Ước lượng Metric Kobayashi trên các miền trong Cn (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

VIÊN ÁNH NGỌC

ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI TRÊN CÁC MIỀN
TRONG Cn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 4/2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

VIÊN ÁNH NGỌC

ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI TRÊN CÁC MIỀN
TRONG Cn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành:

Toán Giải tích

Mã số:

8460102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN HUỆ MINH

Thái Nguyên, 4/2019


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự
hưỡng dẫn của TS. Trần Huệ Minh. Em không sao chép từ bất kì công
trình nào khác.
Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy các
thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Người viết luận văn

Viên Ánh Ngọc

Xác nhận của
Khoa chuyên môn

Xác nhận của
Người hướng dẫn khoa học


ii

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huệ Minh, người đã tận tình hướng dẫn
và truyền đạt những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu để em có thể hoàn
thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo - Bộ phận
Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học
Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều
kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
bài luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận
văn này được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Người viết luận văn

Viên Ánh Ngọc


iii

Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn

i
ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Uớc lượng metric Kobayashi trên các miền trong Cn .
1.1. Ước lượng metric Kobayashi trên miền Ω = C\ {0, 1} . . . . . .
1.2. Uớc lượng metric Kobayashi trên một miền trong C2 . . . . . .
1.3. Ước lượng metric Kobayashi trên một miền bị chặn trơn trong
Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ước lượng metric Kobayashi trên miền lồi loại hữu hạn
trong Cn
2.1. Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Metric đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ước lượng metric Kobayashi trên miền lồi trong Cn . . . . . .
2.4. Ước lượng metric Kobayashi trên một miền giả lồi loại hữu hạn
trong C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận
Tài liệu tham khảo

3
3
7
10
17
17
18
22
29
34

35


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Metric Kobayashi trên một miền Ω trong Cn tại điểm p ∈ Ω theo hướng
ξ ∈ Tp Ω được định nghĩa bởi:
F (p, ξ) = inf {α > 0 | ∃Φ ∈ Hol(D, Ω) : Φ(0) = p, Φ (0) = ξ/α} ,
trong đó Hol(D, Ω) là ký hiệu họ các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D
trong C vào Ω. Metric Kobayashi là metric lớn nhất trong các metric bất
biến song chỉnh hình G mà thỏa mãn các tính chất:
i) GD : D × C → R+ ∪ {0} trùng với metric Poincare trên đĩa đơn vị
trong C
˜
ii) G có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình, tức là nếu Φ : Ω → Ω
là ánh xạ chỉnh hình và p ∈ Ω, ξ ∈ Tp Ω thì
˜

GΩ (p, ξ) ≥ GΩ (Φ(p), Φ∗ (p)ξ).
Trong những năm gần đây, việc tìm hiểu ước lượng của metric Kobayashi
đã được nhiều nhà toán học như I. Graham, D.Catlin, S.G.Krantz, Lina
Lee, S.Fu, Peter Pflug,. . . quan tâm nghiên cứu, các tác giả đã đưa ra nhiều
kết quả về ước lượng cho metric Kobayashi trên các miền trong Cn và sử
dụng các ước lượng này để nghiên cứu bài toán ánh xạ.
Với lý do này, em đã lựa chọn đề tài nghiên cứu " Ước lượng metric Kob
trên các miền trong Cn " làm luận văn tốt nghiệp. Đề tài có ý nghĩa thời
sự, đã và đang được các nhà toán học quan tâm, nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày lại một số kết
quả về ước lượng của metric Kobayashi trên các miền bị chặn trơn, miền lồi
và miền giả lồi loại hữu hạn trong Cn .


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại các kết quả và trình bày tổng quan về ước lượng của metric
Kobayashi trên các miền trong Cn .

4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết, phương
pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.

5. Bố cục của luận văn
Luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [4], [5], [6, [7] gồm
36 trang trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Cụ thể là:
- Chương 1: Trình bày các kết quả về ước lượng metric Kobayashi trên
các miền trong Cn , phần đầu của chương trình bày về ước lượng metric
Kobayashi trên một miền trong C\{ 0, 1}, phần tiếp theo là ước lượng
metric Kobayashi trên một miền trong C2 , phần cuối của chương trình
bày các kết quả trên một miền bị chặn trơn trong Cn .
- Chương 2: Trình bày các khái niệm về hàm đa điều hòa, hàm đa điều
hòa dưới, và một số kết quả của metric đa điều hòa dưới (metric Sybony)
và sử dụng metric này để ước lượng metric Kobayashi trên các miền lồi
và giả lồi loại hữu hạn trong Cn .
- Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được và

danh mục tài liệu tham khảo.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Huệ
Minh, do thời gian nghiên cứu không có nhiều và kiến thức của em còn hạn
chế nên bản luận văn của em không tránh khỏi khiếm khuyết, em rất mong
nhận được những góp ý của Thầy Cô và bạn đọc để bản luận văn được hoàn
chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !


3

Chương 1

Uớc lượng metric Kobayashi trên
các miền trong Cn.
1.1.

Ước lượng metric Kobayashi trên miền Ω = C\ {0, 1} .

