Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm f đa điều hòa dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HOÀNG VIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HOÀNG VIỆT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
9.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Văn Trào
GS. TSKH. Đỗ Đức Thái

Hà Nội - Năm 2018


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛
❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣
❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳

❚→❝ ❣✐↔

❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


ớ ỡ
ữủ t ữợ sỹ ữợ ừ P
r ộ ự tt sỹ trồ ừ
tổ tọ ỏ t ỡ s s t tợ t
t ữợ tổ tr ữớ ự ồ ổ t
rt ỹ ú ữủ t ữợ

ổ ụ ữủ ỷ ớ ỡ s s tợ ỗ
ữợ õ ỵ rt t tr q tr tổ ồ t
ự s t t rữớ ồ ữ
ở
ổ ữủ ỷ ớ ỡ s s tợ

P P Pũ ỳ ữớ
ú ù tổ ự ồ
ổ ổ ũ ỡ t ổ ỗ ừ õ
r tt rữớ ồ ữ ở õ ởt
t t ồ tú õ ỵ trỹ t
ú tổ tr ữỡ ự ỳ

t s s ỡ t ồ tổ
t ỡ P
r õ ỳ õ ỵ rt õ ỵ tổ tr
q tr ồ t ự


❚æ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❚ê ❜ë ♠æ♥ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ P❤á♥❣
s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝
❱✐➺t ◆❛♠ ✈➔ ❝→❝ ✤ì♥ ✈à ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ✤➣ t↕♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ tr✐ ➙♥ ✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➛②✱ ♥❤ú♥❣
✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ t❤➙♥ t❤➼❝❤ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

❍➔ ◆ë✐✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽

◆❈❙✳ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✾

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
✶ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱
F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝

✶✺

✷✷

✶✳✶

F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✷

❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✸

❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❝ü❝ ✤↕✐
✸✻
✷✳✶

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

✸✼

❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à
❝❤➦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
✺

✹✶

✺✷


✻

✸✳✶

▲î♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✸✳✷

▲î♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✸

❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✼

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à

✼✷

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥

✼✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✼✺


✼

❑➑ ❍■➏❯
• N∗ ✿ ❚➟♣ ❝→❝ sæ tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ✵✳
• Cn ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♣❤ù❝ ♥ ❝❤✐➲✉✳
• B(z0 , r) = {z ∈ Cn : z − z0 < r}✿ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ z0 ❜→♥ ❦➼♥❤
r > 0✳
• QB(Cn )✿ σ ✲✤↕✐ sè tr➯♥ Cn ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ✈➔ ❝→❝ t➟♣
❝♦♥ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ Cn ✳
F

• G ✿ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ● tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ✳
• ∂F G ✿ ❇✐➯♥ ❝õ❛ G tr♦♥❣ F ✲tæ♣æ✳

• χ ◦ u ✿ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ✭t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ u ✈➔ χ✳
• SH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• SH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• PSH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• F ✲PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳
• F ✲PSH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ Ω✳
• F ✲MPSH✭Ω✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳
• L∞ (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳
• L∞
loc (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳


✽

• (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u ✿ ✣ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❝õ❛ u✳
• C(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω✳
• C ∞ (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ tr➯♥ Ω✳
• uj

u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö t➠♥❣ tî✐ u✳

• uj

u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö ❣✐↔♠ tî✐ u✳

• 1A ✿ ❍➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ t➟♣ A✳
• ❤✳❦✳♥✳ ✿ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳

ồ t
ở ừ t ở ự ởt ợ t
ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t
s t F ỏ ữợ sỷ ừ ữ r ự
t t tứ t q ừ rt ỳ ừ t
trữợ õ ử t ổ tử ừ ỏ
ữợ tr C rt ữ r tổổ tr C ữ tổổ t
tr C ồ ỏ ữợ tử tt
ữủ ởt số t q ú ỵ ố ợ ợ õ tr õ
ỳ ừ t trữợ ữ r
ỏ tt ố ỳ ú ữ
ố ỳ ỏ tr tr
t ự ờ qt tr Cn r
ở sỹ ỹ tổổ r t s F tổổ tr Cn
F ỏ ữợ ồ t tr t
tt t r t t F t
ởt tỹ ữủ t r tr tt F t
ự ỳ tữỡ tỹ ừ tt t tổ tữớ
ợ F ỏ ữợ
ữ t t tr số ỏ ữợ tr t
tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ rt q trồ
õ ự ử tr tt t t tr


✶✵

t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tê♥❣ q✉→t✱ ✤â ❧➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❱➻
t❤➳✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tr♦♥❣ Cn ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛

t❤➳ ✈à✳ ❉♦ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❞➵ ♥❤➟♥
t❤➜② ❤ì♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➯♥ ♠ët þ t÷ð♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❝❤✉②➸♥
✈✐➺❝ ①➨t t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✭t♦➔♥ ❝ö❝✮ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➲ ✈✐➺❝ ①➨t
t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛②✱ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐
q✉②➳t tr✐➺t ✤➸ ❣✐ú❛ t➼♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛
♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tò② þ ✉ tr➯♥ t➟♣ ♠ð Ω ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛

✉ tr➯♥ Ω ✈➝♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❣➛♥ ✤➙② ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❍❡❞✱
❆❧❡✈✐♥✱ P❡rss♦♥✱ ✳✳✳ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥
tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
❚❤❡♦ ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ tr➯♥✱ ▲✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ▲✉➟♥ →♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳ ❈ö t❤➸✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤
❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤æ♥❣
q✉❛ ✈✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝
✤↕✐ ❧➔ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè t➻♥❤


✶✶

❤✉è♥❣ ♥❤➜t ✤à♥❤✳ ❙❛✉ ✤â ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

◦ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳

◦ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❤ú✉
❤↕♥✳

◦ ▼ët sè ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω ✿ E0 (Ω) , Fp (Ω)✳
◦ ❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◦ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ t❤✉②➳t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
t♦→♥ ❤å❝ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ❝æ♥❣ ❝ö ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t
✤❛ t❤➳ ✈à✱ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳

◦ ❚❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛r ♥❤â♠✱ s❡♠✐♥❛r tê ❜ë ♠æ♥ ✤➸ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ tr❛♦
✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♥❤➡♠ t❤✉ ♥❤➟♥ ❝→❝
t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
tr♦♥❣ ❝ë♥❣ ✤ç♥❣ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐
♥÷î❝✳

✺✳ ◆❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ r❛ ✈➔ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣
❣â♣ ♥❤➜t ✤à♥❤✱ ❝ö t❤➸✿

r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t
ử ợ t t F ỹ F ữỡ ừ F
ỏ ữợ tử tr t F ừ Cn

rở t q tr tt ự ợ
r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t ử ợ t
t F ỹ F ữỡ ừ F ỏ ữợ

tr t F ừ Cn
t q õ ỵ ồ õ ú F
ỏ ữợ tr t F

ữ r F s ỗ ữ r ợ Fp ()
ợ ỳ t ủ ữ ự
t t ữủ ừ F ỏ ữợ t
ỏ ữợ tr s ỗ rở
ỡ

ị ồ tỹ t ừ
t q ữủ r tr ợ õ t tớ sỹ õ
ỵ ồ õ õ ự t t ừ
F ỏ ữợ

t ữỡ õ ú t
ổ ử tt ự t ự tt
t


✶✸

✼✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥
❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ✤ó♥❣ q✉✐ ✤à♥❤ ❝ö t❤➸ ✤è✐
✈î✐ ❧✉➟♥ →♥ t✐➳♥ s➽ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❈➜✉ tró❝ ▲✉➟♥
→♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ♣❤➛♥✿ ▼ð ✤➛✉✱ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥
✭❚ê♥❣ q✉❛♥✮✱ ❝→❝ ❈❤÷ì♥❣✱ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ▲✉➟♥
→♥✱ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❣ç♠ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ ❝â t➯♥ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tâ♠
t➢t ♥❤÷ s❛✉✿

