094 đề HSG toán 9 cần thơ 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013
Khóa ngày: 11/04/2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề

Câu 1 (5,0 điểm)
1. Cho biểu thức P 

2m  16m  6
m 2 m 3



m 2
m 1



3
m 3

2

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên
2. Tính giá trị  a3  15a  25

2013

với a  3 13  7 6  3 13  7 6

Câu 2. (5,0 điểm)





1. Giải phương trình: x  5  3  x  2 15  2x  x2  1  0
2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
2

2x  mx  1  0
 2

mx  x  2  0

Câu 3. (5,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa

1 1 1
  2
x y z

x  y  2

2. Cho hai số x, y thỏa mãn 

2
2
x  y  xy  3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x2  y2  xy
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho
OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi P là một điểm di
động trên cung BC không chứa A.
1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống PB, PC. Chứng minh
rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA,
AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên
đường tròn (O;R) sao cho diện tích tam giác ABC luôn bằng a 2


ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 CẦN THƠ 2012-2013
Câu 1.
1. a) Điều kiện : m  0;m  1
P

m 1
m 1

b) P  1 

2

m 1

Để P   m 4;9
2. a  3 13  7 6  3 13  7 6  a 3  26  15a



 a3  15a  25  1  a 3  15a  25



2013

1

Câu 2.
1. Điều kiện : 5  x  3
Đặt t = x  5  3  x,t 2  8  2 15  2x  x2  t  2 2
t  3
 t  2(loai)

Phương trình đã cho có dạng : t 2  t  6  0  
t  3  x  5  3x  3

2  3 7
x 
2
 4x 2  8x  59  0  

2  3 7

x 

2
mx  2y  1
x  my  2

2. Đặt x2  y  0. Hệ trở thành 

m4

x  m 2  2
Hệ luôn có nghiệm 
y  1  2m  0(m  1 )

m2  2
2
2

m4
1  2m
Ta có x  y   2   2
 (m  1)(m 2  m  7)  0  m  1
m

2
m

2



2

Câu 3
1. Không mất tính tổng quát , giả sử : 1  x  y  z


1 1 1 3
    x 1
x y z x
 y  1 (vô lý)
1 1
2
  1
y z
y
2

Và y = 2 suy ra z = 2.
Vậy (1;2;2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho
x  y  2

x  y  2  a (a  0)

 2
2
2
2
x  y  xy  3 x  y  xy  3

2. Hệ 

x  y  2  a
Do đó 
2


xy   2  a   3

;   S 2  4P  0  0  a  4

T  x2  y2  xy  2xy  9  2  2  a 

2

Min T= 1 khi x=1; y=1 hoặc x= - 1 , y = - 1
Max T = 9 khi x  3 ,y   3 hoặc x   3 ,y  3
Câu 4
B

M
A

M'

C

O

R
, ta có điểm C cố định

2
Dễ thấy OCM đồng dạng với OMA  MA  2MC

Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC 
Ta có MA  MB  BC (không đổi)
MA  2MB  2(MA  MC)  2BC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C
Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì MA + 2MB đạt
giá trị nhỏ nhất


Câu 5.

A
E

D
O

B

I

C

N

M
A' P

1. Kẻ AI  BC , I  BC cố định. Ta có BMA  BIA  900 nên tứ giác AMBI nội tiếp
hay AIM  ABM
Ta lại có tứ giác ABPC nội tiếp nên ABM  ACP do đó AIM  ACP (1)
Mặt khác AIC  ANC  900 nên tứ giác AINC nội tiếp suy ra ACP  AIN  1800 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AIM  AIN  1800
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I
2. Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED  ACB
Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A’. Ta có:
EAO  AED  BAA'  ACB  900
1
1
 AO  DE  S AEOD  AO.DE  R.DE
2
2
1
1
Tương tự ta cũng có S BEOI  .R.EI ;S CDOI  R.ID
2
2
1
Vậy S ABC  S AEOD  SBIOE  SCDOI  R.  DE  EI  ID 
2

 DE  EI  ID 

2S ABC 2a 2

(không đổi)
R

R