Bài giảng Trường điện từ: Chương 1 - Lê Minh Cương

Chương 1:
Vector và Trường

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
1


Nội dung chương 1:
1.1 Đại số vector.
1.2 Các hệ tọa độ.
1.3 Yếu tố vi phân và các tích phân.
1.4 Các toán tử cơ bản.
1.5 Khái niệm trường điện từ.
1.6 Các định luật cơ bản của trường điện từ.
1.7 Dòng điện dịch - Hệ phương trình Maxwell.
1.8 Điều kiện biên của trường điện từ.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
2


1.1 Đại số vector
a) Vector (A)

Vô hướng (A):

và

 Vector: Đại lượng vật lý, đặc trưng bởi cả độ lớn và hướng
trong không gian.
 Ví dụ: Vận tốc,lực …
 Vô hướng: Đại lượng vật lý, đặc trưng chỉ bởi độ lớn.
 Ví dụ: Khối lượng, điện tích …

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
3


b) Vector đơn vị:
 độ lớn là 1, hướng theo chiều tăng các trục tọa độ, ký hiệu a và
các chỉ số :

a1;a 2 ;a 3
 Một vector bất kỳ có thể biểu diễn theo các vector đơn vị như sau:
E = Ex + Ey + Ez = Ex(x,y,z,t)ax + Ey(x,y,z,t)ay + Ez(x,y,z,t)az
 Vector đơn vị dọc theo một vector:

aA

A
A

CuuDuongThanCong.com

A1a1 A 2a 2 A3a 3
2
1

A

A

2
2

EM-Ch1

A

2
3
/>
4


c) Tích vô hướng:
 Là một vô hướng:

A. B

A1B1

A. A A

A2 B2

A3 B3

A.B.cos θ AB

2

 Rất thuận tiên khi tìm góc giữa 2 vector:

θ AB

cos

1

CuuDuongThanCong.com

(A . B)
(A.B)
EM-Ch1

/>
5

d) Tích có hướng:
 Là một vector, vuông góc với cả hai vector

A A 0
A B

a1
A1
B1

a2
A2
B2

a3
A3
B3

A và B

B A

 Rất tiện lợi để tìm vector đơn vị vuông góc với mặt phẳng chứa
2 vector:

an

A B
A B

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
6


e) Tích hỗn hợp có hướng:
 Là vector :

 Tổng quát :

A (B C)
A (B C)

CuuDuongThanCong.com

B (C A) C (A B)

EM-Ch1

/>
7


f)

Tích hỗn hợp vô hướng:

 là vô hướng :

A.(B C)

CuuDuongThanCong.com

B.(C A) C.(A B)
A1

A2

A3

B1

B2

B3

C1

C2

C3

EM-Ch1

/>
8

 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ
Cho 3 vector:

A 3a1 2a 2 a3
B a1 a 2 a 3
C a1 2a 2 3a3

a) Tính:

A B 4C

?

(3 1 4)a1 (2 1 8)a 2 (1 1 12)a 3
5a 2 12a 3

A B 4C
CuuDuongThanCong.com

25 144 13
EM-Ch1

/>
9


 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt)
b) Tính:

A 2B C

?

(3 2 1)a1 (2 2 2)a 2 (1 2 3)a 3
4a1 2a 2
Vector đơn vị

4a 3

4a1 2a 2
4a1 2a 2

4a 3
4a 3

1
2a1 a 2 2a 3
3
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
10


 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt)
Cho 3 vector:

A 3a1 2a 2 a3
B a1 a 2 a 3
C a1 2a 2 3a3

c) Tính:

A.C

(3*1) (2*2) (1*3) 10
a1 a 2

d) Xác định:

B C

CuuDuongThanCong.com

1

1

1

2
EM-Ch1

a3
1

5a1 4a 2 a 3

3
/>
11


 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt)
Cho 3 vector:

A 3a1 2a 2 a3
B a1 a 2 a 3
C a1 2a 2 3a3

e) Tính:

A.(B C) ?

