Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ trên không gian b-mêtric và ứng dụng

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍

▲➊ ❚❍❆◆❍ ◗❯❹◆

✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P
⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆● ●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈
❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾ ✹✻ ✵✶ ✵✷

❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆●❍➏ ❆◆ ✲ ✷✵✶✽


▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤

❚➟♣ t❤➸ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

✶✳ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❹♥
✷✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❉ô♥❣

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿

●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿

●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✸✿

P●❙✳❚❙ ◆❣✉②➵♥ ◆❤ö②

▲✉➟♥ →♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✈➺ tr÷î❝ ❍ë✐ ✤ç♥❣ ❝❤➜♠ ❧✉➟♥ →♥ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣
❤å♣ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤
✈➔♦ ❤ç✐ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ♥❣➔② ✳✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳✳✳ ♥➠♠ ✳✳✳✳✳✳

❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ →♥ t↕✐✿
✶✳ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤ó❝ ❍➔♦✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤
✷✳ ❚❤÷ ❱✐➺♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❱✐➺t ◆❛♠


✶

▼Ð ✣❺❯
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
◆❣✉②➯♥ ❧➼ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö ❤ú✉ ➼❝❤ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥
✤↕✐✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝èt
❧ã✐ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ❱➜♥ ✤➲ ♠ð rë♥❣ ◆❣✉②➯♥ ❧➼ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ tr➯♥ ❝→❝ ❧î♣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤❡♦ ♥❤ú♥❣
❤÷î♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ✤→♥❣ ❦➸✱ t✐➯✉ ❜✐➸✉ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤
♥ê✐ ❜➟t ❝õ❛ ❑❛♥♥❛♥ ✭✶✾✻✽✮✱ ❇♦②❞ ✈➔ ❲♦♥❣ ✭✶✾✻✾✮✱ ❈✐r✐❝ ✭✶✾✼✹✮✱ ❘❤♦❛❞❡s ✭✶✾✼✼✮✱ ❘❛♥
✈➔ ❘❡✉r✐♥❣s ✭✷✵✵✹✮✱ ❘❛♥ ✈➔ ❘❡✉r✐♥❣s ✭✷✵✵✹✮✱ ❘✉s ✈➔ ❙❡r❜❛♥ ✭✷✵✵✽✮✱ ❙❤❛t❛♥❛✇✐♠ ✈➔
❆❧✲❘❛✇❛s❤❞❡❤ ✭✷✵✶✷✮✱ ❲❛r❞♦✇s❦✐ ✭✷✵✶✷✮✱ ✱ ❘❛③❛♥✐ ✈➔ P❛r✈❛♥❡❤ ✭✷✵✶✸✮✳
❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❦✐♥❤ t➳ ✈➔ ❦ÿ
t❤✉➟t✱ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✳ ❍÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ♠➯tr✐❝ ♣❤→t

tr✐➸♥ ❝❤õ ②➳✉ t❤❡♦ ✸ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥
❧î♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝✳
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥
❝→❝ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ r✐➯♥❣✱ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ♥â♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✱✳✳✳✳
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷✿ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✱✳✳✳
❚r➯♥ ❝ì sð ✤â ✤➲ t➔✐ ✤➦t ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠ët sè ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
✲ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët sè ❧î♣ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù
tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐
❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët
sè ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳
❱î✐ ❝→❝ ❧þ ❞♦ ♥➯✉ tr➯♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ ❧✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❧➔✿




ỵ t ở ởt số ợ tr ổ btr
ự ử
ử ự
ử ừ rở t q sỹ tỗ t t ở ởt
số ợ tr ợ ổ ữ ổ btr s tự tỹ ở
ổ btr õ tr số ổ btr ợ tr tr
C số ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt

số ợ ữỡ tr t

ố tữủ ự
ố tữủ ự ừ ổ btr s tự tỹ ở
ổ btr õ tr số ổ btr ợ tr tr
C số s rở t ở trũ tr ổ
btr s tự tỹ ở ổ btr õ tr số ổ
btr ợ tr tr C số ởt số ợ ữỡ tr t

P ự
ự ỵ trũ ỵ t ở tr
ổ btr s tự tỹ ở ổ btr õ tr số
ổ btr ợ tr tr C số ự ử t q t
ữủ ự t tỗ t ừ ữỡ tr t

Pữỡ ự
ú tổ sỷ ử ữỡ ự ỵ tt ừ t ỵ tt
ữỡ tr ữỡ tr t ỵ tt t ở tr q
tr tỹ t

ỵ ồ tỹ t

ú t t q sỹ tỗ t t ở tr
ổ btr s tự tỹ ở ổ btr õ tr số
ổ btr ợ tr tr C số ỗ tớ ự ử t
q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt số ợ ữỡ tr t


