SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Nhận xét của
Hội đồng khoa học giáo dục
***
1/ Cấp cơ sở:
+ Tổ : ........................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
(Tổ trưởng, ký tên)

+ HĐ thi đua trường :
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
(Thủ trưởng, ký tên, đóng dấu)

2/ Cấp huyện hoặc thành phố:
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
+ Xếp loại :________________(…………đ)
XÁC NHẬN
TM.HĐSKKN
(Người chấm, ký và ghi rõ họ, tên)

Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
- Qua nhiều năm được phân công giảng dạy toán 8, 9 bản thân tôi nhận thấy
việc tiếp thu và vận dụng của học sinh về giải toán bằng cách lập phương trình
còn nhiều hạn chế, các em thường thấy lúng túng trong quá trình phân tích bài
toán. Từ đó tôi phải suy nghĩ, tìm tòi giải pháp giúp học sinh giải quyết vấn đề
này một cách có hệ thống và bài bản. Sau đây tôi xin trình bày những kinh
nghiệm của mình mà nhờ đó chất lượng bộ toán của trường có phần được cải
thiện.
II. NỘI DUNG:

1. Thực trạng của vấn đề:
- Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình đối với học sinh lớp 8, 9 là
một việc làm mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có
kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và phải tìm mối liên hệ giữa các yếu
tố của bài toán đã cho với thực tiễn. Nhưng thực tế cho thấy, phần lớn học sinh
không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài
toán bằng cách lập phương trình.
- Đề bài không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả
mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ
giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn
nữa, nội dung của các bài toán hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của
con người, xã hội hoặc tự nhiên. Do đó trong quá trình giải học sinh thường
quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý.

- Đề bài quá dài, không có công thức, học sinh không biết phân tích, không
nắm được đối tượng nghiên cứu của bài toán, không biết dựa vào mối quan hệ
giữa các đại lượng để thiết lập phương trình. Do đó khi giải học sinh thường
mắc sai lầm và thoát ly thực tế.

Trang 1


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Để giải được bài toán bằng cách lập phương trình thì học sinh rất cần sự hỗ
trợ tích cực của giáo viên về phương pháp giảng dạy một cách có hệ thống, có
khoa học.
2. Phân loại dạng toán:
Trong số các bài tập về giải toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân
thành các dạng như sau::
1/ Dạng bài toán về chuyển động.
2/ Dạng bài toán liên quan đến số học.
3/ Dạng bài toán về năng suất lao động.
4/ Dạng bài toán về công việc làm chung, làm riêng.
5/ Dạng bài toán có liên quan đến hình học.
6/ Dạng bài toán liên quan đến lí, hóa.
7/Dạng bài toán có chứa tham số.
3. Phương pháp dạy:
Vì đây là dạng toán gắn liền đời sống, khoa học kỹ thuật, đòi hỏi giáo viên
phải giảng dạy thực tế, chính xác, khoa học, có hiệu quả và hướng dẫn cho học
sinh một cách cẩn thận. Tính khoa học phải thể hiện cụ thể trong bài bằng các
mối quan hệ giữa các đại lượng, sự phụ thuộc lẫn nhau của các đại lượng, các

mối quan hệ thể hiện qua định nghĩa, khái niệm hay giả thiết trong đề bài. Do
vậy giáo viên cần cho học sinh thấy rõ mối quan hệ này trước khi bắt tay vào
giải toán.
* Bước 1 : Phân tích đề bài:
- Ta phải hiểu “ Giải toán bằng cách lập phương trình” là biểu thị các điều
kiện nào đó nêu trong đầu bài nhờ các kí hiệu toán học, tức là dịch các điều kiện
diễn đạt bằng ngôn ngữ trong đời sống hằng ngày thành ngôn ngữ toán học .
- Do vậy giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh một số khái niệm, định nghĩa,
các mối quan hệ giữa các đại lượng và thường xuyên ôn lại cho học sinh.
- Giáo viên cần cho học sinh đọc và nghiên cứu kỹ đề bài, phân tích và ghi
tóm tắt bằng kí hiệu toán học để các em hệ thống đề bài và tìm ra được hướng
giải bài toán.
Trang 2


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

- Việc xác định đối tượng nghiên cứu hết sức quan trọng, học sinh cần xác
định bài toán đang khảo sát vấn đề gì?
 Ví dụ :
● Bài toán chuyển động đều :
- Đối tượng nghiên cứu: các phương tiện
- Các đại lượng tương ứng: v, s, t
s
s
- Mối quan hệ các đại lượng: v  ; t  ; s v.t
t

v

● Bài toán về tàu, thuyền chuyển động :
- Đối tượng nghiên cứu: tàu, thuyền
- Các đại lượng tương ứng: v, s, t (trong đó v1 , vn với v1 : vận tốc thật của tàu,
thuyền; vn : vận tốc dòng nước)
- Vận tốc xuôi dòng : v1  vn
- Vận tốc ngược dòng : v1  vn
- Mối quan hệ các đại lượng: v 

s
s
; t  ; s v.t
t
v

● Bài toán về lao động sản xuất:
- Đối tượng nghiên cứu: con người, các thành phần lao động
- Các đại lượng tương ứng: n, A, t ( n: năng suất lao động; t: thời gian lao
động;

