Bài giảng Toán 2: Chương 6 - ĐH Bách khoa TP. HCM

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


CHƢƠNG 6:

CÁC TÍCH VECTƠ TRONG
KHÔNG GIAN R3

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC

* Các trục Ox, Oy, Oz vuông góc với
nhau từng đôi một và tạo thành một
tam diện thuận (Khi một ngƣời đứng
theo hƣớng dƣơng trục Oz chân tại
O, nhìn góc xoay hƣớng dƣơng trục
Ox đến hƣớng dƣơng trục Oy là
x
ngƣợc chiều kim đồng hồ).

z

O

* Các vectơ
đơn
vị
chỉ
hƣớng
dƣơng
của
các
trục
tƣơng

 
ứng là: i , j , k

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3

y


1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC (tt)

* Trong không gian R3 lấy hai điểm M1(x1, y1, z1) và
M2(x2, y2, z2), ta có vectơ từ điểm M1 đến M2 là:
M 1M 2

( x2

x1 ) i

( x2

x1 , y 2

( y2

y1 ) j

y1 , z 2

( z2

z1 ) k

z1 )

* Khoảng cách giữa M1 và M2 bằng độ dài của
vectơ M1M2
d(M 1 , M

Toán 2

2

)

M 1M 2

CuuDuongThanCong.com

(x 2

x1 )

2

(y 2

y1)

2

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3

(z 2

z1 )

2

2. TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b

* Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2)
và b = (b1, b2, b3). Tích vô hƣớng của 2 vectơ a và b
là một số và đƣợc ký hiệu là: (a, b)
Ở đây:

(a, b)

a . b .cos
a 1b 1

Với

a2b2

a3b3

là góc hợp giữa hai vectơ và (0

).

Ta có các bất đẳng thức sau:
+ Bất đẳng thức Cauchy – Shwarz:

(a, b)

+ Bất đẳng thức tam giác: (a

a

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

b)

a . b .

b .

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


3. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b

* Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2)
và b = (b1, b2, b3). Tích có hƣớng của 2 vectơ a và b
là 1 vectơ và đƣợc ký hiệu là: a b
Vectơ này đƣợc xác định nhƣ sau:
* Có độ dài bằng a . b . sin
( là góc hợp giữa 2 vectơ a và b )
* Có phƣơng vuông góc với mặt phẳng chứa a và b
* Có hƣớng sao cho ba vectơ a , b và a × b tạo thành
một tam diện thuận.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3




3. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt)

Chú ý:
 
a xb

bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai
*
vectơ đó

 
i
j k
 
* a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2 b3
*


a

*

Toán 2


b


(a


b


b)

a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2

a2b1 )


a


( a)

CuuDuongThanCong.com


b



a


( b)

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3




3. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt)

Chú ý (tt):

*
*


a

a

(b

b


c)


b


a

a

0


a

và


b


c

tỷ lệ.

Ví dụ 1: Trong không gian R3 cho ba điểm A(1,–1,2),
B(–1,0,3) và C(0,2,1). Tính diện tích của tam giác
ABC.
Ta có:

Toán 2

AB

( 2 ,1 ,1 )

AC

( 1,3 , 1 )

AB

AC

CuuDuongThanCong.com

( 4 , 3, 5 )

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3




3. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt)

Nhận xét: AB AC là diện tích của hình bình hành
dựng trên hai vectơ AB và AC
.
Do đó:

1

S ABC

AB

1

AC

2

50

2



a và b .

Ví dụ 2: Trong không gian R3, lấy hai vectơ
Biết




a
b
5 và góc giữa hai vectơ a và b là . Tính diện

4



tích của tam giác có cạnh là các vectơ a - 2 b và 3 a 2 b
Ta có: S 1 ( a 2 b ) ( 3 a 2 b )
2
1

8


b)


(a

2
1
2
Toán 2

CuuDuongThanCong.com


8 a


b

sin

50

2

4
/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3




3. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ b (tt)

Ví dụ 3: Tính diện tích của tam giác và đƣờng cao BD
của tam giác ABC. Trong đó A(1,–1,2), B(5,–6,2),
C(1,3,– 1).
Ta có:

Vậy:

AB

( 4 , 5 ,0 )

AC

(0 ,4 , 3)

AB

AC

S ABC

(15 ,12 ,16 )
1
2

AB

AC

25
2

Cạnh AC của tam giác có độ dài là

AC

5

Đƣờng cao BD của ABC là 5.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3

  

4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a, b,c

* Trong không gian R3 cho ba vectơ a = (a1, a2, a2),
b = (b1, b2, b3) và c = (c1, c2, c3) . Tích hổn hợp của 3
vectơ a, b, c là 1 số và đƣợc ký hiệu là: (a, b, c)
Tính chất:

*

  
(a ,b ,c )

  
*( a , b , c )
  
*( a , b , c )
Toán 2

Thể tích của hình hộp dựng trên 3 vectơ
a, b, c
a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3
  
a ,b ,c

0

CuuDuongThanCong.com

cùng phẳng.
/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


  

4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a, b,c (tt)

Tính chất (tt):
  
*( a , b , c )

*( a

  
(b , a , c )
 
  
b,c ,d )
(a ,c , d )

  
(b , c , d )

* Thể tích của tứ diện ABCD bằng 1/6 thể tích của
hình hộp dựng trên 3 vectơ AB, AC, AD
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 4 điểm A(1,2,-1), B(0,1,5),
C(-1,2,1) và D(2,3,1) cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ta có:

Toán 2

AB

( 1, 1, 6 )

AC

( 2 ,0 ,2 )

AD

(1 , 1 , 4 )

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


  

4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a, b,c (tt)

Ví dụ 1 (tt):

1

Nhận xét:

2

( AB , AC , AD )
1

1
0

6
2

1

0

4

Vậy AB , AC , AD thuộc cùng một mặt phẳng. Tức là 4
điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 2: Tính thể tích của tứ diện ABCD với các đỉnh
là A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3) và D(3,2,4).
Ta có:
AB
( 2,5, 4)

Toán 2

AC

( 4 , 1, 2 )

AD

( 1, 5 , 1 )

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


  

4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a, b,c (tt)

Ví dụ 2 (tt):
Thể tích của hình hộp dựng trên ba vectơ này là:
V

( AB , AC , AD )

36

Mà thể tích của tứ diện ABCD là bằng 1/6 thể tích hình
hộp dựng trên 3 vectơ nên thể tích của tứ diện ABCD
bằng 6.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD với các đỉnh là A(1,1,1),
B(2,0,2), C(2,2,2) và D(3,4,-3). Tính chiều cao hạ từ
đỉnh D của tứ diện.
Ta có: AB (1 , 1 , 1 )

Toán 2

AC

(1 , 1 , 1 )

AD

( 2 , 3, 4 )

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


  

4. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ a, b,c (tt)

Ví dụ 3 (tt):
1

Nhận xét thể tích tứ diện ABCD

( AB , AC , AD )

2

6
S ABC

1

AB

1

AC

2

( 2 ,0 ,2 )

2

2

Do thể tích tứ diện ABCD =

1
3

diện tích đáy x đƣờng cao

Đƣờng cao hạ từ đỉnh D là:
h

3
S

Toán 2

CuuDuongThanCong.com

V
ABC

3

2

3

2

2

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

a/ Đƣờng thẳng:
Cho là đƣờng thẳng đi qua điểm M0(x0,y0,z0) và song

song với vectơ v
(m , n, p )
Vậy

sẽ bao gồm tất cả các điểm M(x,y,z) sao cho


M 0 M // v

Vậy

M

Δ

x

x0

y

m

y0
n

z

z0
p

Nếu ký hiệu các tỷ số trên là t, ta đƣợc phƣơng trình
tham số của đƣờng thẳng là:
x

x0

mt

y

y0

nt

z
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

z0

pt
/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

a/ Đƣờng thẳng (tt):
Khoảng cách từ điểm P đến đƣờng thẳng
bởi công thức:

v

M 0P

v

d

đƣợc tính

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm P(2,1,3) đến đƣờng
thẳng :

x

1
5

Ta có:
Vậy
Toán 2


v

( 5 , 4 ,1 ),

M 0P
CuuDuongThanCong.com

y

2

z

4
M 0 (1 , 2 , 0 )

(1,3,3)
/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3

5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

a/ Đƣờng thẳng (tt):
M 0P

d


v


i


j


k

1

3

3

5

4

1

M 0P

v


v

( 9 ,14 , 11 )