ờ q trú
ở ữủ tr tr ữỡ r ỏ õ ớ

ớ ỡ ử ử t ử ổ tr
ồ ừ ự s q trỹ t t
ữỡ ú tổ tr ự trũ ợ
tr ổ btr s tự tỹ ở ự ử ử ú tổ
ự sỹ tỗ t trũ ợ tọ T




s rở tr ổ btr s tự tỹ ở ử ú tổ
ự sỹ tỗ t trũ ợ (, L)T s rở tr
ổ btr s tự tỹ ở ử ú tổ ự ử t q t
ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ tr t t
q ừ ữỡ ữủ tr t r ss
tr
ữỡ ú tổ tr ự sỹ tỗ t t ở tr
ổ btr õ ừ tr số ự ử ử ú
tổ tr ởt số t t ỡ ừ ổ btr õ tr
số ử ú tổ ự sỹ tỗ t t ở
ợ s rở tr ổ btr õ tr số
ử ú tổ ự sỹ tỗ t t ở ở ổ ởt
số tr ổ btr õ ừ tr số ử
ú tổ ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt
ợ ữỡ tr t t q ừ ữỡ ữủ ỷ tr
ởt số t ồ qố t
ữỡ ú tổ tr ự sỹ tỗ t t ở tr
ổ btr ợ tr tr C số ự ử ử ú tổ tr
ởt số t t ỡ ừ ổ btr ợ tr tr
C số r ử ú tổ tt ởt số ỵ t ở ợ
s rở s rở tr ổ btr

ợ tr tr C số ử ú tổ tt ự ởt số
ỵ t ở ở ổ ởt ợ tr ổ btr ợ
tr tr C số ử ú tổ ự t sỹ tỗ t ừ
ởt ợ ữỡ tr t t q ừ ữỡ ữủ tr t
t ts t stt rst Pr t r
tt ts




ì

ề P
b P ĩ P ệ

r ữỡ ú tổ ữ r T (, L)T
s rở tr ổ btr t ự ởt số t q
trũ ợ tọ T s rở
(, L)T s rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở
r ú tổ ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt
ợ ữỡ tr t



trũ ợ tọ T s
rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở

r ử ú tổ tr ởt số t t ỡ ừ
ổ btr tt ởt số t q trũ ợ
tr ổ btr ừ s tự tỹ ở

X t rộ s 1 ởt số tỹ d : X ìX R
ữủ ồ btr tr X ợ ồ x, y, z X s ữủ tọ
0 d(x, y) d(x, y) = 0 x = y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) s[d(x, y) + d(y, z)]
õ (X, d, s) ữủ ồ ổ btr ợ số s rữớ ủ s = 1 t
ổ btr ổ tr
X t rộ f, g : X X õ f
g ữủ ồ f gx = gf x ợ ồ x X
X t rộ f, g : X X
w = f x = gx ợ x X t x ữủ ồ ởt trũ ừ f g w ữủ
ồ tr trũ ừ f g
(X, d, s, ) ổ btr s tự tỹ ở
f, g, h, k : X X õ




(f, g) ữủ ồ htữỡ t lim d(f hgxn , ghf xn ) = 0 ợ ồ
n

{xn } tr X s lim hf xn = lim hgxn = t ợ t õ tở X
n

n

hx = x ợ ồ x X t (f, g) ữủ ồ tữỡ t t gx = x
ợ ồ x X t f ữủ ồ htữỡ t

(f, g) ữủ ồ htữỡ t f hgx = ghf x ợ ộ hgx = hf x

t hx = x ợ ồ x X t (f, g) ữủ ồ tữỡ t
t gx = x ợ ồ x X t f ữủ ồ htữỡ t
(f, g) ữủ ồ ht ố ợ k hf (X) hg(X) hk(X)
ợ ồ x X t õ hf x hgy ợ ồ y (hk)1 (hf x) hgx hf y ợ ồ
y (hk)1 (hgx) t hx = x ợ ồ x X t (f, g) ữủ ồ t
ố ợ k kx = x ợ ồ x X t (f, g) ữủ ồ ht
(f, g) ữủ ồ ht ở ố ợ k hf (X) hk(X) ợ
ồ x X t õ hf x hgy ợ ồ y (hk)1 (hf x) t hx = x ợ ồ
x X t (f, g) ữủ ồ t ở ố ợ k t kx = x ợ
ồ x X t (f, g) ữủ ồ ht ở
f ữủ ồ g ỡ ổ ố ợ (h, ) hgx
hgy t t õ
hf x
hf y t hx = x ợ ồ x X t f ữủ ồ g ỡ ổ
ố ợ t gx = x ợ ồ x X t f ữủ ồ ỡ
ổ ố ợ (h, )

(X, d, s) ổ btr ợ s > 1
T, S : X X S ữủ ồ T tỗ t k [0, 1) s ợ ồ
x, y X t õ
d(T Sx, T Sy) kd(T x, T y).


