Bài giảng Trường điện từ: Chương 2 - Lê Minh Cương

Chương 2:
Trường điện tĩnh

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
1


Nội dung chương 2:
2.1 Luật Coulomb và nguyên lý xếp chồng.
2.2 Thế điện vô hướng.
2.3 Áp dụng luật Gauss cho trường điện tĩnh.
2.4 Phương trình Poisson Laplace .
2.5 Vật liệu trong trường điện tĩnh.
2.6 Năng lượng trường điện (We ).
2.7 Tụ điện và tính điện dung cuả tụ điện.
2.8 Phương pháp ảnh điện .
2.9 Dòng điện không đổi .
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
2


 Giới thiệu trường điện tĩnh:
 Tạo ra bởi các vật mang điện đứng yên và không thay đổi theo

thời gian.
 Mô hình:
Phương trình:

 
 rot E  0


 div D  ρ v

Điều kiện biên:

 E1t  E 2t  0

 D1n  D2n  ρS

Và :
CuuDuongThanCong.com

D  εE  εr 0E
EM-Ch2

/>
3


2.1: Luật Coulomb và
nguyên lý xếp chồng:

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
4


a) Trường điện do một điện tích điểm:
Qq
Fe 
aR (Luật Coulomb)
2
4  R
 Q

 q
aR   q E do Q
2
 4  R




E do Q 

Q
4  R

2

q

aR

R



Q

E
aR

aR

R

Q

Trường điện có tính hướng tâm và không đổi trên mặt cầu , tâm tại
vị trí điện tích điểm.
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
5


b) Trường điện do hệ điện tích điểm :

Xác định theo luật xếp chồng :


j 1

CuuDuongThanCong.com

Qj
4 R

R1
R2
R3

Q2

n

E

Q1

2
j

aRn

Q3

a Rj

aR3
aR2
aR1

Rn

Qn

EM-Ch2

/>
6


c) Trường điện do điện tích phân bố:
dS
dl

dv

P

Vi phân điện tích :

 L d

dq   S dS
  dV
 V

dq
dq
E
aR  
R
2
3
L,S,V 4  R
L,S,V 4  R
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
7


 Tìm trường điện dùng tích phân vector:
Tích phân chứa hàm vector:
b

 E (t )dt

y
E (t )

t

a

a

E (t )

x
b

Dùng cách nào để tính tích phân như trên ?
b

 E (t )dt

- Kết quả là một vector, và ta xác định các thành phần của nó.

a

E(t )  E1 (t ) x  E2 (t ) y , với các hàmvô hướng E1 ( t ), E2 ( t ) chỉ
Ta viết:
x, y
phụ thuộc vào t, không phụ thuộc các vector đơn vị
.
Sau đó chuyển tích phân về :
b

b

b

 E (t )dt  x  E (t )dt  y  E (t )dt

1

a

a

2

a

Các hàm dưới dấu tích phân lúc này là vô hướng
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
8


 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s,
trong môi trường  = 0. Xác định vector
cường độ trường điện tại điểm P trên phần
dương trục Oz ?
Giải
 Chọn hệ tọa độ trụ, vi phân điện tích dq = sdSz = s(rdrd).


s (rdrd )

Vi phân trường điện tại P do dq: dE 
R
3
4  0 R
Vector khoảng cách: R = rar  zaz
R=

r 2  z2

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
9


 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng (tt)
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s,
trong môi trường  = 0. Xác định vector
cường độ trường điện tại điểm P trên phần
dương trục Oz ?
Giải
 Trường điện tại P theo xếp chồng:

E
 Do:



ρS
4πε0

2

0

b

2π

a

0

 

d a r  0

CuuDuongThanCong.com



 r2 drd ar  rzdrd a z
r z
2

2

E

ρSz
2ε0

EM-Ch2

3





1
a z
2

2



/>
1
b z
2

2

a

z

10


2.2 Thế điện vô hướng:

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
11


a) Tính chất thế của trường điện tĩnh:
 Trong trường điện tĩnh, công trên
đường cong kín luôn bằng 0.




AaBbA













F d l  q  rot E d S 0

AaB

S





Fd l  

AbB

Fd l

 Công thực hiện độc lập với đường đi.
Trường điện tĩnh có tính chất thế.
Trường điện tĩnh có thể đặc trưng bởi thế điện vô hướng.
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>

12


b) Thế điện vô hướng:
 Ký hiệu là :  hay V,đơn vị volt(V).

rot ( grad )  0

 Định nghĩa:



rot E  0


E   grad
 : Thế điện vô hướng (V)
 Nhận xét :



i.

