = x 2   và đường thẳng  y = mx + m + 1  
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ khi m = 1.
b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
c) Gọi  x1   và  x2   là hoành độ của A và B. Tìm m để  x1 − x2 = 2  
d) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm nằm cùng bên trái của trục tung.
Bài 22. Cho phương trình  x 2 − 2 ( m +1) x + m − 4 = 0   m là tham số
a) giải phương trình khi m = ­ 5.


b) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại nứng với m vừa 
tìm được.
c) Chứng minh rằng  phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
d) Chứng minh rằng biểu thức  A = x1 ( 1 − x2 ) + x2 ( 1 − x1 )   không phụ thuộc vào m.
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  x1 , x2   thỏa mãn  x 21 + x 2 2 = 10  
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  x1 , x2  thỏa mãn  2 x1 + x2 = 3  
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
V. HÌNH HỌC
Bài 23. Cho (O)nhai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Cho M là một 
điểm thuộc đoạn OB (M khác O, B) . Tia CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông 
góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM, CN không phụ thuộc vào vị trí của M trên đoạn OB.
d) DP là tiếp tuyến của (O).

e) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN thuộc cung tròn cố định.
Bài 24. Cho (O) và dây AB cố định ( AB < 2R). Từ điểm C thuộc tia đối  của tia 
AB, kẻ tiếp tuyến CD với (O) (D thuộc cung lớn AB). Gọi I là trung điểm của dây 
AB. Tia DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Kẻ đường thẳng  KE//AB (E 
thuộc (O)). Chứng minh rằng: 
a) CD 2 = CA.CB  
b) Tứ giác CDOI là tứ giác nội tiếp.
c) CE là tiếp tuyến của (O).
d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD 
chuyển động  trên một đường tròn cố định.
Bài 25. Cho (O), dây BC cố định (BC khác đường kính). Gọi điểm A là điểm chính 
giữa của cung nhỏ BC , điểm E di động trên cung lớn BC. Nối AE cắt BC tại D. 
Hạ đường thẳng CH vuông góc với AE tại H, cắt BE tại M. Gọi I là trung điểm 
của BC. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, I, H, C cùng thuộc một đường tròn.
b)  AD. AE = AC 2  .
c) AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BED.
d) Tìm vị trí của điểm E trên cung lớn BC để diện tích tam giác MAC lớn nhất.
Bài 26. Cho (O; R) , đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm của đoạn OB. 
Qua M kẻ dây CD vuông góc với AB. Điểm E chuyển động trên cung lớn CD (E 
khác A, C, D). Nối AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.
a) Chúng minh rằng các điểm B, M , E, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AE. AK không đổi.
c) Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OB, OC và cung nhỏ 
BC.
d) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK luôn thuộc một 
đường thẳng cố định khi E di chuyển  trên cung lớn CD.
/>

TRƯỜNG THCS LONG BIÊN

TỔ TỰ NHIÊN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
Năm học 2017 ­ 2018
MÔN: TOÁN 9

I/ Mục tiêu
1. Về kiến thức:
A. Phần đại số
1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: PP cộng đại số, PP thế
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm thu gọn
3. Hệ thức Vi – et
4. Đồ thị hàm số Parabol, và tương giao giữa Parabol với đường thẳng.
5. Các bước giải toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình.
B. Phần hình học
1. Góc với đường tròn: Các loại góc và các định lý liên hệ với số đo cung bị chắn, định lý 
liên hệ giữa các loại góc (góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, …)
2. Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Các công thức tính: diện tích hình tròn, hình quạt, chu vi hình tròn, độ dài cung tròn, ...
2. Về kĩ năng:
­ Học sinh có kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào giải các dạng bài tập, lập luận 
chính xác, ngắn gọn và logic, cẩn thận trong tính toán, trình bày.
3. Về thái độ: 
­ Học sinh có ý thức ôn tập các nội dung đã học.
II/ Các dạng bài tập minh họa
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau

{

3 x − 2 y = 11

a)  4 x − 5 y = 3                   

{

( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)

d)  ( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)

{

5x − 4 y = 3

{

− x + 2 y = −4( x − 1)

b)  2 x + y = 4

c)  5 x + 3 y = −( x + y ) + 8

x+ y x− y
=
2
4
e) 
x y
= +1
3 5

f) 

2 x −1 − y −1 = 1
x −1 + y −1 = 2


15 7
2
1
4
5
5
− =9
+
=3
−
=
x y
x+ y x− y
x + y −1 2x − y + 3 2
g) 
h)  1
k) 
3
3
1
7
4 9
−

