Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet

Khoa học Tự nhiên

Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất
đối với tích q-sai phân của hàm phân hình
trên một trường không-Acsimet
Phạm Ngọc Hoa*, Nguyễn Xuân Lai
Khoa Toán, Trường Cao đẳng Hải Dương
Ngày nhận bài 29/6/2018; ngày chuyển phản biện 2/7/2018; ngày nhận phản biện 1/8/2018; ngày chấp nhận đăng 14/8/2018

Tóm tắt:
Trong bài báo này, các tác giả thiết lập một số kết quả tương tự Định lý thứ hai của Ritt cho tích q-sai phân dạng
fnf(qz+c) với f là hàm phân hình trên một trường không-Acsimet.
Từ khóa: Định lý Ritt, Giả thuyết Hayman, hàm phân hình, toán tử sai phân, trường không-Acsimet.
Chỉ số phân loại: 1.1

Ritt’s second therorem and uniqueness problems for differential and q-difference
polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field
Ngoc Hoa Pham*, Xuan Lai Nguyen
Department of Mathematics, Hai Duong College
Received 29 June 2018; accepted 14 August 2018

Abstract:
In this paper, the authors consider linear composition polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean
field of the form fnf(qz+c) and establish some versions of Ritt’s second theorem.
Keywords: difference operators, Hayman conjecture, meromorphic functions, non-Archimedean field, Ritt’s
decomposition.
Classification number: 1.1

Mở đầu
Định lý cơ bản của lý thuyết số phát biểu rằng mọi số nguyên n ≥ 2 đều biểu diễn duy nhất dưới
mk

1
dạng tích các số nguyên tố có dạng n = pm
1 ...pk , với k ≥ 1, ở đó các thừa số nguyên tố p1 , ..., pk đôi
một phân biệt và các số mũ tương ứng m1 ≥ 1, ..., mk ≥ 1 được xác định một cách duy nhất theo n.
Ritt là người đầu tiên xét tương tự định lý này đối với các đa thức.
Để mô tả kết quả của Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm phân hình (tương
ứng, nguyên) trên C và ký hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1. Đặt E, F là các tập con khác rỗng của
M(C), khi đó một hàm phân hình F (z) được gọi là không phân tích được trên E× F nếu bất kỳ cách
viết thành nhân tử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E và g(z) ∈ F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g
là tuyến tính. Năm 1922, Ritt [1] đã chứng minh định lý sau.
Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt). Cho F là tập con khác rỗng của C[z] \ L(C). Nếu một
đa thức F (z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thức không phân tích được trên F× F :
F liên
=ϕ
◦ ϕ2
◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs ,
*
Tác giả
hệ:1 Email:
thì r = s, và bậc của các đa thức ψ là bằng với bậc của các đa thức ϕ nếu không tính đến thứ tự xuất
hiện của chúng.
1
61(6)
Cũng trong [1], Ritt
đã6.2019
chứng minh định lý sau:
Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt). Giả sử rằng a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d
và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj ∈ C[x] sao cho

Để mô tả kết quả của Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm phân hình (tương
ứng, nguyên) trên C và ký hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1. Đặt E, F là các tập con khác rỗng của
M(C), khi đó một hàm phân hình F (z) được gọi là không phân tích được trên E× F nếu bất kỳ cách
viết
Khoathành
học Tựnhân
nhiêntử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E và g(z) ∈ F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g
là tuyến tính. Năm 1922, Ritt [1] đã chứng minh định lý sau.
Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt). Cho F là tập con khác rỗng của C[z] \ L(C). Nếu một
đa thức F (z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thức không phân tích được trên F× F :
F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs ,
thì r = s, và bậc của các đa thức ψ là bằng với bậc của các đa thức ϕ nếu không tính đến thứ tự xuất
hiện của chúng.
Cũng trong [1], Ritt đã chứng minh định lý sau:
Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt). Giả sử rằng a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d
và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj ∈ C[x] sao cho
(l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d ◦ l3 ) có một trong các dạng
(Fn , Fm , Fm , Fn ) hoặc (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ),
ở đó m, n > 0 là nguyên tố cùng nhau, s > 0 là nguyên tố cùng nhau với n, và h ∈ C[x] \ xC[x], lj−1 là
hàm ngược của lj ; Fn , Fm là các đa thức Chebychev.
Ở đây, phép phân tích F (z) = f ◦ g(z) chính là phép hợp thành F (z) = f (g(z)). Do đó, ta thấy
rằng Định lý thứ hai của Ritt mô tả các nghiệm của phương trình a(b) = c(d), ở đó a, b, c, d là các đa
thức và bậc của các đa thức là nguyên tố cùng nhau. Rõ ràng phương trình đa thức được Ritt nghiên
cứu là trường hợp riêng của phương trình hàm P (f ) = Q(g), ở đó P, Q là các đa thức và f, g là các hàm
phân hình. Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định duy nhất đối với hàm
phân hình - một ứng dụng của lý thuyết phân bố giá trị. Vấn đề xác định duy nhất đã được nghiên cứu
lần đầu tiên bởi R. Nevanlinna. Từ đó, vấn đề xác định duy nhất đã được nghiên cứu liên tục với nhiều
hướng nghiên cứu và đã nhận được các kết quả sâu sắc. Hayman là người đầu tiên khởi xướng một hướng
nghiên cứu khi ông xem xét tập xác định duy nhất đối với các đa thức vi phân. Năm 1967, Hayman đã
chứng minh một kết quả nổi tiếng rằng một hàm phân hình f trên trường số phức C không nhận giá trị

0 và đạo hàm bậc k của f , với k là số nguyên dương, không nhận giá trị 1 thì f là hàm hằng. Hayman
cũng đưa ra giả thuyết sau:
Giả thuyết Hayman [2] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f n (z)f (z) = 1 với n là số
nguyên dương và với mọi z ∈ C thì f là hàm hằng.
Giả thuyết này đã được chính Hayman kiểm tra với n > 1 và được Clunie kiểm tra với n ≥ 1. Các
kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành một hướng nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của
Hayman. Công trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về Yang-Hua [3], hai ông đã
nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và đơn thức vi phân của nó có dạng f n f . Hai ông
đã chứng minh được rằng, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n là số nguyên, n ≥ 11 nếu f n f
và g n g cùng nhận giá trị phức a tính cả bội thì hoặc f, g sai khác nhau một căn bậc n + 1 của đơn vị,
hoặc f, g được tính theo các công thức của hàm mũ với các hệ số thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Mục đích của bài báo này là thiết lập các kết quả đối với vấn đề duy nhất của tích q -sai phân dạng
n
f f (qz + c). Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa [4], Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa - Hà Huy Khoái [5], Hà
Huy Khoái - Vũ Hoài An [6] và Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An- Nguyễn Xuân Lai [7] đã có các kết quả
theo hướng nghiên cứu này. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh các kết quả sau:
Định lý 1. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K, n là số nguyên dương với n ≥ 13, q, c ∈
l
K, |q| = 1. Giả sử rằng f n f (qz + c) và g n g(qz + c) nhận 1 có tính bội. Khi đó f = với ln+1 = 1, hoặc
g
f = hg với hn+1 = 1.
Định lý 2. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K, n là số nguyên dương với n ≥ 25, q, c ∈
l
K, |q| = 1. Giả sử rằng f n f (qz + c) và g n g(qz + c)1 nhận 1 không tính bội. Khi đó f = với ln+1 = 1,
g
hoặc f = hg với hn+1 = 1.
Vấn đề nhận giá trị của tích sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet
Trước hết, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và một số kết quả liên quan. Ký hiệu K là một
trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ đối với một giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu bởi | . |.
Định nghĩa 2.1. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n là hai số nguyên

dương. Hàm phân hình trên K được xác định bởi công thức f n (z)f m (qz + c) với z ∈ K được gọi là tích
61(6) 6.2019
2
q -sai phân của f .
Bổ đề 2.2. Cho f và g là các hàm nguyên khác hằng trên K và
F = 1 ,G = 1 , L = F − G .


nh
lý 2.
f, gĐịnh
làgĐịnh
hai
hàm
phân
hình
hằng
trên
K
, hình
n
nguyên
dương
n nguyên
≥
q,dương
cq,∈dương
Định
lý
2.

