Giáo trình giải tích 2 (Chương 1: Hàm số nhiều biến số) - Nguyễn Thị Minh Ngọc

Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

CHƯƠNG 1.

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Đồthịcủacáchàmhaibiếnsốlànhữngmặtcongvàmặtphẳng,kểcảnhữnghìnhdạng
nhưhẻmnúi.TạivòmPhippsởphíaBắcUtah,bạncóthểtìmđượcmộtđiểmmàtạiđólàvì
tríthấpnhấtnếunhìntheomộthướngvàcaonhấtnếu
nhìntheohướngkhác. Ở họcphầntrướcchúngta đã
nóiđếncáchàmmộtbiếnsố.Nhưngtrongthựctế,các
đạilượngvậtlýthườngphụthuộcvàohaihoặcnhiều
biến số, vì vậy trong chương này chúng ta quan tâm
đếncáchàmnhiềubiếnvàđưaranhữnglýthuyếtcơ
Vòm Phipps

bảnvềhàmnhiềubiếntronggiảitích.

1.1. Hàm nhiều biến
Trongphầnnàychúngtanghiêncứuhàm2haynhiềubiếntừ4cáchtiếpcậnsau:
- Bằnglờinói(hàmsốđượcdiễnđạtbằngtừngữ)
- Bằngsốliệu(hàmsốđượcchobởimộtbảnggiátrị)
- Bằngđạisố(hàmsốchobởimộtcôngthứcxácđịnh)
- Bằngmắt(hàmsốchobởimộtđồthịhoặccácđườngmức).
1.1.1. Hàm hai biến
Nhiệtđộcủamộtđiểmtrênbềmặtcủatráiđấttạibấtkỳthờigiannàophụthuộcvào
kinhđộxvàvĩđộycủađiểmđó.Chúngtacóxemđólàhàmcủahaibiếnxvày,hoặcnhưlà
hàmcủamộtcặp(x,y).ChúngtabiểuthịsựphụthuộcnàybằngcáchviếtT=f(x,y).
Thể tích V của hình trụ tròn phụ thuộc vào bán kính r và chiều cao h của nó, vì

=

ℎ.ChúngtanóirằngVlàhàmcủarvàh,vàviết ( , ℎ) =

ℎ.

Định nghĩa:Mộthàm hai biến f (function f of two variables)làmộtquyluậtgánmỗi
cặpsốthực(x,y)thuộctậpDvớiduynhấtmộtsốthựcđượcxácđịnhbởif(x,y).Khi
đótậpDlàmiền xác định (domain)củahàmfvàmiền giá trị(range)củanólàtập
cácgiátrịcủaftứclà{ ( , )|( , ) ∈ }.
Tathườngviết =

( , )đểchỉrõgiátrịđượcxácđịnhbởif tạiđiểm(x,y).Biếnxvà

ylàcácbiến độc lập(independent variables)vàzlàbiếnphụthuộc.(Sosánhđiềunàyvới
kýhiệu =

( )củahàmmộtbiến).
Một hàmhaibiếnlàmột hàmsốmàmiềnxácđịnhcủa
nólàtậpconcủaℝ vàmiềngiátrịcủanólàtậpconcủaℝ.Có
thể hình dung một hàm số bằng sơ đồ mũi tên như hình 1,
trongđómiềnxácđịnhDcủahàmsốđượcthểhiệnnhưmột
tậpconcủamặtphẳngtọađộOxyvàmiềngiátrịlàmộttập
cácsốtrêntrụcsốthựcvàđượcchỉranhưtrụcOz.Vídụnếu

1


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

( , )biểuthịnhiệtđộcủamộtđiểm(x,y)trênmộtchiếcđĩakimloạibằngphẳngcóhình
dạngD,tacóthểhiểutrụcOznhưmộtcáinhiệtkếbiểuthịcácgiátrịnhiệtđộnhậnđược.
Nếumộthàmsốfđượcchobởimộtcôngthứcvàmiềnxácđịnhchưađượcchỉrõthì
khiđómiềnxácđịnhDcủahàmfđượchiểulàtậphợptấtcảcáccặp(x,y)saochogiátrịcủa
biểuthứcnhậnđượclàmộtsốthựcxácđịnh.
Ví dụ 1:Vớimỗihàmsốsau,tínhgiátrị (3,2),tìmvàmôtảmiềnxácđịnhcủanó.
(a) ( , ) =
Lời giải: a) (3, 2) =

√


=

(b) ( , ) =



(

− )

√

Biểuthứccủafxácđịnhnếumẫusốkhác0vàbiểuthức
dướidấucănbậc2khôngâm.DođómiềnxácđịnhDcủaflà:
= {( , )| + + 1 ≥ 0, ≠ 1}
Bấtphươngtrình +

+ 1 ≥ 0hay ≥ − − 1biểudiễn

tất cả các điểm thuộc đường thẳng và nằm phía trên đường
thẳng = − − 1 với điều kiện ≠ 1 nghĩa là các điểm thuộc
đườngthẳng = 1bịloạibỏkhỏimiềnxácđịnhnhưhình2.
b) (3,2) = 3 ln(2 − 3) = 3 1 = 0
Vì

(

− ) xác định khi

−

> 0 hay

miền xác định của hàm f là = {( , )| <

<

,

}. Đây là

tậphợpcácđiểmnằmởphíabêntráicủaparabol =



(xemhình3).

Không phải tất cả các hàm số đều được biểu diễn
bởi một công thức rõ ràng. Hàm số trong ví dụ sau đây
đượcdiễnđạtbằnglờivàbằngsốliệucácgiátrịcủanó.
Ví dụ 2: Ởnhữngvùngcóthờitiếtmùađôngkhắcnghiệt,chỉsốgiólạnh(wind-chillindex)
thườngđượcsửdụngđểmôtảmứcđộnghiêmtrọngcủacáilạnh.ChỉsốWnàylànhiệtđộ
cảm nhận phụ thuộc
vào nhiệt độ thực tế T
và tốc độ gió v. Vì vậy,
WlàhàmcủaTvàvvà
chúng ta có thể viết
=

( , ). Bảng 1

ghi giá trị của W được
biên soạn bởi Dịch vụ
Thời tiết Quốc gia của
Hoa

Kỳ

(National

Weather Service) và

2


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

DịchvụKhítượngcủaCanada.
Vídụ,bảngchothấynếunhiệtđộlà-5oCvàtốcđộgiólà50km/h,thìsẽcảmthấylạnh
nhưnhiệtđộkhoảng-15oCkhikhôngcógió.Vìvậy (−5, 50) = −15.
(Chỉ số Gió – Lạnh:Một chỉ số Gió – Lạnh mới được giới thiệu vào tháng 11 năm 2001
và chính xác hơn chỉ số cũ dùng để đo độ lạnh khi có gió, chỉ số mới phụ thuộc vào sự mất
nhiệt nhanh như thế nào trên khuôn mặt của một người. Nó được phát triển thông qua những
thử nghiệm đơn giản mà ở đó những người tình nguyện được đặt vào trong những nhiệt độ
và tốc độ gió khác nhau trong một phòng lạnh).
Ví dụ 3: Năm 1928 Charles Cobb và Paul Douglas đã công bố
một công trình nghiên cứu của họ về việc đưa ra công thức
chuẩnmẫucủasựtăngtrưởngnềnkinhtếMỹgiaiđoạn18991922.Họđãxemxétmộtphươngdiệncơbảncủanềnkinhtế
đólàlượngsảnphẩmsảnxuất ra đượcquyết địnhbởi nguồn
laođộngphứctạpvànguồnvốn.Trongkhicórấtnhiềunhững
nhântốkhácảnhhưởngđếnnềnkinhtế.Côngthứchọđưara
đã đượcchứngminhlàhoàn toànchínhxác.Họđã dùnghàm
sốcódạngnhưsauđểchỉralượngsảnphẩm
1 ( , ) =



TrongđóPlàtổngsảnphẩm(tổnggiátrịtiềntệcủatất
cảcáchànghóađượcsảnxuấttrongmộtnăm).Llàlượnglao
động(tổngsốnhâncônglàmviệctrongmộtnăm)vàKlàlượng
vốn(tổnggiátrịtiềntệcủamáymóc,thiếtbịvànhàcửa).
CobbvàDouglasđãsửdụngdữliệukinhtếđượccông
bố bởi chính phủ để lập bảng 2. Họ đã lấy số liệu năm 1899
nhưlàmộtmốcvàcácgiátrịP,L,Kcủanăm1899đềuđượcgán
ứngvớigiátrị100.Cácgiátrịcủacácnămkhácđượcbiểudiễn

nhưlàphầntrămcủacácgiátrịcủanăm1899.CobbvàDouglasđãdùngphươngphápbình
phươngtốithiểuđểxấpxỉquanhệgiữacácsốliệucủabảng2bởimộthàmsốsau:
2 ( , ) = 1.01

.

