CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I. Quá trình quá độ trong hệ thống.
II. Tính liên tục và mở rộng tính khả vi của quá trình.
III. Sơ kiện và phương pháp tính sơ kiện.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
1
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I.1. Khái niệm về quá trình quá độ.
Quá trình của hệ thống và mạch được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân trong miền thời
gian t.
Sơ đồ mạch
(Quy luật, tính chất
quá trình)
t = t0:
Thay đổi kết cấu
thông số của mạch
Luật
Hệ phương trình
(Hệ số, toán tử,
kích thích)
K
K
Động tác đóng mở
Sơ đồ mạch mới
(Quy luật, tính chất
quá trình mới)
Luật
Hệ phương trình mới
(Hệ số, toán tử, kích thích)
Mỗi động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ ứng với một hệ phương trình cũ nào đó, và khởi
đầu một quá trình quá độ hiện hành ứng với một hệ phương trình mới.
Quá trình quá độ của hệ thống là quá trình nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ lân cận
thời điểm t0.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
2
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I.1. Khái niệm về quá trình quá độ.
Quá trình cũ
Quá trình mới
t
- 0+
Quá trình mới
xác lập
Quá trình quá độ
Thời gian quá độ
t = 0: Trạng thái của hệ chuyển từ quá trình cũ sang quá trình mới.
Thời gian quá độ: Tính từ thời điểm t = 0 cho đến thời điểm trước khi hệ xác lập ở trạng thái mới.
Nghiệm của quá trình quá độ là nghiệm hệ phương trình vi tích phân của mạch xét trong chế độ
mới tính từ thời điểm t = +0.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
3
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I.2. Sự tồn tại của quá trình quá độ.
Trạng thái xác lập của hệ thường không thành lập ngay sau quá trình đóng mở mà thường phải trải
qua một quá trình quá độ vì:
Về mặt toán học:
Các biến trạng thái x(t), i(t), u(t) … là nghiệm của hệ phương trình vi tích phân trong
miền thời gian t:
•
Chúng phải khả vi đến những cấp nhất định.
•
Chúng phải biến thiên liên tục từ những giá trị đầu x(+0), i(+0), u(+0) … (được
quyết định bởi trạng thái cũ và hệ phương trình cũ của mạch).
Các nghiệm xác lập mới của mạch xxl(t), ixl(t), uxl(t) … là nghiệm của hệ phương trình vi
tích phân của mạch trong chế độ mới (không tùy thuộc vào trạng thái cũ).
Quá trình trong hệ thường phải chuyển tiếp quá độ dần đến quá trình xác lập
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
4
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I.2. Sự tồn tại của quá trình quá độ.
Về mặt vật lý:
Quá trình hệ thống trong mạch Kirchhoff là một quá trình năng động lượng.
Các số hạng đạo hàm thường gắn với sự có mặt của những kho trong hệ thống (kho điện,
kho từ …).
Quá trình năng lượng trong mỗi kho thường biến thiên liên tục (nếu không, công suất
nạp vào kho sẽ lớn vô hạn). Do đó những trạng thái năng lượng ban đầu ở t = +0 các kho
thường phải chuyển tiếp dần đến trạng thái xác lập.
Quá trình trong hệ phải trải qua một khoảng thời gian quá độ.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
5
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I.3. Nội dung bài toán quá trình quá độ.
Có thể phân thành hai loại bài toán:
Bài toán phân tích mạch:
Lập hệ phương trình mô tả quá trình xét của mạch hay sơ đồ mạch: Đó là hệ phương
trình vi tích phân trong miền thời gian.
Tìm nghiệm quá trình quá độ x(t).
Phân tích tính chất, đặc điểm của quá trình quá độ: Quá trình quá độ dao động hay
không, nghiệm quá độ sẽ tăng giảm dẩn vô hạn hay tiến đến xác lập, quá trình tăng giảm
nhanh hay chậm …
Bài toán tổng hợp mạch: Yêu cầu xác định sơ đồ cùng các thông số của nó sao cho có thể tạo
ra được những tính chất cần có của quá trình, hoặc tạo ra một quan hệ cần có giữa đáp ứng và
kích thích.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
6
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 9:Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I. Quá trình quá độ trong hệ thống.
II. Tính liên tục và mở rộng tính khả vi của quá trình.
II.1. Tính liên tục của các bậc đạo hàm. Bài toán chỉnh và không chỉnh.
