008 đề thi HSG toán 9 tỉnh long an 2018 2019

chứng
minh MK  BD.
Tứ giác ABHD có BAD  BHD  900 nên nội tiếp. suy ra BHA  BDA  450.
Tứ giác DMHK có MDK  BHM  450 nên nội tiếp
Lại có, DHK  900 (gt) nên DMK  DHK  900 (cùng chắn cung DK). Ta có điều phải
chứng minh.
b) Tứ giác CEHK nội tiếp ( ECK  EHK  900 )  ECH  EKH (1)
Tứ giác CKBM nội tiếp suy ra EKH  BCM  ECM

(2)

Từ (1) , (2) suy ra ECH  ECM . Do đó, EC là đường phân giác của MCH . Chứng
minh tương tự, ta cũng có ME là đường phân giác của CMH
Vì E là giao điểm hai đường phân giác trong góc M và C của tam giác CHM nên ta
có điều phải chứng minh.


2)

A

Q

R
B

P

C

G

N

Gọi N là giao điểm của RB và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có ARN  AQR  1800 nên N nằm trên đường tròn  w  ngoại tiếp tam giác AQR.
Đường tròn  w ' ngoại tiếp tam giác BCN cắt  w  tại điểm thứ hai G.
Từ RBG QCG  GP là phân giác BGC

BNC  RNQ  1800  2BAC  1800  BOC nên O nằm trên  w '
Mà OB  OC nên GO là phân giác BGC và do đó G, P, O thẳng hàng. Ta cũng có
N , O, A thẳng hàng.


Gọi M ' là giao điểm thứ hai của GO với  w 
Ta có: AM ' G  ANG  ONG  OPC  MPC  AM '/ / BC  M '  M
Do đó G, P, O và M thẳng hàng. Vậy MP luôn đi qua O cố định
Câu 5.
1) Vì có 21 điểm được tô bởi 4 màu mà 21  4.5  1 nên theo nguyên lý Dirichle sẽ
tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu
Gọi 6 điểm cùng màu đó là A, B, C, D, E, F . Từ điểm A ta kẻ với 5 điểm còn lại được 5
đoạn thẳng, 5 đoạn này được tô 2 màu thì sẽ có ít nhất 3 đoạn được tô cùng màu.
Không mất tính tổng quát , giả sử các đoạn AB, AC, AD được tô cùng màu tím.
Trong các đoạn nối ba điểm B, C, D nếu có một đoạn màu tím, giả sử là BD thì tam
giác ABD là tam giác cần tìm. Nếu trong các đoạn nối ba điểm B, C, D không có đoạn
nào màu tím thì tam giác BCD là tam giác cần tìm.
2. Trước hết ta chứng minh : nếu an là số nguyên tố thì n là số nguyên tố
Giả sử n là hợp số, n  bq; b, q  ,1  b, q  n . Khi đó:



an  11...1  11...1 10

bq..chu .. so..1

q..chu .. so..1

q b 1

 10

q b  2 



 ....  1 11.....1là hợp số, trái với giả thiết nên

n là số nguyên tố

10n  1
10n  10
1 
 10n  10 9 (1)
Tiếp tục ta có: an  1 
9
9
n
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10  10 n (2)
Nếu n  3 thì an  111 3 không thỏa mãn giả thiết.
Nếu n  3 ta có  n,9  1 nên từ (1) và (2) suy ra : 10n  10 9n. Vậy n là ước của an  1