Luận án tiến sĩ Toán học: Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HOÀNG VIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HOÀNG VIỆT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
9.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Văn Trào
GS. TSKH. Đỗ Đức Thái

Hà Nội - Năm 2018


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛
❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣
❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔

❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


ớ ỡ
ữủ t ữợ sỹ ữợ ừ P
r ộ ự tt sỹ trồ ừ
tổ tọ ỏ t ỡ s s t tợ t
t ữợ tổ tr ữớ ự ồ ổ t
rt ỹ ú ữủ t ữợ

ổ ụ ữủ ỷ ớ ỡ s s tợ ỗ
ữợ õ ỵ rt t tr q tr tổ ồ t
ự s t t rữớ ồ ữ
ở
ổ ữủ ỷ ớ ỡ s s tợ

P P Pũ ỳ ữớ
ú ù tổ ự ồ
ổ ổ ũ ỡ t ổ ỗ ừ õ
r tt rữớ ồ ữ ở õ ởt
t t ồ tú õ ỵ trỹ t
ú tổ tr ữỡ ự ỳ

t s s ỡ t ồ tổ
t ỡ P
r õ ỳ õ ỵ rt õ ỵ tổ tr
q tr ồ t ự


❚æ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❚ê ❜ë ♠æ♥ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ P❤á♥❣
s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝
❱✐➺t ◆❛♠ ✈➔ ❝→❝ ✤ì♥ ✈à ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ✤➣ t↕♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ tr✐ ➙♥ ✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➛②✱ ♥❤ú♥❣
✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ t❤➙♥ t❤➼❝❤ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

❍➔ ◆ë✐✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽

◆❈❙✳ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✾

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
✶ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱
F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝

✶✺

✷✷

✶✳✶

F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✷

❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✸

❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❝ü❝ ✤↕✐
✸✻
✷✳✶

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

✸✼

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à
❝❤➦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
✺

✹✶

✺✷


✻

✸✳✶

▲î♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✸✳✷

▲î♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✸

❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✼

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à

✼✷

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥

✼✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✼✺


✼

❑➑ ❍■➏❯
• N∗ ✿ ❚➟♣ ❝→❝ sæ tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ✵✳
• Cn ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♣❤ù❝ ♥ ❝❤✐➲✉✳
• B(z0 , r) = {z ∈ Cn : z − z0 < r}✿ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ z0 ❜→♥ ❦➼♥❤
r > 0✳
• QB(Cn )✿ σ ✲✤↕✐ sè tr➯♥ Cn ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ✈➔ ❝→❝ t➟♣
❝♦♥ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ Cn ✳
F

• G ✿ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ● tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ✳
• ∂F G ✿ ❇✐➯♥ ❝õ❛ G tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ✳

• χ ◦ u ✿ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ✭t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ u ✈➔ χ✳
• SH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• SH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• PSH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• F ✲PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• F ✲PSH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• F ✲MPSH✭Ω✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳
• L∞ (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳
• L∞
loc (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳


✽

• (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u ✿ ✣ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❝õ❛ u✳
• C(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω✳
• C ∞ (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥ Ω✳
• uj

u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö t➠♥❣ tî✐ u✳

• uj

u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö ❣✐↔♠ tî✐ u✳

• 1A ✿ ❍➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ t➟♣ A✳
• ❤✳❦✳♥✳ ✿ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳

ồ t
ở ừ t ở ự ởt ợ t
ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t
s t F ỏ ữợ sỷ ừ ữ r ự
t t tứ t q ừ rt ỳ ừ t
trữợ õ ử t ổ tử ừ ỏ
ữợ tr C rt ữ r tổổ tr C ữ tổổ t
tr C ồ ỏ ữợ tử tt
ữủ ởt số t q ú ỵ ố ợ ợ õ tr õ
ỳ ừ t trữợ ữ r
ỏ tt ố ỳ ú ữ
ố ỳ ỏ tr tr
t ự ờ qt tr Cn r
ở sỹ ỹ tổổ r t s F tổổ tr Cn
F ỏ ữợ ồ t tr t
tt t r t t F t
ởt tỹ ữủ t r tr tt F t
ự ỳ tữỡ tỹ ừ tt t tổ tữớ
ợ F ỏ ữợ
ữ t t tr số ỏ ữợ tr t
tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ rt q trồ
õ ự ử tr tt t t tr