A: khối lượng công việc thực hiện được)

- Mối quan hệ các đại lượng: n 

A
A
; t  ; A n.t
t
n

● Bài toán liên quan đến hình học:
- Đối tượng nghiên cứu: Các thành phần có dạng hình chữ nhật, hình vuông,
tam giác vuông
- Các đại lượng: Chiều dài, chiều rộng hay cạnh hình vuông, các cạnh tam
giác vuông a, b, c
- Mối quan hệ: CVhcn ( D  R).2 ; S hcn = D x R ; CVhv = C x 4; S hv C 2 ;
a 2  b 2 c 2

Trang 3


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

● Bài toán về vòi nước chảy trong bể:
- Đối tượng nghiên cứu: vòi nước
- Các đại lượng:
n: số lít nước mỗi đơn vị thời gian chảy được
t: thời gian
A: lượng nước chảy vào bể
- Mối quan hệ: n 

A
A
; t  ; A n.t
t
n

● Bài toán có liên quan đến lí, hóa:
- Đối tượng nghiên cứu: vật, chất
- Các đại lượng: D là khối lượng riêng của vật; m: là khối lượng vật; V: thể
tích
- Mối quan hệ: D 

m
m
; V  ; m V .D
V
D

● Bài toán liên quan đến số học:
- Hai số có tổng là C, số còn lại là C - x; hai số có hiệu là H, thì số còn lại là
x + H; Nếu a chia cho b được thương q và số dư r, thì mối quan hệ giữa các đại
a r

lượng: a = bq + r; b  q

; q

a r
; r a  bq
b

Hoặc còn nhiều bài toán khác
Sau đó ta có thể tóm tắt đầu bài bằng nhiều cách: Dùng sơ đồ đoạn thẳng,
dùng hình vẽ, dùng cách ghi GT - KL, dùng mệnh đề ngắn gọn, tóm tắt bằng
bảng, biểu đồ, đồ thị...tùy theo bài toán, trong bảng tóm tắt ghi bao nhiêu trường
hợp, quá trình được diễn ra trong bài toán.

Bảng tóm tắt
(1)

(2)

(3)

(I)
(II)

Trang 4


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Cột (1), (2), (3) ghi các đại lượng, hàng (I), (II) ghi nhận các trường hợp, tình
huống, giả thiết. Qua bảng cho thấy mối tương quan của các đại lượng, từ đó
học sinh thấy được thứ tự và phương pháp trình bày lời giải.Việc tóm tắt đầu bài
giúp học sinh nắm được cấu trúc bài toán một cách hệ thống, không quên giả
thiết, điều kiện trong quá trình giải quyết bài toán.
* Bước 2: Lập phương trình bao gồm:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện:
- Thông thường bài toán tìm giá trị đại lượng nào, ta chọn ẩn cho đại lượng đó,
cũng có khi chọn ẩn là giá trị của các đại lượng có liên quan đến giá trị đại
lượng cần tìm.
- Việc đặt điều kiện của ẩn phụ thuộc vào thứ nguyên của ẩn
+ Nếu ẩn số có giá trị bằng phép đếm: Ví dụ sĩ số lớp, số gia súc, số sản
phẩm...thì điều kiện ẩn là số nguyên dương

+ Nếu ẩn có giá trị bằng độ dài hình học, diện tích bề mặt, quãng đường, thời
gian, thể tích một vật, khối lượng vật, trọng lượng một vật, dung tích...hoặc các
phép tính thì điều kiện ẩn là hữu tỉ dương với điều kiện thích hợp trong bài toán.
b) Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn và các số liệu đã biết
c) Tìm mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình
Thường câu văn nào chưa sử dụng sẽ lấy để lập phương trình, số liệu mang
tính chất đẳng thức thể hiện mối quan hệ các đại lượng trong bài.
* Bước 3: Giải phương trình
* Bước 4: Chọn kết quả thích hợp để trả lời
Sau khi tìm được nghiệm của phương trình, chưa chắc là đáp số bài toán, ta
phải so nghiệm của phương trình với điều kiện ẩn đặt ra. Nếu giá trị ẩn thích hợp
thì ta nhận giá trị ấy trả lời, có khi nghiệm số phương trình không thỏa mãn điều
kiện ban đầu đặt ra, bài toán đang giải không có câu trả lời.
4. Ví dụ điển hình:
a. Dạng toán chuyển động:
Bài toán: (Bài 37, trang 30 SGK)

Trang 5


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ôtô
cũng xuất phát từ A, đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc
trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút
sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải:
Cách 1: Gọi x(km/h) là vận tốc trung bình của xe máy (x > 0 ).

