026 đề thi HSG toán 9 tỉnh hà tĩnh 2018 2019

SỞ GD& ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

I.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN

PHẦN GHI KẾT QUẢ

1 
Câu 1. Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  ;4  và B  2;7 
2 

Tính M  3 13a  5b b  3 13a  5b b
Câu 2. Dãy số  an  thỏa mãn an1  an  3, n  * và a2  a19  25. Tính tổng
S  a1  a2  .....  a20
3
2

 a  a  2a  7  0
. Tính a  b
Câu 3. Cho hai số thực a, b thỏa mãn  3
2
b

2
b

3

b

5

0


Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 1;2  và cách gốc tọa độ O một khoảng

lớn nhất.

a 4  a3  3a 2  a  1
Câu 5. Cho số thực a  0. Tìm GTNN của P 
a3  a
 x  by  cz

Câu 6. Cho các số a, b, c khác 1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn  y  cz  ax
 z  ax  by

1
1
1
Tính tổng T 


1 a 1 b 1 c
Câu 7. Cho đa thức P  x   x 4  ax3  bx 2  cx  d . Biết P 1  3; P  2  6; P  3  11.

Tính Q  4P  4   P  1
1

 15 đều là các số nguyên.
a
2sin 2   3sin  cos   cos 2 
Câu 9. Cho góc nhọn  có tan   2. Tính M 
sin  cos   cos 2   1
Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt

Câu 8. Tìm các số thực a biết a  15 và

BD tại I. Biết IB  10 5cm, ID  5 5cm. Tính diện tích tam giác ABC


II.

PHẦN TỰ LUẬN

Câu 11. Giải phương trình : 3 24  x  12  x  6
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
a) Khi AB  12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác bằng
2
. Tính diện tích tam giác ABC
5
b) Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC
Chứng minh rằng: BE CH  CF BH  AH BC
Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay,
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda future với chi phí mua
vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số
lượng xe mà khác hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn
nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giẩm giá bán và ước
tính rằng, theo tỷ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong

một năm sẽ tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để
sau khi giảm giá. Lơi nhuận thu được sẽ cao nhất ?


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1 
Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  ;4  và B  2;7  nên
2 
Khi đó

M  3 26  15 3  3 26  15 3  3





3



32  3 2 3



3

a  2b  8
a  2



 2a  b  7
b  3





 32 2 3 2 3

Câu 2.
Ta có: a3  a2  3; a4  a3  3  a2  2.3;.....a19  a2  17.3  25  a2  a2  17.3
 a2  13  a1  a2  3  16

Vậy S  a1  a1  3  a1  2.3  ......  a1  19.3  20 a1  3. 1  2  3  ..... 19   250
Câu 3.
 a 3  a 2  2a  7  0
 a 3  a 2  2a  7  0
3
2


3
2
Ta có:  3


a

b


1

b

a

1
0





3
2
2
b

2
b

3
b

5

0




 b  1  b  6  0
2
  a  b  1 a 2  a  b  1   b  1   a  b   1  0  a  b  1


Câu 4.
Gọi phương trình đường thẳng d là y  ax  b. Vì  d  đi qua A1;2   a  b  2

Gọi M , N lần lượt là giao điểm của d với trục Oy, Ox và khoảng cách từ O đến d là OH

Ta có

1
1
1
1 a2 a2  1


 
 2
OH 2 OM 2 ON 2 b 2 b 2
b

b2
a 2  4a  4   2a  1
 OH  2


55

a 1
a2  1
a2  1
1

a   2
1
5
. Do đó phương trình đường thẳng (d): y   x 
Dấu "  " xảy ra  
2
2
b  5

2
Câu 5.
1
1
a2  2  a   3
1
a
a
. Đặt t  a   2 . Dấu "  " xảy ra khi a  1
Vì a  0 nên P 
1
a
a
a
2

2


t 2  t  1 t 1 3t
t 1 3.2
7
Ta có: P 
   1 2 . 
1
t
4 t 4
4 t
4
2
7
Do đó GTNN của P là  a  1
2
Câu 6.
1
x

Ta có: x  by  cz  x  a  1  ax  by  cz 
a  1 ax  by  cz

Tương tự:
T 

1
y
1

z

;

b  1 ax  by  cz c  1 ax  by  cz

2  ax  by  cz 
x yz

2
ax  by  cz
ax  by  cz

Câu 7.