T x = x ợ ồ x X t T
ử X = [1, ) t btr ữủ d(x, y) = |x y|2 ợ ồ
x, y X t T x = 2

1
Sx = 4x ợ ồ x X õ S
x

T ữ ổ tổ tữớ

ự t q s
trũ ổ btr s tự tỹ ở
ỵ (X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ ở ợ
số s > 1 f, g, S, R : X X tọ s

f (X) R(X) g(X) S(X)
ợ ộ x, y X s Sx, Ry s s ữủ t õ
si d(f x, gy) Ms (x, y),






i > 1 ởt số
Ms (x, y) = max d(Sx, Ry), d(Sx, f x), d(Ry, gy),

d(Sx, gy) + d(Ry, f x)
.
2s

f, g, R S tử
(f, S) (g, R) tữỡ t
(f, g) (g, f ) t ở ố ợ R S tữỡ ự
õ (f, S) (g, R) õ ởt trũ z tr X ỡ ỳ Rz
Sz s s ữủ t z ởt trũ ừ f, g, R S
ởt ử ú t t (f, S) (g, R) õ

ởt trũ 0 tr X tr trữớ ủ ỵ
ỵ ổ ử ữủ f, g, R, S
ử t X = [0, 1] t btr d ữủ ổ tự d(x, y) = |xy|2
ợ ồ x, y X q tự tỹ tr X
x

y x y ợ ồ x, y X.

g, S, f, R : X X
x
Sx = Rx = f x = gx =
2

x
1
2i+ 2

ợ ồ x X, i > 1.

ớ ú tổ s tt ởt ỵ trũ ợ
tọ T tr ổ btr ừ s tự tỹ ở ỡ
ỳ sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ tỗ t trũ ừ
tr ử
ỵ (X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ ở ợ
s > 1 T, f, g, S, R : X X tọ s

f (X) R(X) g(X) S(X)
T ởtởt
ộ x, y X s T Sx, T Ry s s ữủ t õ
si d(T f x, T gy)) MsT (x, y),

i > 1 ởt số
MsT (x, y) = max d(T Sx, T Ry), d(T Sx, T f x),
d(T Ry, T gy),

d(T Sx, T gy) + d(T Ry, T f x)
.
2s






f, g, R S tử
(f, S) (g, R) T tữỡ t
(f, g) (g, f ) T t ở ố ợ R S tữỡ ự
õ (f, S) (g, R) õ ởt trũ z tr X ỡ ỳ
T Rz T Sz s s ữủ t z ởt trũ ừ f, g, R S
t r ỵ t T ỗ t
t t t ữủ ỵ
sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ tỗ t trũ
ừ tr ử
ứ t q tr t s r r ỵ ởt rở tỹ sỹ ừ
ỵ
(X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ ở
ợ số s > 1 f, g, T, S, R : X X
f g tọ tr ỵ

t (f, g) ữủ ồ tọ T s rở
(f, f ) tọ T s rở t f ữủ ồ tọ
T s rở

q (X, d, s,

) ổ btr ừ s tự tỹ ở

ợ s > 1 T, g : X X tọ s
T ởtởt
ợ ộ x, y X s T x, T y s s ữủ t õ
si d(T gx, T gy) d(T x, T y),

i > 1 ởt số
g tử
g T
g ỡ ổ ố ợ (T, )
ỗ t x0 X s T x0

T gx0

õ g õ ởt t ở z tr X

trũ ợ (, L)T s rở tr
ổ btr ừ s tự tỹ ở

r ử ú tổ ữ r (, L)T s rở
ự ởt số t q trũ ợ (, L)T s
rở tr ổ btr s tự tỹ ở

ồ tt : R+ R+ tọ
s
tử ổ
(t) = 0 t = 0
õ ữủ ồ ởt t ờ

(X, d, s, ) ổ btr s tự tỹ ở ợ
s > 1 S, T, g : X X õ S ữủ (, L)T s
rở ố ợ g ợ ồ x, y X T gx T gy t õ
(si d(T Sx, T Sy)) (MsT (x, y)) + L(NsT (x, y)),



ợ i > 1 L 0 õ tr õ
MsT (x, y) = max d(T gx, T gy), d(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy),
d(T gx, T Sy) + d(T gy, T Sx)
,
2s


NsT (x, y) = min d(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy), d(T gx, T Sy), d(T gy, T Sx) .

r tr t T ỗ t tr X t S

(, L) s rở ố ợ g
tt t q trũ
ợ (, L) s rở ố ợ g tr ổ btr
ừ s tự tỹ ở

ỵ (X, d, , s) ổ btr ừ s tự tỹ ở ợ
s > 1 g, S : X X tọ s

S(X) g(X)
ợ i > 1 L 0 õ t õ
(si d(Sx, Sy)) (Ms (x, y)) + L(Ns (x, y))






ợ ồ x, y X s gx

gy tr õ

Ms (x, y) = max d(gx, gy), d(gx, Sx), d(gy, Sy),

d(gx, Sy) + d(gy, Sx)
,
2s

Ns (x, y) = min d(gx, Sx), d(gy, Sy), d(gx, Sy), d(gy, Sx) .

