Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 5 - Đỗ Tú Anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.92 MB, 50 trang )
Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục
Đỗ Tú Anh
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
1
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tổ chức
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
4
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
Một tín hiệu liên tục tuần hoàn có thể được biểu diễn bằng chuỗi
Fourier của nó
Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mô tả miền tần số, của
tín hiệu liên tục
5
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ: Dãy xung chữ nhật
Với k = 0
Với k ≠ 0
6
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
Tín hiệu tuần hoàn Å Æ Chuỗi Fourier
Tín hiệu không tuần hoàn Å Æ Biến đổi Fourier
x(t)
Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T1
x(t) là trường hợp giới hạn của dãy
xung chữ nhật khi T → ∞
Đặt ω = kω0
1
khi T → ∞, ω vô cùng nhỏ,
-T1
0
t
T1
phổ của tín hiệu tiến tới một hàm của biến liên tục ω
ak
kω0
ω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
ω0
7
/>
Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ
X ( jkω0 ) = Tak
k, ω0 tùy ý
Đặt xT(t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu
diễn thành
∞
1
xT (t ) = ∑ X ( jkω0 )e jkω0
k =−∞ T
1
=
2π
∞
∑
k =−∞
X ( jkω0 )e jkω0 ω0
Khi T → ∞, xT (t ) → x(t )
x(t ) =
1
2π
∞
∫−∞
X ( jω ) = ∫
∞
−∞
X ( jω )e jωt
x(t )e − jωt dt
8
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn
Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không
x(t)
1
-T1
Biến đổi Fourier là
Nguyên lý bất định
Heisenberg
Khoảng thời gian
tồn tại tín hiệu tỷ lệ
nghịch với băng
thông
0
Chú ý, các giá trị là thực
π
T1
9
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
t
T1
/>
Định nghĩa phép biến đổi Fourier
Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau
thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier ngược
Ký hiệu cặp biến đổi Fourier
Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến
đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier (T = (−∞, ∞))
10
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Điều kiện hội tụ - Biến đổi F
Điều kiện 1.
x(t) khả tích tuyệt đối
Điều kiện 2.
Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t)
có hữu hạn các cực đại và cực tiểu
Điều kiện 3.
Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có
hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá
trị không liên tục là hữu hạn
12
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần
Xét tín hiệu (không tuần hoàn)
Do đó biến đổi Fourier là
13
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị
Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau
Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω
Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn
14
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Miền thời gian và miền tần số
Phân tích Fourier (Chuỗi hoặc Biến đổi) là phương pháp xác định
“bản chất” tần số của một tín hiệu cho trước, có nghĩa là, chuyển
từ miền thời gian sang miền tần số
Luôn có thể chuyển ngược lại từ miền tần số sang miền thời
gian, hoặc bằng cách lấy tổng các thành phần của chuỗi Fourier
hoặc bằng biến đổi Fourier ngược
Cho trước tín hiệu x(t) trong miền thời gian, các hệ số chuỗi Fourier
của nó (ak) hoặc biến đổi Fourier của nó (X(jω)) đgl phổ tần số
Nếu ak hoặc X(jω) là số phức, phổ tần số được quan sát thông
qua các đồ thị biên độ (|ak| hoặc |X(jω)|) và đồ thị pha
15
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
Với mọi t, x(t+T) = x(t)
Tín hiệu tuần hoàn được biểu
diễn bằng chuỗi Fourier
ak tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên
lần tần số cơ bản 1/T
Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier
tồn tại
Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung
trong pbđ Fourier
17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số
Tín hiệu x(t) tương ứng là
là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω0
Tổng quát hơn, xét dãy xung
Tín hiệu x(t) tương ứng là
Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các
xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πak
18
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau:
Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là
∞
sin(kω0T1 )
4π T1
X ( jω ) =
δ (ω ) − 2ω0T1 ∑
δ (ω − kω0 )
T
kω0T1
k =−∞
k ≠0
Đồ thj của X(j ω) theo ω
X ( jω )
4π T1 T
−2ω0 −ω0
0 ω0 2ω0
ω
20
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 2: Dãy xung đều
Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộ
trích mẫu, tổng hợp tiếng nói, …):
x(t)
∞
x(t ) =
∑
δ (t − kT )
k =−∞
…
Do đó biến đổi Fourier của x(t) là
X ( jω ) = ω0
∞
∑ δ (ω − kω0 )
k =−∞
t
với mọi k
X ( jω )
…
ω0
…
−2ω0 −ω0 0 ω0 2ω0
ω
21
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
…
-2T -T 0 T 2T
Các hệ số chuỗi Fourier là:
1 T2
1
− jkω0t
ak = ∫ δ (t )e
dt =
T −T 2
T
1
/>
Một số hàm đặc biệt
Hàm cửa sổ
Hàm tam giác
22
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Một số hàm đặc biệt
sinc( x) =
sin x
x
là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu,
còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy
sinc(x) là hàm chẵn của biến x
sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi x = ±π , ±2π , ±3π ,…
Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1
sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần
theo hàm 1/x
23
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Bảng biến đổi Fourier
24
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Bảng biến đổi Fourier
25
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