.



Nếutasửdụngcôngthứcđượcđưarabởihàmsốởphươngtrình(2)đểtínhtổng
sảnphẩmtrongnăm1910và1920thìtađượcgiátrị
(147,208) = 1.01(147)

.

(194,407) = 1.01(194)

.

(208)

.

≈ 161.9

(407)

.

≈ 235.8

Cácgiátrịnàychênhlệchmộtítsovớigiátrịthựctếlà159và231.
Hàmtínhtổngsảnphẩmnàyđãđượcsửdụngtrongnhiềutạiliệu,nhiềulĩnhvựctừ
cáccôngtynhỏlẻchotớikinhtếtoàncầu.Hàmsốnàyđượcbiếtđếnnhưlàhàm tổng sản

3


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

phẩm Cobb – Douglas (Cobb – Douglas production function). Miền xác định của nó là
{( , )| ≥ 0, ≥ 0}bởivìL,Kbiểudiễnchosốlaođộngvàsốvốnnênluônkhôngâm.█
Ví dụ 4: Tìmmiềnxácđịnhvàmiềngiátrịcủag( , ) =

9−

Lời giải: Miềnxácđịnhcủaglà


= {( , )|9 − −

−

.

≥ 0} = {( , )|

+

≤ 9}

đólàđĩatròntâm(0,0)bánkínhbằng3.(XemHình4.)
Miềngiátrịcủaglà
Bởivì9 −

| =

−

9−

−

≤ 9nên 9 −

Dođómiềngiátrịcủaglà{ |0 ≤

,( , ) ∈
−



≤ 3.

≤ 3} = [0, 3].

1.1.2. Đồ thị

Mộtcáchkhácđểhìnhdungđặctrưngcủahaibiếnlàxemxétđồthịcủanó.
Định nghĩa: NếuflàhàmhaibiếncómiềnxácđịnhlàDthìđồ thị(graph)củanólà
tậptấtcảcácđiểm(x,y,z)R3saochoz=f(x,y)và(x,y)D.
Như vậy, đồ thị của hàm một biến là đường cong với phương
trìnhy=f(x)thìđồthịcủahàmhaibiếnlàmặtcongvớiphươngtrình
z=f(x,y).
Chúngtacóthểhìnhdungrằnghìnhchiếulênmặtphẳngxycủa
đồthịScủahàmfchínhlàmiềnD(Hình5).
Ví dụ 5: Pháchọađồthịhàmf(x,y)=6–3x–2y.
Lời giải: Đồthịcủafcóphươngtrìnhz=6–3x–2yhay3x+2y+z=6,đólàmặtphẳng.Để
vẽmặtphẳng,tatìmcácgiaođiểm.Choy=z=0,tanhậnđượcx=2là
giao vớitrụcOx.Tươngtự, giaovới Oytại y = 3và giao với Oztại z
bằng6. Điều này giúpchúng ta phác họa phần của đồ thịnằm trong
phầntámđầutiêncủakhônggian(firstoctant)nhưtrongHình6.
HàmtrongVídụ5làtrườnghợpđặcbiệtcủahàm
f(x,y)=ax+by+c,
nóđượcgọilàhàm tuyến tính(linear function).Đồthịcủacáchàmcóphươngtrình








z=ax+by+chayax+by–z+c=0

làcácmặtphẳng.Tươngtựnhưhàmtuyếntínhmộtbiến,hàmtuyếntínhhaibiếnđóngvai
tròrấtquantrọngtrongcácphéptoánviphânvàtíchphân.
Ví dụ 6: Pháchọađồthịcủahàmg( , ) =

Lời giải: Đồ thị có phương trình =
= 9−

−

hay

+

+

9−
9−

−
−

.
. Bình phương hai vế ta nhận được

= 9, đó chính là phương trình của mặt cầu tâm tại gốc

4


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

tọađộvàbánkínhbằng3.Nhưngvìz0nênđồthịcủahàmgchỉlà

nửaphíatrêncủamặtcầu.
Chú ý: Toànbộmặtcầukhôngthểbiểuthịbởimộthàmhaibiếnxvày.
NhưtrongVídụ6,báncầu(hemisphere)trênđượcbiểuthịbởiphương
trình ( , ) =
phươngtrìnhℎ( , ) = − 9 −

−

9−

−

, còn bán cầu dưới được biểu thị bởi

.

Ví dụ 7: SửdụngmáytínhđểvẽđồthịcủahàmCobb-Douglas ( , ) = 1.01

.

.



Lời giải: Hình8biểuthịđồthịcủaPtheocácgiátrịcủanhân
công L và vốn Ktrong phạm vi từ 0 đến 300. Máy tính đã vẽ
mặt congbằngcáchvẽra cácvếtdọc. Chúngta thấyrằnggiá
trị của hàm P tăng theo cả hai sự tăng của L và K, như là dự
đoán.TrongMATLAB,chúngtasửdụngcáccâulệnhsau:
x=0:10:300;y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=1.01.*X.^0.75.*Y.^0.25;
surf(X,Y,Z)
Ví dụ 8: Tìmmiềnxácđịnh,miềngiátrịvàvẽđồthịhàmsốℎ( , ) = 4
Lời giải:

+

.

MiềnxácđịnhcủahlàtoànbộmặtphẳngR2.Miềngiátrịlà[0,

+). Đồ thị của nó có phương trình = 4

+

, đây chính là một

paraboloidelliptic.Cácvếtcắtnganglàcácellipse,cácvếtcắtdọclàcác
parabola(Hình9).


Cácchươngtrìnhmáytínhchophépvẽđồthịcủahàmhaibiến.

Tronghầuhếtcácchươngtrìnhnhưvậy,cácvếtdọctrongcácmặtphẳng
x=kvày=kđượcvẽvớicácgiátrịcáchđềunhaucủakvàmộtphầncủa
đồthịđượcloạibỏbằngcáchsửdụngloạibỏdòngẩn.


Hình10biểuthịcácđồthịcủamộtsốhàmđượcvẽbởimáytính.Chúýrằngchúng

tacóthểnhậnđượcnhữnghìnhảnhtốthơnkhichúngtasửdụngviệcquayhìnhvàchọn
điểmquansátthíchhợp.


Trongcáchình(a)và(b),đồthịrấtphẳngvàbámsátvàomặtphẳngxy,ngoạitrừ

gầnlâncậncủagốctọađộ,bởivì

làrấtnhỏkhixhoặcylàđủlớn.








5


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

1.1.3. Đường mức
Từtrướctớigiờtacóhaiphươngphápđểminhhọachohàmsốlàsơđồmũitênvà
đồthị.Cómộtphươngphápthứbađólàdùngbảnđồchutuyến,trênbảnđồchutuyếnthì
tậphợpcácđiểmcócùngmộtcaođộxácđịnhsẽnằmtrênmộtđườngchutuyếnhaycòngọi
làmộtđườngmức.

