Bai BDT de du bi quoc gia nam 2008-2009

Lê Xuân Đại, GV THPT Chuyên vĩnh phúc
Bài BĐT trong đề thi dự bị quốc gia năm 2008-2009 khá hay và hơi khó . Tôi đã
tìm ra hai lời giải cho nó. Sau đây xin post một lời giải, anh em xem thử nhé.
Cho x,y,z là các số thực dơng thoả mãn điều kiện
2 2 2
x y z 2xyz 1+ + + =
Chứng minh rằng:
3 3 3 3
8(x y z) 10(x y z ) 11(x y z)(1 4xyz) 12xyz+ + + + + + + +
(1)
Lời giải. Đặt
p x y z; q xy yz zx; r xyz= + + = + + =
. Từ giả thiết suy ra
2
p 2q 2r 1 + =
Ta có
3 3 3 3
x y z p 3pq 3r+ + = +
nên BĐT (1) tơng đơng với BĐT sau:
3
2p 18r 44pr 11p 30pq+ + +
(2)
Theo BĐT Schur
3
(x y z) 9xyz 4(x y z)(xy yz xz)+ + + + + + +
nên
3
p 9r 4pq+
Do đó để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh:
44pr 11p 22pq 4r 1 2q+ +
Tức là ta cần chứng minh :

4xyz 1 2(xy yz xz)+ + +
(3)
Bổ đề: Với các số x,y,z dơng thoả mãn điều kiện
2 2 2
x y z 2xyz 1+ + + =
, tồn tại tam giác
nhọn ABC sao cho x=cosA, y=cosB, z=cosC (chứng minh đơn giản)
áp dụng bổ đề trên, ta cần chứng minh:
4cosA.cos B.cosC 1 2(cosA cos B cos BcosC cos AcosC)+ + +
(4)
Thật vậy, BĐT (4) tơng đơng với
cosA(2cosB 1)(2cosC 1) 1 cos(C B) 0 +
(5)
Trong một tam giác luôn tồn tại 2 góc cùng lớn hơn hoặc bằng
0
60
, hoặc cùng nhỏ hơn
hoặc bằng
0
60
. Giả sử hai góc đó là B và C, khi đó BĐT (5) đúng.
Vậy BĐT (1) đợc chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
2
= = =
.
OK.