Giả sử Ω là một miền trong Cn , P ∈ Ω và ξ ∈ Cn , ta kí hiệu Hol(P, ξ) là
họ các ánh xạ chỉnh hình Φ từ đĩa đơn vị ∆ ⊂ C vào Ω sao cho Φ(0) = P
và Φ (0) = ξ. Khi đó độ dài Kobayashi của ξ tại điểm P được định nghĩa
bởi
ξ
FKΩ (P, ξ) ≡ inf {α : α > 0, ∃Φ ∈ Hol(P, ξ) , Φ (0) = }.
α
Trong phần này, ta trình bày ước lượng metric Kobayashi tại các điểm
biên trên miền ∆\{0} và C\ {0, 1} , ở đây ∆ là kí hiệu của đĩa đơn vị trong
C, ∆ = {z ∈ C ||z| < 1} .
Bổ đề 1.1.1. [5] Giả sử Ω là một miền liên thông trong C có không gian

phủ là nửa phẳng H. Lấy q ∈ H và m : H → ∆ là ánh xạ song chỉnh hình
sao cho m(q) = 0. Lấy P ∈ Ω, ξ ∈ Cn và π : H → Ω mà π(q) = P.
Khi đó
|m (q)|
ξ .
FKΩ (P, ξ) =
|π (q)|
Chứng minh
Lấy f là một hàm phù hợp với metric Kobayashi tại điểm P và f (0) là
bội của ξ. Vì đĩa đơn vị là liên thông nên tồn tại ánh xạ nâng duy nhất
f˜ : ∆ → H sao cho f˜(0) = q làm giao hoán biểu đồ sau


4

Lấy π −1 là nghịch đảo địa phương trong một lân cận của p. Vì m◦ f˜(0) = 0
và f˜ = π −1 ◦ f, từ bổ đề Schwarz ta có
m (q) · π −1 (P ) · f (0)

≤ 1,

suy ra
|m (q)|
1
≥
.
|f (0)|
|π (q)|
Ước lượng này đạt được với bất kì hàm f và ánh xạ π ◦ m−1 cùng là hàm
phù hợp với metric Kobayashi nên ta có điều phải chứng minh.

Sử dụng bổ đề trên, ta ước lượng được metric Kobayashi tại các điểm
biên trên miền ∆\{0} và C\ {0, 1} .
Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.1.2. [5] Lấy p là một điểm thuộc ∆\{0} sao cho dist (p,0) = δ
và lấy ξ = 1. Với bất kì δ > 0, ta có
∆\{0}

FK

(p, ξ) =

1
.
2δlog 1δ

Chứng minh
Xét ánh xạ từ ∆\{ 0} vào ∆\{ 0} xác định bởi z → zeiθ . Ta chỉ cần
chứng minh mệnh đề trên trong trường hợp p = 0.
Lấy Hlef t là nửa phẳng {Re(z) < 0} ⊂ C. Ánh xạ phủ được xác định bởi
π : Hlef t → ∆\{0}, z → ez . Lấy q = logδ, khi đó m : Hlef t → ∆ được xác
định bởi
1
z − log δ
m(z) :=
, với m (q) =
.
z + log δ
2 log δ
Từ bổ đề 1.1.1, ta có
1

1
∆\{0}
FK
(δ, 1) =
=
.
2δ|logδ| 2δlog(1/δ)
Để ước lượng metric Kobayashi cho miền Ω = C\{ 0, 1} ta phải xét hàm
modular elliptic như ánh xạ phủ từ nửa phẳng tới Ω và ước lượng đạo hàm
của nó. Hàm modular elliptic được xác định bởi
∞

λ(τ ) =

n=−∞
∞

1
cos2 (π (n− 12 )τ )

n=−∞

Ta xét bổ đề sau

1
cos2 (πnτ )

−

−

1
sin2 (π (n− 12 )τ )

1
sin2 (π (n− 12 )τ )

=:

N (τ )
.
D(τ )


5

Bổ đề 1.1.3 [5] Khi Im(τ ) → ∞, đạo hàm của N (τ ) là bị chặn đều bởi
một hằng số:
d
D(τ ) < C
dτ

(1.1)

với C > 0 và các đạo hàm của N (τ ) thỏa mãn
d
N (τ )
dτ

eiπτ = e−π Im(τ ) .

(1.2)

Chứng minh
Với z = x + iy, ta có :
1 i(x+iy)
e
− ei(x+iy)
2i
1
= (eix e−y − e−ix ey ).
2i
1
Do vậy, với |y| > ln 2, ta có
2
1 |y|
e < |sinz| < e|y| .
4
Tương tự, ta có
1 |y|
e < |cosz| < e|y| .
4
sin(z) =

(1.3)

(1.4)

Sử dụng (1.3) và (1.4), các đạo hàm của các phần tử cosin của D(τ ) ngoại
trừ phần tử ứng với n = 0, được ước lượng bởi

|n|

1
d
2πn sin(πnτ )
=
dτ cos2 (πnτ )
cos3 (πnτ )

e2π|n| Im(τ )

,

(1.5)

khi Im(τ ) → ∞.
Tương tự, ta có
d
1
2
dτ sin π(n − 21 )τ

2π n − 12 cos π n −
=
sin3 π n − 12 τ

1
2

τ

n − 12
,
1
e2π|n− 2 |Im (τ )
(1.6)

và
d
1
dτ cos2 π(n − 21 )τ

=

2π n − 12 sin π n −
cos3 π n − 12 τ

1
2

τ

n − 12
,
2π |n− 12 |Im (τ )
e
(1.7)


6

với mọi n ∈ Z và Im(τ ) → ∞.
Do vậy, đạo hàm của D(τ ), ta có
d
D(τ ) ≤
dτ

1
d
+
dτ cos2 (πnτ )

1
d
dτ sin2 π n −

1
2

.