✶✵

t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tê♥❣ q✉→t✱ ✤â ❧➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❱➻
t❤➳✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tr♦♥❣ Cn ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛

t❤➳ ✈à✳ ❉♦ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❞➵ ♥❤➟♥
t❤➜② ❤ì♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➯♥ ♠ët þ t÷ð♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❝❤✉②➸♥
✈✐➺❝ ①➨t t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✭t♦➔♥ ❝ö❝✮ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➲ ✈✐➺❝ ①➨t
t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛②✱ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐
q✉②➳t tr✐➺t ✤➸ ❣✐ú❛ t➼♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛
♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tò② þ ✉ tr➯♥ t➟♣ ♠ð Ω ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛

✉ tr➯♥ Ω ✈➝♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❣➛♥ ✤➙② ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❍❡❞✱
❆❧❡✈✐♥✱ P❡rss♦♥✱ ✳✳✳ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥
tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
❚❤❡♦ ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ tr➯♥✱ ▲✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ▲✉➟♥ →♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳ ❈ö t❤➸✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤
❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤æ♥❣
q✉❛ ✈✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝
✤↕✐ ❧➔ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè t➻♥❤


✶✶

❤✉è♥❣ ♥❤➜t ✤à♥❤✳ ❙❛✉ ✤â ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

◦ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳

◦ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❤ú✉
❤↕♥✳

◦ ▼ët sè ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω ✿ E0 (Ω) , Fp (Ω)✳
◦ ❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◦ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ t❤✉②➳t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
t♦→♥ ❤å❝ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ❝æ♥❣ ❝ö ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t
✤❛ t❤➳ ✈à✱ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳

◦ ❚❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛r ♥❤â♠✱ s❡♠✐♥❛r tê ❜ë ♠æ♥ ✤➸ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ tr❛♦
✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♥❤➡♠ t❤✉ ♥❤➟♥ ❝→❝
t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
tr♦♥❣ ❝ë♥❣ ✤ç♥❣ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐
♥÷î❝✳

✺✳ ◆❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ r❛ ✈➔ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣
❣â♣ ♥❤➜t ✤à♥❤✱ ❝ö t❤➸✿

r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t
ử ợ t t F ỹ F ữỡ ừ F
ỏ ữợ tử tr t F ừ Cn

rở t q tr tt ự ợ
r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t ử ợ t
t F ỹ F ữỡ ừ F ỏ ữợ

tr t F ừ Cn
t q õ ỵ ồ õ ú F
ỏ ữợ tr t F

ữ r F s ỗ ữ r ợ Fp ()
ợ ỳ t ủ ữ ự
t t ữủ ừ F ỏ ữợ t
ỏ ữợ tr s ỗ rở
ỡ

ị ồ tỹ t ừ
t q ữủ r tr ợ õ t tớ sỹ õ
ỵ ồ õ õ ự t t ừ
F ỏ ữợ

t ữỡ õ ú t
ổ ử tt ự t ự tt
t


✶✸

✼✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ✤ó♥❣ q✉✐ ✤à♥❤ ❝ö t❤➸ ✤è✐
✈î✐ ❧✉➟♥ →♥ t✐➳♥ s➽ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❈➜✉ tró❝ ▲✉➟♥
→♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ♣❤➛♥✿ ▼ð ✤➛✉✱ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
✭❚ê♥❣ q✉❛♥✮✱ ❝→❝ ❈❤÷ì♥❣✱ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ▲✉➟♥
→♥✱ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❣ç♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ ❝â t➯♥ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tâ♠
t➢t ♥❤÷ s❛✉✿

◦

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲ F ✲tæ♣æ✱ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ t♦→♥ tû
▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷
♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✭❬✸✾❪✱ ❬✹✵❪✱ ❬✹✻❪✮ s➩ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

◦

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t ✭❬✹✵❪✱ ❬✸✾❪✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚ê♥❣
q✉❛♥✳ ❈ö t❤➸✱ tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✱ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➔

F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ t❤➸✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ✈➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳

✶✹

◦

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❈❤÷ì♥❣ ✸ tr➻♥� = sup

(ddc max(uj , −k))n = sup

j≥1
Ω

(ddc uj )n .

j≥1
Ω

Ω


✻✹

❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ ❝â

−(−um )min(p,1) ∈ F ✲PSH− (Ω) ✈î✐ ♠å✐ m ≥ 1✳
❱➻ t❤➳✱ ❧➛♥ ♥ú❛ →♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ s✉② r❛

(−u)min(p,1) (ddc max(u, −k))n

Ω

(−um )min(p,1) (ddc max(u, −k))n

= sup
m≥1
Ω



(−um )min(p,1) (ddc max(uj , −k))n 

= sup sup
m≥1

j≥1

Ω





(−um )min(p,1) (ddc uj )n 

≤ sup sup
m≥1

j≥1

Ω

(−uj )min(p,1) (ddc uj )n

= sup
j≥1
Ω

(1 + (−uj )p )(ddc uj )n .

