Đề thi HSG toán 9 TP HCM 2013 2014

Sở Giáo dục và Đào tạo
Thành phố Hồ Chí Minh

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS
CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2012 - 2013 (khóa ngày 27/3/2013)
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút

Bài 1. (4 điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa điều kiện a  b  c  0 .
1) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc
(a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3
2) Tính giá trị của biểu thức P 
a(b  c) 2  b(c  a) 2  c(a  b) 2  abc
Bài 2. (4 điểm)
Giải các phương trình :
1) ( x 2  x  1)(3x 2  x  3)  4 x 2
3
2) 4 x 2   2 x
4
Bài 3. (3 điểm)
( x 2  2 x)( y 2  2 y )  45
Giải hệ phương trình: 
( x  1)( y  1)  8
Bài 4. (3 điểm)
Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) (3a  b)(2c  a  b)  (2a  b  c)2
a 3b

b 3c
c 3a
a 2bc
b 2ca
c 2 ab
2)





3a  b 3b  c 3c  a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b
Bài 5. (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC tại E và tia AD
cắt tia BC tại F . Gọi M là giao điểm thứ hai (khác C ) của hai đường tròn ( BCE )
và (CDF ). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E , M , F thẳng hàng.
b) M thuộc đường tròn ( ADE) .
c) OM vuông góc với EF .
Bài 6. (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho biểu thức
có giá trị nguyên.
HẾT

25
625
25
625

n 


n
2
4
2
4


ĐÁP ÁN
Bài 1. (4 điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa điều kiện a  b  c  0 .
1) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc
(a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3
2) Tính giá trị của biểu thức P 
a(b  c) 2  b(c  a) 2  c(a  b) 2  abc
Giải.
1/ a 3  b3  c3  a 3  b3  (a  b)3  3ab(a  b)  3abc
(1đ)
3
3
3
3
3
3
(a  b  c)  (b  c  a)  (c  a  b)
8(a  b  c )

2/ P 
2
2

2
a(b  c)  b(c  a)  c(a  b)  abc ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a )  5abc
24abc
(3đ)

3
8abc
Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình :
1/ ( x 2  x  1)(3x 2  x  3)  4 x 2  (3x 2  3x  3)(3x 2  x  3)  12 x 2
 (3x 2  x  3  2 x)(3x 2  x  3  2 x)  12 x 2
 (3x 2  x  3)2  16 x 2  0
(1đ)
 (3x 2  5 x  3)(3x 2  3x  3)  0

3 x 2  5 x  3  0
 2
 x  x  1  0

5  61
(0,5đ)
6
1  5
* x2  x  1  0  x 
(0,5đ)
2
3
1
2/ 4 x 2   2 x  4 x 2  4 x  1  4 x  2 x 
4
4

1
 (2 x  1) 2  (2 x  ) 2
2
1
1
1
 2 x  1  2 x   (2 x  1) 2  0  x   x 
2
2
4
Bài 3. (3 điểm)
( x 2  2 x)( y 2  2 y )  45
Giải hệ phương trình: 
( x  1)( y  1)  8
Giải.
( x 2  2 x)( y 2  2 y )  45
 x 2 y 2  4 xy  2 xy ( x  y )  45


( x  1)( y  1)  8
 xy  ( x  y )  7
 x 2 y 2  4 xy  2 xy ( xy  7)  45
 x 2 y 2  18 xy  45  0


 x  y  xy  7
 x  y  xy  7
* 3x 2  5 x  3  0  x 

(0,5đ)

(1,5đ)

(0,5đ)
(0,5đ)


( xy  3)( xy  15)  0
 xy  3
 xy  15



(1đ)
x

y

xy

7
x

y


4
x

y


8



 x  1  x  3  x  5  x  3




(1đ)
 y  3  y  1  y  3  y  5
Bài 4. (3 điểm) Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ (3a  b)(2c  a  b)  (2a  b  c)2
2

 3a  b  2c  a  b 
2
* (3a  b)(2c  a  b)  
  (2a  b  c)
2


3
3
3
2
ab
bc
ca
a bc

b 2ca
c 2 ab





2/
3a  b 3b  c 3c  a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b

(1đ)

a 3b
c 2 ab
a 4b 2 c 2
2a 2bc
2a 2bc
(0,5đ)

2


3a  b 2c  a  b
(3a  b)(2c  a  b)
(3a  b)(2c  a  b) 2a  b  c
Chứng minh tương tự ta có
b 3c
a 2bc
2b 2ca
; (0,5đ)



3b  c 2a  b  c 2b  c  a
c3a
b 2ca
2c 2 ab


;(0,5đ)
3c  a 2b  c  a 2c  a  b
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh. (0,5đ)
Bài 5. (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC tại E và tia AD
cắt tia BC tại F . Gọi M là giao điểm thứ hai (khác C ) của hai đường tròn ( BCE )
và (CDF ) . Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E , M , F thẳng hàng.
b) M thuộc đường tròn ( ADE) .
c) OM vuông góc với EF .
Giải.
A

a/ BEMC nội tiếp  EMC
ABC (0,25đ)

ADC (0,25đ)
DCMF nội tiếp  FMC
*

B
C

E

Mà 
ABC  
ADC  1800 (do ABCD nội tiếp) (0,25đ)
  FMC
  1800
Nên EMC
 E , M , F thẳng hàng(0,25đ)
b/
  FCD
 (0,25đ)
DCMF nội tiếp  FMD
  BAD
 (0,25đ)
ABCD nội tiếp  FCD

O

I

M

J

D

F

  BAD
 (0,25đ)
 FMD


 AEMD nội tiếp  đpcm. (0,25đ)
c/
  ECM
 (0,25đ)
BEMC nội tiếp  EBM
  MCD
 (0,25đ)
 MBA

  MDC
 do đó  MBA ~  MCD (0,25đ)
Mặt khác MAB
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD
Ta chứng minh được  MBI ~  MCJ (0,25đ)
  MJC
  IEMJ nội tiếp (0,25đ)
 MIB
Mặt khác IEJO nội tiếp
(0,25đ)
Nên 5 điểm O , I , E , M , J nội tiếp đường tròn đường kính OE . (0,25đ)
  900 hay OM  EF (0,25đ)
 OME
Bài 6. (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho biểu thức
Giải.

có giá trị nguyên.

25
625
25
625

n 

n
2
4
2
4

25
625
25
625

n 

n
2
4
2
4

a

2

 a 2  25 
(0,5đ)
 a  25  2 n  n  

 2 
Dễ thấy a lẻ và a  5
(0,5đ)
625
 Nếu a  9 thì n 
không thỏa điều kiện có nghĩa của a .(0,25đ)
4
 a  7  n  144
(0,25đ)
2

 a5  n0
Vậy n  0 hoặc n  144 .

(0,25đ)
(0,25đ)