◦

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲ F ✲tæ♣æ✱ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ t♦→♥ tû
▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷
♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✭❬✸✾❪✱ ❬✹✵❪✱ ❬✹✻❪✮ s➩ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

◦

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t ✭❬✹✵❪✱ ❬✸✾❪✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚ê♥❣
q✉❛♥✳ ❈ö t❤➸✱ tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✱ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➔

F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ t❤➸✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ✈➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳

✶✹

◦

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❈❤÷ì♥❣ ✸ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐ ✭❬✹✻❪✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚ê♥❣ q✉❛♥✳
❈ö t❤➸✱ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❦❤✐ ♥➔♦ t❤➻ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ u tr♦♥❣

F ✲♠✐➲♥ Ω✱ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳ ❑➳t
q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤✐➸♠ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝❤➼♥❤ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✈➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ þ t÷ð♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝
❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ▲✉➟♥ →♥ ✤➦t r❛ ❧➔ ✤ó♥❣✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ✤➲ r❛✳ ❉♦ ✤â✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣
❣â♣ ❝❤♦ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✱ ❝â þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥
♥❤÷ ✤➣ ♥➯✉✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❑✐➳♥ ♥❣❤à✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♠ët ✈➔✐ þ t÷ð♥❣ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❤✐ ✈å♥❣✱
s➩ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❝❤✐❛ s➫ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝
✈➔ ✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❣✐ó♣ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳




ờ q tr
ữ tr tr ỏ ữợ ởt tr ố

tữủ tr t ừ tt t ự
ữợ trồ t ừ õ ự t tỷ
r ự t út sỹ q t ừ t ồ ợ tứ
t ừ t t ữủ ỳ t q s s
ỳ ổ tr ừ t rt P
r r r ổ ữ
s s sỹ t tr ừ t ự õ r
ỏ tú sỹ t tr ừ ỹ tr ồ

tổổ tổ tữớ ữợ õ
ổ tử tr t tử ỳ trỏ t ốt
tr ự tt t ữ r ỳ tổổ ợ
ổ t tốt ỡ t tử ừ ữợ ữủ
q t tứ t ừ t trữợ
rt ợ t ọ ừ ởt t
ủ ữ r E ọ t a a ổ
ợ ừ ởt ừ E tỗ t ởt
ữợ tr ởt ừ a s

lim

sup (z) < (a).

za,zE\{a}

õ rt t tr ởt tữ ỷ rt r
tữỡ ữỡ ợ E\ {a} ừ a tr tổổ t

tt ữợ tử ứ õ rt
ỹ F tổổ tr C rở tr Cn t F tổổ
tr ởt t Cn tổổ t
ỏ ữợ tử

F tổổ ữủ ự t t ỡ r r tr
é ổ ự sỹ ở tử ừ ỏ tr
ố ợ F tổổ ừ ỏ ữợ ỳ
F tổổ ữủ ự s s r rr
tr
ợ F tổổ ữủ r ợ t ỳ F
F tr F tổổ F õ õ tr

F tổổ F tr F tổổ
sỷ ử F tổổ t õ t ởt tỹ
F ỏ ữợ F t q
tr r r tỗ t ủ
rở F ỏ ữợ F
F ỏ ữợ ữủ ỏ ọ
ừ tr ữớ t ự F ỏ ữợ
tữỡ ự F F ỏ ữợ ữủ
tt ớ sỹ ỏ ữợ tữỡ
ự tổ tữớ tr t ủ tr

