030 đề thi HSG toán 9 tỉnh sóc trăng 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Cho biểu thức P 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

2
x  x 1
2

 x  1  x  1

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 2  2  1  x 4  x 2
Câu 2.
a) Chứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể
bằng 2019.
b) Nhà bạn An có một cái bể chứa nước hình trụ có chiều cao h  1m và đường
40
kính mặt đáy(không kể bề dày thành bể) là d 
 dm  . Ban đầu bể

không có nước, An đã sử dụng 2 cái thùng để xách nước đổ vào bể, một
thùng lại 7 lít, một thùng loại 4 lít. Sau nhiều lượt đổ nước vào bể, nhưng An
không nhớ mình đã xách mỗi loại thùng trên bao nhiêu lần. Em hãy tính giúp
xem An đã xách mỗi loại bao nhiêu lần ? Biết rằng thùng luon được đong

đầy trước khi đổ vào bể chứa
Câu 3.
a) Tìm m để phương trình 2 x 2   m  1 x  18  0 có hai nghiệm thực phân biệt
x1; x2 sao cho biểu thức Q   x12  4  x22  25 đạt GTNN

 xy 2  x  2 y 2
b) Giải hệ phương trình  4
2
3
 x y  x y  3x  y
Câu 4. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CAD  150. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại E. Tia phân giác trong
của góc B cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK  ED
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao. Trên đoạn HC lấy
điểm M ( M khác H và C). Gọi I , J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến
các cạnh AC và AB, N là điểm đối xứng của M qua IJ
a) Chứng minh rằng ABCN nội tiếp đường tròn T 
b) Kéo dài AM cắt đường tròn T  tại P (P khác A). Chứng minh rằng
1
1
1


PM PB PC
c) Gọi D là trung điểm của AH , kẻ HK vuông góc với CD tại K . Chứng minh

rằng: BAK  KHC


ĐÁP ÁN

Câu 1.
a) P 

2
x 1 2 x 1  x 1

 x 1 

2

2
2

 x 1 
x 1  x 1
b)Ta có:



2



x 1  x 1
2

x 1  x 1





2

 x 1

x 1  x 1

P2  2  1  x4  x2  x  1  2  1  x4  x2  x  1   1  x4  x2
  x  1  1  x 4  x 2  x x 2  1  x  2  x   x 2  1  2  x
2

5
 x  (tm)
4
Câu 2.
a) Ta biết rằng tổng các chữ số của một số tự nhiên thì có cùng số dư với số tự
nhiên đó khi chia cho 9. Mà một số chính phương khi chia cho 9 có số dư là
0;1;4 hoặc 7. Nhưng 2019 chia cho 9 dư 3. Do đó tổng các chữu số của một
số chính phương bất kỳ không thể bằng 2019
2

 1 40 
3
b) Ta có thể tích bể là V  Sh   
 .10  100  dm  =100 lít
2  
Gọi x, y theo thứ tự là số lượt đổ thùng loại 4 lít và 7 lít vào bể. ĐK: x, y  *

Theo bài toán thì 4 x  7 y  100  7 y 4  y 4

 y  4  x  18
Mặt khác 7 y  100  4 x  96  4  y  12   y  8  x  11

 y  12  x  4
Câu 3.
a) Vì 2. 18  36  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

m 1

 x1  x2 
Theo Vi-et thì 
2
 x1 x2  9

Ta có: Q   x12  4  x22  25  x12 x22  4 x22  25x12  100


  2 x2    5x1   181  2
2

2

 2 x2  .5x1 
2

2

 181  20 x1x2  181  180  181  361

Do đó GTNN của Q là 361. Đạt được khi:


3 10
3
x1 
 x2  

2 x  5 x1
 2 x2  5 x1
5
 2



3 10
3
 x1 x2  9
 x1 x2  9
 x2 
 x1  
5


10
2
10
2

m 1
9 10
9 10  5

 x1  x2 
m

2
10
5

m 1
9 10
9 10  5
 x1  x2 
m

10
5
 2

 x  y 2  1  2 y 2
x  0

b) Hệ phương trình 
. Áp dụng BĐT Cosi:

4
2
3
y

0
y

x

x

1

3
x



 

2 y2
2 y2
Từ x  y  1  2 y  x  2

 y  x  y và y  x 4  x 2  1  3x 2
y 1 2y
2

2

3x3
3x3
y 4

 x y x
x  x 2  1 3 3 x 4 .x 2 .1
2

3
2


y  x  0
y  y  2y
 y  y  1  0


Do đó x  y, ta có  5

y  x 1
2
3
3
2


y
y

1
y

1

0


 y  y  3y  y






Vậy nghiệm của hệ phương trình  x; y   0;0  ; 1;1


Câu 4.

A
K
F
E
C

B

D

Ta có ACB  CDA  ADC  ADC  600  150 , suy ra CDE vuông cân
Đường thẳng qua E vuông góc với CE cắt đường thẳng qua D vuông góc với CD
tại F. Suy ra tứ giác CDFE là hình vuông, suy ra AD là trung trực của CF
 KC  KF  KCF cân
Mặt khác BK là trung trực của AC nên KA  KC  KAC cân





Do đó KCF  ACD  ACK  DCF  1800  600   150  450   600
 KCF đều  KC  CF  ED . Do đó AK  ED


Câu 5.

B

P

H
J

M
D
K

A

I

C

N
a) Ta có tứ giác AIMJ là hình chữ nhật . do đó AIMJ nội tiếp đường tròn
đường kính AM và IJ
Vì N đối xứng với M qua IJ nên JNI  JMI  900 hay N thuộc đườn tròn
đường kính AM và IJ  ANM  900 . Mặt khác I thuộc trung trực MN nên
MIC vuông cân tại I nên thuộc trung trực MC, suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp MNC

1
 MNC  MIC  450. Do đó ABC  ANC  450  900  450  1800
2
Hay ABCN nội tiếp đường tròn T 


PM PC
PM MB



(1)
MB BA
PC BA
PM PB
PM MC
MBP MAC 



(2) . Cộng (1), (2) vế theo vế:
MC CA
PB CA
PM PM MB MC MB MC AC
1
1
1







 1


PC PB BA CA BA BA BA
PC PB PM
2
c) Áp dụng hệ thức lượng ta có: DH  DK .DC  DA2  DK .DC
DA DK


 DKA DAC  AKD  DAC  450
DC DA

b) Ta có: MPC

MBA 

 ABH  AKH  450  450  900  1800  ABHK là tứ giác nội tiếp
 AKB  AHB  900  HKC mà ABK  AHK  KCH nên suy ra BAK  KHC