031 đề thi HSG toán 9 huyện hà trung 2018 2019

c, d  9;1  a  9 
Ta có:





abcd  5445  ab  100.ab  cd  5445  ab  99.55  99ab  cd  99. 55  ab  cd

55  ab  00  ab  55, cd  00  abcd  5500
Vì cd là số có 2 chữ số nên 
55  ab  1  ab  54; cd  99  abcd  5499
Vậy các số cần tìm là 5500 và 5499
Câu 3.

a) Ta có 2n  1;2n ;2n  1là ba số tự nhiên liên tiếp nên  2n  1.2n. 2n  1 chia
hết cho 3.

Mà  2n ,3  1 nên  2n  1 2n  1 chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
b) Ta có: 8x  8 y  8z  8x  9 y  10 z  100  x  y  z  12,5  x  y  z  12
Ta có : x  y  z  11 và x, y, z dương nên x  y  z  12
Ta có: 8x  9 y  10 z  100

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x  y  z  12
 x  y  z  12
 x  y  z  12




8 x  9 y  10 z  100 96  y  z  100  y  2 z  4
Do x, y, z là các số nguyên dương nên z  1, y  2, x  9

(1)


c) Ta có xy 

1  x  1  y 
2

2

1

 x 2 y 2  1  x 2 1  y 2   2 xy
 x2 y 2  x2
 x2 y 2  x2



1  x 1  y   1
 1  y  x y  2 xy 1  x 1  y   1
 y  x y  2 xy 1  x 1  y   0
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



 x 1  y2  y 1  x2  0  x 1  y 2  y 1  x2  0
Câu 4.
a) Ta có
x
2y

 1  x 1  y   2 y 1  x   1  x 1  y 
1 x 1 y

 x  xy  2 y  2 xy  1  y  x  xy  2 xy  y  1
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 1  y  2 xy  2 y.2 xy  2 2 xy 2
 1  8 xy 2  xy 2 

1
8

Dấu "  " xảy ra khi y  2 xy  x  y 

1
2

1
1
x y
8
2
b) B là số chính phương, nên 4B cũng là số chính phương

Vậy MaxP 

Đặt 4B  k 2 (k là số tự nhiên) thì 4n2  4n  52  k 2   2n  1  k 2  51
2

  2n  1  k  2n  1  k   1. 51  51. 1  17. 3  17.3

Vì n là số tự nhiên nên 2n  1  k  2n  1  k ta có các hệ phương trình:
 2n  1  k  1
 2n  1  k  3
(1)

(2)


2
n

1

k


51
2
n

1

k


17


2n  1  k  51
2n  1  k  17
(3)
(4)


2

n

1

k


1
2
n

1

k


3


Giải các hệ 1 ,  2  ,  3 ,  4  ta được: n  12; n  3; n  13; n  4
Do n là các số tự nhiên nên n4;13


Câu 5.

D
I
M
C

A

O

B

a) OC là tia phân giác của AOM (tính chất tia phân giác)
OD là tia phân giác của MOB (tính chất tia phân giác)
Mà AOM và MOB là hai góc kề bù  OC  OD hay COD  900
1
b) Tam giác COD vuông tại O có IC  ID  OI  CD (đường trung tuyến
2
ứng với cạnh huyền)
Ta có: AC / / BD (cùng vuông góc với AB)
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang
 OI là đường trung bình của hình thang  OI / / AC  OI  AB
c) Xét tam giác COD vuông tại O có OM  CD (CD là tiếp tuyến)
Áp dụng hệ thức lượng ta có OM 2  MC.MD hay MC.MD  R 2


C và D là giao của các tiếp tuyến nên CA  CM , DB  DM

Suy ra CA.DB  R2
d) Ta có : CA  DB  CD
Hình thang ABCD có độ dài cạnh AB không đổi
Nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất
CD nhỏ nhất khi CD  AB
CD  AB khi CD / / AB
CD / / AB khi OM  AB, OM  AB khi M là điểm chính giữa của cung AB