τ

Từ (1.5) và (1.6) ta thấy nó bị chặn trên đều
Tương tự, đạo hàm của N (τ ) được ước lượng bởi
1
d
dτ sin2 π n −

d

N (τ )
dτ

1
2

τ

+

1
d
dτ cos2 π n −

1
2

τ

1

.
eπ Im(τ )
Ta có kết quả sau về ước lượng metric Kobayashi trên miền Ω = C\{ 0, 1}.
Mệnh đề 1.1.4. [5] Lấy Ω = C\ {0, 1} , đặt dist(p, 0) = δ, ξ = 1. Khi đó
với δ > 0 đủ nhỏ, ta có
1
FKΩ (p, ξ) ≈
.
δ log 1δ

Chứng minh
Đặt Ω = C\{ 0, 1}, kí hiệu Hupper là nửa mặt phẳng trên {Im (z) > 0} ⊂
C. Lấy p là một điểm gần gốc và λ : C → C\{ 0, 1} là hàm modular elliptic
như ánh xạ phủ của Ω. Khi đó ảnh ngược của p là điểm q = r + iM, trong
đó M > 0, M → ∞ khi p → 0. Nếu cho r ∈ [0, 2] thì λ(q) sẽ dần đến gốc
theo mọi hướng. Ta ước lượng metric Kobayashi tại điểm p bởi Bổ đề 1.1.1
.
Phép biến đổi Mobius Hupper → λ biến q = r + iM thành điểm gốc bởi
m(z) =

z − (r + iM )
z−q
=
.
z − q¯ z − (r − iM )

Theo Bổ đề 1.1.1, ta có
FKΩ (p, ξ) =

|m (q)|
1
=
.
|λ (q)|
2M |λ (r + iM )|

Mặt khác
λ (τ ) =

N (τ )

D (τ ).
− λ(τ )
D(τ )
D(τ )

Từ D(τ ) → π 2 , λ(τ )e−iπτ → 16, ta có
|λ (τ )| ≈ |N (τ ) − λ (τ ) D (τ )|

eiπτ

(1.8)


7

khi Im(τ ) → ∞. Kết hợp với (1.8), ta có
FKΩ (p, ξ)

1
.
2M e−πM

(1.9)

Vì λ(τ )e−iπτ → 16 nên δ = dist(p,0) ≈ e−πM , tức là M ≈ log

1
.
δ

Từ (1.9) ta có
FKΩ (p, ξ)

1
δ log

1
δ

.

Mặt khác ∆\{ 0} là tập con của C\{0, 1}
Từ tính chất giảm của metric Kobayashi, ta có
∆\{ 0}

FKΩ (p, ξ) ≤ FK

1.2.

(p, ξ) =

1
2δ log

1
δ

.

Uớc lượng metric Kobayashi trên một miền trong C2 .

Giả sử Ω là một miền trong Cn , với P ∈ Ω, đặt δ(P ) = δΩ (P ) là khoảng
cách từ điểm P đến ∂Ω. Ta sẽ chứng minh rằng khi điểm P gần biên và véc
tơ ξ = νP là véc tơ pháp tuyến ngoài của ∂Ω tại điểm P thì
FKΩ (P, ξ) ≈

1
,
δ(P )

trong đó kí hiệu A ≈ B tức là thương A/B bị chặn trên và bị chặn dưới bởi
một hằng số.
Nếu r2 > r1 > 0, đặt
A (0, r1 , r2 ) = A = z ∈ C2 : r1 < |z − 0| < r2 .
Lấy δ > 0 đủ nhỏ. Nếu Pδ = (−r1 − δ, 0) và νδ = νPδ = (1, 0), thì bất kì
ước lượng dưới cho FKA đều cho ta ước lượng dưới cho các miền bị chặn trơn
tùy ý. Có điều này là bởi vì nếu Ω là một miền như vậy, điểm P ∈ Ω gần
biên và P ∈ ∂Ω là điểm biên gần nhất với điểm P thì tồn tại r1 , r2 > 0 sao
cho
A = A (P + r1 νp , r1 , r2 ) ⊇ Ω,
ở đây P + r1 νP là tâm của hình khuyên.
Ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.1. [6] Với bất kì A = A (Q, r1 , r2 ) và P ∈ A là điểm gần
biên trong của A thì
FKA (P, ν) ≈ δA (P )−3/4 .


8

Tổng quát hơn, với bất kì 3/4 ≤ λ ≤ 1, tồn tại một miền bị chặn Ωλ ⊆ C2

với biên khả vi, liên tục sao cho với các điểm P ∈ Ωλ dần đến biên ∂Ωλ , ta
có
FKΩλ (P, ν) ≈ δ(P )−λ .

