018 đề thi HSG toán 9 tỉnh quảng ngãi 2018 2019


2

 x  y  x  y   6

 a  1 b  5
x  y  a
Đặt 
ta có:  2
x  y  b
ab  6
Nếu b  0  x  y, vô nghiệm . vậy b  0 ta có: ab2  6  a 

6
. Thế vào  a  1 b  5 được
b2


7

3
x



3 x  y 

4
b  2  a   
2
2 


y   1
x y2



4
b 2  5b  6  0  
 11

2

 x  6

2 x  y 
3
b  3  a  3  
 x  y  3
y   7


6

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài 3.
a) Ta có C  x 
2

2 x2  2 x  1

 x  1

2



x
2x
1
x
 x2 


2
x 1
x  1  x  1
x 1

2

1 
x
1
x

 x
 x

 x 1

 
x 1
x 1
x 1 x 1

2

b)

1 1 1

Ta có: D  a  b  c   a 1  a   a  a    a     .
2 4 4

2


1
1
, đạt được khi và chỉ khi a  b  c 
4
3
c)
Vì x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác nên y  z  x; z  x  y; x  y  z  0
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
GTLN của D là

 y  z  x  z  x  y   z
 z  x  y  x  y  z   x
 x  y  z  y  z  x   y

Nhân vế theo vế các BĐT này ta có đpcm
Bài 4.

A
E

G
O

B

P

D

N
M

F
Q

C

BD BA
BD CD



CD CA
BA CA

BP BD CD CQ



Lại có PF / / AD / /QE 
, Mà BE  CF  BP  CQ
BE BA CA CF
b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC, EF thì MN là đường trung bình của hình
thang PEFQ  MN / / PE / / AD , Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định. Gọi

a) Vì AD là phân giác nên

O là trọng tâm tam giác ABC.
AG AO 2

  OG / / MN mà O cố định nên G di động trên đường thẳng qua O
Ta có:
AN AM 3
song song với MN cố định


Bài 5.

D

M

I

K

E

C

A

O

B

a) Ta có: KMN  MBA , tứ giác BMKC có BMK  BCK  900 nên nội tiếp

 MKN  MBA  MKN  KMN  KMN cân tại N
b) Ta có: KAC  BDC; ACK  BCD  ACK

 DC 

AC.CB  R 3R 
  . :
KC
2 2 

R2 
2

R2
4 R 3

DCB 

AC KC

DC CE


Do đó: S ABD 

DC. AB R 3.2 R

 R2 3
2
2

c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C. Ta có CDE  CDB  CAK nên tứ giác AKDE
nội tiếp. Do đó đường tròn ngoại tiếp AKD cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AKDE. Ta có A, C, B cố định nên AE cố định. Vậy đường tròn ngoại tiếp AKD đi
qua điểm cố định thứ 2 là E khác A