S g tử

S ỡ g ổ ố ợ



(S, g) tữỡ t
ỗ t x0 X s gx0

Sx0

õ S g õ ởt trũ tr X
ởt ử ú t t S g õ ởt
trũ 0 tr X ỵ ổ ử ữủ
S g

ử X = R+ t btr d(x, y) =| x y |2 ợ ồ x, y X


ởt q tự tỹ tr X ữủ ữ s
x

y x y ợ ồ x, y X.

g, S : X X
Sx =

3

ln 1 +

x

i+ 98

2

gx =

3

x
ln 1 +
2

ợ ồ x X i > 1 g S õ ởt trũ 0 tr
X tr trữớ ủ ỵ ổ ử ữủ g S
ớ ú tổ s tt ởt ỵ trũ ợ
(, L)T s rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở ỡ
ỳ sỷ ử ỵ t õ t r sỹ tỗ t trũ ừ
tr ử ử

ỵ (X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ ở ợ
s > 1 T, S, g : X X tọ s

S(X) g(X)
T ởtởt
S (, L)T s rở ố ợ g
S g tử

S ỡ g ổ ố ợ (T, )
(S, g) T tữỡ t
ỗ t x0 X s T gx0

T Sx0

õ S g õ ởt trũ tr X

t r ỵ t T ỗ t
t t t ữủ ỵ
sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ tỗ t trũ ừ
tr ử
ứ t q tr t s r r ỵ ởt rở tỹ sỹ ừ
ỵ


ì
ử ởt ợ ữỡ tr t
r ử ú tổ ự ử q ự t sỹ
tỗ t ừ ợ ữỡ tr t s
et

x(t) = (t) +

K(t, r)f (r, x(r))dr, t I = [0, 1] > 0.



0

ỵ t ủ số : R+ R+ tọ s
p
ổ (t) (tp ) ợ ồ p 1
(t) t ợ ồ t R+
tt ớ t s ự ữỡ tr ữợ tt
s
(a1 ) : I R tử ợ I = [0, 1]
(a2 ) f : I ì R R tử tọ tỗ t số L 0
s ợ ồ t I ợ ồ u, v R u v t õ
| f (t, u) f (t, v) | L(u v).
(a3 ) f (t, x) ỡ ổ ố ợ t x ợ ồ
x1 , x2 R x1 x2 t õ f (t, x1 ) f (t, x2 ) ợ ồ t I
(a4 ) K : I ì I R+ tử tr I ì I tỗ t số A 0 s
et

K(t, r)dr A ợ ồ t I.

0

(a5 ) ỗ t T : C(I) C(I) s T ởtởt ợ ồ
x C(I) t I t õ
et

T (t) +

et

K(t, r)f r, x(r) dr = (t) +
0

K(t, r)f r, T x(r) dr,
0






tỗ t x0 C(I) s ợ ồ t I t õ
et

K(t, r)f (r, x0 (r))dr T (x0 (t)).

T (t) +



0

ợ i > 1 p > 1 số
ỵ ợ tt tt (a1 ) (a6 ) ữỡ tr õ ởt
tr X
(a6 ) (AL)p

1
2i(p1)

t ú tổ ữ r ử s r r tỗ t số T, K, g
f tọ tt tt ừ ỵ
ử X = C(I) t ủ tt tỹ tử tr t I = [0, 1]

r X t t btr d(x, y) = suptI | x(t) y(t) |2 ợ ồ x, y X q
tự tỹ
ữủ x
y x(t) y(t) ợ ồ t I õ
(X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ ở ợ s = 2 t ữỡ
tr t
t2 e4t
1
x(t) = t
+
5.2i
2i+1

et

2

t2 et r2 x(r) + r2 dr.
0

ỷ ử ỵ t r ữủ x(t) = t2 ợ ồ t [0, 1] ởt ừ
ữỡ tr tr

t ữỡ
r ữỡ ừ ú tổ t ữủ t q s
ữ r ỵ ỵ sỹ tỗ t trũ ừ
ợ tọ T s rở tr ổ tr btr

ừ s tự tỹ ở ỗ tớ ự ử t q ự
sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ tr t

t q ữủ tr tứ
t rsts r T trt s rt r
r btr ss ts t tr qts r ss
tr
ữ r ỵ ỵ sỹ tỗ t trũ
ừ ợ (, L)T s rở tr ổ tr btr ừ s

tự tỹ ở
t q ữủ tr tứ
tr r st r (, L)T trts
rt rr btr ss ts t tr qts ỷ



✶✷

❈❍×❒◆● ✷

✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P ⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆●
●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈ ◆➶◆ ✣❺❨ ✣Õ ❚❘➊◆ ✣❸■ ❙➮ ❇❆◆❆❈❍ ❱⑨ Ù◆●
❉Ö◆●

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♠➯tr✐❝ s❛♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ♣❤→t ❜✐➸✉
✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝
→♥❤ ①↕ ♥➔② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱
❝❤ó♥❣ tæ✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ t➻♠ ✤÷ñ❝ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët ❧î♣
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳

✷✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤

✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✿
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✻✳ ❈❤♦ X ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✱ s ≥ 1 ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ✈➔ A ❧➔ ✤↕✐
sè ❇❛♥❛❝❤✳ ⑩♥❤ ①↕ d : X × X → A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ X ✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐
x, y, z ∈ X ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿
✶✳ θ

d(x, y) ✈➔ d(x, y) = θ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ x = y ✳

✷✳ d(x, y) = d(y, x)✳
✸✳ d(x, z)

s[d(x, y) + d(y, z)]✳

❑❤✐ ✤â✱ (X, A, d, s) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❤➺
sè s✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✽✳ ❈❤♦ A ❧➔ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ P ❧➔ ♥â♥ tr♦♥❣ A✳ ⑩♥❤ ①↕ ϕ : P → P
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦ s→♥❤ ②➳✉ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✶✳ ϕ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ✤è✐ ✈î✐ “
ϕ(t1 ) ϕ(t2 )✳

”✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠å✐ t1 , t2 ∈ P ♠➔ t1

✷✳ {ϕn (t)} ❧➔ c✲❞➣② tr♦♥❣ P ✈î✐ ♠å✐ t ∈ P ✳
✸✳ ◆➳✉ {un } ❧➔ c✲❞➣② tr♦♥❣ P t❤➻ {ϕ(un )} ❝ô♥❣ ❧➔ c✲❞➣② tr♦♥❣ P ✳

t2 ✱ ❦➨♦ t❤❡♦

(X, A, d) ổ tr õ tr số P
õ tr A f : X X ữủ ồ tỗ t s s
: P P s ợ ồ x, y X, t õ
d f (x), f (y)

d(x, y) .

ỵ (X, A, d) ổ tr õ ừ tr số
f : X X õ f õ t t ở u X
lim f n (x) = u ợ ộ x X
n



t ở ợ s rở tr ổ
btr õ ừ tr số

t t tứ tr ổ tr õ tr số
ú tổ ỹ s rở tr ổ
btr õ tr số
(X, A, d, s) ổ btr õ tr số
P õ tr A f : X X ữủ ồ s rở tỗ t
s s : P P s ợ ồ x, y X, t õ
d f (x), f (y)

d(x, y) .

ờ sỷ (X, A, d, s) ổ btr õ tr số P
õ tr A f : X X s rở õ t õ
ợ ồ t1 , t2 P t1

t2 ợ ồ n N t õ n (t1 )

n (t2 )

ợ ồ x, y X ồ n N t õ
d f n (x), f n (y)

n d(x, y) .

ự ởt t q s
tr ổ btr õ ừ tr số
ỵ (X, A, d, s) ổ btr õ ừ tr số
k P s (k) < 1 f : X X tọ
d f (x), f (y)

kd(x, y),

ợ ồ x, y X.



õ f õ t t ở u X ợ ộ x X t õ lim f n (x) = u
n

ởt ử ú t t f õ t
t ở 0 tr X tr trữớ ủ ỵ ổ
ử ữủ f




ử A = R2 P = {(u, v) A : u, v 0} ợ x = (x1 , x2 ) y = (y1 , y2 ) A
t
tr A (x1 , x2 ) = |x1 | + |x2 |
P tr A xy = (x1 , x2 )(y1 , y2 ) = (x1 y1 , x1 y2 + x2 y1 ).
X = R+ d : X ì X A d(x, y) = |x y|2 , 0 ợ ồ x, y X.
f : X X f (x) =

x
ợ ồ x X.
x+1

: P P (z1 , z2 ) =

z1
, 0 ợ ồ (z1 , z2 ) P.
z1 + 1

õ (X, A, d, s) ổ btr õ ừ tr số ợ số
s = 2 t f õ t t ở 0
tr trữớ ủ ỵ ổ ử ữủ f
ớ ú tổ s tt ởt ỵ t ở s
rở tr ổ btr õ ừ tr số ỡ ỳ
sỷ ử ỵ t õ t r sỹ tỗ t t ở f tr

ử
ỵ (X, A, d, s) ổ btr õ ừ tr số
f : X X s rở õ f õ t t ở
u X ợ ộ x X lim f n (x) = u
n

t r ỵ s = 1 t t t ữủ ỵ
(t) = kt ợ ồ t A tr õ k P (k) < 1 t t t ữủ
ỵ
sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ tỗ t t ở
f tr ử
ứ t q tr t s r r ỵ ởt rở tỹ sỹ ừ
ỵ



t ở ở ổ ởt số tr ổ btr
õ ừ tr số

r ử ú tổ tt ởt số t q t ở ở ổ tr
ổ btr õ ừ tr số
P tỷ (x, y) X ì X ữỡ ồ t ở ở ổ ừ
T : X ì X X T (x, y) = x T (y, x) = y
ờ (X, A, d, s) ổ btr õ ừ tr số
ợ số s 1 T : X ì X X




: X 2 ì X 2 R (x, y), (u, v) = d(x, u) + d(y, v) ợ ồ (x, y) (u, v)