Chứng minh
∗) Tính bị chặn trên:
Cố định một số λ mà 3/4 ≤ λ ≤ 1. Đặt m =

1
và đặt
2 − 2λ

Uλ = (z1 , z2 ) ∈ C2 : 1 < ρ(z) ≡ |z1 |2 + |z2 |m < 4 .
Rõ rằng Uλ có biên khả vi, liên tục. Lấy δ > 0 đủ nhỏ và P = Pδ =
(−1 − δ, 0) và ξ = (1, 0). Để chứng minh được ước lượng trên cho FKUλ (P, ξ)
ta cần chỉ ra một hàm Φ = Φλ ∈ Hol(P, ξ) sao cho
|Φ (0)| ≥ C.δ(P )λ .
Ta định nghĩa hàm Φ như vậy bởi công thức
Φ(ζ) = −1 − δ + δ λ /10 ζ, ζ 2 .
Rõ rằng Φ(0) = P và Φ (0) = δ λ /10, 0 . Nếu ta có thể chỉ ra được
Φ(∆) ⊆ Uλ , thì Φ ∈ Hol (P, ξ) và ta sẽ chứng minh được
FKUλ ≤ C · δ −λ .
Dễ thấy |ϕ(z)| < 4. Ta sẽ chứng minh |ϕ(ζ)| > 1 nếu và chỉ nếu
2δ + δ 2 +

1 2λ 2 1
δ |ζ| − (1 + δ) δ λ ζ + |ζ|2m > 0.
100
5

Ta xét 2 trường hợp:
+) Nếu |ζ| < 5δ 1−λ , thì
1
(1 + δ) δ λ ζ < (1 + δ) δ λ δ 1−λ < 2δ.
5
Suy ra Φ(ζ) ∈ Uλ với mọi giá trị của ζ thỏa mãn điều kiện trên.
+) Nếu |ζ| 5δ 1−λ thì
1
1
|ζ|
(1 + δ) δ λ ζ ≤ ζ (1 + δ)
5
5
5

λ
1−λ

≤ |ζ|2m .


9

Suy ra Φ(ζ) ∈ Uλ với mọi giá trị của ζ thỏa mãn điều kiện trên.
Vì vậy ta chứng minh được
FKUλ ≤ C · δ −λ .
∗) Tính bị chặn dưới:
Để chứng minh điều này, ta phải xét mọi ánh xạ Φ ∈ Hol(Pδ , ξ) và chứng
minh đạo hàm của chúng có giá trị tuyệt đối bị chặn trên bởi C · δ −λ .
Nếu δ > 0 đủ nhỏ, đặt Rδ = {ω ∈ C : 1 − δ < |ω| < 4} . Do tính chất cơ

bản của ánh xạ bảo giác, nếu Q ∈ Rδ , ξ ∈ C là véc tơ đơn vị tùy ý thì
FKRδ (Q, ξ) ≈ dist(Q, ∂Rδ )−1 ,
ở đây các hằng số dùng để so sánh chỉ phụ thuộc vào δ.
Lấy Φ ∈ Hol(Pδ , ξ) trên miền Uλ . Ta có ngay |Φ2 (ζ)| ≤ C|ζ|2 và ta có
thể chọn C = 2.
δ 1−λ
Nếu |ζ| ≤ √ , thì
2
1
2δ 2−2λ
= δm.
|Φ2 (ζ)| ≤
2

Do đó, với mỗi ζ,
|Φ1 (ζ)|

1 − |Φ2 (ζ)|m

√

1 − δ > 1 − δ.

Vì vậy hàm
δ 1−λ ζ
g(ζ) ≡ Φ1 √
2
ánh xạ đĩa ∆ vào Rδ với g (0) = −1 − δ.
Bằng các ước lượng đều ở trên cho metric Kobayashi trên các miền Rδ ,
ta có thể kết luận rằng

δ 1−λ
√ |Φ 1 (0)| = |g (0)| ≤ C · δ.
2
Do đó
|Φ 1 (0)| ≤ C · δ λ .
Vì Φ là một phần tử tùy ý của Hol(Pδ , ξ), nên ta có được ước lượng
FKUλ (P, ξ) ≥ C · δ −λ .


10

1.3.

Ước lượng metric Kobayashi trên một miền bị chặn trơn
trong Cn .

Giả sử Ω ⊂⊂ Cn là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn gần z0 ∈ ∂Ω.
Lấy U là một lân cận của z0 và r(z) là một hàm xác định địa phương của
Ω trên U , tức là
Ω ∩ U = { z ∈ U |r(z) < 0} ,
và r(z) ∈ C ∞ (U ), ∇r(z)|∂Ω∩U ≡

∂r(z) ∂r(z)
∂r(z)
∂z1 , ∂z2 , . . . , ∂zn

= 0.

Với z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Cn , đặt z = (z1 , z2 , . . . , zn−1 ) . Kí hiệu d(z) =
dist (z, ∂Ω) và gọi π(z) là phép chiếu trên biên của z gần z0 sao cho

d(z) = |z − π(z)| .
Lấy Nπ(z) là pháp tuyến hướng vào trong tại π(z).
Đặt
n
∂r
n
(z0 )Xi = 0 .
Hz0 ≡ X ∈ C | ∂r(z0 ), X ≡
∂z
i
i=1
Ta nói z0 ∈ ∂Ω là điểm giả lồi Lêvi nếu
n

∂ 2 r(z0 )
Xi Xj ≥ 0, ∀X ∈ Hz0 .
∂z
∂
z
¯
i
j
i,j=1
Trong phần này, ta trình bày một số kết quả về ước lượng metric Kobayashi
theo phương pháp tuyến gần điểm biên giả lồi Lêvi của một miền bị chặn
trơn trong Cn .
Ta sẽ chứng minh các kết quả sau:
Định lý 1.3.1. [4] Giả sử Ω ⊂⊂ Cn là miền bị chặn với biên trơn gần
z0 ∈ ∂Ω. Giả sử tồn tại α > 3/4, C > 0, X ∈ Cn \Hz0 , và {zk }∞
k=1 với

zk → z0 (zk thuộc nón Λ với đỉnh tại z0 và trục Nz0 ) sao cho
FΩ (zk , X) ≥ C

| ∂r(z0 ), X |
, ∀k ∈ N.
dα (zk )