=1
+
=
+ = 35
x+ y x− y
x + y −1 2x − y + 3 5
x y
Bài 2. Giải các phương trình bậc hai một ẩn sau
a)  x 2 − 4 x + 3 = 0
 
b)  x 2 + 6 x − 16 = 0
d) – 5x2 – 4x + 1 = 0
c)  7 x 2 + 12 x + 5 = 0
10
5
f)  ( 5 − 2 ) x 2 − 10 x + 5 + 2 = 0
e)   5 x 2 − x + = 0
7

49

g)  2 x − 2 2 x + 1 = 0
h)  3 x 2 − (1 − 3) x − 1 = 0
Bài 3. Giải các phương trình đưa về bậc hai
a)  x 4 + 5 x 2 − 6 = 0
b)  2 x 4 + 7 x 2 + 5 = 0
c)  4 x 4 + 8 x 2 − 12 = 0
d)  ( x + 1) 4 − 5( x + 1) 2 − 84 = 0
2x
5

5
x
2x
8( x + 1)
e)  
+
= 2
−
=
f)  
x − 2 3 − x x − 5x + 6
x + 4 x − 2 (2 − x)(4 + x)
g)  ( x + 1)2 − 4( x 2 − 2 x + 1) = 0
h)   9( x − 2) 2 − 4( x − 1) 2 = 0
k) x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0
l) (x2 – 3x)2 – 6(x2 – 3x) – 7 = 0
2

Dạng 2. Các bài toán về Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
2.1. Toán chuyển động
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận 
tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính 
độ dài quãng đường AB
Bài 2.  Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi đến B, người 
lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc 
30 km/h. Tính quãng đường AB biết ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày
Bài 3. Hai người di xe đạp cùng lúc, ngược chiều nhau từ hai địa điểm A và B cách nhau 
42 km và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Biết rằng người đi từ A mỗi giờ đi 
nhanh hơn người đi từ B là 3 km.
Bài 4. Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10 km/h. Sau đó 

lúc 8h40 phút, một người khác đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30 km/h. Hỏi hai 
người gặp nhau lúc mấy giờ?
Bài 5. Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km 
trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường, xe dừng nghỉ 3 phút nên để 
đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính 
thời gian xe lăn bánh trên đường. 
Bài 6. Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 60 km, sau đó chạy ngược dòng 48 
km trên khúc sông ấy thì hết 6 giờ. Nếu ca nô ấy chạy xuôi dòng 40 km và ngược dòng 
80 km trên khúc sông đó thì hết 7 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng 
nước.
Bài 7. Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 
4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận 
tốc dòng nước là 4 km/h.


Bài 8. Một ca nô đi tuần tra xuôi dòng từ B đến A hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng từ B 
về A hết 2 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h. 
2.2. Toán về năng suất lao động
Bài 9. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải sản xuất được 200 chi tiết máy trong một số 
ngày quy định. Do mỗi ngày tổ sản xuất làm vượt mức 4 chi tiết máy nên tổ sản xuất đã 
hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và còn sản xuất thêm được 16 
chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch, tổ sản xuất phải hoàn thành trong bao nhiêu ngày?
Bài 10. Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã 
thực hiện đúng kế hoạch, những ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên 
đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải dệt 
bao nhiêu tấm?
2.3. Toán phần trăm
Bài 11. Trong quý I, hai tổ sản xuất được 720 dụng cụ. Sang quý II, tổ 1 làm vượt mức 
12%, tổ 2 làm vượt mức 15% nên cả hai tổ đã làm vượt mức 99 dụng cụ. Hỏi trong quý 
I, mỗi tổ sản xuất làm được bao nhiêu dụng cụ?

Bài 12. Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm 
nay, đơn vị 1 làm vượt mức 10%, đơn vị 2 làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó 
cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị đã thu hoạch được 
bao nhiêu tấn thóc?
2.4. Toán chung, riêng
Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu để 
mỗi vòi chảy riêng đầy bể thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn thời gian vòi 2 chảy đầy bể 
là 3 giờ. 
Bài 14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi 1 chảy 
trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể. Tính thời gian mỗi 
vòi chảy một mình đầy bể?
Bài 15. Hai công nhân nếu làm cùng 1 công việc thì sau 15 giờ xong. Hai người làm được 
8 giờ thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ 2 tiếp tục làm trong 21 
giờ nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu mới 
xong công việc.
2.5. Toán quan hệ số, toán có nội dung hình học, dạng toán khác…
Bài 16. Tìm hai số biết hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 9 và hiệu các bình phương 
của chúng bằng 119.
Bài 17. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 
và tổng các bình phương của hai chữ số của nó bằng 13.
Bài 18. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng 
thêm 3m thì diện tích tăng 100m2. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện 
tích giảm 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 19. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh 
vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích còn lại của khu vườn là 4256m2. Tính các 
kích thước của khu vườn.
Bài 20. Trong hội trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định số người ngồi như 
nhau. Nếu bớt 2 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ. Nếu 
thêm 3 ghế băng và mỗi ghế ngồi rút đi 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong 
hội trường.