≤ sup
j≥1
Ω

❙✉② r❛

(ddc max(u, −k))n ≤

1
k min(p,1)

(1 + (−uj )p )(ddc uj )n .

sup
j≥1
Ω

{u≤−k}

❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷ñ❝

(ddc u)n = lim
{u>−∞}

k→+∞
{u>−k}

(ddc max(u, −k))n

(ddc max(u, −k))n

= lim

k→+∞
Ω

(ddc uj )n .

= sup
j≥1
Ω


✻✺

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔
p > 0✳ ●✐↔ sû u ∈ Fp (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈î✐ u ≤ v < 0✳
❑❤✐ ✤â

v ∈ Fmin(p,1) (Ω)

✈➔

(ddc v)n ≤
{v>−∞}

(ddc u)n .
{u>−∞}

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû {uj } ⊂ E0 (Ω) s❛♦ ❝❤♦

uj

u tr➯♥ Ω

✈➔

(1 + (−uj )p )(ddc uj )n < +∞.

sup
j≥1
Ω

✣➦t vj := max(uj , v)✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ t❛ ❝â vj ∈ E0 (Ω)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ ❝â −(−vj )min(p,1) ∈ F ✲PSH− (Ω)✳ ❱➻ t❤➳✱ ❧➛♥
♥ú❛ →♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ s✉② r❛

[1 + (−vj )min(p,1) ](ddc vj )n

sup
j≥1

Ω

[1 + (−vj )min(p,1) ](ddc uj )n

≤ sup
j≥1
Ω

[2 + (−uj )p ](ddc uj )n < +∞.

≤ sup
j≥1
Ω

❚ø vj

v tr➯♥ Ω✱ s✉② r❛ v ∈ Fmin(p,1) (Ω)✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹


✻✻

✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✱ t❛ ❝â

(ddc v)n = sup

(ddc vj )n

j≥1
Ω

{v>−∞}

(ddc uj )n

≤ sup
j≥1
Ω

(ddc u)n .

=
{u>−∞}

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔
p > 0✳ ●✐↔ sû u ∈ Fmin(p,1) (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH− (Ω) s❛♦ ❝❤♦
(1 + (−u)p )(ddc u)n ≤ (1 + (−v)p )(ddc v)n
tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳
❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ϕ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ trì♥ ❝❤➦t tr➯♥ Cn s❛♦
❝❤♦ Ω ⊂ {ϕ < 0}✳ ✣➦t vj := max(u, v + 1j ϕ) tr➯♥ Ω✱ ð ✤â j ∈ N∗ ✳
❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ②➯✉ ❝➛✉

(ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}.
❚❤➟t ✈➟②✱ ❜ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t

1 n
1 + (−u)p
c n
(dd (v + ϕ)) ≥ (dd v) ≥
(ddc u)n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n

p
j
1 + (−v)
c

tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳
❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻✱ t❛ ✤÷ñ❝

1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc vj )n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n tr➯♥ Ω∩{u > −∞}∩{v > −∞}.


✻✼

❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ❝â

(ddc vj )n = (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > v + 1j ϕ} ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳
❉♦ ✤â

(ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}.
✣✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ②➯✉ ❝➛✉✳
❚ø vj ≥ u tr➯♥ Ω✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✱ t❛ ❝â

(ddc u)n ≤
{u>−∞}

(ddc vj )n ≤
{vj >−∞}

(ddc u)n < +∞.
{u>−∞}

❙✉② r❛ 1{vj >−∞} (ddc vj )n = 1{u>−∞} (ddc u)n tr➯♥ Ω✳
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷ñ❝

1
[(ddc (v + ϕ))n − (ddc v)n ]
j

(ddc ϕ)n ≤ j n
{−∞
{−∞
≤ jn

[(ddc vj )n − (ddc u)n ] = 0.

{−∞
❱➻ t❤➳

(ddc ϕ)n = sup

(ddc ϕ)n = 0.

j≥1
{−∞
{−∞

❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ t❛ ❝â u ≥ v tr➯♥ Ω✳

✸✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧➼ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
❝❤÷ì♥❣✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤✉ë❝ ❧î♣ Fp (Ω) ❝â
t❤➸ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ ❞➣② ❣✐↔♠
❝→❝ ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ ❝❤ù❛ Ω ✳




sỷ F s ỗ {j }
ừ s ỗ s j+1 j ợ ồ

j 1 sỷ tỗ t E0 () j PSH (j ) ợ j



tr õ ợ ộ p > 0 ợ ộ u Fp () tỗ t ởt
t ừ uj PSH (j ) s uj u tr


ự sỷ {j } E0 () s j

u tr

(1 + (j )p )(ddc j )n < +.