(1.10)

Khi đó z0 là một điểm giả lồi Lêvi.
Để chứng minh định lý này ta nhắc lại bổ đề sau :
Bổ đề 1.3.2. [4] Giả sử Ω là một miền con của của một miền bị chặn
Ω với ∂Ω ∩ ∂Ω ⊃ U ∩ ∂Ω đối với một lân cận U nào đó của z0 ∈ ∂Ω. Khi
đó tồn tại một lân cận V ⊂⊂ U của z0 và một hằng số C > 0 sao cho
FΩ (z, X) ≤ CFΩ (z, X),

(1.11)


11

cho z ∈ Ω ∩ V và X ∈ Cn .
Ở đây ta sử dụng C để kí hiệu các hằng số và chúng có thể khác nhau
trong các lần xuất hiện khác nhau.
Chứng minh định lý: Qua một phép tịnh tiến và phép biến đổi Unita,
ta có thể giả thiết rằng z0 là điểm gốc và ∂Ω là xác định địa phương bởi
n

aij zi z¯j + o(|z|3 ),

r(z) = Re zn +

(1.12)

i,j=1

với z gần z0 .
Giả sử ∂Ω là không giả lồi Lêvi tại z0 .
Khi đó ma trận
∂ 2 r(z0 )
∂zi ∂z¯j 1 i,j

n−1

có ít nhất một giá trị riêng âm. Do đó, sau một phép biến đổi Unita và một
phép biến đổi hệ toạ độ, ta có thể giả sử rằng
n
2

aij zi z¯j + o(|z|3 ),

r(z) = Re zn − |z1 | +
i,j=2

với z ∈ U , trong đó U là một lân cận của z0 . Bằng cách co rút U , ta có
|z1 |2
+C
r(z) ≤ Rezn −
2

n

|zi |2 ,

với z ∈ U.

(1.13)

i=2

Lấy Λ = {−Rezn > k|z|} (0 < k < 1) là một nón. Theo định lý hàm ẩn,
ta có
−Rezn
lim
= 1.
(1.14)
z→0
d(z)
z∈Λ∩Ω
Do tính chất thuần nhất của metric Kobayashi, chúng ta có thể giả thiết
rằng
X = (X1 , X2 , . . . , Xn−1 , 1) .
Với z = (z , zn ) = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Λ ∩ Ω ∩ U, đặt δ = −Rezn .
Ta định nghĩa Φδ (ζ) = (Φ1δ (ζ), Φ2δ (ζ), . . . , Φnδ (ζ)) bởi
3

δ4
2 X1 ζ +
3
zk + δ24 Xk ζ,

3
zn + δ24 ζ.

Φ1δ = z1 +

2ζ 2 ;

Φkδ =

với 2 ≤ k ≤ n − 1

Φnδ =


12
3

δ4
Khi đó Φδ (0) = z, Φ δ (0) = X.
2
Ta sẽ chứng minh tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho với mọi δ > 0 đủ nhỏ, ta có
Φδ (∆γ ) ⊂ Ω ∩ U.
Thật vậy, bằng cách chọn γ ∈ (0, 1) đủ bé, ta có Φδ (∆γ ) ⊂ U . Theo (1.13)
n

3

δ4
|Φ1δ (ζ)|2
r (Φδ (ζ)) ≤ −δ +

Re ζ −
+C ·
2
2

|Φiδ (ζ)|2 .
i=1

Vì δ > k · |z|, chúng ta thấy rằng khi γ đủ nhỏ, thì
3

|Φ1δ (ζ)|2
3δ δ 4
Re ζ −
.
r (Φδ (ζ)) ≤ − +
4
2
2

(1.15)

1

Với |ζ| < δ 4 , từ (1.15),
3

3δ δ 4 1 |Φ1δ (ζ)|2
r (Φδ (ζ)) ≤ − + δ 4 −
4

2
2
δ |Φ1δ (ζ)|2
< 0.
=− −
4
2
1
Với |ζ| ≥ δ 4 , ta có
3

δ4
|Φ1δ (ζ)| ≥ 2|ζ| − z1 + X1 ζ
2
2

2

4

3

≥ 2|ζ|4 − Cδ 2 .
Từ (1.15) suy ra khi γ đủ nhỏ, thì
3

3

3δ δ 4
Cδ 2

r (Φδ (ζ)) ≤ − +
Re ζ − |ζ|4 +
4
2
2
3

4

≤ − 3δ4 + Cδ2 2 + |ζ|2 − |ζ|4 < 0.
Từ đó suy ra tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho với mọi δ > 0 đủ bé, ta có
Φδ (∆γ ) ⊂ Ω ∩ U.
Từ định nghĩa của metric Kobayashi và theo chứng minh trên ta có,
FΩ∩U (z, X) ≤

C
3

δ4

.

Kết hợp với (1.14) và tính chất giảm độ dài của metric Kobayashi, ta có
FΩ (z, X) ≤

C
3

d 4 (z)

.