X ì X X 2 = X ì X
GT : X ì X X ì X GT (x, y) = T (x, y), T (y, x) ợ ồ (x, y) X ì X.
õ t õ s
(X ì X, A, , s) ụ ổ btr õ ừ tr số ợ
số s
T õ t t ở ở ổ GT õ t t ở
ớ t tt ởt số t q t ở ở ổ ởt số
tr ổ btr õ ừ tr số
ỵ (X, A, d, s) ổ btr õ ừ tr số
ợ số s 1 P õ tr A : P P s s T : X ì X X
tọ
d T (x, y), T (u, v) + d T (y, x), T (v, u)

d(x, u) + d(y, v)



ợ ồ x, y, u, v X õ T õ t t ở ở ổ


ì
ử ởt ợ ữỡ tr t
r ử ú tổ ự ử ỵ ự t sỹ tỗ
t ừ ởt ợ ữỡ tr t
ờ C[a, b] t ủ tt tr tỹ tử tr [a, b] R
A = R2 P = {(x, y) A : x, y 0} ợ q tự tỹ
tữỡ tỹ ữ tr ử d : C[a, b] ì C[a, b] A
d(x, y) =

sup |x(t) y(t)|2 , sup |x(t) y(t)|2

t[a,b]

t[a,b]

ợ ồ x, y C[a, b] õ C[a, b], A, d, s ổ btr õ ừ tr
số ợ số s = 2
ỵ C[a, b], A, d, s ổ btr õ ừ tr số
ữủ õ tr ờ t ữỡ tr t s
b

x(t) = (t) +

K t, x(r) dr,

t [a, b],



a

x, C[a, b] K : [a, b] ì R R sỷ r s tọ
ợ ộ t [a, b] K t, x(r) t t r tr [a, b]




ỗ t ởt tử : [a, b] ì [a, b] R s
b

(t, r) dr 1,

sup
t[a,b]

a

tỗ t ởt s s s ợ ồ t, r [a, b] ợ ồ x, y C[a, b],
t õ
K t, x(r) K t, y(r)

(t, r) |x(r) y(r)| .

õ ữỡ tr õ t u C[a, b].
ử s r tỗ t K tọ tt tt
ừ ỵ
ử C[0, 1] t ủ tt tỹ tử tr [0, 1] t
ữỡ tr t t

2 6
3
. sin t +
+ ln
x(t) = t
4
9

1

1
r. sin t. ln 1 + |x(r)| dr,

2



0

ợ t [0, 1] ỷ ử ỵ t r ữỡ tr õ t
u C[0, 1].

t ữỡ
r ữỡ ú tổ t ữủ ỳ t q s
ữ r ỵ sỹ tỗ t t ở ừ ợ
s rở tr ổ btr õ tr số
ử ỵ ự sỹ tỗ t t ừ ởt ợ

ữỡ tr t t
t q ữủ tr tứ
t sts ss r tr qts btr ss r
rs ỷ
ữ r ỵ sỹ tỗ t t ở ở ổ tr ổ btr
õ ừ tr số
t q ữủ tr tứ t t
rs btr ss r rs ts ỷ




ì

P

b C ệ

r ữỡ ú tổ tt ởt số ỵ t ở t
ở ở ổ ởt số ợ tr ổ btr ợ tr tr
C số ú tổ ụ ự ử t q t ữủ ự
t sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ tr t



ổ btr ợ tr tr C số

t t tr ởt số s
A số : A A a a
tọ (a + b) = a + b (a) = a ợ ồ a, b A ồ số
tỹ õ
A ữủ ồ số A số (ab) = b a (a ) = a ợ
ồ a, b A
A ữủ ồ số A số ừ s ab a b
a = a ợ ồ a, b A
A ữủ ồ C số A số a a = a

2

ợ ồ a A

1A tỷ ỡ 0A tỷ ổ ừ A P tỷ a A
ữủ ồ ữỡ t 0A a a 0A a = a (a) R+
(a) = { R : 1A a ổ ờ ừ a
ợ a, b A b ữủ ồ ợ ỡ a a ữủ ồ ọ ỡ b t a
b a b a 0A ụ t a b a b a = b

b

ủ tt tỷ ữỡ ừ A ữủ A+

X t rộ A C số s A s
d : X ì X A s ợ ồ x, y, z X t õ

0A

d(x, y) d(x, y) = 0A x = y

1A


✶✽

✷✳ d(x, y) = d(y, x)✳
✸✳ d(x, z)

s[d(x, y) + d(y, z)❪✳

❑❤✐ ✤â✱ d ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè tr➯♥ X ✈➔ (X, A, d, s) ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈î✐ ❤➺ sè s✳
❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✻✳ ❈❤♦ (X, d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝✳ ⑩♥❤ ①↕ f : X → X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ϕ✲❝♦
♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❤➔♠ s♦ s→♥❤ ϕ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X, t❛ ❝â
d f (x), f (y) ≤ ϕ d(x, y) .