Cho
làgkhác
hai
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
nvới
số
nguyên
dương
vớivới
25,
2.
lý
Cho
2.
Cho
f,f,
ggf,là
hai
làkhác
hai
hàm
hàm
phân
phân
hình

khác
trên
trên
KK
, ,nK
là
,là
nsố
là
số
nguyên
nn≥≥
n25,
≥ 25,
q,q,ccq,
∈∈c ∈
Định
lý Cho
2. Cho
f,
là lý
hai
hàm
phân
hình
hằng
trên
Kkhác
,là
n số

làhằng
số hằng
nguyên
dương
với
n 25,
≥
25,
c ∈với
l
l
l l n+1
n+1
lbội.lbội.
nn
n c) +
n tính
n
n+1
= 1.
sử rằng
f,n=
f=
+
c)
và
gvànrằng
g(qz
1 gvà
không

Khi
đó
f =ftính
với
=đó
1,
n1.
n+1
,|q|
|q|
Giả
sử
rằng
(qz
và
gn1nng(qz
g(qz
c)
nhận
không
tính
Khi
đó
f1,
vớivới
KK,rằng
K
|q|
1.
=

Giả
1.
Giả
sử
ff+
(qz
f+
(qz
+nhận
+nhận
và
c)
gkhông
g(qz
++c)
+bội.
nhận
c)
nhận
11Khi
không
1 đó
không
tính
bội.
Khi
Khi
==
f =với
l ln+1

ln+1
==1,1,
= 1,
|q|
= Giả
1. Giả
sử
f(qz
f (qz
+sử
c)rằng
gfnfg(qz
c)c)c)
tính
bội.
=fđó
g= g với l
g
g g
n+1
Khoa học Tự nhiên
n+1
fặc=f hg
với với
hn+1
=hoặc
1f=
n+1
f. ==
hg

vớivới
hoặc
= với
hg
hhn+1
hn+1
==11=
. . 1.
= hg
hhoặc
1f.hg
đề
nhận
giágiá
trị
của
tích
saigiá
phân
của
hàm
phân
hình
trên
một
trường
không-Acsimet
Vấn
đề
nhận

giá
trị
tích
sai
phân
của
hàm
phân
hình
trên
một
trường
không-Acsimet
Vấn
Vấn
đề
đề
nhận
nhận
giá
trị
trị
của
của
tích
tích
sai
sai
phân
phân

của
của
hàm
hàm
phân
phân
hình
hình
trên
trên
một
một
trường
trường
không-Acsimet
không-Acsimet
của
n đề
nhận
trị
của
tích
sai
phân
của
hàm
phân
hình
trên
một

trường
không-Acsimet
ước
hết,
chúng
tôi
trình
bày
một
số
định
nghĩa
và
một
số
kết
quả
liên
quan.
Ký
hiệu
K
là
một
Trước
hết,
chúng
tôi
trình
bày

một
số
định
nghĩa
và
một
số
kết
quả
liên
quan.
Ký
hiệu
là một
một
hết,hết,
chúng
chúng
trình
trình
bày
bày
mộtvà
một
sốmột
định
số số
định
nghĩa
và liên

một
và một
số kết
số Ký
kết
quảhiệu
quả
liênK
liên
quan.
Ký Ký
hiệu
hiệu
KK làK
là
một
Trước hết, chúngTrước
tôiTrước
trình
bày
mộttôisốtôi
định
nghĩa
kếtnghĩa
quả
quan.
là quan.
một
|
.

|.
gờng
đóng
đại
số
đặc
số
0,
đầy
đủ
đối
với
một
giá
trị
tuyệt
đối
không-Acsimet
ký
hiệu
bởi
|
.
|.
trường
đóng
đại
số
đặc
số

0,
đầy
đủ
đối
với
một
giá
trị
tuyệt
đối
không-Acsimet
ký
hiệu
bởi
trường
đóng
đại
số
đặc
số
0,
đầy
đủ
đối
với
một
giá
trị
tuyệt
đối

không-Acsimet
ký
hiệu
bởi
|
.
|.
|
.
|.
trường
đóng
đại
số
đặc
số
0,
đầy
đủ
đối
với
một
giá
trị
tuyệt
đối
không-Acsimet
ký
hiệu
bởi

đóng đại số đặc số 0, đầy đủ đối với một giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu bởi | . |.
nh
nghĩa
2.1.2.1.
Cho
fĐịnh
làfnghĩa
hàm
phân
hình
hằng
trên
K,hình
q,
cq,∈khác
, |q|
=trên
1,
m,
n
hai
số
Định
nghĩa
2.1.
Cho
f làlà
hàm
phân
hình

khác
K
q,c,là
cq,
,|q|
|q|,nguyên
=nguyên
m,
nlàlà
hai
sốnguyên
nguyên
Định
2.1.
2.1.
Cho
Cho
fkhác
fkhác
hàm
là
hàm
phân
phân
hình
hằng
trên
K
K
cKK

∈,hai
K
=
|q|
1,1,
=m,
1, nm,
nhai
là hai
số
số
nguyên
Định nghĩa
Cho
lànghĩa
hàm
phân
hình
hằng
trên
Kkhác
,m
cK
∈hằng
Khằng
, trên
|q|
=
1,, ,q,
m,

n∈∈
là
số
n
n
m
n
n
m
m
n
m
.ơng.
Hàm
phân
hình
trên
K
được
xác
định
bởi
công
thức
f
(z)f
(qz
c)
với
z

∈
K
được
gọi
là
tích
nbởi
m +
dương.
Hàm
phân
hình
trên
K
được
xác
định
bởi
công
thức
f
(z)f
(qz
+
c)
với
z
∈
K
được

gọi
là
tích
dương.
dương.
Hàm
Hàm
phân
phân
hình
hình
trên
trên
K
được
K
được
xác
xác
định
định
bởi
công
công
thức
thức
f
(z)f
f
(z)f

(qz
(qz
+
c)
+
với
c)
với
z
∈
z
K
∈
được
K
được
gọi
gọi
là
tích
là tích
Hàm phân hình trên K được xác định bởi công thức f (z)f (qz + c) với z ∈ K được gọi là tích
phân
của
f
.
-sai
phân
củacủa
q -sai

phân
phân
của
ff. . f .
ai phân của f q. q-sai
ổBổ
đề đề
2.2.2.2.
ChoCho
f và
g
là
các
hàm
nguyên
trên
K và
Bổ
đề
2.2.
Cho
và
gkhác
các
hàm
nguyên
khác
hằng
trên
và

Bổ
Bổ
đề
đề
2.2.
2.2.
Cho
ff nguyên
và
f gvà
làlàgcác
làhằng
các
hàm
hàm
nguyên
nguyên
hằng
hằng
trên
trên
KKvà
K và
f và g là cácCho
hàm
khác
hằng
trên
Kkhác
vàkhác

1
1
F111 1 G
11 1
F
G
1
F
F
G
G
F − G .
=
, 1FL
−
1G =
F
F, =
=
F
=
, ,GG−
,==
G.Gg−1
=
L F=
− −
. .
ff
−1

g−1
F f=−1f,−1
, G g−1
= g−1
L fF=
. , , LL,==
F
−1
−1fF−1G
F F GG
G G
G g−1g−1
Nếu
E
(1)
=
E
(1)
và
L
≡
0
thì
1.
Nếu
E
(1)
=
E
(1)

và
L
≡
0
thì
1.g (1)
Nếu
1. Nếu
EfLff(1)
E≡f (1)
=
E=gg(1)
và L
và≡L0≡thì
0 thì
gEg (1)
1. Nếuf Ef (1) =g E
và
0 thì
1
1 1
1
11 1
1 1 1
)
−
log
r
+
O(1),

)
+
N
(r,
g)
+
N
(r,
)
≤
N
(r,
f
)
+
N
(r,
log
O(1),
)
+
N
(r,
g)
+
N
(r,
T
(r,
f

)
≤
N
(r,
f
)
+
N
(r,
2
2
2
2
)
+
N
))−−)log
rr++rO(1),
)
+
(r,
N
g)
(r,
+
g)
N
+
(r,
N

(r,
− log
+ O(1),
T
(r,
T
f
(r,
)
≤
f
N
≤
(r,
N
f
(r,
)
+
f
)
N
+
(r,
N
(r,
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r,
gf g ) − log r + O(1),
f f ) + N2 (r, g) + N
ff2 (r,
gg g
ng
có bất
đẳng
thức
tương
tự
đối
vớithức
T thức
(r,
g)
; g)tự
vàcũng

cũng
cóbất
bấtbất
đẳng
thức
tương
đốiđối
vớivới
(r,
g); ;g);
và
và
cũng
có
có
đẳng
đẳng
tương
tự
với
TT(r,
Tg)
(r,
cũng
có bất
đẳng
thức
tương
tự
đối

với
T
(r,tương
;tựđối
Nếu
E
(1)
=
E
(1)
và
L
≡
0
thì
một
trong
ba
trường
hợp
sau
đây
xảy
ra: hợp
2.
Nếu
E
(1)
=
E

(1)
và
L
≡
0
thì
một
trong
bađây
trường
hợphợp
sausau
đâyđây
xảyxảy
ra:ra:
2. Nếu
E fL
E≡f (1)
=
E=gg(1)
E g (1)
vàtrong
Lvà≡Lba
0≡thì
0 một
thì một
trong
trong
ba
trường

ba
trường
sau
đây
xảy
ra:
ff(1)
gmột
2. Nếuf E f (1) =g 2.
E gNếu
(1)
và
0 thì
trường
hợp
sau
xảy
ra:
1 1
1
1
1
1 1 1
1 1
Ti)
(r,
+
N
+
N

g)
+
N
))N
−
r(r,
(r,
f))(r,
N
(r,
f))+
N
(r,
N
(r,1log
g)++rg)
+O(1),
(r,1 (r,
log
O(1),
11(r,
i)+
++
))−−)log
rr++rO(1),
T1 (r,
fN
(r,
≤
f≤)N

≤1)1(r,
(r,
f+)N
+11(r,
(r,)1)(r,
+)1log
N
g)
NN
+1O(1),
− log
+ O(1),
1(r,
1(r,
1N
1N
1−
1N
T f(r,) ≤
f )N
≤1 (r,
N1f(r,)i)i)
fTT
)(r,
+11f(r,
N
+
N
+
1f

1 (r, g)
g
f
g
f
g
f
g
f
g
ng
có bất
đẳng
thức
tương
tự
đối
vớithức
T thức
(r,
g)
; g)tự
vàcũng
cũng
cóbất
bấtbất
đẳng
thức
tương
đốiđối

vớivới
(r,
g); ;g);
và
và
cũng
có
có
đẳng
đẳng
tương
tự
với
TT(r,
Tg)
(r,
cũng
có bất
đẳng
thức
tương
tự
đối
với
T
(r,tương
;tựđối
f
g
≡

1;
ii)
f
g
≡
1;
ii) fii)
g≡
f g1;≡ 1;
ii) f g ≡ 1;
)iii)
f ≡f g.
iii)
f
≡
iii)
iii)
f
≡
fg.g.
≡ g.
≡ g.
ổBổ
đề đề
2.3.2.3.
ChoCho
f làBổ
một
hàm
phân

hình
khác
hằng
trên
K hình
và
n,
kn,
làk các
sốtrên
nguyên
>
2k.
Bổ
đề
2.3.
Cho
một
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
Kvà
vàn,
n,dương,
là
các
số

nguyên
dương,
2k.
đề
2.3.
2.3.
Cho
Cho
f flàlà
fmột
là một
hàm
hàm
phân
phân
hình
hằng
hằng
K
K
và
kkn,làdương,
kcác
làncác
số
số
nguyên
dương,
dương,
nn>>

n2k.
> 2k.
f làBổ
mộtđề
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
Kkhác
vàkhác
làtrên
các
số
nguyên
nnguyên
>
2k.
ó,
có
Khi
đó,
có
Khi
Khi
đó,
đó,
có
có

i đó, có
n−k
n−k
f n−k
n−k
ffn−k
f n−k
n (k)
(k)
f
n )(k)
(k)
)
≤
T
(r,
(f
)
)
+(k)
O(1);
(n
−
2k)T
(r,
f
)
+
kN
(r,

f
)
+
N
(r,
n
1.
(n
−
2k)T
(r,
f
)
+
kN
(r,
f
)
+
N
(r,
)≤≤
(r,
(fnnn(f
O(1);
1.kN
)+
)TT
≤(r,
T(f

(r,
))(k)
) ++)O(1);
+ O(1);
(n
−
(n2k)T
− f2k)T
(r,
) (r,
+
f )nkN
+(k)kN
(r, f(r,
)≤
+
f )T
N+
(r,
N(f(r,n)nn(k)
1. (n − 2k)T (r, f1.) +
)
(r,
)
O(1);
(r,
)(r,
+ fN
(k)
n

(k)
(k)
(f (f
) n )(k)
(f
)
(f (f
) )
n−k
n−k
f n−k
ffn−k
f n−k
f n−k
)
≤
kT
(r,
f
)
+
kN
f)kT
)kT
O(1).
N
(r,
(r,
f))+
kN

(r,1f(r,
f))+
O(1).
2.
N
(r,
1 (r,
))≤≤
≤+(r,
kT
f(r,
f+)kN
+ 1kN
f+)O(1).
+ O(1).
2.
N
2.
(r,
N
(r,
1(r,
) ≤ kT (r,(f
f(f)nnn(f
+
kN
2. N (r,
(k)
n
(k)

(f n(f
)(k)
n )(k)
))(k)
)(k)1 (r, f ) + O(1). 1
ổBổ
đề đề
2.4.2.4.
ChoCho
f là
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
K hình
và
q,
cq,hằng
∈hằng
,K
|q|
=
1.
Khi
Bổ
đề
2.4.
Cho

một
hàm
phân
hình
khác
trên
và
q,
cq,
=1.1.
KhiKhi
đó đó
Bổ
Bổ
đề
đề
2.4.
2.4.
Cho
Cho
f flàlà
fmột
là một
hàm
hàm
phân
phân
hình
hằng
trên

trên
KK
K
và
cđó
∈∈đó
cKK
∈, ,|q|
K|q|
,=
|q|
=Khi
1.
đó
f một
là
một
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
Kkhác
vàkhác
cK∈
, |q|
=và
1.q,
Khi

f (qz
+
c)
f
(qz
+
c)
f
(qz
f
(qz
+
c)
+
c)
f (qz + c)1.1.O(1);
m(r,
m(r,
O(1);
))==)O(1);
m(r,
= O(1);
1. m(r, f (z) ) =
) m(r,
=1.
O(1);
(z)
ff(z)
f (z)
f (z)

f (z)
(z)
ff(z)
f (z)
f (z)) =
m(r,
O(1);
m(r,
O(1);
))==)O(1);
2.2.
m(r,
2.
m(r,
= O(1);
2. m(r,
)
=
O(1);
f (qz
+ c)
(qz
ff(qz
++c)c)
f (qz
+ c)
f (qz
+ c)
T3.(r,
+ c))

=3.3.
T=T(r,
f(r,
T(r,
f(qz
(r,
f(z))
(z))
O(1);
3.
T
f(z))
(r,
f+
(qz
++O(1);
c))
+O(1);
c))
==TT
=(r,
Tf(r,
f (z))
++O(1);
+ O(1);
T f(r,(qz
f (qz
+ c))
T(r,
f(qz