Bài 21. Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học 
sinh, nhưng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới 
xong. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn học sinh.
Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 (a   0)
1
x2
Bài 1. Cho Parabol (P): y =   và đường thẳng d: y =  x + n
2
2
Với n = 1, hãy:
a) Vẽ (P) và d trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (P) và d
c) Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 2. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = ­ 2x + m
Với m = 3, hãy: 
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (P) và (d)
c) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
x2
Bài 3. Cho Parabol (P): y =   và đường thẳng d đi qua I(0; 2) có hệ số góc  là k.
2
a) Viết phương trình đường thẳng d
5
b) Với k =  , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
6
c) Chứng minh với mọi giá trị của m, d luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt (P) tại 
hai điểm phân biệt A, B
d) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục Ox. Chứng minh tam 

giác IHK vuông tại I.
Bài 4. Trong cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P): y = kx2 (k  0) (a là tham số)
Và hai đường thẳng (d1): y = x + 1 và (d2): x + 2y + 4 = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d1 và d2
b) Tìm giá trị của k để (P) đi qua A. Vẽ (P) với giá trị k vừa tìm được
c) Viết phương trình đừng thẳng d biết d tiếp xúc với (P) tại A.
1
Bài 5. Cho (P): y =  − x 2  và đường thẳng d: y = mx – 2m – 1
4
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để d tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ d luôn đi qua 1 điểm cố định A thuộc (P).
Dạng 4. Các bài toán về áp dụng Hệ thức Vi­et; quan hệ giữa đường thẳng và 
Parabol
Bài 1. Cho Parabol y = x2  (P) và đường thẳng d: y = mx – m + 1.
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ  x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện:
a)  x1 + x 2 = 4                                        b)  x1 = 9x 2
Bài 2.  Cho parabol (P) y = ­ x2 và đường thẳng d: y = mx ­2
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B;
b) Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho  x12 x2 + x1 x22 = 2018 .


Bài 3. Cho đường thẳng d: y = 2x + m + 1 và parabol (P): y = x2. Tìm m sao cho đường 
thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ở bên phải trục tung.
Bài 4.  Cho parabol (P):  y = x2 và đường thẳng d: mx – m+1. Tìm m sao cho đường thẳng 
d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung.
Bài 5. Cho (P): y = x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 2m + 3. 
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2
b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm 
phân biệt

c) Gọi y1, y2 là tung độ giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của m để y1 + y2 < 9
Bài 6. Cho (P): y = ­ x2 và đường thẳng (d) đi qua N(­1; ­2) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng d
b) Tìm các giá trị của k để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B nằm về hai phía của trục 
tung
c) Gọi A(x1, y1); B(x2, y2). Tìm các giá trị của k để biểu thức S = x1 + y1 + x2 + y2 đạt 
GTLN
Bài 7. Cho phương trình: x 2 −  2(m − 1)  x + m + 1 = 0 .
a) Giải phương trình với  m = −4 .
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  x1, x2  thoã mãn điều kiện   x1 =  3x2 .
Bài 8. Tìm m để mỗi phương trình sau có các nghiệm  x1, x2  thoả hệ thức đã cho:
a)  mx 2 − 2(m − 2) x + m − 3 = 0 ;
b)  x 2 − 2(m − 2) x + m 2 + 2m − 3 = 0 ;
c)  x 2 − 2(m − 1) x + m2 − 3m = 0 ;

x12 + x22 = 1 .
1 1 x1 x2
.
x1 x2
5
x12 + x22 = 8 .

Bài 9. Cho phương trình: 2 x 2 + (2m − 1) x + m − 1 = 0 .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1, x2  thoả mãn  3 x1 − 4 x2 = 11 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt .
c) Khi phương trình có 2 nghiệm  x1, x2 , tìm hệ thức giữa  x1, x2  không phụ thuộc vào 
m.
Bài 10. Cho phương trình: x 2 −  2(m + 4) x  +  m2  −8 = 0 .
a) Tìm m để biểu thức  A = x12 +  x2 2  −  x1 − x2  đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm m để biểu thức  B =  x1  +  x2 −  3 x1x2   đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm m để biểu thức   C = x12 +  x2 2  −  x1x2  đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 5. Hình học tổng hợp
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By với nửa 
đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối 
MA cắt OC tại E. Nối MB cắt OD tại F.
1. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật;
      2. Chứng minh khi M chuyển động trên nửa đường tròn thì AC. BD không đổi;