Thời gian xe máy đi từ A đến B: 9h30ph - 6h = 3h30ph = 3,5h
Thời gian xe ôtô đi từ A đến B: 3,5 - 1 = 2,5h
Ta lập bảng sau:
Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km)

Xe máy

x
3,5
Ôtô
x + 20
2,5
Ta có phương trình : 3,5. x = 2,5.( x + 20 )

3,5. x
2,5. ( x + 20)

 3,5. x = 2,5. x + 50
 x = 50 ( thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc trung bình xe máy là 50km/h
Quãng đường AB là 3,5. 50 = 175 km
Cách 2: Gọi x là quãng đường AB (x > 0)
Ta lập bảng sau:
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)

Xe máy
x
3,5
3,5
x
Ôtô
2,5
2,5
x
x
Ta có phương trình : 2,5  3,5 20

Quãng đường(km)

x
x

 3,5 x  2,5 x 175
 x 175

Vậy quãng đường AB là 175 km
Chú ý: Học sinh chọn cách giải hay và ngắn gọn hơn tùy vào cách đặt ẩn.
b. Dạng toán liên quan đến số học:
Bài toán : ( Bài 41, trang 31 SGK)
Trang 6


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng
chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn
hơn ban đầu là 370. Tìm số ban đầu.
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là x với x nguyên dương và 0 x 9
Chữ số hàng đơn vị là 2x
Số đã cho: 10x + 2x = 12x
Khi xen chữ số 1 vào giữa hai chữ số x và 2x thì x thành chữ số hàng trăm, còn
2x vẫn là chữ số hàng đơn vị. Số mới là : 100x + 10.1 + 2x = 102x +10
Số mới lớn hơn số đã cho là 370, ta có phương trình:
102x + 10 - 12x = 370  90x = 360  x = 4
Vậy số cần tìm là 48
Chú ý: Nếu chọn x là chữ số hàng đơn vị thì bài toán phức tạp hơn.
c. Dạng bài toán về năng suất lao động :
Bài toán: (sách tham khảo nâng cao đại số 9)
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai tổ
một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy.
Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Lời giải:
Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x ( chi tiết )
(Đk: x nguyên dương , x < 720)
Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất được : 720 - x (chi tiết)
Tháng 2 tổ một sản xuất vượt mức
Tháng 2 tổ hai sản xuất vượt mức

15
.x ( chi tiết)
100
12

. 720  x  ( chi tiết)
100

Số chi tiết máy tháng 2 cả hai tổ vượt mức :
819 - 720 = 99 ( chi tiết )
Ta có phương trình :

15
12
.x 
.(720  x) = 99
100
100

� 15x + 8640 - 12x = 9900
Trang 7


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình
� 3x = 9900 - 8640
� 3x = 1260
�

x = 420 (thỏa mãn)

Vậy trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, tổ hai sản xuất
được 720 - 420 = 300 chi tiết máy.
d. Dạng bài toán về công việc làm chung,làm riêng :

Bài toán: ( sách nâng cao và phát triển toán 8)
Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc
làm được của đội 1 bằng 3/2 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình
mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
Lời giải:
Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xong con mương là x ( ngày) x >0
Trong một ngày đội 2 làm được

1
(công việc)
x

Trong một ngày đội 1 làm được

3 1 3
. 
( công việc)
2 x 2x

Trong một ngày cả 2 đội làm được
Ta có phương trình:

1
24

( công việc)

1 3
1



x 2 x 24

� 24 + 36 = x
� x = 60 (thỏa mãn)

Vậy thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.
Mỗi ngày đội 1 làm được

3
1
 (công việc)
2.60 40

Để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày
Chú ý: Ở dạng toán này học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua
đơn vị quy ước. Từ đó lập phương trình và giải phương trình.
e.Dạng toán có liên quan đến hình học:
Bài toán : (Toán phát triển đại số lớp 9)

Trang 8


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung
quanh vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là
4256m2. Tính kích thước của vườn?

Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x (m) , đk: 4Độ dài cạnh còn lại là : 140-x (m)
Khi làm lối đi xung quanh , độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x-4(m)
và 140 - x - 4 =136 - x(m).
Ta có phương trình: ( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256
� 140x - x2 - 544 = 4256
� x2 - 140x - 4800 = 0

Giải phương trình tìm được

x = 60 ( thỏa mãn)

Vậy kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.
f.Dạng toán có liên quan vật lí, hóa học:
Bài toán : (Toán phát triển đại số lớp 9)
Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu
gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Lời giải : Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g)
Khi đó lượng dung dịch nước là 200 + x.
Nồng độ dung dịch là
Ta có phương trình :

50
200  x
50
20

200  x 100

 20(150 + x) = 5000
 x = 100 ( thỏa mãn)
Vậy : Lượng nước cần pha thêm là 100 g

g. Dạng toán có chứa tham số:
Bài toán: ( sách nâng cao và phát triển đại số lớp 8)
Trang 9


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

Thả một vật rơi tự do, từ một tháp xuống đất. Người ta ghi được quãng đường
rơi S (m) theo thời gian t (s) như sau:
t(s)
S (m )

1
5

2
20

3
45

4
80

5
125

a) Chứng tỏ quãng đường vật rơi tự do tỉ lệ với bình phương thời gian tương
ứng. Tính hệ số tỉ lệ đó?
b)Viết công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian? .
Lời giải:
a. Dựa vào bảng trên ta có:
5
 5;
1

20
 5;
22

45
5;
32

80
 5;
42

125
5
52

S 5 20 45 80 125
 




5
Vậy t 2 12 22 32 42 52

Chứng tỏ quãng đường vật rơi tỉ lệ với bình phương thời gian.
b.Công thức:

S
 5 � S  5t 2
t2

5. Kết quả:
Tôi đã ứng dụng nội dung trên vào việc giảng dạy học sinh khối 8, 9. Kết quả
mà Tôi và đồng nghiệp đã được giải đồng đội như sau:
* Năm học 2010- 2011:
+ Giải Lương Thế Vinh 8: 4 em.
+ Đội tuyển quận: 5 em.
+ Học sinh giỏi cấp thành phố: 1 em giải ba.
+ Chất lượng điểm thi HKI: 95% trên trung bình.
+ Chất lượng điểm thi HKII: 97,2% trên trung bình.
* Năm học 2011- 2012:
+Giải Lương Thế Vinh 8: 4em
+ Đội tuyển quận: 5 em
Trang 10


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

+Chất lượng điểm thi HKI: 96,5% trên trung bình.
+ Chất lượng điểm thi HKII : 98,7% trên trung bình.
* Năm 2012- 2013:
+ Chất lượng điểm thi HKI: 97,3% trên trung bình.
+ Chất lượng điểm thi HKII 99,4% trên trung bình.
+ Giải Lương Thế Vinh 8: 3 em ( 1 huy chương bạc, 2 huy chương đồng).
+ Học sinh giỏi cấp thành phố: 4 em ( 1 giải nhì, 3 giải ba )
6. Mặt tích cực và hạn chế:
- Học sinh đã có hứng thú giải những bài toán bằng cách lập phương trình,

không còn lúng túng nữa, học sinh khá giỏi đã tìm ra cách giải hay và ngắn gọn.
- Đôi khi học sinh còn vội vàng thiếu thận trọng, lựa chọn cách giải không
thích hợp nên thất bại, chán nản Tôi phải động viên, khuyến khích học sinh làm
lại.
7. Bài học kinh nghiệm :
- Giáo viên phải biết chọn lọc những bài toán điển hình, để từ đó học sinh

phát huy khả năng của mình vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán
cùng thể loại.
- Giáo viên cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, để theo dõi và động
viên kịp thời sự nỗ lực phấn đấu của học sinh, bên cạnh đó cũng uốn nắn những
sai sót mà học sinh mắc phải.
- Khi gặp phương trình bậc cao, hệ số lớn học sinh không tìm được cách giải
nguyên nhân do thời lượng luyện tập còn ít, Tôi động viên khuyến khích học
sinh cố gắng học tập và tăng cường thời gian luyện tập.
- Trong quá trình dạy cũng phải tôn trọng trình tự từ thấp đến cao, không thể
mong muốn giải một bài toán khó khi các bước cơ bản chưa nắm vững.

III. KẾT LUẬN :

- Để giải được toán bằng cách lập phương trình là một điều khó và có ý nghĩa
thực tế rất cao, học sinh cần phải ham thích, kiên nhẫn, nhạy bén, giáo viên cần
Trang 11


Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương trình

phải có phương pháp thích hợp, phân tích thấu đáo, hướng dẫn tận tình, động
viên đúng lúc.
- Kinh nghiệm trên của tôi đáp ứng được phần nào trong việc giúp học sinh giải
quyết hầu hết các bài toán bằng cách lập phương trình.
- Rất mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp.
- Xin chân thành cám ơn.
Quận 9, ngày 22 tháng 11 năm 2013
Giáo viên
Trần Thị Hồng Phụng

Trang 12