057 đề thi vào 10 chuyên toán hải phòng 2019 2020

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2019-2020
ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)
 3 x
x
1 
x 3
a) Cho các biểu thức : P  


 x  0
:
x
x

1
x

x

1
x

1
x


x

1


1
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P 
5
2
b) Cho phương trình x  4 x  m  0(1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương
1 1
trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:     x12  x22   4  m  2 
 x1 x2 
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x 2  3x  2   2 x  1 2 x 2  x  3

 x3  y y  9
b) Giải hệ phương trình: 
2
 x  2 y  x  4 y
Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  AB  AC  . Kẻ đường
cao AH  H  BC  của tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn (O)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DH . Chứng minh OM là đường trung trực của
đoạn thẳng BC
b) Gọi S , T là các giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn tâm A, bán kính AH; F
là giao điểm của ST và BC. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng
minh FB.FC  FH 2 và 3 điểm F , E, A thẳng hàng
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán
kính AH .

Bài 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x  x  z   y  y  z   0. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P 

x3
y3
x2  y 2  4


x2  z 2 y 2  z 2
x y

Bài 5. (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i ) p 2q  p chia hết cho p 2  q
ii ) pq 2  q chia hết cho q 2  p
1 1
1
1
;
. Từ các số đã viết, xóa đi 2 số bất kỳ x, y
b) Viết lên bảng 2019 số 1; ; ;....;
2 3
2018 2019
xy
rồi viết lên bảng số
(các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện
x  y 1
thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu ?

ĐÁP ÁN
Câu 1.
1
x 3
1
:

x  x 1 x  x 1
x 3
1
1
1
P 
  x 2 x4
5
x 3 5
Vậy 0  x  4 thỏa mãn bài toán
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
  '  4  m  0  m  4
 x  x  4
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:  1 2
 x1 x2  m
4 16  2m 
gt 
 4  m  2  (m  0)
m
 m2  16  m  4
Kết hợp với điều kiện m  4; m  0 ta được m  4 thỏa mãn
Câu 2.

x 1
a) ĐKXĐ: 
3
x 

2
2 x  1  0
2
PT   2 x  1 x  2    2 x  1 2 x  x  3  0  
2
 x  2  2 x  x  3
1
2 x  1  0  x  (ktmdk )
2
 x  2
 x  2
3  37
x  2  2x2  x  3   2

x
(tmdk )
 2
2
2
2 x  x  3  x  4 x  4  x  3 x  7  0
a) P 


 3  37 3  37 


;
Vậy S  

2
2




b) ĐKXĐ: y  0. Lấy phương trình thứ nhất trừ đi ba lần phương trình thứ hai ta được:



x3  3x 2  3x  1  8  12 y  6 y  y y   x  1  2  y
3

Thế



3

 x 1  2  y

y  3  x vào phương trình thứ nhất:

x 1
3
x3   3  x   9  x3  3x  2  0  
x  2

Vậy hệ phươn trình đã cho có hai nghiệm 1;4 ; 2;1 ( TMDKXD)


Câu 3.

A
T
E

O
C

S
H
B
F

M
D

a) Ta có OM / / AH (tính chất đường trung bình) mà AH  BC  OM  BC
 OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC (dfcm)
FT FB
b) FTB FCS ( g.g ) 

 FB.FC  FT .FS (1)
FC FS
FH là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH  FT .FS  FH 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra FB.FC  FH 2
Gọi E ' là giao điểm của FA với (O)

 FE '.FA  FH 2  FE ' H '' FHA(c.g.c)
 FE ' H  FHA  900  HE '  AF
Mà DE '  AF  E ', H , D là ba điểm thẳng hàng  F , E, A thẳng hàng
c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua E. Ta có AF là đường trung trực của đoạn thẳng HI
nên FH  FI và AH  AI , nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán kính AH
AFI  AFH (c.c.c)  AIF  AHF  900  FI tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH
tại I (3)
HB HE
1

 HB.HC  HD.HE  2 HM . HI  HM .HI
Có HBE HDC ( g.g ) 
HD HC
2
HBI HMC (c.g.c)  HBI  HMC  Tứ giác IBMC nội tiếp


Lại có: FI 2  FB.FC (cùng bằng FH 2 )  FI tiếp xúc với đường tròn  IBMC  tại I. Kết hợp
với (3) suy ra đpcm.
Câu 4.
x3
xz 2
xz 2
z
 x 2
 x
 x
Áp dụng BĐT Cô si 2
2
2

x z
x z
2 xz
2
3
4
y
z
4
Tương tự: 2
 y  . Suy ra P  x  y 
2
x y
y z
2
Vậy Pmin  4  x  y  z  1
Câu 5.
a)
p 2 q  p  p 2  q   q  p 2  q    p 2q  q   q 2  p  p 2  q 
pq 2  q  q 2  p    pq 2  q   p  q 2  p   p 2  q q 2  p
q 2  p    p 2  q   q 2  q  p 2  p  0(VN )
q 2  p  p 2  q   q  p  q  p  1  0  q  p  1  0  q  p  1
Mà p, q là hai số nguyên tố nên p  2, q  3 (thỏa mãn bài toán)

b) Đặt z 

xy
1 1 1 1
1
 1  1 

   
  1    1  1 (1)
x  y 1
z x y xy
z
 x  y 

Với mỗi tập các số dương x1; x2 ;......; xn  tùy ý, xét biểu thức :
1

1
 1

P  x1; x2 ;....; xn     1  1 .......  1.
 x1  x2

 xn


xy
các số còn lại trên
x  y 1
bảng giữ nguyên thì giá trị của biểu thức P của các số trên bảng không đổi.
1
1 
1 1 1
;
Gọi số cuối cùng là a  P  a   P  ; ; ;......;

2018 2019 

1 2 3






 1
 1

1 
1
1
1   1
  1    1 .  1 .  1.......
 1 .
 1  2020!  a 
1
1
1
a
2020! 1
1   1





2 3 
 2018   2019 

Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kỳ x, y rồi viết lên bảng số