Đặt R  x   P  x    x2  2   R 1  0; R  2  0; R  3  0
Do đó R  x    x  1 x  2  x  3 x  m 

 P  x    x  1 x  2  x  3 x  m    x 2  2 

Vậy Q  4. 3.2.1 4  m   18    2 .  3 .  4 . 1  m   3  195
Câu 8.
Đặt x  a  15; y 

1
 15  x, y 
a



1

 15  xy  16   y  x  15
x  15
Nếu y  x thì vế phải là số vô tỉ còn vế trái là số nguyên, vô lý. Do đó x  y
Ta có: y 

 a  4  15
 xy  16  0  x  y  4. Thay vào ta tìm được 
 a  4  15
Câu 9.
2sin 2   3sin  .cos   cos 2 
2 tan 2   3tan   1 15
cos 2 


Ta có: M 
sin  cos   cos 2   1
tan   1  1  tan 2  8
cos 2 


Câu 10.
AD ID 1
AB

  AD 
Ta có
.
AB IB 2

2
AB 2
Mặt khác AD 2  AB 2  BD 2 
 AB 2  15 5
4
 AB  30(cm)  AD  15cm.





2

AD AB
DC AD 1



  BC  2 DC
DC BC
BC AB 2
Mặt khác

Lại có

AB2  AC 2  BC 2  900   DC  15  4DC 2  DC  25(cm)  AC  40(cm)
2

Vậy diện tích tam giác ABC là 600cm2
Câu 11.

3

a  b  6
2
 24  x  a
ĐKXĐ: x  12 . Đặt 
 3
 a3   6  a   36  0
2

 12  x  b  0 a  b  36

a  0
 a  a  3 a  4   0   a  3

 a  4
a  0 24  x  0
*) 

 x  24(tmdk )
b

6
12

x

36



a  3 24  x  27
*) 

 x  3(tmdk )
b  3 12  x  9
a  4 24  x  64
*) 

 x  88(tmdk )
b  10
12  x  100
Vậy phương trình có tập nghiệm S  88;3; 24


Câu 12.

A
NF
M
I
E
C
B

HP

O

a) Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC thì I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên

AB, AC, BC.
Đặt BC  2OA  2R; IM  IN  IP  r
r 2
Theo bài thì   BC  5r
R 5
2
Ta có AC  BC 2  AB2  25r 2  144
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì BM  BP, CP  CF và tứ giác AMIN là hình vuông
nên AM  AN  r
Do đó AB  AC  r  BM  r  CE  2r  BP  CP  2r  BC  7r  AC  7r  12
Từ đó ta có:
r  3
2
25r 2  144   7r  12   r 2  7r  12  0  
r  4
Với r  3cm thì AC  9cm  S ABC  54cm2
Với r  4cm thì AC  16cm  S ABC  96cm2
b) Ta có: BE CF  CF BH  AH BC  BE. BC.CH  CF . BC.BH  AH .BC


Ta lại có : EH / / AC nên

BE EH AF


 BE. AC  AB. AF ( AEHF là hình chữ nhật)
AB AC AC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BE BC.CH  CF BC.BH  BE. AC  CF .AB  AB.CF  AF   AB.AC  AH .BC (dfcm)
Câu 13.
Gọi x là giá mới mà doanh nghiệp phải bán. ĐK: x  0 đơn vị: triệu đồng
Theo bài ra số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là: 27  x (triệu đồng) mỗi chiếc
Khi đó, số lượng xe tăng lên là: 20. 27  x  : 0,1  200  27  x  (chiếc)
Do đó số lượng xe mà doanh nghiệp bán được là:
600  200. 27  x   6000  200 x (chiếc)
Vậy doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:  6000  200x  x (triệu đồng)
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là:  6000  200 x .23 (triệu đồng)
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán giá mới là:
 6000  200 x  x   6000  200 x .23  200 x 2  10600 x  138000
 200  x 2  53x  690   200  x  26,5   2450  2450
2

Giá trị lợi nhuận thu được cao nhất là 2450 triệu đồng. Khi đó giá bán mới là 26,5 triệu
đồng.