076 đề HSG toán 9 cẩm giang 2013 2014

PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài:150 phút

Sưu tầm: Phạm Văn Cát
THCS Cẩm Định Cẩm Giàng
HD

(Đề thi gồm 01 trang

Ngày thi 16-10-2013

Câu 1( 2 điểm)
a)Cho biểu thức: A = (x2 - x - 1 )2 + 2013
Tính giá trị của A khi x =

3
3  1 1



3
3 1 1

b) Cho (x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0
Câu 2 ( 2 điểm)
a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5)

b) Chứng minh

x2  1

a
b
c


 2 , với a, b, c>0
bc
ac
ba

Câu 3 ( 2 điểm)
a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức
x2+10x+21
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Câu 4 ( 3 điểm)
1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt
là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh:
a) DE2=BH.HC
b) AH3=BC.BD.CE
2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin
Câu 5( 1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
1
1
1
1 1 1



  
a bc bc a c  a b a b c

.................... Hết ...............

Â
a

2 bc


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Nội dung

Câu
1 a)

3

x=

3  1 1

=

3(



3
3 1 1

=

3(

3  1  1)  3(
3  1 1

3  1  1)

3  1  1  3  1  1) 2 3

2
3  1 1
3

Thay x = 2 vào biểu thức A ta có:
A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014
Vậy khi x =

Biểu
điểm
0,25

3
3  1 1

3



3 1 1

thì giá trị của biểu thức A là 2014

0,25
0,25
0,25

----------------------------------------------------------------------------------(x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013
b)

(x - x2  2013 )(x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013(x - x2  2013 )

0,25

-2013.(y + y 2  2013 )=2013(x - x2  2013 )
-y - y  2013 =x - x  2013
2

Tương tự: -x - x2  2013 = y - y 2  2013

b)

+ y2013=0

0,25

2013

0,25

x2+ 5x +1 = (x+5) x 2  1
x2+1 + 5x = (x+5) x 2  1
x2+1 + 5x - x x 2  1 - 5 x 2  1 =0
x 2  1 ( x 2  1 -x) +5(x- x 2  1 )=0
( x 2  1 -x) ( x 2  1 - 5) = 0
( x 2  1 -x) = 0 hoặc ( x 2  1 - 5) = 0
x 2  1 =x hoặc x 2  1 = 5
x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25
x2 = 24
x =  24
Vậy nghiệm của PT là x =  24

0,25
0,25
0,25
0,25

 x+y =0  x =-y  x

2 a)

0,25

2

0,25
0,25
0,25
0,25


(b  c)a
bca
bca

 (b  c)a 
2a
a
2
bca
bc
a
2a




2a
a
bc abc

3

Ta có

0,25

b
2b
c
2a


,
ac abc
ba abc
a
b
c
2(a  b  c)



2
bc
ac
b  a (a  b  c )

Tương tự:

0,25

Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)
a
b

c


2
bc
ac
ba

Vậy

4 a)

b)

2

2

(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x +10x+16)( x +10x+24) +2013
=( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013
=( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21
= y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998
A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
= (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014
Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0

5

A

0,25
0,25
0,5

0, 5
0,5
0,5
0,25

E
D

B

a)

b)

H

C

Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH  AB, HE  AC
Tứ giácADHE có DAE =90 0, ADH =90 0, AEH =90 0
Tứ giácADHE là hình chữ nhật
AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC

Ta có AH2=BH.HC  AH3=BH.HC.AH
AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC

 AH3=BC.BD.CE

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25


0,25

A

I
C

B
D

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC

BD DC
BD DC BD  DC
CB
a
=






AB AC
AB AC AB  AC AB  AC b  c
Vẽ BI  AD  BI  BD

Ta có

 BI
Â
BD
Â
a
Ta có sin 
. Vậy sin 
 sin 
2 AB  AC
2 bc
2 AB

0,25
0,25
0,25
0,25

6

1

x

1
y

4
x y
1
11 1
    (I)

x y 4 x y 

Với x  0, y  0 ta có ( x  y)2  4 xy   

0,25

a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,
Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:
1
1
4
2



a b c a c b a b c  a c b a
1
1
4

2
Tương tự:



bac bca cbaabc b
1
1
4
2



c ba c  a b c ba c  a b c
1
1
1
1 1 1



   (đpcm)
a bc bc a c  a b a b c

0,25
0,25
0,25