sup
j1

t õ

(1 + (u)p )(ddc u)n sup

(1 + (k )p )(ddc u)n

k1
{u>}

{u>}





(1 + (k )p )(ddc j )n

sup lim inf
j+

k1



(1 + (j )p )(ddc j )n < +.

sup
j1

ỡ ỳ tứ ở 1{u>} (1 + (u)p )(ddc u)n trt t tr tt
t ỹ ừ j t t tr tỗ t

uj Fp (j ) s
(1 + (uj )p )(ddc uj )n = 1{u>} (1 + (u)p )(ddc u)n tr j .
tr t õ uj uj+1 tr j+1
ỡ ỳ tứ u Fmin(p,1) () s r

u uj tr ợ ồ j 1


✻✾

●✐↔ sû v ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉✐ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❜➨ ♥❤➜t ❝õ❛ lim uj tr➯♥ Ω✳
j→+∞

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✾ tr♦♥❣ ❬✷✵❪✱ t❛ ✤÷ñ❝ uj → v ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳
❚❛ ②➯✉ ❝➛✉ v ∈ Fmin(p,1) (Ω)✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t vk := max(v, kρ)✱ ð ✤â k ∈ N∗ ✳
❇ð✐ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ t❛ ❝â vk ∈ E0 (Ω)✳
❚ø max(uj , kρj )

vk ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✱ t❤➻ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲

✶✳✷✳✼ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✸✳✸ tr♦♥❣ ❬✷❪✱ t❛ ✤÷ñ❝

[1 + (−vk )min(p,1) ](ddc vk )n
Ω

[1 + (−vk )min(p,1) ](ddc max(uj , kρj ))n

≤ lim inf
j→+∞

Ω

[1 + (− max(uj , kρj ))min(p,1) ](ddc max(uj , kρj ))n

≤ lim inf
j→+∞

Ωj

[1 + (−uj )min(p,1) ](ddc uj )n

≤ lim inf
j→+∞

Ωj

[1 + (−uj )p ](ddc uj )n

≤ 2 lim inf
j→+∞

Ωj

(1 + (−u)p )(ddc u)n .

=2
Ω∩{u>−∞}

❱➻ t❤➳

[1 + (−vk )min(p,1) ](ddc vk )n

sup
k≥1
Ω

≤2

(1 + (−u)p )(ddc u)n < +∞.

Ω∩{u>−∞}

❙✉② r❛ v ∈ Fmin(p,1) (Ω)✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ②➯✉ ❝➛✉✳


✼✵

❚ø v ≥ uj tr➯♥ Ω✱ ❝❤♦ ♥➯♥

(1 + (−v)p )(ddc uj )n ≤ (1 + (−u)p )(ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞}.
❍ì♥ ♥ú❛✱ tø uj

v ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✺ tr♦♥❣ ❬✷✶❪✱ t❛ ❝â

(1+(−v)p )(ddc v)n ≤ (1+(−u)p )(ddc u)n tr➯♥ Ω∩{u > −∞}∩{v > −∞}.
❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹ s✉② r❛ v ≥ u tr➯♥ Ω✱ ✈➔ ❞♦ ✤â✱ u = v tr➯♥

Ω✳
❱➻ ✈➟②✱ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳


✼✶

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ E0 (Ω) ✈➔ Fp (Ω)✱ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱
❝ô♥❣ ♥❤÷ ✤➣ sû ❞ö♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω)
✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ ①→❝
✤à♥❤ tr➯♥ ❞➣② ❣✐↔♠ ❝→❝ ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ rë♥❣ ❤ì♥✳


t
t
r õ sỹ tữỡ ữỡ ừ t t

F ỹ F ữỡ F ỹ ừ F ỏ ữợ
r tt ừ F
ỏ ữợ ỏ ữợ ử t

r r ố ợ ởt F ỏ ữợ
tử tr t õ F ỹ tr õ

F ỹ F ữỡ tr

r r ố ợ ởt F ỏ ữợ
tr t õ F ỹ tr õ

F ỹ F ữỡ tr

r tt
F ỏ ữợ ởt t ỏ
ữợ tr s ỗ rở ỡ


ứ ỳ t q t ữủ ừ tr q tr ự
ú tổ t ởt số ữợ ự t t ữ s

t õ t ữủ t tỷ r ự


✼✸

❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❦✐➸✉ ♥❤÷ ❈❡❣r❡❧❧❄

✷✳ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦
❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ❝→❝ ♠✐➲♥ F ✲♠ð❄ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â ♥❤÷✿ ❚➼♥❤ ê♥
✤à♥❤ ♥❣❤✐➺♠✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r✱ ✳✳✳❄

✸✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ②➳✉ ✈➔ →♣
❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝✳