bài giảng tín hiệu và hệ thống cho sinh viên tự động hóa

Ch
Ch
ương 3
ương 3
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
Bài 1 BI
Bài 1 BI
ẾN ĐỔI
ẾN ĐỔI
FOURIER
FOURIER
Bài 2 C
Bài 2 C
ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI
ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI
FOURIER
FOURIER
Bài 3 QUAN H
Bài 3 QUAN H
Ệ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
Ệ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
Bài 4 BI

Bài 4 BI
ỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
ỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
Bài 5 L
Bài 5 L
ẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
ẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU


Ký hiệu:
Ký hiệu:
x(n) X(
x(n) X(
ω
ω
) hay X(
) hay X(
ω
ω
) = F{x(n)}
) = F{x(n)}


X(
X(
ω
ω
) x(n) hay x(n) = F
) x(n) hay x(n) = F
-1

-1
{X(
{X(
ω
ω
)}
)}
BÀI 1 BI
BÀI 1 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
FOURIER
FOURIER
1.
1.
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI
FOURIER:
FOURIER:
→←
F
 →←
−1
F
Trong đó:
Trong đó:

ω
ω
- tần số của tín hiệu rời rạc,
- tần số của tín hiệu rời rạc,
ω
ω
=
=
Ω
Ω
T
T
s
s


Ω
Ω


-
-


tần số của tín hiệu liên tục
tần số của tín hiệu liên tục


T
T

s
s
- chu kỳ lấy mẫu
- chu kỳ lấy mẫu
Bi
Bi
ến đổi Fourier của
ến đổi Fourier của
x(n):
x(n):
∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(


X(
X(
ω
ω
) bi
) bi
ểu diễn dưới dạng modun & argument:

ểu diễn dưới dạng modun & argument:
Nh
Nh
ận thấy X(
ận thấy X(
ω
ω
) tuần hoàn với chu kỳ 2
) tuần hoàn với chu kỳ 2
π
π
, thật vậy:
, thật vậy:
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eXX
=
Trong đó:
Trong đó:
)(
ω
X
- phổ biên độ của x(n)
- phổ biên độ của x(n)
)](arg[)(
ωωϕ
X

=
- phổ pha của x(n)
- phổ pha của x(n)
∑
∞
−∞=
+−
=+
n
nj
enxX
)2(
)()2(
πω
πω
)()(
ω
ω
Xenx
n
nj
==
∑
∞
−∞=
−
Áp dụng kết quả:
Áp dụng kết quả:




≠
=
=
∫
−
0 :0
0:2
k
k
dke
jk
π
π
π
Biểu thức biến đổi F ngược:
Biểu thức biến đổi F ngược:
∫
−
=
π
π
ω
ωω
π
deXnx
nj
)(
2
1

)(


Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
Tìm bi
Tìm bi
ến đổi F
ến đổi F
của c
của c
ác dãy
ác dãy
:
:
1:)()(
1
<=
anuanx
n
Gi
Gi
ải:
ải:
nj
n
n
enuaX

ω
ω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
1
( )
∑
∞
=
−
=
0n
n
j
ae
ω
ω
j
ae
−
−
=
1
1
1:)1()(
2
>−−−=

anuanx
n
nj
n
n
enuaX
ω
ω
−
∞
−∞=
∑
−−−= )1()(
2
( )
∑
−∞
−=
−
−
−=
1
1
n
n
j
ea
ω
( )
∑

∞
=
−
−=
1
1
m
m
j
ea
ω
( )
1
0
1
+−=
∑
∞
=
−
m
m
j
ea
ω
ω
j
ea
1
1

1
1
−
−
−=
ω
j
ae
−
−
=
1
1


∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
∑
∞

−∞=
−
≤
n
nj
enx
ω
)(
∑
∞
−∞=
=
n
nx )(
Vậy, để
Vậy, để
X(
X(
ω
ω
)
)
hội tụ thì điều kiện cần là:
hội tụ thì điều kiện cần là:
∞<
∑
∞
−∞=n
nx )(
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là

Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là
tín hiệu năng lượng,
tín hiệu năng lượng,
thật vậy
thật vậy
:
:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
2
)(






≤
∑
∞
−∞=n
nx
Nếu:

Nếu:
∞<
∑
∞
−∞=n
nx )(
∞<=
∑
∞
−∞=n
x
nxE
2
)(


Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
:
X
X
ét sự tồn tại biến đổi F
ét sự tồn tại biến đổi F
của c
của c
ác dãy
ác dãy
:
:

)()5.0()(
1
nunx
n
=
Gi
Gi
ải:
ải:
∑
∞
−∞=n
nx )(
1
)(2)(
2
nunx
n
=
)()(
3
nunx
=
)()(
4
nrectnx
N
=
∑
∞

−∞=
=
n
n
nu )()5.0(
∑
∞
=
=
0
)5.0(
n
n
2
5.01
1
=
−
=
∑
∞
−∞=n
nx )(
2
∑
∞
−∞=
=
n
n

nu )(2
∞==
∑
∞
=0
2
n
n
∑
∞
−∞=n
nx )(
3
∑
∞
−∞=
=
n
nu )(
∑
∞
−∞=n
nx )(
4
∑
∞
−∞=
=
n
N

nrect )(
∞==
∑
∞
=0
)(
n
nu
∑
−
=
=
1
0
)(
N
n
N
nrect
N=
X
X
2
2
(
(
ω
ω
) không tồn tại
) không tồn tại

X
X
3
3
(
(
ω
ω
) không tồn tại
) không tồn tại


BÀI
BÀI
2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a)
a)
Tuyến tính
Tuyến tính
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
)()()()(
22112211
ωω
XaXanxanxa

F
+→←+
Nếu:
Nếu:
Thì:
Thì:
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
b)
b)
Dịch theo thời gian
Dịch theo thời gian
)()(
ω
Xnx
F
→←
Nếu:
Nếu:
Thì:
Thì:
)()(
0
n-j
0
ω

ω
Xennx
F
→←−


)2();( −nn
δδ
Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
Tìm biến đổi F của d
Tìm biến đổi F của d
ãy
ãy
:
:
Gi
Gi
ải
ải
:
:
1)()()()( ==→←=
∑
∞
−∞=
−
n

nj
F
enXnnx
ω
δωδ
c)
c)
Liên hiệp phức
Liên hiệp phức
)()(
ω
Xnx
F
→←
Nếu:
Nếu:
)(*)(*
ω
−→←
Xnx
F
Th
Th
ì
ì
:
:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
ωω

ωδ
22
1)()2()2(
jj
F
eXenxn
−−
=→←−=−


d)
d)
Đảo biến số
Đảo biến số
)()(
ω
Xnx
F
→←
)()(
ω
−→←− Xnx
F
Giải:
Giải:


N
N
ếu:

ếu:
Th
Th
ì:
ì:
Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
:
T
T
ì
ì
m bi
m bi
ến đổi F của dãy:
ến đổi F của dãy:
)(2)( nuny
n
−=
)(
2
1
)( nunx
n







=
( )
)(2)()( nunxny
n
−=−=
Theo v
Theo v
í dụ 1 Bài 1, có kết quả:
í dụ 1 Bài 1, có kết quả:
suy ra:
suy ra:
ω
ω
j
F
e
X
−
−
=→←
)2/1(1
1
)(
ω
ω
j
F
e
X

)2/1(1
1
)(
−
=−→←


e)
e)
Vi phân trong miền tần số
Vi phân trong miền tần số
1);()(
<=
anunang
n
1a;
1
1
)()()(
<
−
=→←=
−
ω
ω
j
F
n
ae
Xnuanx

)()(
ω
Xnx
F
→←
)(
ω
ω
d
)dX(
jnxn
F
→←
)()( nnxng
=
( )
1;
1
)(
)(
2
<
−
==→←
−
−
a
ae
ae
d

dX
jG
j
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
Giải:
Giải:


Theo v
Theo v
í dụ 1 Bài 1:
í dụ 1 Bài 1:
N
N
ếu:
ếu:
Ví dụ 3
Ví dụ 3
:
:
T
T
ìm
ìm

biến đổi F của:
biến đổi F của:
Suy ra:
Suy ra:
Th
Th
ì:
ì:


f)
f)
Dịch theo tần số
Dịch theo tần số
1);()cos()(
0
<= anunany
n
ω
1a;
1
1
)()()(
<
−
=→←=
−
ω
ω
j

F
n
ae
Xnuanx
)()(
ω
Xnx
F
→←
)-()(
0
0
ωω
ω
Xnxe
F
nj
→←
Giải:
Giải:


Theo v
Theo v
í dụ 1 Bài 1:
í dụ 1 Bài 1:
N
N
ếu:
ếu:

Ví dụ 4
Ví dụ 4
:
:
T
T
ìm
ìm
biến đổi F của:
biến đổi F của:
Th
Th
ì:
ì:
)cos()()(
0
nnuany
n
ω
=
[ ]
njnj
n
eenua
00
2
1
)(
ωω
−

+=
[ ]
njnj
eenx
00
)(
2
1
ωω
−
+=


g)
g)
Tích 2 dãy
Tích 2 dãy
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
∫
−
−→←
π
π
ωωωω
π