F tổổ
ởt ọ tỹ ữủ t r t t ừ
ỏ ữợ tổ tữớ õ t tợ ợ

✶✼

✭t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ②➳✉ ✈➔ ♠↕♥❤✮ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐❄
✣➣ ❝â ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐ t❤❡♦ ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ tr➯♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ♥➠♠
✷✵✵✸✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ❬✶✾❪ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ ✤â✳ ❈→❝ ❤➔♠ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥
tö❝ tr➯♥ ♠➔ ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤ù❝ ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱
ð ✤â ♠ët ❤➔♠ F ✲✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët F ✲♠✐➲♥ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❣✐→ trà tr✉♥❣
❜➻♥❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② ❧➔ ♠ð rë♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝❤♦
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳
◆➠♠ ✷✵✶✵✱ ❊❧ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥
tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
r➡♥❣✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧➔ F ✲❧✐➯♥ tö❝ ✭❬✷✻❪✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✮✳
◆➠♠ ✷✵✶✶✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❋✉❣❧❡❞❡ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ❬✷✵❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤✐➲✉
t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳
◆➠♠ ✷✵✶✹✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ❬✷✷❪ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕
❆♠♣➧r❡ tr➯♥ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❤ú✉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ F ✲♠ð
✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥â ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❞÷ì♥❣✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❙♠✐t
❬✷✶❪ ✤➣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✣â ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ ♠ët
♠✐➲♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tî✐ ♠ët F ✲♠✐➲♥ ❝õ❛ Cn ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐✱ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❜à ❝❤➦♥

tr ởt t F ỹ ồ ữ r
ử r r t q ổ t ổ ỳ
ữợ ự t ừ rở t q ừ
t tr ố ợ F ỏ ữợ ử t ú tổ
ự ừ ữủ t F ỹ ừ F
ỏ ữợ tr t F tứ t t ữỡ tữỡ ự
ú tổ t t F ỏ ữợ
t ỏ ữợ sỷ ừ ữ s
t q t tở rổss r õ r

ợ C 1 u tử tr t u õ t ữủ
tr ởt ừ ỏ ữợ trỡ ữủ
tr ừ
Prss rở t q tợ ợ ữỡ ữủ
ỗ t ừ tử r t t q ừ
ỗ ỏ ữợ u õ t ữủ ỡ
tứ t ỏ ữợ
õ t t F u tở ởt tr ỳ ợ r tr


ỳ t q õ tr s sỷ u ởt

F ỏ ữợ tr F t u õ t ữủ
ởt t ừ ỏ ữợ ữủ tr
ừ
õ tr ú tổ ự qt
s


✶✾

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
❑❧✐♠❡❦ ❬✹✸❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ u ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔
❝❤➾ ♥➳✉ (ddc u)n = 0✱ ✈➔ ✈➻ t❤➳✱ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥✱ ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳ ◆❤÷ t❤➳ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥
❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
▼➦❝ ❞ò ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ u ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω t❤➻ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ (ddc u)n ❝â t❤➸
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët ❝→❝❤ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ♥❤÷♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t q✉❡♥
t❤✉ë❝ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ❬✹✸❪ ✈➔ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ t➻♥❤
❤✉è♥❣ u ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ t❤➳✱ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠
♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❦❤→❝ ✤➸ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ❬✹✸❪ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳
◆❤÷ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t➼♥❤
❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð

Ω tr♦♥❣ Cn ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳ ❈ö
t❤➸✿ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✐➯♥

tö❝ tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝
✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❤❛② t❤➳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥


✷✵

tö❝ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ②➳✉ ❤ì♥ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ✳ ❑➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ t➼♥❤
❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❈❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐

u tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝
❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳ Ð ✤➙②✱ ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ u ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛✱

u ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ trì♥ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧î♣ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ E0 (Ω) ✈➔ Fp (Ω)✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼
✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣
①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ Ω✳


✷✶

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✱
❤ë✐ t❤↔♦ s❛✉✿
❬✶❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✵✶✴✷✵✶✼✮✱ ✧❳➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦
❍ë✐ ♥❣❤à ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✷❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✶✷✴✷✵✶✼✮✱ ✧❈ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❍ë✐ ♥❣❤à ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣

✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✸❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ❑❤♦❛ ❤å❝ ✭✽✴✷✵✶✽✮✱ ✧❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❚✐➸✉ ❜❛♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥
❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ■❳ ✲ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳


❈❤÷ì♥❣ ✶

❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱
F ✲✤❛

✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐

✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲

F ✲tæ♣æ tr♦♥❣ Cn ✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡
♣❤ù❝ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥✳

✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ F ✲tæ♣æ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉
tr♦♥❣ ❬✽❪✱ ❬✷✹❪✱ ❬✷✺❪✱ ❬✷✸❪✱ ❬✹✼❪✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ F ✲tæ♣æ

tr➯♥ t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ⊂ Cn ❧➔ tæ♣æ

②➳✉ ♥❤➜t tr➯♥ Ω ❧➔♠ ❝❤♦ ♠å✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳

❚ø ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✉æ♥ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ ♠ët ❝ì sð ❝♦♥
✷✷




ữỡ t t a ữủ t

U (a, B, ) = {z B : (z) > 0}
õ B ởt t a PSH(B) ợ (a) > 0
s ổ t ừ

sỷ F tổổ F tr ởt t
Cn õ t U (a, B, ) t t ởt ỡ s ữỡ ố
ợ F tổổ F
s tr t t ừ F tổổ F

sỷ F tổổ F tr ởt t Cn
F tỹ
ộ ủ tũ ỵ ừ t F
ủ ừ ởt ủ t ữủ ởt t ỹ
F q ợ ộ t F õ A
a \A tỗ t ởt F tử f s f |A = 0

f (a) = 0

t u PSH (Cn) , c R t tứ
tr t {u < c} , {u > c} t F tr Cn
ợ ồ a Cn z z a PSH (Cn )

B (a, r) = {z (Cn ) : z a < r} F
ồ t tr Cn ố ợ tổổ s tr z =
n

|zj |2 ợ z = (z1 , z2 , ..., zn ) F t G ởt t

j=1

ố ợ tổổ ợ ồ x G tỗ t r > 0 s


✷✹

B (x, r) ⊂ G✳ ❉♦ B (x, r) ❧➔ F ✲♠ð ♥➯♥ G ❧➔ F ✲♠ð✳
❱➟② tæ♣æ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ②➳✉ ❤ì♥ F ✲tæ♣æ✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ❜✐➳t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ✭❬✹✼❪✮✳ ❍➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð U ⊂ Rn
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ♥➳✉✿

(i) f ❧➔ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥❀
U \V

(ii) f (z)

∂F V

f dδz

✈î✐ ❱ tr♦♥❣ ♠ët ❝ì sð ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛

F ✲tæ♣æ t↕✐ z ❀
(iii) f ≡ −∞ tr➯♥ ♠é✐ F ✲t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ U ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻ ✭❬✹✼❪✮✳ ❈❤♦ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn✳ ❍➔♠
f : Ω −→ [−∞, +∞) ✤✉ñ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ♥➳✉ f ❧➔ F ✲♥û❛
❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤ù❝ l tr♦♥❣ Cn ✱ ❤↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ f
tî✐ ❜➜t ❦➻ F ✲t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð l ∩ Ω ❝õ❛ l ❧➔ F ✲✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ ❤♦➦❝ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ −∞✳

❱➼ ❞ö✿ ▼å✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❯ tr♦♥❣
Cn ✤➲✉ ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ❯✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✼ ✭❬✷✶❪✮✳ ●✐↔ sû ● ✈➔ ❯ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn
s❛♦ ❝❤♦ G ⊆ U ✳ ●✐↔ sû u ∈ F ✲PSH(U )✱ v ∈ F ✲PSH(G)
✈➔ F ✲ lim sup v (z)

u (ζ) ✈î✐ ♠å✐ ζ ∈ ∂F G ∩ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠

G z→ζ

✇ (z) =
t❤✉ë❝ F ✲PSH(U )✳


max (u (z) , v (z))

♥➳✉ z ∈ G,

u (z)

♥➳✉ z ∈ U \G,