9

2

5

14
2

4

2
2

11
1

2

2

b/ Mặt phẳng:
Cho P là mặt phẳng qua điểm M0(x0,y0,z0) và vuông
góc với vectơ n =(A, B, C).. Khi đó mặt phẳng P sẽ bao
gồm tất cả các điểm M(x,y,z) có tính chất M0M n
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

b/ Mặt phẳng (tt):
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
M 0M
n
M(x,y,z)
M0(x0,y0,z0)

Vậy phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng P đƣợc viết
ở dạng: Ax + By + Cz + D = 0.
Trong đó: n= (A, B, C) là pháp vectơ của mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 và đƣợc tính bởi công thức sau:
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

b/ Mặt phẳng (tt):
d

Ax 0

By 0
A

2

Cz 0
B

2

C

D
2

Ví dụ 1: Tìm phƣơng trình của mặt phẳng đi qua M(2,3,0)
và song song với mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0.

Nhận xét: Pháp vectơ của mặt phẳng cần tìm cũng là pháp
vectơ của mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0, tức là n = (5,-3,-1)
Vậy phƣơng trình mặt phẳng cần tìm là:
5(x – 2) – 3(y – 3) – 1(z – 0) = 0
hay là 5x – 3y – z – 1 = 0.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

b/ Mặt phẳng (tt):
Ví dụ 2: Cho đƣờng thẳng (d):
x

2
2

y

1
3

z

3

1

Tìm tọa độ của H là chân đƣờng vuông góc hạ từ gốc
O xuống (d).
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc O và vuông góc với
(d). Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n ( 2 , 3 ,1 )
Phƣơng trình của (P) là: 2x + 3y + z = 0.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


5. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

b/ Mặt phẳng (tt):
Ví dụ 2 (tt):
Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng là:

x

2

2t

y

1

3t

z

3

t

Mà H chính là giao điểm của (P) và (d)
2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) + (3 + t) = 0
5

t=
Vậy

7

H

4

,

7
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

8 16

,
7 7
/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


BÀI TẬP CHƢƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG
KHÔNG GIAN R3

Bài 1: Cho a = (1,2,1), b = (2,3,5). Tìm a

b

Bài 2: Trong không gian R3, cho hai vectơ a và b. Biết
rằng a 1 , b 2 , góc giữa 2 vectơ là
3
Tính


a


b

;


(2a



b)


(a


2b )

Bài 3:
Cho tứ diện ABCD, trong đó A(1,0,2), B(3,-2,2),
C(4,2,6) và D(3,5,-2). Tính thể tích của tứ diện.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


BÀI TẬP CHƢƠNG 6 (tt)

Bài 4:
Tìm đỉnh thứ tƣ của tứ diện ABCD nếu biết A(-1,10,0),
B(0,5,2), C(6,32,2), V = 29 và D nằm trên trục Oy.
Bài 5:
Cho điểm A(1,2,4). Từ điểm A hạ các đƣờng vuông góc
với các mặt tọa độ. Tìm phƣơng trình mặt phẳng đi qua
chân các đƣờng vuông góc nói trên.
Bài 6:
Viết phƣơng trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1,7,-5)

và cắt các trục tọa độ (Phần dƣơng) theo các đoạn chắn
bằng nhau.
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3


PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN

Bài 1: a
Bài 2:


a

b = (7, -3, -1)

b

3

b)


(2a

Hƣớng dẫn:



(a
2b )



(2a b ) (a

3

3

2b )

Ở đây ta sử dụng tính chất (2a
và tính chất (a b) = -(b × a)


3(a

a ) = 0 vì 2a và a tỷ lệ

Bài 3: Thể tích tứ diện V = 16
Hƣớng dẫn:
V

1

( AB , AC , AD )

6
Toán 2

CuuDuongThanCong.com

1


b)

2
det

2

3

2

2

5

0
4

16

6
4

/>
Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3