')'()'(
2
1
)(.)(
2121
dXXnxnx
F
Thì:
Thì:
Nếu:
Nếu:
[ ]
)()(
2
1
)(
00
ωωωωω
++−=
XXY






−
+
−
=

+−−−
)1(
1
)1(
1
2
1
)(
)()(
00
ωωωω
ω
jj
aeae
Y
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
∫
−
−=
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2

1
12
dXX
→←
F


g)
g)
Tích chập 2 dãy
Tích chập 2 dãy
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
)()()(*)(
2121
ωω
XXnxnx
F
→←
Thì:
Thì:
Nếu:
Nếu:
)()(
22
ω

Xnx
F
→←
Ví dụ 5
Ví dụ 5
:
:
T
T
ìm
ìm
y(n)=x(n)*h(n), bi
y(n)=x(n)*h(n), bi
ết:
ết:
x(n)=h(n)=
x(n)=h(n)=
δ
δ
(n+2)+
(n+2)+
δ
δ
(n-2)
(n-2)
Giải:
Giải:
ωω
ωω
22

)()(
jj
eeHX
−
+==
Theo ví dụ 1, có kết quả:
Theo ví dụ 1, có kết quả:
222
)( )()()(
ωω
ωωω
jj
eeHXY
−
+==
ωω
44
2
jj
ee
−
++=
)]([)(*)()(
1
ω
YFnhnxny
−
==
)4()(2)4()(
−+++=

nnnny
δδδ


- gọi là phổ mật độ năng lượng
- gọi là phổ mật độ năng lượng
g)
g)
Quan hệ Parseval
Quan hệ Parseval
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
ωωω
π
π
π
dXXnxnx
n
∫
∑
−
∞
−∞=
= )()(
2
1

)()(
*
21
*
21
Thì:
Thì:
Nếu:
Nếu:
)()(
22
ω
Xnx
F
→←
(*)
Biểu thức (*) còn gọi là
Biểu thức (*) còn gọi là
quan hệ Parseval
quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nhận xét:
Nếu:
Nếu:
)()()(
21
nxnxnx
==
Theo quan hệ Parseval, ta có:
Theo quan hệ Parseval, ta có:

ωω
π
π
π
dXnx
n
∫
∑
−
∞
−∞=
=
22
)(
2
1
)(
Với:
Với:
2
)()(
ωω
XS
xx
=


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
x(n)

x(n)
X(
X(
ω
ω
)
)
a
a
1
1
x
x
1
1
(n)+a
(n)+a
2
2
x
x
2
2
(n)
(n)
a
a
1
1
X

X
1
1
(
(
ω
ω
)+a
)+a
2
2
X
X
2
2
(
(
ω
ω
)
)
x(n-n
x(n-n
0
0
)
)
e
e
-j

-j
ω
ω
n
n
0
0


X(
X(
ω
ω
)
)
e
e
j
j
ω
ω
0
0
n
n
x(n)
x(n)
X(
X(
ω

ω
-
-
ω
ω
0
0
)
)
nx(n)
nx(n)
jdX(
jdX(
ω
ω
)/d
)/d
ω
ω
x(-n)
x(-n)
X(-
X(-
ω
ω
)
)
x*(n)
x*(n)
X*(-

X*(-
ω
ω
)
)
x
x
1
1
(n)x
(n)x
2
2
(n)
(n)
x
x
1
1
(n)*x
(n)*x
2
2
(n)
(n)
X
X
1
1
(

(
ω
ω
)X
)X
2
2
(
(
ω
ω
)
)
( )
''
2
'
1
)(
2
1
ωωωω
π
dXX
j
C
−
∫
ωωω
π

π
π
dXXnxnx
n
∫
∑
−
∞
−∞=
= )()(
2
1
)()(
*
21
*
21


BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số
ω
∑
∞
−∞=
ω−
=ω→←

n
nj
F
e)n(x)(X)n(x
∑
∞
−∞=
−
=→←
n
n
Z
znxzXnx )()()(
ω
ω
j
ez
zXX
=
=
)()(
/
z
/
=
1
Re(z)
ROC X(z)
ROC X(z)
Im(z)

/z/=1
ω
•
Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
⇒X(ω)=X(z) với z=e
jω
•
Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
⇒X(ω) không hội tụ


Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
T
T
ì
ì
m
m
biến đổi Z & F
biến đổi Z & F
của c
của c
ác dãy
ác dãy
:
:
Gi

Gi
ải:
ải:
)(2)(
2
nunx
n
=
5.0;
5.01
1
)(
1
1
>
−
=
−
z
z
zX
)()5.0()(
1
nunx
n
=
Do ROC
Do ROC
[X
[X