Định nghĩa:Cácđường mức(level curves)củamộthàmsốhaibiếnflàcácđường
congcóphươngtrình ( , ) = trongđó k là một hằngsố (kthuộcmiềngiá trị
củahàmsốf).
Mỗi đường mức f(x,
y) = k là tập tất cả các
điểm trên miền xác định
của fmàtại đófnhận giá
trị k. Nói khác đi, nó biểu
thị những chỗ mà đồ thị
củafcóchiềucaolàk.
Từ Hình 11, chúng ta
có thể thấy mối quan hệ
giữa đường mức và các
6


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

vếtngang.
Đường mức f(x,
y) = k như là giao
tuyến của đồ thị
củafvớimặtphẳng
ngang z = k được
chiếu xuống mặt
phẳngxy.
Một ví dụ
quen thuộc của

đường

mức

là

chúng xuất hiện
trong bản đồ địa
hìnhcủamộtkhuvựcmiềnnúi,nhưbảnđồtrongHình12.Đườngmứclàmứcđộcaosovới
mặtnướcbiển.Nếubạnđibộdọctheomộttrongnhữngđườngcong,bạnkhônglêncũng
khôngxuống.
Một ví dụ quen thuộc nữa là hàm nhiệt độ được giới thiệu trong đoạn mở đầu của
phầnnày.Ởđâycácđườngcongđộđượcgọilàđẳng nhiệt(isothermals)vàchúngkếtnối
cácmiềncócùngmộtnhiệtđộ.Hình13làmộtbảnđồthờitiếtcủathếgiớichothấynhiệtđộ
trung bình trong tháng Giêng (đơn vị độ C). Các đường đẳng nhiệt là những đường cong
phâncáchcácdảimàu.
Ví dụ 9: Hình 14 biểu thị bản đồ đường mức của hàm f. Sử
dụngnóđểướclượngcácgiátrịf(1,3)vàf(4,5).
Lời giải:Điểm(1,3)thuộcphầngiữahaiđườngmứcvớicác
giátrị70và80,vìvậytaướclượngf(1,3)73.Tươngtựf(4,
5)56.
Ví dụ 10: Pháchọađườngmứccủahàmf(x,y)=6–3x–2yvới
cácgiátrịk=-6,0,6,12.
Lời giải: Cácđườngmứclà6–3x–2y=khay3x+2y+(k–6)=
0
Đâylàhọcácđườngthẳngvới độ dốc− . Bốnđường
mứcriêngứngvớik=-6,0,6và12là3x+2y–12=0,3x+2y
–6=0,3x+2y=0và3x+2y+6=0.
ChúngđượcpháchọatrênHình15.Cácđườngmứclà
songsongvàcáchđềunhaubởiđồthịcủaflàmặtphẳng.

Ví dụ 11: Phácthảocácđườngmứccủahàm ( , ) =
7

9−

−

vớik=0,1,2,3.


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Lời giải: Đườngmứclà 9 −

−

=

hay

+

= 9−

.

Đây là họ các đường tròn đồng tâm với tâm (0, 0) bán kính
√9 −

.
Các trường hợp k = 0, 1, 2, 3 được biểu thị trên Hình 16.

Hãy thử hình dung những đường cong này được nâng lên tạo
thànhmộtmặtcongvàsosánhvớiđồthịcủamộtbáncầutrong
Hình7.
Ví dụ 12: Phácthảocácđườngmứccủahàm ( , ) = 4

+

Lời
4

+ 1.
giải:

+

+1 =

Đường
hay

(

mức

là

+

=

)

1, ở đây với k > 1, biểu thị một họ
các ellipse với các bán trục
(semiaxes)là √ − 1và√ − 1.
Hình 17(a) cho thấy một bản
đồđồngmứccủahđượcvẽbởimáy
tính. Hình 17(b) cho thấy những
đườngmứcđượcnângtớiđồthịcủa
h(mộtparaboloidelliptic),ởđóchúngtrởthànhcácvếtngang.
Ví dụ 13: VẽđườngmứccủahàmCobb-DouglastrongVídụ3.
Lời giải: TrongHình18,cácđườngđồngmứccủahàmCobb-DouglasP(L,K)=1.01L0.75K0.25
đượcvẽbởimáytính.
CácđườngmứcđượcgánnhãntheocácgiátrịcủasảnphẩmP.Vídụ,đườngmứccó
nhãn140biểuthịtấtcảcácgiá trịcủa nhâncôngL và đầutưKđể cósảnphẩmP=140.
Chúngtathấyrằng,đốivớimộtgiátrịcốđịnhcủaP,thìLtăngK
Hình 18

giảm,vàngượclại.
Tùytheomụcđích,mộtbảnđồđồngmứchữuíchhơnmột
đồthị.ĐólàchắcchắnđúngtrongVídụ13.(SosánhHình18với
Hình 8.) Nó cũng đúng trong việc ước tính giá trị của hàm, như
trongVídụ9.
Hình19chothấymộtsốđườngmứcđượcmáytínhtạora
cùngvớicácđồthịtươngứng.Chúýrằngcácđườngmứctrong
phần (c) tụ lại với nhau gần nguồn gốc tọa độ. Tương ứng với

thựctếlàcácđồthịtrongphần(d)làrấtdốckhiởgầngốctọađộ.

8


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3


















1.1.4. Hàm ba hoặc nhiều biến
Mộthàm ba biến(function of three variables)f,làquyluậtgánmỗibộbacóthứtự(x,
y,z)trênmiềnDR3vớiduynhấtmộtgiátrịthực ( , , ).Vídụ,nhiệtđộTtạimỗiđiểm

trên bề mặt Trái đất phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y và thời điểm t, vì vậy có thể viết
=

( , , ).

Ví dụ 14: Tìmmiềnxácđịnhcủa ( , , ) = ln( − ) +

.

Lời giải: Biểuthứcf(x,y,z)đượcxácđịnhkhiz–y>0,vìvậymiềnxácđịnhcủaflà
= {( , , ) ∈ | > }
Đâylànửa không gian(half – space)baogồmtấtcảcácđiểmnằmvềphíatrênmặt
phẳngz=y.
Rấtkhóđểcảmnhậnđồthịcủahàmbabiến,vìnónằmtrongkhônggianbốnchiều.
Tuynhiên,chúngtacóđượcmộtsốcáinhìnsâusắcvàofbằngcáchkiểmtracácmặt mức
(level surfaces)củanó,đólànhữngmặtcongcóphươngtrìnhf(x,y,z)=k,vớiklàmộthằng
số.Nếuđiểm(x,y,z)dichuyểndọctheomộtmặtmức,giátrịcủaf(x,y,z)vẫnkhôngđổi.
Ví dụ 15: Tìmmặtmứccủahàmf(x,y,z)=x2+y2+z2.
Lời giải: Cácmặtmứclàx2+y2+z2=k,vớik0.Đólàhọcácmặtcầuđồngtâmvớibán
kính√ (XemHình20).Vìvậy,khi(x,y,z)thayđổitrênbấtkỳmặtcầutâmO,giátrịcủaf(x,
y,z)làkhôngđổi.

9


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Hàmnbiếnlàquyluậtgánmỗibộn-sốthực(x1,x2,...,xn)với

mộtsốthựcz=f(x1,x2,...,xn).
TakýhiệuRn làtậptấtcảcácbộn-sốthực. Vídụ, nếumột
côngtysửdụngnloạinguyênliệuđểlàmramộtsảnphẩm,cilà
giácủanguyênliệuthứi,xilàsốđơnvịnguyênliệuthứi,khiđó
giáthànhCcủamỗisảnphầmlàhàmcủanbiếnx1,x2,...,xn.
( ,

3 =

,…,

)=

+

+⋯+



HàmfcógiátrịthựcvớimiềnxácđịnhlàtậpconcủaR3.Đôikhitasửdụngkýhiệuvéc
tơđểbiểuthịhàmởdạnggọnhơn:
Nếu ⃗ = 〈 , , … , 〉, ta viết ( ⃗) thay cho ( ,

,…,

). Với ký hiệu như vậy,

chúngtacóthểđịnhnghĩahàmtrongphươngtrình[3]nhưsau: ( ⃗) = ⃗. ⃗.
ởđây = 〈 , , … , 〉và ⃗. ⃗ làkýhiệutíchvôhướngcủacácvéctơ ⃗và ⃗trongVn.
Xem sự tương ứng một – một giữa điểm ( , , … , ) trong R3 với véc tơ vị trí

〈 , , … , 〉trongVn,chúngtacóbacáchquanniệmvềhàmfđượcxácđịnhtrongtậpcon
củaRn:
1. Nhưlàhàmcủanbiến ,

,…,



, … , )
3. Nhưlàhàmcủamộtbiếnvéctơ ⃗ = 〈 , , … ,
2. Nhưlàhàmcủamộtbiếnđiểm( ,

〉

1.2. Giới hạn và sự liên tục
1.2.1. Giới hạn
Chúngtaxemxéthaihàm
( , )=

và ( , ) =



khicảxvàyđồngthờidầnvề0,tứclàđiểm(x,y)dầnvềgốctọađộ.
Bảng1vàBảng2liệtkêcácgiátrịcủaf(x,y)vàg(x,y),chínhxáctớibachữsốthập
phân,đốivớicácđiểm(x,y)gầngốctọađộ.Chúýrằnghàmkhôngxácđịnhtạigốctọađộ.

10


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Nóbiểuthịrằng,khi(x,y)dầnđến(0,0)thìcácgiátrịcủaf(x,y)dầnđến1,trongkhi
đócácgiátrịcủag(x,y)khôngdầntớigiátrịnào.Nóchỉrarằng,cácbằngchứngsốlàchính
xácvàtaviếtlim(

, )→( , )

Tổngquát,chúngtakýhiệu

= 1và

lim

khôngtồntại.

( , )→( , )

lim

( , )→( , )

( , )=

.

đểbiểuthịrằnggiátrịcủaf(x,y)dầnđếnLkhiđiểm(x,y)dầntớiđiểm(a,b)dọctheobất
kỳđườngnàonằmtrọntrongmiềnxácđịnhcủaf.Nóikhácđi,chúngtacóthểlàmchogiá
trịcủaf(x,y)gầnvớiLbằngcáchchọnđiểm(x,y)đủgầnđiểm(a,b).Địnhnghĩachínhxác
đượcphátbiểunhưsau:
1 Định nghĩa: GiảsửflàhàmhaibiếnvớimiềnxácđịnhDchứađiểm(a,b).Chúng
tanóirằnggiới hạn của hàm f(x,y) khi (x,y) dần tới (a,b)(limit of f(x,y) as (x,y)
approarches (a,b) vàtaviết

lim

( , )→( , )

( , )=

,nếuvớimỗi>0bấtkỳ,tìmđượcsố

>0saochonếu(x,y)Dvà ( − ) + ( − ) < thì| ( , ) − | < .

Ngoàira,ngườitacòndùngkýhiệu
( , )=
lim
→



→

và ( , ) → khi( , ) → ( , ).
Chúýrằng|f(x,y)–L|làkhoảngcáchgiữacácsốf(x,y)vàL,và ( − ) + ( − )

là khoảng cách giữa điểm (x, y) và điểm (a, b). Vì vậy Định nghĩa 1 nói rằng khoảng cách
giữacácsốf(x,y)vàLcóthểnhỏtùyýbằngcáchchokhoảngcáchgiữađiểm(x,y)vàđiểm
(a,b)đủnhỏ(nhưngkhác0).Hình1minhhọaĐịnhnghĩa1theonghĩacủabiểuđồmũitên.
Vớimỗikhoảngnhỏ(L-,L+)chứaL,chúngtacóthểtìmđượcmiềnhìnhtrònD[cóthể
trừđiđiểm(a,b)]vớitâm(a,b)vàbánkính>0saochofánhxạtấtcảcácđiểmtrongD
[cóthểtrừđiđiểm(a,b)]vàotrongkhoảng(L-,L+).

MộtminhhọakháccủaĐịnhnghĩa1đượcchotrongHình2,ởđómặtcongSlàđồthị
củaf.Với>0chotrước,tacóthểtìmđược>0saochonếu(x,y)thuộcmiềnDvà(x,y)¹
(a,b)thìphầntươngứngcủaSnằmgiữacácmặtphẳngz=L–vàL+.

11


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Vớihàmmộtbiến,xchỉcóthểdầnđếnatheohaiphíatừbêntráihoặcbênphải.Nhớ
lạirằngnếu
lim

→

thìkhôngtồntạilim

→

( ) ¹ lim
→

( )

( ).

Vớicáchàmhaibiếnthìviệcđókhôngđơngiảnbởivìchúngtacóthểcho(x,y)dần
đến(a,b)từmuônvànhướngkhácnhau(Hình3),miễnlà(x,
y)vẫnthuộcmiềnxácđịnhcủaf.
Địnhnghĩa1chỉđềcậptớikhoảngcáchgiữa(x,y)và(a,
b)màkhôngquantâmđếnhướngcủasựdầnđến.Dođó,nếu
giớihạntồntạithìf(x,y)phảidầntớicùngmộtgiớihạn,không
phụthuộc(x,y)dầntới(a,b)nhưthếnào.Vìthếnếuchúngta
tìmthấyhaiđườngdầnđến(a,b)của(x,y)cóhaigiớihạnkhác
nhauthì( lim
)→(
,

, )

( , ) khôngtồntại.

Nếuf(x,y)L1khi(x,y)(a,b)dọctheoC1vàf(x,y)L2khi(x,y)(a,b)
dọctheoC2màL1¹L2thì( lim
)→(
,

, )

( , ) khôngtồntại.

Ví dụ 1: Chứngtỏrằng

lim

khôngtồntại.

( , )→( , )

Lời giải: Giảsử ( , ) = (

−

)/(

+

).Trướchếttaxétsự

dầnđến(0,0)dọctheotrụcx.Sauđóchoy=0tađượcf(x,0)=x2/x2
=1vớimọix¹0,vìvậyf(x,y)1khi(x,y)(0,0)dọctheotrục
x.
Giờchúngtadẫndếndọctheotrụcybằngcáchđặtx=0.Vìf(0,y)=-y2/y2=-1vớimọi
y¹0nênf(x,y)-1khi(x,y)(0,0)dọctheotrụcy(Hình4).Bởivìfcóhaigiớihạnkhác
nhaudọctheohaiđườngkhácnhaunêngiớihạntrênkhôngtồntại.
Ví dụ 2: Nếuf(x,y)=xy/(x2+y2),tồntạihaykhônggiớihạn

lim

( , )→( , )

( , )?

Lời giải: Nếuy=0thìf(x,0)=0/x2=0,vậyf(x,y)0khi(x,y)(0,0)dọctheotrụcx.
Nếux=0thìf(0,y)=0/y2=0,vậyf(x,y)0khi(x,y)(0,0)
dọctheotrụcy.
Mặcdùchúngtanhậnđượccùngmộtgiớihạn,nhưngđiềuđó
khôngchứngtỏgiới hạnđã cholàbằng0. Giờchúngta xétsựdần
đến(0,0)dọctheođườngy=x.
Vớix¹0thì ( , ) =
(0,0)dọctheoy=x(Hình5).
Vìvậygiớihạnđãchokhôngtồntại.

12

= ,vìvậy ( , ) → khi(x,y)


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Hình6làmrõchoVídụ2thểhiệncácgiớihạnkhácnhaukhi
tiếnvềgốctọađộtừnhữnghướngkhácnhau.Sườncongxuấthiện
trênđườngy=xtươngứngvớithựctếlàf(x,y)=1/2đốivớimọi
điểm(x,y)trênđườngđó,ngoạitrừgốctọađộ.

Ví dụ 3: Cho( , ) =

,cóhaykhônggiớihạn

lim

( , )→( , )

( , )?

Lời giải: NhớlạilờigiảitrongVídụ2,chúngtatiếtkiệmthờigianbằngcáchcho(x,y)dần
tới (0, 0)dọctheomọiđườngnghiêngđi quagốctọa độy =
mx,ởđâymlàđộdốc:
( , )=

( ,

( )
=
+( )

)=

=

+

1+

→ 0
khi(x,y)(0,0)dọctheoy=mx.Vìthếfcócùngmộtgiới
hạndọctheomọiđườngnghiêngđiquagốctọađộ.Nhưngđiềuđókhôngchứngtỏgiớihạn
đãchobằng0.Giờchúngtacho(x,y)dầntới(0,0)dọctheoparabolax=y2,tacó

( , )=



(

, )=

(

=

)

=

vậy ( , ) → khi(x,y)(0,0)dọctheox=y2.
Vậygiớihạnđãchokhôngtồntại.
Hình7làđồthịcủahàmtrongVídụ3.Chúýrằngsườndốcnằmtrênparabolax=y2.
Bâygiờchúngtahãyxemxétcácgiớihạnmàtồntại.Cũngnhưđốivớihàmmộtbiến,
việctìmgiớihạnchocáchàmhaibiếncóthểđượcđơngiảnhóabằngcáchsửdụngcáctính
chấtcủagiớihạn.Cácquytắctìmgiớihạncủahàmmộtbiếncóthểđượcmởrộngđếncác
hàmhaibiến:Giớihạncủamộttổngbằngtổngcủacácgiớihạn,giớihạncủamộttíchbằng
tíchcủacácgiớihạn.Đặcbiệt,cáccôngthứcsauđâ ylà đú ngkhi(x,y)→(a,b):
2

lim

( , )→( , )

=

,

lim

( , )→( , )

=

,

lim

( , )→( , )

=

ĐịnhlýSqueezevẫncònđúng.
Ví dụ 4: Tìm

lim

( , )→( , )

nếunótồntại.

