ĐỀ+ĐA HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN 2012

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp 9
Thời gian: 150 phút(Không tính
thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm).
a, Không dùng máy tính, hy tính: A =
3 3
5 2 7 5 2 7
+

b, Cho dy số: a
1
; a
2
; a
3
; , thảo mn: a
2
= 1; a
50
= 2012, và a
n
+ a
n+1
= a
n+2
với

mọi số tự nhiên n 1. Tính tổng S = a
1
+ a
2
+ . . . + a
48

Câu 2. (2,0 điểm).
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh
rằng đờng thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Câu 3. (6,0 điểm).
a, Giải phơng trình sau:
x 4 6 x
+
= x
2
- 10x + 27
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
2 2
x 2x 1 x 2x 1

+ + + +

Câu 4. (6,0 điểm).
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD (CD AB). Gọi H, K theo thứ
tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến đờng thẳng CD.
a, Chứng minh rằng CH = DK
b, Chứng minh rằng S
AHKB
= S

ACB
+ S
ADB

c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Câu 5. (2,0 điểm)
Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin15
0













Đề chính thức

Hết

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1. a, Không dùng máy tính, hy tính: A =
3 3

5 2 7 5 2 7
+

b, Cho dy số: a
1
; a
2
; a
3
; , thảo mn: a
2
= 1; a
50
= 2012, và a
n
+ a
n+1
= a
n+2
với mọi số tự nhiên
n 1. Tính tổng S = a
1
+ a
2
+ . . . + a
48

Giải
a, A =
3 3

5 2 7 5 2 7
+

A
3
=
5 2 7
+
- (
5 2 7

) - 3
3
(5 2 7)(5 2 7)
+
.
(
)
3 3
5 2 7 5 2 7
+

A
3
= 14 - 3A A
3
+ 3A - 14 = 0 (A - 2)(A
2
+ 2A + 7) = 0

2 2
A 2 0 A 2
A 2
A 2A 7 0 (A 1) 6 0 (VN)
= =

=

+ + = + + =


Vậy: A = 2
b, Vì: a
n+2
= a
n+1
+ a
n
a
50
= a
49
+ a
48
= a
48
+ a
47
+ (a
47

+ a
46
)
= a
48
+ a
47
+ a
46
+ (a
46
+ a
45
)
= a
48
+ a
47
+ a
46
+ a
45
+ (a
25
+ a
44
)

= a
48

+ a
47
+ a
46
+ a
45
+ a
44
+ + a
3
+ (a
3
+ a
2
)
= a
48
+ a
47
+ a
46
+ a
45
+ a
44
+ + a
3
+ a
2
+ (a

2
+ a
1
)
a
50
- a
2
= a
48
+ a
47
+ a
46
+ a
45
+ a
44
+ + a
3
+ a
2
+ a
1
= S
S = 2012 - 1 = 2011
Câu 2. Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đờng
thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Giải
Gọi A(x

0
; y
0
) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua với mọi m. khi đó ta có:
y
0
= mx
0
+ m - 1 m(x
0
+ 1) = y
0
+ 1. Vì phơng trình này luôn đúng mới mọi m nên:

0 0
0 0
x 1 0 x 1
y 1 0 y 1
+ = =



+ = =

. Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định A(-1; -1) với mọi m (đpcm)
Câu 3. a, Giải phơng trình sau:
x 4 6 x
+
= x
2

- 10x + 27
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
2 2
x 2x 1 x 2x 1
+ + + +

Giải
a, ĐKXĐ: 4 x 6
+) VT =
x 4 6 x
+
(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có)
VT
2
(1
2
+ 1
2
)
(
)
(
)
2 2
x 4 6 x

+


= 2.2 VT 2

+) VP = x
2
- 10x + 27 = (x - 5)
2
+ 2 2 VP 2
VT = VP = 2
x 4 6 x
x 4 6 x
x 5
x 5
x 5 0

=

=

=

=
=



(T/m)
Vậy: S = {5}
b, M =
2 2
x 2x 1 x 2x 1
+ + + +
=

2 2
(x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1 1 x
+ + = + + = + +

áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ta có:
M =
x 1 1 x
+ +

x 1 1 x
+ +
= 2 . Dấu "=" xẩy ra khi (x + 1)(1 - x)

0

-1

x

1
Vậy Min M = 2 khi -1

x

1
Câu 4. (HS tự ghi GT/HL)
Giải
a, Chứng minh rằng CH = DK.
Gọi M là trung điểm của CD

OM

CD (T/c đờng kính và dây cung)
Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
MO // AH // BK (cùng vuông góc với HK)
mà OA = OB (gt)
M là trung điểm của HK
(định lý 1 về đờng trung bình của hình thang)
MH = MK mà MC = MD
CH = DK
b, Chứng minh rằng S
AHKB
= S
ACB
+ S
ADB

Qua M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt
AH tại I và cắt BK tại Q
+) HMI và KMQ có:



0
H K 90
= = (gt)
MH = MK (c/m trên)

HMI KMQ
=
(đối đỉnh)
HMI = KMQ(g.c.g) S
AHKB
= S
AIQB
(Với AIQB là hình bình hành)
S
AHKB
=
IQ AB
.MN AB.MN
2
+

=


(với N là hình chiếu của M trên AB) (1)
+) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của C và D trên cạnh AB


S
ACB
+ S
ADB
=
1 1 1
CE.AB DF.AB (CE DF)AB MN.AB

2 2 2
+ = + =
(2)
Từ (1) và (2)

S
AHKB
= S
ACB
+ S
ADB
(đpcm)
c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Vì S
AHKB
= MN.AB

S
AHKB
lớn nhất khi MN là
đờng kính của đờng tròn hay CD // AB


MN

CD và N trùng O


MO =
2 2 2 2

OC CM 15 9 12(cm)
= =



S
AHKB
= MO.AB
= 12.30
= 360 (cm
2
)
Vậy: Max S
AHKB
= 360(cm
2
)
Khi CD //AB và cạnh AB một khoảng 12cm
Câu 5. Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin15
0

Giải
Vẽ

ABC vuông tại A và BC = 2a, AB = a (a > 0)


AC =
3
a

0 0
C 30 , B 60
= =
. Kẻ phân giác CD
áp dụng tính chất đờng phân giác:



DA CA DA 3 DA DB DA DB
DB CB DB 2 2
3 3 2
+
=

=

= =
+




DA a
3 3 2
=
+

DA =
a 3
3 2
+
= (2
3
-3)a


DC =
6
(
3
-1)a


sin 15
0
=
AD 2 3 3 (2 3)( 3 1) 3 1
DC
6( 3 1) 2 2 2 2
+
= = =

sin15
0
=
6 2
4


Q
I
F
N
M
E O
K
H
D
C
B
A
E
F
M
H
O
K
D
C
B
A
3a

2a
a
D
C
B
A
60
0
15
0
15
0