II.2. Hàm bước nhảy Hevixaid - Hàm Dirac.
III. Sơ kiện và phương pháp tính sơ kiện.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
7
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
II.1. Tính liên tục của các bậc đạo hàm. Bài toán chỉnh và không chỉnh.
Quá trình mạch mô tả bởi một hệ phương trình vi phân chứa những số hạng đạo hàm đến cấp m của
biến xk(t), xk’(t), …,xk(m)(t) thì nói chung các đạo hàm của nó đến cấp m-1 phải liên tục.
Trong thực tế thường gặp những phép đóng mở bảo đảm được tính liên tục các số hạng đạo hàm.
Ta gọi đó là những phép đóng mở chỉnh, tương ứng với bài toán quá độ chỉnh.
Tuy nhiên, đôi khi có những động tác đóng mở sơ đồ khiến một số lượng đáng lẽ phải liên tục ở (0,+0) thì lại buộc phải gián đoạn. Phép đóng mở như vậy được gọi là không chỉnh, tương ứng với
bài toán quá độ không chỉnh.
R
L
R
L
R
L
R
e(t)
C
L
R
j(t)
K
C
K
e(t)
K
Để có thể áp dụng được cách giải phương trình vi phân của Toán giải tích, ta sẽ coi những quá trình
biến thiên bước nhảy (không liên tục) đó là liên tục và khả vi theo một nghĩa nào đó.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
8
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
II.2. Hàm bước nhảy Hevixaid - Hàm Dirac
a. Hàm bước nhảy Hevixaid:
0 với t < 0
1(t ) 1 với t > 0
khả vi tại t = 0
0 với t < T
1(t T ) 1 với t > T
khả vi tại t = T
1(t)
Hàm Hevixaid 1(t-T) có tính khả
1(t-T)
1
vi, và đặc trưng bởi 2 yếu tố:
Thời điểm nhảy T.
Biên độ bước nhảy 1.
1
t
0
t
T
Để phản ánh quá trình vật lý, về giải tích ta hiểu bước nhảy Hevixaid là giới hạn rút ngắn lại vô hạn
ở quanh t = 0 hay t = T của những quá trình liên tục khả vi φk(t).
Ví dụ: k (t ) 0.5.(1 th(k .t )
1 1
arctg (k.t )
2
k (t )
0 khi t < 0
lim k (t )
k
1 khi t > 0
φ(t)
1
1
2
t
0
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
9
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
II.2. Hàm bước nhảy Hevixaid - Hàm Dirac
0 với t < 0
1(t ) 1 với t > 0
khả vi tại t = 0
a. Hàm bước nhảy Hevixaid:
Ứng dụng hàm bước nhảy Hevixaid:
Thay thế cho khóa đóng, ngắt:
e2(t)
e1(t)
e(t)
0
0
t
e(t ) E. 2.sin(.t ).1(t )
T
0
t
e1 (t ) E. 2.sin(.t ).1(t T )
T
t
e2 (t ) E. 2.sin[.(t T )].1(t T )
Biểu diễn các xung:
u(t)
u(t)
u1(t) = 20.1(t) (V)
20V
20.1(t)
20V
u2(t) = - 20.1(t-50) (V)
0
50
0
t
- 20V
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
50
t
u(t) =u1(t) +u2(t) =20.1(t) - 20.1(t-50) (V)
- 20.1(t-50)
/>
10
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
II.2. Hàm bước nhảy Hevixaid - Hàm Dirac
b. Hàm Dirac: δ(t), δ(t-T).
Khái niệm hàm Dirac được định nghĩa nhằm biểu diễn những xung tác động trong một thời gian
ngắn quanh thời điểm t0 với xung lượng I.
t2
I f f (t ).dt
t1
φ(t)
f(t)
φ(t)
f(t)
f(t)
t1
φ(t)
t3
t0
t4
t1
t2
t3
t0 t4
t2
t1
t3 t0 t4
t2
Nếu độ dài xung T = t2 - t1 đủ nhỏ so với thời gian quán tính của hệ thì ta có thể đồng thời rút ngắn
độ dài xung và tăng thích đáng cường độ xung miễn sao đảm bảo tương đương về mặt xung lượng,
và về thời điểm t0 quanh đó xung tác động.
t4
t2
t3
t1
I (t ).dt I f f (t ).dt
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
11
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
II.2. Hàm bước nhảy Hevixaid - Hàm Dirac
b. Hàm Dirac: δ(t), δ(t-T).