Lời giải: Như trong Ví dụ 3, chúng ta có thể chỉ ra rằng giới hạn dọc theo bất kỳ đường

thẳngnàođiquagốctọađộđềubằng0.Điềuđókhôngchứngminhđượcgiớihạnđãcho
bằng0,nhưngcácgiớihạndọctheocácparabolay=x2vàx=y2cũngbằng0,vìvậychúng
tabắtđầunghingờrằnggiớihạnđólàtồntạivàbằng0.
Cho>0.Chúngtacầntìm>0saochonếu0 <
tứclà,nếu0 <
Mặcdù

+
≤

< thì
+

vì

| |

+

< thì

< .

≥ 0,nên

/(
13

+

) ≤ 1,vìvậy

− 0 < ,


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

3

3

| |
≤ 3| | = 3
+

Vìthếnếutachọn=/3vàgiảsử0 <
3

−0 ≤3

+
TừđótheoĐịnhnghĩa1,

+
+

lim

≤3

+



< thì

<3 = 3

3

=

= 0.

( , )→( , )

ChúngtacũngcóthểsửdụngđịnhlýSqueezeđểchứngminh.
Thậtvậy,từ[3],chúýđến[2],tacóđiềucầnchứngminh.
1.2.2. Sự liên tục
Đánhgiágiớihạncủamộthàmmộtbiếnliêntụclàrấtđơngiản.Nócóthểđượcthực
hiệnbởiphépthếvìđịnhnghĩahàmliêntụclàlim

→

( )=

( ).Tínhliêntụccủahàm

haibiếncũngđượcđịnhnghĩabởiphépthế.
4 Định nghĩa:Hàmhaibiếnfđượcgọilàliên tục(continuous)tại (a,b)nếu

lim



( , )→( , )

( , )=

( , )

Tanóifliêntục trên Dnếufliêntụctạimọiđiểm(a,b)trongD.
Ýnghĩatrựcquancủasựliêntụclànếuđiểm(x,y)thayđổimộtlượngnhỏthìgiátrị
củaf(x,y)cũngthayđổimộtsốlượngnhỏ.Điềunàycónghĩarằngmặtconglàđồthịcủa
mộthàmliêntụckhôngcólỗhoặcbịrách.
Sửdụngcácthuộctínhcủagiớihạn,bạncóthểthấytổng,hiệu,tíchvàthươngcáchàm
liêntụclàliêntụctrênmiềnxácđịnhcủachúng.Hãysửdụngtínhchấtnàyđểđưaramộtsố
vídụvềhàmliêntục.
Hàm đa thức hai biến (polynomial function of two variables) là tổng của các hạng
thức dạng cxmyn, trong đó c là hằng số, còn m và n là các số nguyên. Hàm phân thức
(rational)làtỷsốcủacácđathức.Vídụ,f(x,y)=x4+5x3y2+6xy4–7y+6làhàmđathức,
còn ( , ) =

làhàmphânthức.

Cácgiớihạntrong[2]chứngtỏrằngcáchàmf(x,y)=x,g(x,y)=yvàh(x,y)=clàcác
hàmliêntục.Bởivìmọiđathứcđềuđượcxâydựngtừcáchàmđơngiảnf,gvàhbằngcác
phépnhânvàcộng,nênmọihàmđathứchaibiếnđềuliêntụctrênR2.Tươngtự,mọihàm

phânthứcđềuliêntụctrênmiềnxácđịnhcủanóbớinólàthươngcủahaihàmliêntục.
Ví dụ 5: Đánhgiá lim (
−
+ 3 + 2 ).
( , )→( , )

Lời giải: Bởivìhàm ( , ) =

−

+ 3 + 2 làđathứcnênnótkhắpnơi,vìvậyta

cóthểtìmgiớihạnbằngcáchthaytrựctiếp:
lim (
−
+ 3 + 2 ) = 1 2 − 1 2 + 3.1 + 2.2 = 11
( , )→( , )

Ví dụ 6: Hàm ( , ) =

liêntụctạinhữngđâu?
14


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Lời giải: Hàmfkhôngliêntụctại(0,0)bởivìnókhôngxácđịnhtạiđó.Doflàhàmphân
thứcnênmiềnliêntụccủanólàtậpD={(x,y)|(x,y)¹(0,0)}.

Ví dụ 7: Giảsử
−
+
0

( , )=

( , ) ≠ (0,0)



( , ) = (0,0)

Ở đây g được xác định tại (0, 0) nhưng g vẫn không liên tục bởi vì

lim

( , )→( , )

( , )

khôngtồntại(xemVídụ1).
Ví dụ 8: Giảsử
3
( , )=


( , ) ≠ (0,0)

+

0



( , ) = (0,0)



Chúngtabiếtrằngfliêntụcvới(x,y)¹(0,0)vìnólàhàmphânthức.TừVídụ4tacó
lim

( , )→( , )

( , )=

lim

( , )→( , )

3
+

= 0=

(0,0)

Vìvậyfliêntụctại(0,0),vàdođónóliêntụctrêntoànR2.
Giốngnhưhàm một biến, phép lấyhàmhợp của haihàmlàmột cáchđểnhận được
hàmthứba.Thựctế,cóthểchỉrarằngnếuflàhàmhaibiếnliêntụcvàglàhàmmộtbiến
liêntụcxácđịnhtrênmiềngiátrịcủaf,thìhàmhợp(composite)h=gofđượcxácđịnhbởi

ℎ( , ) = ( ( , ))
cũnglàhàmliêntục.
Ví dụ 9: Tìmmiềnliêntụccủahàmh(x,y)=arctan(y/x).
Lời giải: Hàmf(x,y)=y/xlàhàmphânthứcnênnóliêntục
ngoạitrừtrênđườngthẳngx=0.Hàm ( ) = arctan làliên
tụckhắpnơi.Vìvậyhàmhợpg(f(x,y))=arctan(y/x)=h(x,y)
liêntụcngoạitrừtrênđườngthẳngx=0.Hình9chỉrasựđứt
gãytrênđồthịcủahàmhtrêntrụcy,thểhiệnhàmh(x,y)=
arctan(y/x)khôngliêntụctạix=0.
1.3.

Đạo hàm riêng

1.3.1. Định nghĩa và cách tính
Vàomộtngàynóng,độẩmcaolàmchochúngtanghĩrằngnhiệtđộcaohơnnhiệtđộ
thựccủanó,trongkhitrongkhôngkhírấtkhô,chúngtacảmnhậnnhiệtđộthấphơnchỉthị
của nhiệt kế. Dịch vụ Thời tiết Quốc gia (National Weather Service) đã đưa ra các chỉ số
nhiệt(còngọilàchỉsốnhiệtđộ-độẩm,hoặcchỉsốđộẩmởmộtsốnước)đểmôtảtácđộng
kếthợpcủanhiệtđộvàđộẩm.ChỉsốnhiệtIlànhiệtđộkhôngkhícảmnhậnđượckhinhiệt
độthựctếlàTvàđộẩmtươngđốilàH.Vìvậy,IlàmộthàmcủaTvàH,vàchúngtacóthể
15


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

viếtI=f(T,H).Bảng1cácgiátrị
củaIđượctríchtừmộtbảngđược
biên soạn bởi các Dịch vụ Thời

tiếtQuốcgia,ởđóchỉsốnhiệtIlà
hàmcủanhiệtđộvàđộẩm.
Nếu chúng ta tập trung vào
cột được đánh dấu của bảng,
tương ứng với độ ẩm tương đối
của H = 70%, chúng ta coi chỉ số
nhiệtnhưlàhàmmộtbiếnTđốivớigiátrịcốđịnhcủaH.Taviếtg(T)=f(T,70).Sauđóg
(T)môtảcáchthứcchỉsốnhiệtItănglênkhinhiệtđộthựctếTtăng,tươngứngvớiđộẩm
là70%.ĐạohàmcủagkhiT=96oFlàtốcđộthayđổicủaIđốivớiTkhiT=96oF:
(96 + ℎ) − (96)
(96 + ℎ, 70) − (96,70)
(96) = lim
= lim

→
→
ℎ
ℎ
Chúngtacóthểxấpxỉg'(96)bằngcáchsửdụngcácgiátrịtrongBảng1vớih=2và-2
(98) − (96)
(98,70) − (96,70) 133 − 125
(96) ≈
=
=
= 4
2
2
2
(94) − (96)
(94,70) − (96,70) 118 − 125

(96) ≈
=
=
= 3.5
−2
−2
−2
Lấytrungbìnhcộnghaigiátrịnày,tacóthểnóirằngđạohàmg'(96)xấpxỉbằng3.75.
Nghĩa là,khinhiệt độthựctếlà96oFvà độẩmtươngđối là70%, nhiệt độbiểukiếntăng
khoảng3.75oFsovớimỗiđộtăngcủanhiệtđộthựctế.
Giờ chúngta xem xétdòngđượcđánhdấutrongBảng 1, tương ứng với nhiệt độcố
địnhT=96oF.CácsốtrêndònglàcácgiátrịcủahàmG(H)=f(96,H),chúngmôtảcáchthức
chỉsốnhiệttănglênkhimàđộẩmtươngđốităng,trongkhinhiệtđộthựctếT=96oF.Đạo
hàmcủahàmnàykhiH=70%làtốcđộbiếnthiêncủaIđốivớiHkhiH=70%:
(70 + ℎ) − (96)
(96,70 + ℎ) − (96,70)
′(70) = lim
= lim

→
→
ℎ
ℎ
ChúngtacóthểxấpxỉG'(70)bằngcáchđặth=5và-5:
(75) − (70)
(96,75) − (96,70) 130 − 125
(70) ≈
=
=
= 1

5
5
5
(65) − (70)
(96,65) − (96,70) 121 − 125
(70) ≈
=
=
= 0.8
−5
−5
−5
Lấygiátrịtrungbình,tacóướclượngG'(70)0.9.Điềunàynóilênrằng,khinhiệtđộ
là96oFvàđộẩmtươngđốilà70%,chỉsốnhiệttăngkhoảng0.9oFđốivớimỗiphầntrăm
tăngcủanhiệtđộtươngđối.
Tổngquát,nếuflàhàmcủahaibiếnxvày,giảsửcốđịnhy=b-constvàchoxbiến
đổi.Khiđótacóhàmmộtbiếng(x)=f(x,b).Nếugcóđạohàmtạiathìtagọinólàđạo hàm

16


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

riêng của hàm f theo biến x tại (a, b)(partial derivative of f with respect to x at (a,b))vàký
hiệu ( , ).Vìvậy
( , )=

1

( ) ớ ( ) =
(

Theođịnhnghĩađạohàmriêngtacó ( ) = lim
2

( , ) = lim
→

( , )
)

( )

→

,vìvậy[1]trởthành

( + ℎ, ) − ( , ℎ)

ℎ

Tươngtự,đạo hàm riêng của hàm f theo biến y tại (a, b) (partial derivative of f with
respect to y at (a,b)),kýhiệu ( , ),nhậnđượcbằngcáchcốđịnhx=avàtínhđạohàmtại
bcủahàmmộtbiếnG(y)=f(a,y):
3

( , ) = lim
→

( , + ℎ) − ( , ℎ)

ℎ

Với các ký hiệu này của các đạo hàm riêng, ta có thể viết tốc độ thay đổi của chỉ số
nhiệtItheonhiệtđộthựctếTvàđộẩmtươngđốiHkhiT=96oFvàH=70%nhưsau:
(96,70) ≈ 3.75,
(96,70) ≈ 0.9
Giờchúngtacoiđiểm(a,b)thayđổi, và trởthànhhàmhaibiến.
Định nghĩa:Nếuflàmộthàmhaibiến,đạo hàm riêng(partial derivative)củaf
làcáchàm và

đượcđịnhnghĩabởi

( , ) = lim
→

( + ℎ, ) − ( , )
,
ℎ

( , ) = lim
→

( , + ℎ) − ( , )

ℎ

Cónhiềucáckíhiệukhácchođạohàmriêng.Vídụ,thayvì tacóthểviếtf1hoặcD1f

hoặc .Nhưng khôngphảilàtỷsốcủaviphân.
Các kí hiệu của đạo hàm riêng:Nếuz=f(x,y),tacó
( , )=

=

=

( , )=

=

=

=



( , )=

=

=

( , )=

=

=

=



Đểtínhđạohàmriêng,tacóthểápdụngtừphươngtrình(1)làđạohàmriêngtheo
biếnxlàđạohàmthôngthườngcủahàmgtạibiếnđơnakhitacốđịnhy.Tacóquytắcsau
Quy tắc tìm đạo hàm riêng của z = f(x, y)
1.Tìmf coiynhưlàmộthằngsốvàtìmđạohàmcủaf(x,y)theobiếnx
2.Tìmf ,coixnhưlàmộthằngsốvàtìmđạohàmcủaf(x,y)theobiếny.
Ví dụ 1: Chof(x,y)=x3+x2y3–2y2,tìm (2,1)và (2,1).
Lời giải: Giữycốđịnhvàđạohàmtheox,tanhậnđược ( , ) = 3
(2,1)=3.22+2.2.13=16
17

+2

,vìvậy


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Giữxcốđịnhvàđạohàmtheoy,tanhậnđược ( , )=3x2y2-4y,vìvậy
(2,1)=3.22.12–4.1=8
1.3.2. Ý nghĩa của các đạo hàm riêng
Đểđưaraýnghĩahìnhhọccủađạohàmriêng,tanhắclạiphươngtrìnhz=f(x,y)miêu
tảmộtmặtS(đồthịcủahàmf).Nếuf(a,b)=c,thìđiểmP(a,b,c)

Hình 1

nằmtrênS.bằngviệccốđịnhy=b,tađangthuhẹpsựchúýtới
đường cong C1 là giao của mặt phẳng thẳng đứng y = b và S.
Tươngtựnhưvậy,giaocủamặtphẳngthẳngđứngx=avàSlà
đườngcongC2.CảhaiđườngcongC1vàC2đềuđiquađiểmP.
Chú ý rằng đường cong C1 là đồ thị của hàmg(x) = f(x,b),
vậy độ nghiêng của tiếp tuyến T1 tại P là ( ) = ( , ).

ĐườngcongC2làđồthịcủahàmG(y)=f(a,y),vậyđộnghiêng
củatiếptuyếnT1tạiPlà ( ) = ( , ).
Vậyđạohàmriêng và cóthểđượcthểhiệntheohìnhhọcnhưlàđộnghiêngcủa
đườngtiếptuyếntạiP(a,b,c)theoC1vàC2củaStrongmặtphẳngy=bvàx=a.
Chúngtaxéttrườnghợphàmchỉsốnhiệt,cácđạohàmriêngcũngcóýnghĩanhưlàtốc
độ thay đồi, nếu z = f(x,y) thì
Tươngtự,

/

/

biểu diễn tốc độ thay đổi của z theo x khi y cố định.

biểudiễntốcđộthayđổicủaztheoykhixcốđịnh.

Hình 1 cho thấy các đạo hàm riêng của f tại (a,b) chính là độ dốc của các đường tiếp
tuyếnC1vàC2.
Ví dụ 2:Nếu ( , ) = 4 −

−2

,tìm (1,1)và (1,1)vàgiảithíchnhữngconsốcủa

độnghiêng.
Lời giải: Ta có
Hình 2

( , ) = −2 ,

(1,1) = −2.1 = −2, ( , ) = −4 , (1,1) = −4.1 =
−4

Hình 3

Đồthịcủahàmflàparoboloitz=
4–x2–2y2vàmặtphẳngthẳngđứng
y=1cắtnótrongmặtphẳngz=2–
x2,y=1tađượcđườngcongC1 (Hình
2). Độ nghiêng của đường tiếp tuyến
đối với parabola tại điểm (1,1,1) là
f’x(1,1)=-2.Tươngtự,đườngcongC2
làđườnggiaocủamặtphẳngx=1và
paraboloitlàparabolaz=3–2y2,x=

1,vàđộnghiêngcủađườngtiếptuyếnđốivớiparabolanàytạiđiểm(1,1,1)làf’y(1,1)=-4
(hình3).█
Hình4môtảmáytínhvẽtươngứngvớiHình2.Phần(a)biểuthịmặtphẳngy=1
giaovớimặtcongtheogiaotuyếnvàphần(b)môtảC1vàT1.Chúngtasửdụngcácphương
18

Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

trìnhvéctơ ⃗(t)=t,1,2–t2choC1và ⃗(t)=1+t,1,1–2tchoT1.Tươngtự,Hình5tương
ứngvớihình3.