13

Điều này mâu thuẫn với (1.10). Do vậy ∂Ω là giả lồi Lêvi tại z0 .
Định lý 1.3.3. [4] Giả sử Ω ⊂⊂ Cn là miền bị chặn trong Cn với biên
trơn gần z0 ∈ ∂Ω. Lấy Λ là nón có đỉnh tại z0 và trục Nz0 . Giả sử z0 là
điểm gốc và hàm xác định địa phương của Ω gần z0 có dạng
m

r(z) = Re zn + o |z | + |zn | . |z| .
Khi đó tồn tại một lân cận V của z0 và một hằng số C > 0 sao cho
FΩ (z, X) ≥ C

|Xn |
1

d1− m (z)

,

(1.16)

với z ∈ Λ ∩ Ω ∩ V và mọi X ∈ Cn .
Hơn nữa, tồn tại C1 > 0 sao cho
FΩ (z, X) ≥ C1

|Xn |
1

d1− 2m (z)

,

(1.17)

với z ∈ Λ ∩ Ω ∩ V và X ∈ Cn mà |X| ≤ K |Xn | (C1 có thể phụ thuộc vào
hằng số K).
Chứng minh
Từ giả thiết, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
Ω ∩ U ⊂ {z ∈ U | Re zn − C(|z |m + |zn | · |z|) < 0} .

(1.18)

Đặt Λ = {− Re zn > k|z|} , k ∈ (0, 1). Với z ∈ Λ ∩ Ω ∩ U và X ∈ Cn (do
tính thuần nhất của metric Kobayashi, ta có thể giả sử rằng |X| ≤ 1),
˜
Φn (ζ) = (Φ1 (ζ), Φ2 (ζ), . . . , Φn (ζ)) : ∆ → Ω ∩ U là một
lấy Φ(ζ) = Φ(ζ),
đĩa giải tích thỏa mãn
Φ(0) = z, Φ (0) = λX,

(1.19)

trong đó λ > 0 là một hằng số để ước lượng. Theo công thức tích phân
Cauchy, ta có
|Φi (ζ) − zi | ≤ C |ζ| , 1 ≤ i ≤ n,

(1.20)

|Φi (ζ) − zi − λXi ζ| ≤ C|ζ|2 , 1 ≤ i ≤ n,

(1.21)

và


14

1
với |ζ| < . Từ (1.18), ta có
2
˜
Φ(ζ)

Re Φn (ζ) < C

m

+ |Φn (ζ)| · |Φ(ζ)| .

(1.22)

Kí hiệu δ = − Re zn . Từ (1.20), (1.21) và do k|z| < δ, ta có
|Φ(ζ)| ≤ C (|z| + |ζ|)
1
1
δ + cδ m
k

≤C
1

(1.23)

1

1

≤ c 2 δ m , với |ζ| < cδ m ,
và
|Φ(ζ)| ≤ C |z| + (λ |X|) |ζ| + |ζ|2
1
1
1
δ + (λ |X|) cδ 2m + c2 δ m
k

≤C
1

1

1

(1.24)
1

≤ c 2 δ m + (λ |X|) δ 2m ,

với |ζ| < cδ 2m

khi c, δ đủ nhỏ.
Từ (1.23), (1.24) và (1.22) ta có
Re Φn (δ) <

1
δ 1
+ |Φn (ζ)| , |ζ| < cδ m ,
2 2

(1.25)

và
1

δ + (λ |X|)m δ 2 1
Re Φn (ζ) <
+ |Φn (ζ)| ,
2
2

1

với |ζ| < cδ m

(1.26)

khi c, δ đủ nhỏ.

Kí hiệu
1

Diδ =

δ + εi (λ |X|)m δ 2 1
ω ∈ C | Reω <
+ |ω| , với i = 1, 2,
2
2

trong đó ε1 = 0, ε2 = 1.
1
1
Đặt g1 (ζ) ≡ Φn cδ m ζ và g2 (ζ) ≡ Φn cδ 2m ζ .
Từ (1.19), (1.25) và (1.26), ta có
1

1

gi (∆) ⊂ Diδ , gi (0) = zn , (i = 1, 2), g1 (0) = λXn cδ m , g 2 (0) = λXn cδ 2m .


15

Rõ ràng
˜ iδ ≡ C\ ω ∈ C | Im ω = 0, Re ω ≥ δ + εi (λ |X|)m δ 21 .
Diδ ⊂ D
˜ iδ .
Suy ra gi (∆) ⊂ D

Vì
FD˜ iδ (zn , 1) ≥

C
1

δ + εi (λ |X|)m δ 2

,

trong đó C > 0 là hằng số độc lập với δ, nên
1

|g i (0)| ≤ C δ + εi (λ |X|)m δ 2 .
Do vậy,
1

λ |Xn | δ m ≤ Cδ,

(1.27)

và
1

1

λ |Xn | δ 2m ≤ C δ + (λ |X|)m δ 2 .