3. Cho BD =  R 3 . Tính độ dài AM
 4. Hạ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên nửa đường 
tròn (O; R) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 2: Cho đường (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M 
là điểm thuộc đường thẳng d.Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH 
vuông góc d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại 
E.
1. Chứng minh bốn điểm A, O, B, M thuộc cùng một đường tròn,
2. Chứng minh OK.OH = OI. OM;
3. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB;
4. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là trung 
điểm OB. Nối CI cắt đường tròn ( O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H, nối BD cắt AE tại 
K.
a) Chứng minh BOHE là tứ giác nội tiếp                 b) Chứng minh AH. AE = 2R 
ﾷ
c) Tính tan BAE
                                                         d) Chứng minh OK   BD.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính 
AM = 2R

a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường 
tròn
c) Gọi E là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng
d) Giả  sử  AB = R 3 . Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn  
ngoại tiếp tứ giác AHBN.
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc BAC = 45 o, góc B và C đều nhọn. Đường tròn đường 
kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE.
a) Chứng minh AE = BE
b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
ADHE.
c) Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
d) Cho BC = 2a. Tính diện tích viên phân cung DE của đường tròn (O) theo a.
Dạng 6. Các bài toán vận dụng các kiến thức toán học và liên môn giải quyết các tình  
huống thực tiễn.
Bài 1. Bạn Thắng có một phòng riêng, phòng có dạng hình hộp chữ  nhật có chiều cao  
3m, chiều dài 5m , chiều rộng 4m .Một cửa đi có chiều rộng 1m , chiều cao 1,5m và một  
cửa sổ rộng 0,5m , cao 1m .
1) Thắng muốn tính xem có bao nhiêu mét khối không khí trong căn phòng của mình 
nhưng chưa nghĩ ra cách tính. Theo em thể tích không khí trong căn phòng của Thắng  là  
bao nhiêu mét khối?


2) Trong các tủ có kích thước sau , tủ nào đem được vào phòng ?
A. Cao 1,3m , dài 1,2m , rộng 1,1m 
B. Cao 2m , dài 1,2m , rộng 0,8m 
C. Cao 2m , dài 1,6m , rộng 0,5m 
D. Cao 2m , dài 0,8m , rộng 1,5 m 
3) Một hộp sơn loại A sơn được 14m2.  Người ta muốn quét sơn để trang trí lại căn 
phòng đó (cả trần nhà ) thì cần phải mua  vừa đủ bao nhiêu hộp sơn loại A đó?

Bài 2. Gấp hình hộp chữ nhật
Để đựng đồ vật người ta thường dùng các hộp là hình hộp chữ nhật( Hình A), đơn  
16cm
giản nhất người ta thường lấy một tấm bìa hình chữ  nhật, cắt đi ở  4 góc 4 hình vuông
 
bằng nhau và gấp lên, ta được một hộp không nắp. (Hình B ­ Tấm bìa hình vuông cạnh  
12 cm, Hình C ­ Tấm bìa hình chữ nhật cạnh là 8 cm, 16 cm)

12cm

HìnhA

8cm

HìnhC

HìnhB

a) Khi thực hiện gấp hộp theo (Hình C), hình vuông cắt đi có cạnh là 2 cm. Hỏi diện tích  
đáy của hộp là bao nhiêu?
b) Khi thực hiện gấp hộp theo (Hình B), (Hình C), mà hình vuông cắt đi ở cả hai trường 
hợp có cạnh như nhau. Hỏi thể tích hộp gấp theo hình nào lớn hơn? Tại sao?
Bài 3. Kem tươi là một loại kem được làm từ sữa tươi nguyên chất, có độ mềm, xốp, 
thơm ngon và ngậy béo.  Để chứa kem tươi, người ta thường đựng bằng ly thủy tinh. 
Bạn Minh Giang đã lấy một chiếc ly  thủy tinh để đựng kem. Phần thân chiếc ly  dạng 
hình nón có độ dài đường kính đáy và đường sinh bằng nhau. Minh Giang bỏ một viên 
kem hình cầu tiếp xúc với hai thành của ly. Đỉnh cao nhất của quả cầu kem cao bằng 
miệng của ly ( hình vẽ ) . Biết rằng  bán kính quả cầu kem có độ dài bằng R ( R>0,đơn 
vị cm ). Hãy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem.  
/>( coi độ dày thành ly không đáng kể)

B
R

BGH duyệt

Đại diện nhóm
R

AB=AC=BC

C

Người ra đề cương

A

Hình mô phỏng