3 2
1 1
1 2
CuuDuongThanCong.com

1
1

3(3 2) 2( 1 3) 1(2 1) 8

3
EM-Ch1

/>
12


 Ví dụ 1.1.2:
Cho 2 vector:

A 3a x

Đại số vectơ
2a y a z B a x 3a y 2a z

a) Tính: C 2A 3B
b) Xác định vector đơn vị aC và góc hợp bởi nó với trục Oz ?
a) Ta có:

b) Vector đơn vị :

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
13


1.2: Các hệ tọa độ

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
14


1.2.1 Hệ tọa độ Đề các:
a) Các vector đơn vị:

* P(x, y, z)

*

z

ax , ay , az

P(x,y,z)

A Axa x A y a y Az a z
* Luật bàn tay phải :

ay

az

ax
ay

ax

az

az
O
ay
ax

ax

ay
z
y

x

y
x

az
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
15


b) Vector vị trí:

r

x.a x

y.a y

z.a z

z

r

P(x, y, z)
y

O

x

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
16


c) Vector từ P1(x1,y1,z1) đến P2(x2,y2,z2):
z

r12

P2(x2, y2, z2)

P1(x1, y1, z1)

y

O

x

r12

( x2
CuuDuongThanCong.com

x1 )a x

( y2
EM-Ch1

y1 )a y

( z2

/>
z1 )a z
17

 Ví dụ 1.2.1:
Cho: A(12, 0, 0), B(0, 15, 0), C(0, 0, –20).
a) Khoảng cách từ B đến C ?

(0 0)a x (0 15)a y ( 20 0)a z

25

b) Thành phần vector từ A đến C dọc theo từ B đến C ?
 Vector từ A đến C:

rAC

 Vector đơn vị từ B đến C:

(rAC .a BC )a BC
CuuDuongThanCong.com

12a x
a BC

20a z
15a y 20a z

3a y 4a z

25

5

9.6a y 12.8a z
EM-Ch1

/>
18


1.2.2 Hệ tọa độ trụ:
z

az

* P(r, , z)
r

*

ar , a , az

z

P(r, ,z)

a

ar
y

A Ar a r

Aa

Aza z

x

* Luật bàn tay phải :

a

az

ar
a

ar
az
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
19


1.2.3 Hệ tọa độ cầu:

ar

z

* P(r, , )

*

ar , a , a

P(r, , )
r

A Ar a r A a
a

ar

x

Chú ý:
 Hệ trụ:

ar

a

 Hệ cầu:

a
CuuDuongThanCong.com

y

aθ

Aa

* Luật bàn tay phải :

a

a

EM-Ch1

a rc
a rs
/>
20


1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ:
Đề các

Trụ

x2

r
( x, y, z )

tg
z

x

r cos

y

r sin

z

z
CuuDuongThanCong.com

1

y2
y
x

z

(r , , z )
EM-Ch1

/>
21

1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ:
Đề các

Cầu

r
( x, y, z )

x

r sin cos

y

r sin sin

z

r cos
CuuDuongThanCong.com

x

2

tg

1

tg

1

y
x

2

2

z
y

2

2

z

y
x

(r , , )
EM-Ch1

/>
22

Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ?
Chú ý: x
y
z

=
=
=

r cos
r sin
z

x
y
z

=
=
=

r sin cos
r sin sin
r cos

(a) Cho P(2, 5 /6, 3) trong hệ tọa độ trụ.

x

2 cos 5 6

– 3

y

2 sin 5 6 1

z

3

z

3 1

2

3
2

x

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

y

5 /6

/>
23


Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ?
Chú ý: x
y
z

=
=
=

r cos
r sin
z

x
y
z

=
=
=

r sin cos
r sin sin
r cos

(b) Cho P(4, 4 /3, -1) trong hệ tọa độ trụ.

x

4 cos 4 3 – 2

y

4 sin 4 3

z

–1

–2 3

4

12

4
z
1

4
4 /3

y

x

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch1

/>
24


Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ?
Chú ý: x
y
z

=
=
=

r cos
r sin
z

x
y
z

=
=
=

r sin cos

r sin sin
r cos

(c) Cho P(4, 2 /3, /6) trong hệ tọa độ cầu.

x
y
z

2
4 sin
cos
3
6
2
4 sin
sin
3
6
4 cos

3

z

3
3

9

3

4

y

/6

x

–2

CuuDuongThanCong.com

4

2 /3

EM-Ch1

/>
4

25