(1.28)

1

Từ (1.27), λ |Xn | ≤ Cδ 1− m . Suy ra (1.16) là đúng. Hơn nữa, khi
|X| < K |Xn |, thì từ (1.28) ta có
1

λ |Xn | ≤ Cδ 1− 2m ,
trong đó C > 0 có thể phụ thuộc vào K.
Do vậy ( 1.17 ) được chứng minh.
Từ hai định lý trên ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1.3.4. [4] Giả sử Ω ⊂⊂ Cn là miền bị chặn với biên trơn gần
z0 ∈ ∂Ω. Gọi Λ là một nón với đỉnh tại z0 và trục Nz0 . Khi đó
z0 là một điểm giả lồi Lêvi nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận V của z0 ,
α > 3/4 và C > 0 sao cho
FΩ (z, ∇r(z0 )) ≥ C

|∇r(z0 )|
, ∀z ∈ Λ ∩ Ω ∩ V.
dα (z)

(1.29)

Chứng minh
Điều kiện đủ có ngay từ Định lý 1.3.1. Ta chứng minh điều kiện cần.
Giả sử z0 là một điểm giả lồi Lêvi, sau một phép biến đổi toạ độ, ta có
thể giả thiết rằng z0 là gốc và ∂Ω là xác định địa phương bởi
n

r(z) = Re zn +
i,j=1

aij zi z¯j + o |z|3

gần z0 .


16

Vì ma trận (aij )1≤i,j≤n−1 là nửa xác định dương nên
n−1

anj zn z¯j ) + ann |zn |2 + o |z|3

r(z) ≥ Re zn + 2 Re(
j=1

= Re zn + o |z |3 + |zn | · |z|
5
Do đó, (1.29) là đúng với α = theo Định lý 1.3.3.
6
Hệ quả 1.3.5. [4] Giả sử Ω ⊂⊂ C2 là một miền bị chặn với biên giả lồi
trơn gần z0 ∈ ∂Ω và lấy Λ là một nón với đỉnh tại z0 và trục Nz0 . Khi đó
với mỗi α ∈ (0, 1), tồn tại một lân cận V của z0 và một hằng số C > 0 sao
cho
FΩ (z, X) ≥ C

| ∂r(z0 ), X |
,
dα (z)

(1.30)

với mọi z ∈ Λ ∩ Ω ∩ V và X ∈ Cn .
Chứng minh
Khi z0 là loại hữu hạn, ta có thể xây dựng một miền giả lồi bị chặn trơn
Ω ⊂ Ω sao cho
∂Ω ∩ ∂Ω ⊃ ∂Ω ∩ U,
với lân cận U nào đó của z0 .
Theo Bổ đề 1.3.2, tồn tại một lân cận V của z0 và một hằng số C > 0 sao
cho
FΩ (z, X) ≥ CFΩ (z, X)
với z ∈ V ∩ Ω , X ∈ Cn .
Theo một kết quả của [1] thì (1.30) là đúng với α = 1
Khi z0 không là loại hữu hạn, thì với mỗi m ∈ N, sau một phép biến đổi
toạ độ, hàm xác định địa phương của Ω gần z0 có dạng
r(z) = Re z2 + o (|z1 |m + |z2 | · |z|) .
Theo Định lý 1.3.3, suy ra (1.30) đúng.


17

Chương 2

Ước lượng metric Kobayashi trên
miền lồi loại hữu hạn trong Cn
Năm 1981, Lempert đã chứng minh được metric Sibony là trùng với metric
Carathéodory và metric Kobayashi trên một miền lồi trong Cn . Trong phần
này, ta tìm ước lượng của metric Sibony, từ đó tìm được ước lượng dưới cho
metric Kobayashi.Trước tiên, ta nhắc lại một số kiến thức sau

2.1.

Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa dưới

Giả sử H là miền trong C. Một C 2 -hàm h xác định trên H được gọi là
điều hòa nếu
∂ 2h
= 0 trên H.
∆h := 4
∂z∂ z¯
+ Hàm u : H → [−∞, +∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền H nếu u
thỏa mãn hai điều kiện sau :
i) u là nửa liên tục trên trong H, tức là tập,tức là tập {z ∈ H; u(z) < s}
là tập mở với số thực s;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của H và mọi hàm
¯ ta có: nếu u ≤ h trên
h : G → R là điều hòa trong G và liên tục trong G
∂G thì u ≤ h trên G.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau :
Để hàm u nửa liên tục trên trong miền H là điều hòa dưới trong H, điều


18

kiện cần và đủ là với mỗi điểm z, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho
2π

1
u(z) ≤
2π

u(z + reit )dt, ∀r < r0 (z).
0

+ Giả sử G là một tập con mở trong C n một hàm ϕ : H → [−∞, +∞) được
gọi là đa điều hòa dưới nếu :
i) ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành
phần liên thông của G;
ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ C n mà a = 0, mỗi ánh xạ τ : C → C n ,τ (z) :
z0 + az,hàm ϕ ◦ τ trên thành phần liên thông của τ −1 (H) bằng −∞ hoặc
là điều hòa dưới.
Trong không gian phức bất kì ta có định nghĩa :
Giả sử X là không gian phức. Môt hàm đa điều hòa dưới trên X là một
hàm ϕ : X → [−∞, +∞) thỏa mãn các tính chất sau :
Với mỗi x ∈ tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạ song
chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của một miền
G ⊂ C m nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ˜ : X → [−∞, +∞) sao cho
ϕ|U = ϕ˜ ◦ h.

2.2.

Metric đa điều hòa dưới

Trước tiên, ta nhắc lại định nghĩa metric Sibony như sau
Định nghĩa 2.2.1. [7] Cho Ω ∈ Cn , là một miền và P ∈ Ω, ta định nghĩa
tập hợp của các hàm AΩ (P ), sao cho u ∈ AΩ (P ) nếu và chỉ nếu
(1) u là một C 2 - hàm quanh P ;
(2) u(P ) = 0;
(3) 0 ≤ u(z) ≤ 1 mọi z ∈ Ω;
(4) log u là đa điều hòa dưới trên Ω.

