Nhận xét BDT A-2009 dễ hay khó?

NGHIÊN CỨU BÀI BẤT ĐẰNG THỨC
TSĐH A-2009
*
Câu V (1,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z
thỏa mãn x(x+y+z)=3yz, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
3
x y x z 3 x y x z y z
5 y z
+ + + + + + +
≤ +
ĐÁP ÁN BỘ GDĐT
 Đặt a=y+z, b=z+x và c=x+y
 Thì a+b+c=2(x+y+z)
 Suy ra
2
a b c
x y z
+ +
+ + =

2
b c a
x
+ −
=
,
2

a c b
y
+ −
=
,
2
a b c
z
+ −
=
 Điều kiện x(x+y+z)=3yz trở thành
2 2 2
a b c bc= + −
(1)

2 2
(1) ( ) 3a b c bc⇔ = + −
 Mà
2
2
b c
bc
+
 
≤
 ÷
 
Nên (1) suy ra:
( ) ( )
2 2

2 2
2
( ) 3
3
( )
4 4
a b c bc
b c b c
b c
= + −
+ +
≥ + − =
 Suy ra
2b c a
+ ≤
(2)
 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
3 3 3
3 5b c abc a+ + ≤
(3)
 (3)⇔
2 2 3
( )( ) 3 5b c b c bc abc a+ + − + ≤
2 3
( ) 3 5b c a abc a⇔ + + ≤
(4)
2
( ) 3 5b c a bc a⇔ + + ≤
 Từ (2) ta có
2

( ) 2b c a a+ ≤
(5)
 Còn
2 2
2
3( ) 3(2 )
3 3
4 4
b c a
bc a
+
≤ ≤ =
(6)
 Từ (5) và (6), cộng vế ta có (4). Bài toán được
chứng minh.
NHẬN XÉT ĐỀ:
 Bài toán sử dụng Bất đẳng thức Côsi
 Dùng 2 bất đẳng thức cùng chiều cộng vế để
suy ra bất đẳng thức kết quả
 Bài toán sử dụng 3 biến x,y,z và một điều kiện
nên gây người giải toán dễ bị rối!
NHẬN XÉT VỀ BƯỚC ĐẦU LỜI GIẢI:
 Việc đặt a=y+z, b=z+x và c=x+y là hợp lý để
đưa bài toán về dạng mới:
“Cho các số dương a,b,c sao cho
2 2 2
a b c bc= + −
. Chứng minh rằng
3 3 3
3 5b c abc a+ + ≤

”.
PHÂN TÍCH LOGIC LỜI GIẢI:
 Từ gt
2 2 2
a b c bc= + −
suy ra
3 3 2
( )b c a b c+ = +
 Điều cần chứng minh trở thành
2 3
( ) 3 5a b c abc a+ + ≤
2
( ) 3 5a b c bc a⇔ + + ≤
(1)
 Rõ ràng ta cần so sánh b+c với a và bc với a
 Từ gt
2 2 2
a b c bc= + −
suy ra:
2 2 2
2a b c bc bc bc bc= + − ≥ − =
(2)
 Từ gt
2 2 2
a b c bc= + −
suy ra
2 2
2 2 2
3( ) ( )
( ) 3 ( )

4 4
b c b c
a b c bc b c
+ +
= + − ≥ + − =
2b c a
⇒ + ≤
(3)
 Từ (2) và (3) suy ra
2 2
( ) 3 .2 3 5a b c bc a a a a⇔ + + ≤ + =
 Vậy (1) được chứng minh.
KINH NGHIỆM RÚT RA:
2
2 2 2
0, 0, 0
.
2
a b c
bc a a a
a b c bc
b c a a a
> > >

≤ =
= + − ⇒

+ ≤ + =

 Bây giờ xem kết quả trên như bổ đề thì bài

toán được giải “khá đơn giản”:
3 3 2 2 2 3
( )( ) ( ) 2b c b c b c bc b c a a+ = + + − = + ≤
2 3
3 3 . 3abc a a a≤ =
3 3 3
3 5b c abc a⇒ + + ≤
MÔT SỐ ÁP DỤNG:
 Cho x>0, y>0 và
2 2
x y xy 1+ − =
Chứng minh
x+y+xy≤3
 Cho x>0,y>0,z>0 và
2 2 2
z x y xy= + −
. Chứng
minh
( )
x y z xy yz zx 3z z 1+ + + + + ≤ +