✸✳✷

✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦
❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè

❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦
❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
♠ët sè ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧î♣ →♥❤ ①↕ ♥➔②✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳✶✳ ❈❤♦ (X, A, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
⑩♥❤ ①↕ ϕ : A+ → A+ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦ s→♥❤ s✉② rë♥❣ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✶✳ ❱î✐ ♠å✐ t1 , t2 ∈ A+ ♠➔ t1

t2 ❦➨♦ t❤❡♦ ϕ(t1 )

ϕ(t2 )✳

✷✳ lim ϕn (t) = 0A ✈î✐ ♠å✐ t ∈ A+ ✳
n→∞

✸✳ {ϕ(un )} ❧➔ ❞➣② ❤ë✐ tö ✈➲ 0A tr♦♥❣ A+ ✱ ♥➳✉ {un } ❧➔ ❞➣② ❤ë✐ tö ✈➲ 0A tr♦♥❣ A+ ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳✷✳ ❈❤♦ (X, A, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
⑩♥❤ ①↕ f : X → X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ s♦ s→♥❤ s✉② rë♥❣
ϕ : A+ → A+ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X, t❛ ❝â
d f (x), f (y)

ϕ d(x, y) .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳✸✳ ❈❤♦ (X, A, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
⑩♥❤ ①↕ ϕ : A+ → A+ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦ s→♥❤ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ s❛✉✿
✶✳ ❱î✐ ♠å✐ t1 , t2 ∈ A+ ♠➔ t1 ≤ t2 ❦➨♦ t❤❡♦ ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 ) ✳

✷✳ lim ϕn (t) = 0A ✈î✐ ♠å✐ t ∈ A+ ✳
n→∞




(X, A, d, s) ổ btr ợ tr tr C số
f : X X ữủ ồ s rở tỗ t s s
s rở : A+ A+ s ợ ồ x, y X, t õ
d f (x), f (y)

d(x, y)

.

ớ t s ự ởt t q t ở ợ
s rở tr ổ btr ừ ợ tr tr C số
ỵ (X, A, d, s) ổ btr ừ ợ tr tr C số
f : X X s rở õ f õ t t ở
u X ộ x X lim f n (x) = u
n

ự t q s t ở tr ổ
btr ừ ợ tr tr C số
ỵ (X, A, d, s) ổ btr ừ ợ tr tr
C số a A s a < 1 f : X X tọ
a d(x, y)a,

d f (x), f (y)

ợ ồ x, y X.



õ f õ t t ở u X ộ x X, lim f n (x) = u
n

ử s t t f õ t t ở
0 tr X ữ tr trữớ ủ ỵ ổ ử ữủ
f
ử A = C t ủ số ự ợ ở số
ự tổ tữớ a = |a|, a = a ợ ồ a C
X = R+ d : X ì X A+ d(x, y) = |x y|2 ợ ồ x, y X.
f : X X f (x) =

x
ợ ồ x X.
x+1

: A+ A+ (z) =

|z|
ợ ồ z A+ .
|z| + 1

õ (X, A, d, s) ổ btr ừ ợ tr tr C số ợ số
s = 2 t f õ t t ở 0 ổ
tỗ t a A ợ a < 1 s tr ỵ tọ
ớ ú tổ ự ởt ỵ t ở ợ
s rở tr ổ btr ừ ợ tr tr C số ỡ ỳ

sỷ ử ỵ t õ t r sỹ tỗ t t ở f tr
ử
ỵ (X, A, d, s) ổ btr ừ ợ tr tr
C số f : X X s rở õ f õ t t
ở u X ợ ộ x X lim f n (x) = u
n




t r ỵ : A+ A+ ổ tự
(t) = a ta ợ ồ t

0A tr õ a A trữợ tọ a < 1 t t t

ữủ ỵ
sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ tỗ t t ở
f tr ử



t ở ở ổ ởt số ợ tr ổ
btr ợ tr tr C số

r ử ú tổ tt ởt số t q t ở ở ổ tr
ổ btr ợ tr tr C số
ỵ s t q t ở ở ổ tr ổ tr
ừ ợ tr tr C số q ự
ỵ (X, A, d) ổ tr ừ ợ tr tr C số
a A s 2 a 2 < 1 F : X ì X X tọ

d(F (x, y), F (u, v))

a d(x, u)a + a d(y, v)a



ợ ồ x, y, u, v X õ F õ t t ở ở ổ
ử s t F õ t ở ở ổ (0, 0)
tr X ỵ ổ ử ữủ F tr trữớ
ủ

ử A = A = 0 0 : , R ợ t ở
ổ ữợ tr tổ tữớ ủ A = AT AT
tr ừ tr A A = max{||, ||} X = R

d : X ì X A
d(u, v) =

|u v|
0
1 0
0
|u v| = |u v| 0 1 = |u v|1A ợ ồ u, v X.