1
1
(z)] có chứa /z/=1, nên:
(z)] có chứa /z/=1, nên:
ω
ω
ω
j
ez
e
zXX
j
−
=
−
==
5.01
1
)()(
11
2;
21
1
)(
1
2
>
−
=
−

z
z
zX
Do ROC
Do ROC
[X
[X
2
2
(z)] không chứa /z/=1, nên X
(z)] không chứa /z/=1, nên X
2
2
(
(
ω
ω
) không tồn tại
) không tồn tại


BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
TRONG MIỀN TẦN SỐ
1. Định nghĩa đáp ứng tần số
1. Định nghĩa đáp ứng tần số
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền ω: H(ω)X(ω) Y(ω)=X(ω)H(ω)
F

h(n)
F
H(ω)=Y(ω)/X(ω): gọi là đáp ứng tần số hệ thống
)(j
e)(H)(H
ωφ
ω=ω
Nếu H(ω) biểu diễn dạng môdun và pha:
)(
ω
H
)(
ωφ
- Đáp ứng biên độ
- Đáp ứng pha


Ví dụ: 1
Ví dụ: 1
:
:
Tìm H(
Tìm H(
ω
ω
), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
Giải
Giải
:

:
Biến đổi Fourier của
Biến đổi Fourier của
h(n)
h(n)
:
:
h(n)=rect
h(n)=rect
3
3
(n)
(n)
nj
n
enrectH
ω
ω
−
∞
−∞=
∑
=
)()(
3
ω
ω
ω
j
j

n
nj
e
e
e
−
−
=
−
−
−
==
∑
1
1
3
2
0
)(
)(
2/2/2/
2/32/32/3
ωωω
ωωω
jjj
jjj
eee
eee
−−
−−

−
−
=
ω
ω
ω
j
e
−
=
)2/sin(
)2/3sin(
)2/sin(
)2/3sin(
)(
ω
ω
ω
=
A
)2/sin(
)2/3sin(
)(
ω
ω
ω
=H




<ωπ+ω−
>ωω−
=ωφ
0
0
)(A:
)(A:
)(
Với
Với


-π -2π/3 0 2π/3 π
ω
π/2
argH(ω)
-π/2
-π -2π/3 0 2π/3 π
ω
1
/H(ω)/


2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp

Miền ω :
h
2

(n)
x(n)
y(n)
h
1
(n)
x(n)
y(n)
h(n)=h
1
(n)*h
2
(n)
≡

Miền n:
H
2
(ω)
X(ω)
Y(ω)
H
1
(ω)
X(ω)
Y(ω)
H(ω)=H
1
(ω)H
2

(ω)
≡
Theo tính chất tích chập: h
1
(n)*h
2
(n)
F
H
1
(ω)H
2
(ω)


b. Ghép song song

Miền ω:
≡
h
2
(n)
x(n)
y(n)
h
1
(n)
+
x(n)
y(n)

h
1
(n)+h
2
(n)

Miền n:
≡
H
2
(ω)
X(ω)
Y(ω)
H
1
(ω)
+
X(ω)
Y(ω)
H
1
(ω)+H
2
(ω)


3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
)()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny
m

−===
∑
∞
−∞=
)(
)()(
mnj
m
Aemhny
−
∞
−∞=
∑
=
ω
)(H)n(xe)m(hAe
mj
m
nj
ω
ωω
==
−
∞
−∞=
∑
Ví dụ: 2
Ví dụ: 2
:
:

Tìm y(n) biết:
Tìm y(n) biết:
nj
enx
3
2
π
=
)(
)()( nunh
n






=
2
1
3
2
1
1
1
2)()()(
3
π
ω
ω

ω
π
=












−
==
− j
nj
e
eHnxny
3
3
2
1
1
2
π
π
j

nj
e
e
−
−
=
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức:
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức:


x(n)=Ae
x(n)=Ae
j
j
ω
ω
n
n


4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin
4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin
( )
njnj
ee
A
)ncos(A)n(x
00
2
0

ω−ω
+=ω=
[ ]
n
jnj
e)(He)(H
A
)(H)n(x)n(y
00
000
2
ω−ω
ω−+ω=ω=
[ ]
{ }
njnjnj
e)(HRe.Ae)(*He)(H
A
)n(y
000
000
2
ωω−ω
ω=ω+ω=
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
)(j
e)(H)(H

ωφ
ω=ω


{ }
[ ]
)(ncos)(HAe)(HRe.A)n(y
nj
0000
0
ωφ+ωω=ω=
ω
( )
njnj
ee
j
A
)nsin(A)n(x
00
2
0
ω−ω
−=ω=
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Ta cũng được kết quả:
Ta cũng được kết quả:
{ }
[ ]
)(nsin)(HAe)(HIm.A)n(y

nj
0000
0
ωφ+ωω=ω=
ω