Metric vi phân Sibony FSΩ tại P theo hướng ξ ∈ Cn được định nghĩa bởi:
n

FSΩ (P, ξ) ≡

sup
u∈AΩ (P )

∂ 2u
(P )ξi ξ¯j
∂z
∂
z
¯
i
j
i,j=1

1/2

.

Ta thấy metric Sibony trùng với metric Poincare trên đĩa đơn vị trong C
và có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình.
Do vậy
FCΩ (P, ξ) ≤ FSΩ (P, ξ) ≤ FKΩ (P, ξ),


19

trong đó FCΩ (P, ξ) là metric Carathéodoly được định nghĩa bởi
n

FCΩ (P, ξ)

= sup |f∗ (P )ξ| =
i=1

∂f (P )
ξi : f ∈ Hol(Ω, ∆), f (P ) = 0
∂zi

Định nghĩa 2.2.2. [7] Gọi Ω ∈ Cn là một miền và P ∈ Ω, ξ ∈ Cn . Ta
định nghĩa một tập các hàm BΩ (P, ξ) bởi điều kiện u ∈ BΩ (P, ξ) nếu và chỉ
nếu
(1) u là một C 2 - hàm quanh P ;
(2) u(P ) = 0;
¯ sao cho
(3) tồn tại một đĩa chỉnh hình f : ∆ → Ω
f (0) = P, f (0) =

ξ
,
FKΩ (P, ξ)

và u thỏa mãn 2 điều kiện
(a) 0 ≤ u ◦ f (z) ≤ 1, với mọi z ∈ ∆;
(b)

u ◦ f (z)

là đa điều hòa dưới trên ∆.
|z|2

Ta định nghĩa metri đa điều hòa dưới FPΩ tại P ∈ Ω theo hướng ξ ∈ Cn
như sau
1/2
n
∂ 2u
Ω
(P )ξi ξ¯j
FP (P, ξ) ≡ sup
∂z
∂
z
¯
i
j
u∈BΩ (P,ξ) i,j=1
Trường hợp Ω là một miền giả lồi trong Cn , metric Sibony luôn nhỏ hơn
hoặc bằng metric đa điều hòa dưới trên miền Ω.
Ta có mệnh đề sau :
Mệnh đề 2.2.3. [7] Nếu Ω ⊂⊂ Cn là một miền lồi giả, P ∈ Ω và ξ ∈ Cn ,
thì
FSΩ (P, ξ) ≤ FPΩ (P, ξ).
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh rằng tập các hàm phù hợp với metric Sibony là
một tập con của các hàm phù hợp cho metric đa điều hòa dưới, tức là
AΩ (P ) ⊂ BΩ (P, ξ).
Nếu u ∈ AΩ (P ), u là một C 2 - hàm quanh P , u(P ) = 0, 0 ≤ u(z) ≤ 1, với
mọi z ∈ Ω và log u là đa điều hòa dưới trên Ω. Ta chỉ ra rằng u thỏa mãn

các điều kiện của Định nghĩa 2.2.2.


20

Vì Ω là giả lồi, ta có thể tìm được một ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → Ω sao
cho
ξ
f (0) = P và f (0) = Ω
.
FK (P, ξ)
Vì 0 ≤ u ≤ 1 trên Ω, ta có
0 ≤ u ◦ f (z) ≤ 1, với mọi z ∈ ∆.
Ta biết rằng logu là đa điều hòa dưới trên Ω, do vậy log u ◦ f − log |z|2 là
điều hòa dưới trên ∆. Vì log |z| là điều hòa, log u ◦ f − log |z|2 là điều hòa
dưới trên ∆.
Suy ra
u ◦ f (z)
|z|2
là đa điều hòa dưới trên ∆
Tiếp theo, ta sẽ chứng tỏ metric FPΩ là bất biến dưới các ánh xạ song
chỉnh hình. Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.2.4. [7] Metric đa điều hòa dưới là bất biến dưới các ánh xạ
song chỉnh hình.
Chứng minh.
Lấy Ω1, Ω2 ⊂ Cn , P ∈ Ω1 và ξ ∈ Cn . Giả sử rằng Φ : Ω1 → Ω2 là một ánh xạ
song chỉnh hình. Ta sẽ chứng minh rằng
u ◦ Φ−1 ∈ BΩ2 (Φ(P ), Φ∗ (P )ξ), với mọi u ∈ BΩ1 (P, ξ),
trong đó BΩ (P, ξ) là tập hợp các hàm mà thỏa mãn các điều kiện của Định
nghĩa 2.2.2.

Vì Φ là ánh xạ song chỉnh hình, u ◦ Φ−1 là một C 2 - hàm quanh Φ(P ) và
u ◦ Φ−1 (Φ(P )) = u(P ) = 0.
Suy ra hai điều kiện đầu tiên được thỏa mãn.
Bây giờ ta giả sử rằng f : ∆ → Ω1 là một đường cong chỉnh hình thỏa mãn
điều kiện của Định nghĩa 2.2.2 cho FPΩ1 (P, ξ). Nếu ta lấy g(z) = Φ ◦ f (z),
thì
g(0) = Φ(f (0)) = Φ(P )
và
g (0) = JacΦ(P )f (0) = JacΦ(P )

ξ
Φ∗ (P )ξ
=
FKΩ1 (P, ξ) FKΩ1 (P, ξ)