Ví dụ 3: Chof(x,y)=sin

,tính và .

Lời giải: SửdụngquytắcChain(đạohàmhàmhợp)đốivớihàmmộtbiến,tacó
1
= cos
= cos

1+

1+
1+ 1+
= cos

1+

= −cos

1+

1+

(1 + )



Ví dụ 4: Tìmz/xvàz/ynếuzđượcxácđịnhẩnnhưlàhàmcủax,ytheophươngtrình
x3+y3+z3+6xyz=1.
Hình 6

Lời giải: Đểtìmz/x,chúngtađạohàmhàmẩntheox,coiynhư
hằngsố:
3

+3

Giảiratađược

= −

+6

+6

= 0

.Tươngtự,

= −





Mộtvàihệthốngmáytínhđạisốcóthểvẽcácmặtđượcxác
địnhtrongcácphươngtrìnhhàmẩnchứa3biến.Hình6thểhiện
đồthịcủamặtcóphươngtrìnhđượcchotrongvídụ4.

19


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

1.3.3. Hàm nhiều hơn hai biến
Cácđạohàmriêngcóthểđượcđịnhnghĩachocáchàmnhiềuhơnhaibiến.Vídụ,nếuf
làhàmbabiếnx,yvàzthìđạohàmriêngtheoxđượcđịnhnghĩalà
( + ℎ, , ) − ( , , )
( , , ) = lim

→
ℎ
Nếuw=f(x,y,z)thì =
/ cóthểxemlàtốcđộthayđổicủawtheoxkhiyvàz
khôngđổi.Nhưngchúngtakhôngthểgiảithíchhìnhhọcbởivìđồthịcủafnằmtrongkhông
gianbốnchiều.
Tổngquát,nếuulàhàmcủanbiến,u=f(x1,x2,...,xn)thìđạohàmriêngtheobiếnthứi
sẽlà
= lim

( ,

,…,

,

+ ℎ,

)− ( ,
ℎ

,…,

→

vàchúngtacũngviết

=

=

=

,

,…,

)





và nếuf(x,y,z)=exylnz.

Lời giải: Giữyvàzkhôngđổivàđạohàmtheoxtađược


,


=

Ví dụ 5: Tìm ,

,…,

Tươngtự,

=

ln và

=

=

ln .

/ .

1.3.4. Đạo hàm cấp cao
Nếuflàhàmhaibiếnthìcácđạohàmriêng và cũnglàhàmhaibiến,vìvậychúng
ta có thể lấy đạo hàm riêng của chúng và gọi đó là các đạo hàm riêng cấp hai (second
partial derivative)củaf.
Nếuz=f(x,y),chúngtasửdụngcáckýhiệusau:
( ) =

=

=

=



( ) =

=

=

=

=



=

=

=

=

=



=
Vìthếkýhiệu

=

=

=

=

=



(hay2f/yx)cónghĩalàđầutiênlấyđạohàmtheox,sauđólấy

đạohàmtheoy,trongkhiđó

thìđảolạithứtự.

Ví dụ 6: Tínhcácđạohàmriêngcấphaicủaf(x,y)=x3+x2y3–2y2
Lời giải: TrongVídụ1chúngtatìmđược ( , ) = 3x2+2xy3, ( , )=3x2y2–4y.
Vìvậy

=
=

(3
(3

+2

) = 6 +2

−4 ) = 6
20

,

,
=

=
(3

(3

+2

−4 ) = 6

)= 6
− 4.




Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Hình7chothấyđồthịcủahàmftrongVídụ6vàcácđồthịcủacácđạohàmriêngcấp
mộtvàcấphaivới-2x2,-2y2.Chúýrằngcácđồthịnàyphùhợpvớicáchgiảithích
củachúngta, và làđộdốccủađườngtiếptuyếnvớicácchutuyếncủađồthịcủaf.Ví
dụ,đồthịcủafgiảmnếuchúngtabắtđầutại(0,-2)vàdichuyểntheohướngdươngcủa
trụcx.Điềunàyđượcphảnánhbởigiátrịâmcủa .Bạnnênsosánhcácđồthịcủa

và

vớiđồthịcủa đểxemcácmốiquanhệ.

ChúýrằngtrongVídụ6,
đạohàmriênghỗnhợp

và

=

,.Đâykhôngphảilàsựtrùnghợp.Nóchỉrarằngcác

làbằngnhautronghầuhếtcáchàmchúngtagặptrong

thực hành. Định lý sau đây, được phát hiện bởi nhà toán học người Pháp Alexis Clairaut
(1713-1765),chorađiềukiệncóthểkhẳngđịnh

=

.

Định lý Clairaut:GiảsửfxácđịnhtrênmiềnDvà( , ) ∈ .Nếucáchàm
đềuliêntụctrênDthì

( , )=

và

( , ).

(Alexis Clairaut là một thần đồng toán học, ông đã đọc cuốn sách giáo khoa của
L’Hospital về giải tích khi mới 10 tuổi và đã gửi một bản thảo về hình học tới Học viện Khoa
học Pháp khi mới 13 tuổi. Ở tuổi 18, Clairaut xuất bản cuốn “Recherches sur les courbes à
double courbure”, đó là hệ thống chuyên luận đầu tiên về hình học giải tích trong không gian
ba chiều và bao gồm cả giải tích về các đường cong trong không gian).
Cácđạohàmriêngcấp3hoặccaohơncũngcóthểxácđịnh.Vídụ
=

=

và sử dụng định lý Clairaut có thể chứng minh rằng
cùngtồntạivàliêntục.
21

=
=


=

nếu các hàm này


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Ví dụ 7: Tính
Lời giải:

( )

Chương 1 – Toán 3

nếuf(x,y,z)=sin(3x+yz).

=3cos(3x+z)





=-9zcos(3x+yz)

=-9sin(3x+yz)
( )



=-9cos(3x+yz)+9yzsin(3x+yz)

1.4. Mặt phẳng tiếp diện
Một trong những ý tưởng quan trọng nhất trong tính toán một biến là khi chúng ta
phóngtovềphíamộtđiểmtrênđồthịcủamộthàmkhảvi,đồthịtrởnênkhôngthểphân
biệtvớiđườngtiếptuyếncủanóvàchúngtacóthểxấpxỉhàmsốvớimộthàmtuyếntính.Ở
đâychúngtapháttriểnýtưởngtươngtựtrongkhônggianbachiều.Khichúngtaphóngto
vềphíamộtđiểmtrênmộtmặtconglàđồthịcủamộthàmhaibiếnkhảvi,mặtcongnhìn
gầnnhưmặtphẳng(mặtphẳngtiếpdiệncủanó)vàcóthểhàmsốvớimộthàmtuyếntính
củahaibiến.Chúngtacũnglàmtươngtựnhưvậyvềviphânchohàmhaihaynhiềubiến.

1.4.1. Mặt phẳng tiếp diện
GiảsửmặtcongScóphươngtrìnhz=f(x,y),trongđófcócácđạohàmriêngcấp1liên
tụcvàgọiP(x0,y0,z0)làmộtđiểmtrênS.Nhưtrongphầntrước,giảsửC1vàC2lànhững
đường cong tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng x = x0 và y = y0 với mặt cong S.
Khiđó,điểmPnằmtrêncảC1vàC2.GiảsửT1vàT2làtiếptuyếncủacácđườngcongC1vàC2
Hình 1

tại P. Khi đó, mặt phẳng tiếp diện (tangent plane) của của mặt
cong S tại điểm P được định nghĩa làmặt phẳng có chứa cả hai
đườngtiếptuyếnT1vàT2.(Xemhình1)
ChúngtasẽthấyrằngnếuClàđườngcongbấtkỳkhácnằm
trên mặt cong S và đi qua P thì các tiếp tuyến của nó tại P cũng
nằmtrongmặt phẳngtiếp diện. Dođóbạncóthể coimặt phẳng
tiếpxúcvớiStạiPlàbaogồmtấtcảcácđườngtiếptuyếntạiPcủa
nhữngđườngcongnằmtrênSvàđiquaP.Mặtphẳngtiếpdiệntại

PlàmặtphẳnggầnnhấtmặtcongStronglâncậnđiểmP.
TabiếtrằngbấtkỳmặtphẳngnàođiquađiểmP(x0,y0,z0)đềucóphươngtrìnhdạng:
A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)=0
BằngcáchchiaphươngtrìnhnàychoCvàđặta=-A/Cvàb=-B/C,chúngtacóthể
viếtlạiphươngtrìnhdướidạng:
1 z–z = a(x–x ) + b(y–y )
Nếuphươngtrình(1)làmặtphẳngtiếpdiệntạiP,khiđógiaođiểmcủanóvớicácmặt
phẳngy=y0phảilàđườngtiếptuyếnT1.Đặty=y0khiđóphươngtrình1trởthành:
z – z0 = a(x – x0) khi y = y0
vàtathấyrằngđâylàphươngtrình(theodạngđộdốcđiểm)củamộtđườngcóđộ dốca.
MặtkhácchúngtabiếtrằngđộdốccủatiếptuyếnT1là ( , ).Dođó: = ( , ).

22

Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Tươngtựnhưvậy,việcđặtx=x0trongphươngtrình(1),tađượcz–z0=a(y–y0)là
phươngtrìnhcủađườngtiếptuyếnT2,dođó = ( , ).
2 Giảsửf cócácđạohàmriêngliêntục.Phươngtrìnhcủa mặtphẳngtiếp diệncủa
mặtcongz=f(x,y)tạiđiểmP(x0,y0,z0)là:
− = ( , )( − ) +

(

,

)( −

)

Chú ý:Sựgiốngnhaugiữamặtphẳngtiếpdiệnvàphươngtrìnhcủamộtđườngtiếptuyến:
−

=

(

)( −

)

Ví dụ 1:Tìmmặtphẳngtiếpdiệncủaparaboloidelipticz=2x2+y2tạiđiểm(1,1,3).
Lời giải:Tacó:z=2x2+y2.Dođó:
( , )= 4 ,
( , )= 2 ,

(1,1) = 4,

(1,1) = 2

Từ2tacóphươngtrìnhcủamặtphẳngtiếpdiệntại(1,1,3)là
z–3=4(x–1)+2(y–1)
hay

z=4x+2y–3█









Hình2(a)môtảparaboloidellipticvàmặtphẳngtiếpdiệntạiP(1,1,3)nóiđếntrong
Vídụ1.Cáchình(b)và(c)làphóngtotạiđiểm(1,1,3).Chúýrằngcàngphóngtothìđồthị
càngphẳngvàcànggiốngvớimặtphẳngtiếpdiệncủa.
TrênHình3chúngtakhẳngđịnhthêmvềđiềuđó,bằngcáchphóngtođiểm(1,1)trên
bảnđồđườngmứccủahàmf(x,y)=2x2+y2.Chúýrằngcàngphóngtothìcácđườngmức
nhìnnhưcácđườngsongsong,đólàđặctrưngcủađườngthẳng.

23


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

1.4.2. Vi phân
Vớihàmkhảvimộtbiếny=f(x),chúngtaxemviphândxlàbiếnđộclập,tứclàdxcó
thểnhậnbấtcứgiátrịthựcnào.Viphâncủayđượcđịnhnghĩalà
9

( )

=



Hình6môtảmốiquanhệgiữasốgiayvàviphân
dy:ybiểuthịsựthayđổitheochiềucaocủađườngcong
y = f(x), còn dy biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của
đườngtiếptuyếnkhixthayđổimộtlượngdx=x.
Đốivớihàmkhảvihaibiếnz=f(x,y),chúngtaxem
các dx và dy là các biến độc lập. Khi đó vi phân

(differential) dz được gọi là vi phân toàn phần (total
differential),đượcxácđịnh:
10

=

( , )

+

( , )

=

+



Đôikhisửdụngdfthaychodz.
Nếuchúngtađặtdx=x=x–avàdy=y=y–btrongphươngtrình10,thìviphân
củazlà
=


( , )( − ) +

( , )( − )

Hình7tươngứngvớiHình6trong

không gian ba chiều, mô tả ý nghĩa hình
họccủaviphândzvàsốgiaz:dzbiểuthị
sựthayđổitheochiềucaocủamặtphẳng
tiếpdiện,trong khizbiểthịsự thay đổi
theo chiều cao của mặt cong z = f(z, y) khi
(x,y)thayđổitừ(a,b)đến(a+x,b+y).
Ví dụ 4



(a) Choz=f(x,y)=x2+3xy–y2,tìmviphândz.
(b) Choxthayđổitừ2tới2.05vàythayđổitừ3tới2.96,sosánhcácgiátrịzvàdz.
Lời giải
Hình 8



(a)

TừĐịnhnghĩa10tacó
=

(b)

+

= (2 + 3 )

+ (3 − 2 )

Đặtx=2,dx=x=0.05,y=3,dy=y=-0.04,

tacó
dz=[2(2)+3(3)]0.05+[3(2)–2(3)](-0.04)=0.65
Sốgiacủazlà
z=f(2.05,2.96)–f(2,3)=[(2.05)2+3(2.05)(2.96)–(2.96)2]–[22+3(2)(3)–32]=0.6449
24


Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1 – Toán 3

Chúýrằngzdznhưngdễtínhhơn.



Ví dụ 5: Bánkínhcơsởvàchiềucaocủahìnhnóntrònđượcxácđịnhtươngứnglà10cmvà
25cm,vớisaisố0.1cmtrongmỗigiátrịđo.Sửdụngviphânđểướclượngsaisốlớnnhất
khitínhtoánthểtíchcủahìnhnón.
Lời giải: ThểtíchcủahìnhnónvớibánkínhcơsởrvàchiềucaohlàV=pr2h/3.Vìvậyvi
phâncủaVlà
=

+

ℎ=

2

ℎ

+
ℎ
ℎ
3
3
Bởivìmọisaisốlà0.1cm,tacó|r|0.1,|hr|0.1cùngvớir=10,h=25.Dođó
500p
100p
=
(0.1) +
(0.1) = 20p
3
3
Vìvậylỗilớnnhấtkhitínhthểtíchhìnhnónlà20pcm363cm3.
1.4.3. Các hàm ba hoặc nhiều biến
Cáckháiniệmtínhkhảvivàviphâncóthểđượcmởrộngchohàmnhiềuhơnhaibiến.
SựkhảviđượcmởrộngtừĐịnhnghĩa7.
Nếuw=f(x,y,z)thìsố gia(increment)củawlàw=f(x+x,y+y,z+z)–f(x,y,z).
Vi phân(differential)dwđượcxácđịnhtheocôngthứcd

=

+

+

.

Ví dụ 6: Kíchthướccủakhốihộpchữnhậtcócácsốđolà75cm,60cmvà40cmcùngmộtsai
sốlà0.2cm.Sửdụngviphânđểướclượngsaisốlớnnhấtcóthểkhithểtíchcủahộpđược
đovớiđộđođó.
Lời giải: Nếucáckíchthướccủahộplàx,yvàzthìthểtíchcủanólàV=xyz,vìvậy
=

+

+

=

+

+



Tađãcho|x|0.2,|y|0.2,|z|0.2.Đểướclượngsaisốlớnnhất,chúngtasử
dụngdx=dy=dz=0.2vàx=75,y=60.z=40:


VdV=(60)(40)(0.2)+(75)(40)(0.2)+(75)(60)(0.2)=1980

Nhưvậy,chỉvớisaisố0.2cmtrênmỗisốđođãdẫnđếnsaisốxấpxỉ1980cm3khitính
thểtích.Điềuđóxemracóvẻlàsaisốlớn,nhưngnóchỉchiếm1%sốđothểtíchcủahộp.
1.5. Quy tắc dây chuyền
1.5.1. Đạo hàm của hàm hợp

NhắclạirằngĐịnhlýDây chuyền chocáchàmcủahàmmộtbiếnvềĐịnhlýđạohàm
mộthàmhợp:Nếuy=f(x)vàx=g(t),vớifvàglàcáchàmkhảtíchthìylàmộthàmkhả
tíchgiántiếpcủatvà
1

=

.



Vớicáchàmcủanhiềuhơnmộtbiến,ĐịnhlýDâychuyềncómộtvàidạng,mỗikiểu
đóchomộtĐịnhlýđạohàmhàmhợp.Dạngthứnhất(Địnhlý2)giảiquyếttrườnghợpmàz
25