Định nghĩa: Hàm Dirac là đạo hàm của bước nhảy Hevixaid.
(t )
d
d
1(t ) ; (t T ) 1(t T )
dt
dt
Tính chất:
Các xung Dirac tác động tại các thời điểm khác nhau là độc lập tuyến tính với nhau.
Các xung Dirac tác động tại cùng một thời điểm, nhưng ở các cấp khác nhau là độc lập tuyến
tính với nhau.
Nhân δ(t) với hằng số A thì được một xung Dirac có độ lớn xung lượng tăng lên A lần.
Nhân một xung Dirac với một hàm thời gian thì ta có giá trị của hàm đó tại thời điểm t.
f (t ). (t ) f (0). (t )
f (t ). (t T ) f (T ). (t T )
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
12
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 1
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
I. Quá trình quá độ trong hệ thống.
II. Tính liên tục và mở rộng tính khả vi của quá trình.
III. Sơ kiện và phương pháp tính sơ kiện.
III.1. Khái niệm sơ kiện.
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
13
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.1. Khái niệm sơ kiện.
Sơ kiện của bài toán quá trình quá độ của hệ thống là giá trị quá trình và các đạo hàm ở lân cận nhỏ
quanh khởi điểm của bài toán, trong đó cần biết riêng rẽ sơ kiện tại t = +0 và t = -0.
Quá trình hiện hành bắt đầu từ các sơ kiện x(+0), x’(+0), …, x(n-1)(+0) trở đi. Việc tìm sơ kiện nhằm
mục đích xác định các hằng số tích phân, từ đó xác định được quá trình hiện hành.
Các sơ kiện x(-0), x’(-0), …, x(n-1)(-0) tại t = -0 tùy thuộc quá trình cũ, nhưng chúng cần thiết để tìm
các sơ kiện ở t = +0.
Vậy, để xác định được các hằng số tích phân trong nghiệm của quá trình quá độ, ta cần phải xác
định được sơ kiện mới tại t = +0 theo các sơ kiện tại t = -0.
Sơ kiện độc lập là những sơ kiện có thể tính trực tiếp từ nghiệm của quá trình xác lập cũ.
Ví dụ: iL(-0), ψ(-0), uC(-0), q(-0), …
Sơ kiện phụ thuộc là những sơ kiện còn lại tính bằng cách giải hệ phương trình với các sơ kiện độc
lập đã biết.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
14
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
a. Luật đóng mở
Việc xác định được sơ kiện mới tại t = +0 theo các sơ kiện cũ tại t = -0 là cần thiết nhằm tính các
hằng số tích phân trong nghiệm của quá trình quá độ.
Giá trị các sơ kiện độc lập tại t = +0 được tính theo các giá trị cũ tại t = -0 thông qua luật đóng mở.
Luật đóng mở 1: Tổng từ thông móc vòng trong mọi vòng kín liên tục tại thời điểm đóng mở.
(0) (0)
vongkin
hay
vongkin
Lk .ik (0)
vongkin
Lk .ik (0)
vongkin
Hệ quả: Nếu vòng xét có 1 cuộn dây, thì dòng điện qua cuộn dây sẽ biến thiên liên tục tại thời
iL (0) iL (0)
điểm đóng mở.
Luật đóng mở 2: Tổng điện tích ở một đỉnh phải liên tục tại thời điểm đóng mở.
q (0) q (0)
k
dinh
k
dinh
hay
C .u
k
Ck
dinh
(0) Ck .uCk (0)
dinh
Hệ quả: Nếu tại đỉnh chỉ có một tụ điện thì điện áp trên tụ điện sẽ biến thiên liên tục tại thời
điểm đóng mở.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
uC (0) uC (0)
/>
15
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
b. Các bước tính sơ kiện:
Xét mạch ở chế độ cũ. Tính sơ kiện độc lập tại t = -0.
Ví dụ: Với mạch Kirchhoff, các sơ kiện độc lập là: iL(-0), ψ(-0); uC(-0), q(-0).
Áp dụng luật đóng mở để tính giá trị sơ kiện độc lập tại t = +0.
(0) (0)
vongkin
hay iL (0) iL (0)
vongkin
q (0) q (0)
k
dinh
k
hay uC (0) uC (0)
dinh
Lập phương trình vi tích phân của mạch trong chế độ mới (chủ yếu theo phương pháp dòng nhánh).
Tại t = +0: Thay các sơ kiện đã biết vào phương trình để tính các sơ kiện phụ thuộc.