F : X ì X X F (x, y) =

x 2y
ợ ồ x, y X.
7

1/2 0
0 1/2 A t F ổ tọ õ ỵ
ổ ử ữủ F tr trữớ ủ

ợ a =

ớ ú tổ tt ự t ở ở ổ tr
ổ btr ừ ợ tr tr C số ỡ ỳ sỷ ử t q
ú tổ r ữủ t ở ở ổ ừ F tr ử
ỵ (X, A, d, s) ổ btr ừ ợ tr tr
C số ợ số s
1A a A s 2 a 2 < 1 T : X ì X X




tọ
d(T (x, y), T (u, v)) + d(T (y, x), T (v, u))

2[a d(x, u)a + a d(y, v)a]



ợ ồ x, y, u, v X õ T õ t t ở ở ổ
r ỵ s = 1A t t ữủ t q s
q (X, A, d) ổ tr ừ ợ tr tr C số
a A s 2 a 2 < 1 T : X ì X X tọ
d(T (x, y), T (u, v)) + d(T (y, x), T (v, u))

2[a d(x, u)a + a d(y, v)a]

ợ ồ x, y, u, v X õ T õ t t ở ở ổ
t ứ q t õ t ừ q ỡ ỳ
F tọ tt ừ q F õ t t ở
ở ổ (0, 0)
ứ t q tr t t r q ởt rở tỹ sỹ ừ
q


ì
ử ởt ợ ữỡ tr t
r t ự ử ỵ ự sỹ tỗ t t
ừ ởt ợ ữỡ tr t t
E t õ rộ ữủ ỡ tr Rn à ở ỡ
tr E
|x(t)|2 dà < +}.

L2 (E) = {x : E R|
E

õ t ủ L2 (E) ũ ợ t ổ ữợ ữủ
x, y =

x(t)y(t)dà
E

x

2

= x, x

1
2

2

|x(t)| dà

=

1
2

E

ổ rt B L2 (E) ổ tt t tỷ t t
tr L2 (E) C(E) ổ tt tỹ tử tr E ợ
x = sup |x(t)| x C(E) rữợ t t ự ởt số t t ừ B L2 (E)
tE

ờ a C(E) f, g B L2 (E) u, v L2 (E)
P tr B L2 (E) (f g)(v) = f g(v) ợ ồ v L2 (E)
f = sup f (v)
v =1

tỷ ủ ừ f t tỷ f : B L2 (E) B L2 (E) f u, v =
u, f v ợ ồ u, v L2 (E) ., . t ổ ữợ tr L2 (E)
a : L2 (E) L2 (E) t tỷ t a (v) = av ợ ồ v L2 (E)




d : C(E) ì C(E) B L2 (E) d(x, y) = |xy|p ợ p > 1 ồ
x, y C(E)
õ t õ s
B L2 (E) ởt C số ợ tỷ ỡ 1B(L2 (E)) ợ 1B(L2 (E)) (u) =
1 ợ ồ u L2 (E)
B L2 (E)

+

= g B L2 (E) : gv, v 0 ợ ồ v L2 (E)

ợ ồ f, g B L2 (E) f g (f g)v, v 0 ợ ồ v L2 (E)
q tự tỹ s õ B L2 (E) +
a B(L2 (E)) a = a a = 0 a = 0 C(E)
C(E), B L2 (E) , d, s ổ btr ừ ợ tr tr C số

ợ s = 2p .1B(L2 (E))

ỵ C(E), B L2 (E) , d, s ổ btr ừ ợ tr
tr C số tr ờ t ữỡ tr t s


K t, x(r) dr, t E

x(t) = (t) +
E

x, C(E) sỷ r s ữủ tọ
K : E ì R R s ợ ộ t E K t, x(r) t t r tr
E K t, x(r) tr E ì E
ỗ t tử : E ì E R ợ sup
tE

ợ ồ t, r E ồ x, y C(E) t õ
K t, x(r) K t, y(r)

(t, r) dr 1 s ợ p > 1
E

(t, r)

x(r) y(r)

p

p

1 + x(r) y(r)

p.

õ ữỡ tr õ t u C(E)
ử s ự tọ r tỗ t K tọ tt

tt ừ ỵ
ử t ữỡ tr t t
x(t) = t + 1 ln

9
. sin t +
4 e

r sin t.

x(r)
dr
1 + x(r)

[0,1]

ợ t [0, 1] t
(t) = t + 1 ln

9
. sin t, (t, r) = r sin t ợ t, r [0, 1],
4 e






K t, x(r) = r sin t.

x(r)
1 + x(r)

ợ x C[0, 1] t, r [0, 1].

õ K tọ tt ừ ỵ ữỡ tr t
õ t ởt u C[0, 1].

t ữỡ
r ữỡ ú tổ t ữủ ỳ t q s
ữ r ỵ ỵ sỹ tỗ t t ở ợ
s rở s rở tr ổ btr
ợ tr tr C số ỗ tớ ự ử t q ự
sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ tr t
t q ữủ tr tứ r
ts trts C r b tr ss t ts
t t
ữ r ỵ sỹ tỗ t t ở ở ổ ởt số tr
ổ btr ợ tr tr C số
t q ữủ tr tứ P tr sts
t trs C r btr ss
t Pts tt rst Pr r t
r