Chiều E là chiều giảm thế.

ii.  liên tục trong không gian.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
13


Quan hệ giữa trường điện E và :



 Có: d 
du1 
du2 
du3
u1
u2
u3

1  
(
a1  ...)( h1du1 a 1  ...)
h1 u1







 grad .d l   E .d l




   E d l  C
Qui ước: + hệ hữu hạn  = 0
+ hệ kỹ thuật đất = 0
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
14


 Hiệu thế điện giữa A và B :
 Là công của lực điện tĩnh khi dịch
chuyển 1 đvị điện tích dương từ A đến B.
B



UAB  A  B   E d l
A

 Nếu chọn B là gốc thế, thế điện tại điểm A xác định theo:

A 

( 0) 





Ed l

A

CuuDuongThanCong.com

Công thức khác để tính
thế điện từ trường điện.
EM-Ch2

/>
15


 Thế điện do một điện tích điểm :
 Gốc thế chọn ở ∞ (∞ = 0) :



q
4 r

E

Equipotential lines
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
16


 Thế điện có tính xếp chồng:
 Hệ điện tích điểm:
n

 
k 1

 hệ điện tích phân bố:

dq
 dV


4 r V 4 r

qk

4 rk


r1



rn

r

r2
qn

q1

dV
V

q2
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
17


 Tìm thế điện: tích phân vô hướng
 Thế điện cũng có tính xếp chồng. Như vậy ta có thể tính thế
điện tại 1 điểm dùng công thức xếp chồng.
 Thế điện là đại lượng vô hướng: tích phân trên là tích phân vô
hướng.
Dễ xác định.


 Suy ra trường điện bằng công thức tổng quát:

E  grad

( Thế tọa độ tương ứng nếu ta cần tìm trường điện tại một điểm nào đó)

 Lưu ý: Sự khiếm khuyết của tạo độ trong biểu thức của  khi
vật mang điện là bất đối xứng sẽ kéo theo sự thiếu sót thành
phần trong biểu thức vectơ cường độ trường điện !
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
18


 VD 2.2.1: Xếp chồng thế điện
Dây dẫn hình tròn bán kính a, tích điện với
mật độ dài ℓ (C/m). Tìm thế điện tại P(0, 0,
z) ? Suy ra cường độ trường điện ?
Giải
 Chọn hệ tọa độ trụ, vi phân dq = ℓdℓ = ℓ(rd) = ℓ(ad).

d 

 Vi phân thế điện tại P do dq:

 (ad )
4  a2  z2

 Thế điện tại P do vòng dây:



2

0

CuuDuongThanCong.com

 (ad )
4  a2  z2



EM-Ch2

a
2 a2  z2
/>
19


 VD 2.2.1: Xếp chồng thế điện (tt)
Dây dẫn hình tròn bán kính a, tích điện với
mật độ dài ℓ (C/m). Tìm thế điện tại P(0, 0,
z) ? Suy ra vector cường độ trường điện ?
Giải
 Vector cường độ trường điện tại P do
vòng dây:


E   grad   a z
z


a
E
2
CuuDuongThanCong.com

z

a

2

z



2 3

EM-Ch2

az

/>
20

 VD 2.2.2: Xếp chồng thế điện
 Tìm thế điện và trường điện tạo
ra từ dipole điện ?

q( R2  R1 )
q
q



2
4 R1 4 R2
4 r
Có:

R2  R1

d cos 

qd cos 
qd cos 
 

2
2
4 r
4 r



qd
E
(2cos  a r  sin  a )
3
4 r



E



CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2


/>
21


2.3 Áp dụng luật Gauss cho
trường điện tĩnh

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
22

a) Các dạng đối xứng & cảm ứng điện:
Đối xứng cầu

S:





D dS

D  const
D.S  q

*

CuuDuongThanCong.com

Đối xứng trụ





Sxq : D d S , D  const


Sđ :



Đối xứng phẳng



Sxq : D  d S


DdS





Sđ : D d S , D  const

D.Sxq  q

*

EM-Ch2

D.S d  q*
/>
23


b) Qui trình bài toán dùng luật Gauss:

1. Nêu ra tính đối xứng của bài toán và dạng của vectơ đặc
trưng trường điện.
2. Chọn mặt Gauss (theo tính đối xứng) đi qua điểm cần tính
trường điện và công thức tính độ lớn trường điện.

3. Xác định điện tích chứa trong mặt Gauss (là q*) .

4. Dùng công thức từ luật Gauss để tính độ lớn của vectơ
trường điện; viết lại dạng vectơ.
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

/>
24


 VD 2.3.1: Áp dụng luật Gauss
Quả cầu, bkính a, V = 0 = const, Tìm cường độ trường điện
trong & ngoài quả cầu ?




 Bài toán đối xứng cầu: E  E (r ). a r
2
*
 Mặt Gauss là mặt cầu; và:  0 .E.4 r  q

 Miền ngoài (r > a) :



 E1 

0 a3
3 0 r 2

 Miền trong (r < a) :



 E2 

 0 E1 4 r 2  q1*  0 43  a 3

0 r
3 0

CuuDuongThanCong.com



ar

 0 E2 4 r 2  q2*  0 43  r 3


ar
EM-Ch2

/>
25