Một lưu ý quan trọng khi giải PT lượng giác

MỘT VÀI LƯU Ý QUAN TRỌNG – CẦN
THIẾT VÀ LÝ THÚ TRONG VIỆC KIỂM
SOÁT ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
*
Đặt vấn đề:
1) Tại sao mọi góc (cung) lượng giác đều
có số đo dạng
2x k
α π
= +
2) Góc
4x
π
=
có biểu diễn trên đường
tròn lượng giác không ?
3) Tập hợp
4x k
π
=
có biểu diễn trên
đường tròn lượng giác không ?
4) Sự chia tập hợp
2
.x k
m
π
α
= +
thành

các tập con ?
5) Sự chia tập hợp
.
A
x k
m
π
α
= +
thành
các tập con ?
6) Giải thử phương trình
tan tan
3 5
x x
=
1. Xét
x
β
=
thì tồn tại số nguyên k sao
cho
2 ( 1)2k k
π β π
≤ < +
và đặt
2k
α β π
= −
thì

2x k
β α π
= = +
trong đó
0 2
α π
≤ <
. Vậy bất kỳ góc
lượng giác nào cũng có số đo dạng
2x k
α π
= +
với k là số nguyên và
0 2
α π
≤ <
.
2. Xét 1 điểm trên đường tròn lượng
giác, ứng với một cung có số đo
2x k
α π
= +
(k là số nguyên nào đó).
3. Đảo lại một cung (góc) có số đo
2x k
α π
= +
được biểu diễn bởi 1
điểm duy nhất trên đường tròn lượng
giác.

4. Lưu ý: giá trị
4x
π
=
có dạng
0 2(2 )x
π
= +
được biểu diễn bởi 1
điểm trên đường tròn lượng giác. Xét
tập hợp
4x k
π
=
có chứa giá trị
4
π
(khi k=1) nhưng
4x k
π
=
không thể
biểu diễn trên đường tròn lượng giác
vì
2
4
1
2
x k k
π

π
= =
 
 ÷
 
chỉ là “nửa
điểm” của đường tròn lượng giác.
Vậy không phải mọi “công thức
lượng giác” đều biểu diễn bằng
điểm trên đường tròn lượng giác!
5. Khi k thay đổi,
2x k
α π
= +
là một
tập hợp các giá trị (các số đo) của
những góc (cung) lượng giác mà
chúng được biểu diễn trên đường tròn
lượng giác chỉ bởi 1 điểm.
6. Ta biết rằng:

sin( 2 ) sinx k x
π
+ =

cos( 2 ) cosx k x
π
+ =

tan( 2 ) tanx k x

π
+ =

cot( 2 ) cotx k x
π
+ =
Ngoài ra với tan và cot ta còn có:

tan( ) tanx k x
π
+ =

cot( ) cotx k x
π
+ =
7. Xét một góc có số đo
.2x t
α π
= +
(với t là số hữu tỉ) thì
k
t
m
=
(k,m là
số nguyên, m dương)
2
.x k
m
π

α
= +
8. Xét công thức
2
.x k
m
π
α
= +
, ta có
k=r.m+i với i lấy m giá trị 0;1;…
m−1
2 2
( ) ( . ) .2x i r m i i r
m m
π π
α α π
= + + = + +
9. Mỗi x(i) được biểu diễn bởi một điểm
trên đường tròn lượng giác nên
2
.x k
m
π
α
= +
được biểu diễn bởi m
điểm trên đường tròn lượng giác.
10. Nói cách khác tập hợp
2

.x k
m
π
α
= +
gồm m tập hợp
2
( ) .2x i i r
m
π
α π
= + +
hợp lại.
11. Nắm chắc quy tắc trên chúng ta có thể
giải quyết nhiều bài toán tế nhị khi
phải so sánh giá trị ẩn x tìm thấy với
điều kiện ban đầu của x. Sau đây là
một vài ví dụ.
12. Giải
tan5 tan3x x=
HD:
tan5 tan3x x=
3
2
5 3
x k
x x m
π
π
π


≠ +

⇔


= +

6 3
2
x k
x m
π π
π

≠ +


⇔


=


Xét
2
6 3 6 6
k k
π π π π
+ = +

gồm 6 tập hợp giá
trị
2
6
n
π
π
+
,
2
2
n
π
π
+
,
5
2
6
n
π
π
+
,
7
2
6
n
π
π

+
,
3
2
2
n
π
π
+
,
11
2
6
n
π
π
+
Xét
2
x m
π
=
gồm 4 tập giá trị
2n
π
,
2
2
n
π

π
+
,
2n
π π
+
,
3
2
2
n
π
π
+
Vậy ta chỉ nhận
2x n
π
=
và
2x n
π π
= +
hay
hợp chúng lại là
x n
π
=
.
13. Khái quát hơn Xét công thức
.

A
x k
m
π
α
= +
, ta có k=r.m+i với i
lấy m giá trị 0;1;…m−1
( ) ( . ) .
A A
x i r m i i r A
m m
π π
α α π
= + + = + +
14. Tập hợp
.
A
x k
m
π
α
= +
gồm m tập
hợp
( ) .
A
x i i r A
m
π

α π
= + +
hợp lại.
15. Ví dụ sau đây sẽ giúp ta có cách nhìn
rộng hơn về việc kiểm soát điều kiện
của phương trình.
16. Giải
tan tan
5 3
x x
=
HD:
tan tan
5 3
x x
=
3 2
3 5
x
k
x x
m
π
π
π

≠ +


⇔



= +


3
3
2
15
2
x k
x m
π
π
π

≠ +


⇔


=


Chúng ta chọn bội chung của
3
π
và
15

π
là
15
π
để “chia nhỏ” các tập giá trị của điều
kiện và giá trị tìm thấy.
3 3 15
3
2 2 5
k
k
π π π
π
+ = +
gồm 5 tập giá trị là
3
15
2
m
π
π
+
,
9
15
2
m
π
π
+

,
15
15
2
m
π
π
+
21
15
2
m
π
π
+
,
27
15
2
m
π
π
+
15
2
m
π
gồm 2 tập giá trị là
15m
π

và
15
15
2
m
π
π
+
Ta chỉ nhận nghiệm
15x m
π
=
Giải cách khác:
tan tan
5 3
x x
=
Đặt
15
x
t =
ta được
tan5 tan 3t t=
Như bài trước ta giải được
t n
π
=
15
15
x

n x n
π π
⇔ = ⇔ =
Bài tương tự:
1)
tan cot
5
x
x
π
+
 
=
 ÷
 
2)
2
cot cot 0
3
x
x
π
+
 
+ =
 ÷
 
3)
(1 2sin x)(1 sin x)
3

(1 2sin x)cosx
− +
=
+
4)
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x
2(cos4x sin x)
+ +
= +
5)
1 1
2 2(sin cos ) 0
sin cos
x x
x x
+ + + =
6)
.cossin 0
242
222
=−






−
x

xtg
x π
7)
1 1
sin2 sin 2cotg2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
8)
.sinsin
cos
cot xx
tgx
x
gx 2
2
1
1
2
1
2
−+
+
=−