Đạo hàm hệ phương trình đến cấp cần thiết để giải ra các sơ kiện phụ thuộc khác.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
16
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
b. Các bước tính sơ kiện:
Ví dụ 1:
Tại t = -0: iL(-0) = 0 (A).
i(t)
L
R
K
E
Áp dụng luật đóng mở: iL(+0) = iL(-0) = 0.
Lập phương trình mạch ở chế độ mới: R.i + L.i’ = E
Xét tại t = +0: R.i(0) L.i '(0) E
i '(0)
E
L
Ví dụ 2: Cho R1 = R2 = R = 4Ω, L1 = L2 = 2H, E = 12V
i (0)
12
Tại t = -0: iL1 (0) 2( A) ; iL 2 (0) L1
1( A)
6
2
Áp dụng luật đóng mở:
(0) (0)
vong
i1(t)
L1
L2
R1
K
i3(t)
R2
E
R
vong
i2(t)
( L1 L2 ).i(0) L1.iL1 (0) L2 .iL 2 (0)
i (0)
CuuDuongThanCong.com
L1.iL1 (0) L2 .iL 2 (0)
1.5( A)
L1 L2
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
17
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
b. Các bước tính sơ kiện:
R1
Ví dụ 3: Cho R1 = R2 = 1Ω, L2 = 1H, C3 = 1F, E = 1V.
i1(t)
L2
Tính sơ kiện đến đạo hàm cấp 1.
Tính sơ kiện độc lập tại t = -0:
K
i2(t)
uC (0) 0(V )
E
iL (0)
0.5( A)
2.R
E
R2
C3
i3(t)
Áp dụng luật đóng mở: uC (0) uC (0) 0(V )
iL (0) iL (0) 0.5( A)
Lập phương trình mạch ở chế độ mới:
i1 i2 i3 0
di
(*) R1.i1 R2 .i2 L2 . 2 E
dt
t
1
i3 .dt E
R1.i1 uC (0)
C
3 0
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
Xét tại t = +0:
i1 (0) i2 (0) i3 (0) 0
i2' (0) 0.5
'
i1 (0) i2 (0) i2 (0) 1
i3 (0) 0.5
i (0) 1
1
/>
18
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
b. Các bước tính sơ kiện:
R1
Ví dụ 3: Cho R1 = R2 = 1Ω, L2 = 1H, C3 = 1F, E = 1V.
K
i1(t)
L2
Tính sơ kiện đến đạo hàm cấp 1.
i2(t)
Đạo hàm hệ phương trình vi tích phân ở chế độ mới
E
R2
C3
i3(t)
i ' i ' i ' 0
1 ' 2 3'
''
R1.i1 R2 .i2 L2 .i2 0
1
R1.i1' .i3 0
C3
Xét tại t = +0:
i1' (0) i3 (0) 0.5( A / s)
i3' (0) i1' (0) i2' (0) 0.5 0.5 0
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
19
Chương 9: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ
trong hệ thống
III.2. Phương pháp tính sơ kiện.
K
b. Các bước tính sơ kiện:
Ví dụ 4: Tìm sơ kiện của bài toán sau.
i1(t) R1
Cho e1 (t ) 100. 2. sin(10 .t 45)(V ) R1 = 100Ω, R3 = 20Ω, L2 = 100mH.
3
Tính sơ kiện độc lập tại t = -0:
E
.
L2
R3
i2(t)
i3(t)
E
100 2 450
Im
1 900 ( A)
R j..L 100 j.100
.
i(t ) 1sin(103.t 900 )(V )
Lập hệ phương trình vi tích phân ở chế độ mới:
R.i1 L.i2' e(t )
'
L.i2 R.i3 0
i i i 0
1 2 3
t = -0
iL(-0) = -1 (A)
Xét tại t = +0:
100.i1 (0) 0,1.i2' (0) 100
'
0,1.i2 (0) 100.i3 (0) 0
i (0) i (0) i (0) 0
2
3
1
Nếu muốn tìm các sơ kiện đạo hàm cấp 1, 2 … thì ta đạo
hàm hệ phương trình vi tích phân ở chế mới đến cấp cần
i3(+0) = 0 ; i2(+0) = -1 (A)
i1(+0) = -1 (A)
thiết.
CuuDuongThanCong.com
Cơ sở kỹ thuật điện 1 - Nguyễn Việt Sơn - 2010
/>
20