(z))
+c))
1 111 1
1 1
1
1 1
)=
N
O(1);
(r,
N(r,
(r,
+ O(1);
=(r,
N (r, ))++)O(1);
==)NN
4.4.
N
4.
(r,
N(r,
(r, ) +)O(1);
+))c)
O(1);
)N
=
N
4.(r,
N (r,
fff(z)

f (qz
+ c)
(z)
(qz
f (z)
(qz
+
(qz
++c)c)
ff(z)
ff(z)
f (qz
+ c)
N
+ c))
=5.5.N
(r,
(z))
++O(1).
N
f(qz
c))
(r,
f(z))
(z))
O(1).
N5.
(r,
Nf(r,
f(r,

f(z))
(qz
c))
+O(1).
c))
==NN
=(r,
Nf(r,
f (z))
++O(1).
+ O(1).
5.(r,
N f(r,(qz
f (qz
+ c))
=
N(r,
f(qz
+
ổBổ
đề đề
2.5.2.5.
ChoCho
f Bổ
làBổ
một
hàm
phân
hình
khác

hằng
trên
K,hình
|q|
=khác
1,
và
n,
m,
d, k|q|
làk=
các
số
đề
2.5.
Cho
f
là
một
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
K,
|q|
=
vànguyên
n,m,

m,
d,kkd,làlà
các
sốnguyên
nguyên
Bổ
đề
đề
2.5.
2.5.
Cho
Cho
f
là
f
một
là
một
hàm
hàm
phân
phân
hình
khác
hằng
hằng
trên
trên
K,
K,

|q|
=các
và
1,
n,
và
n, d,
m,
k các
là các
số
số
nguyên
f là một hàm phân hình khác hằng trên
K,
|q|
=
1,
và
n,
m,
d,
là1,1,
số
nguyên
saosao
chocho
m>
d,
1,

>n 2k.
Khi
dương
sao
cho
m2k.
>d,d,
dd,≥≥
2k.
KhiKhi
đó đó
cho
cho
m
>
m
>
dđó
d1,1,
≥nn1,>>
n2k.
> 2k.
Khi
đó
ơng
mdương
>ddương
d,≥dsao
≥nsao
1,

>
Khi
đó
m
d
mm
m ddd(qz
d + c)) + O(1);
m
(m
−
d)T
(r,
f
)
≤
T
(r,
f
(z)f
(qz
+
c))
+
O(1);
m
d
1.
(m
−

d)T
(r,
f
)
≤
T
(r,
f
(z)f
1.T (m
− d)T
(r, f(r,
)(qz
≤
f )T+
≤(r,
Tf(r,
fO(1);
(z)f
(qz (qz
+ c))
++
c))O(1);
+ O(1);
1. (m − d)T (r, f1.
) ≤(m
(r,
f− d)T
(z)f
c))

+(z)f
m
d
mm
m ddd(qz
d + c))+
m(z)f
m
d+
(n
−
2k)(m
−
d)T
(r,
f
)
+
kN
(r,
f
(z)f
(qz
+
c))+
2.
(n
−
2k)(m
−

d)T
(r,
f
)
+
kN
(r,
f
2.
(n
2.
−
(n
2k)(m
−
2k)(m
−
d)T
−
d)T
(r,
f
(r,
)
f
)
kN
+
kN
(r,

f
(r,
(z)f
f
(z)f
(qz
(qz
+ c))+
+ c))+
2. (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f (z)f (qz + c))+
d
n−k mm
n−k
m ddd(qz
n−k
m
n−k
(f m(f(z)f
(qzd (qz
+ c))
m
(fn−k
(z)f
c))
(f
(f
(z)f
(z)f
(qzd (qz
++

c))
+n−k
c))
nm
nd
(k)
nm
nd
(k)
(z)f
+
c))
nm
nm
nd
nd + c))(k)
nd(qz
(k))(k)
nm
nd
(k)
)
≤
T
(r,
(f
(z)f
c))
)nm
+

O(1);
N (r,
)≤
≤)(qz
T
(r,
(f
(z)f
O(1);
N
(r,
)(qz
T+
≤(r,
T(f
(r,
(f
(z)f
(z)f
(qz
(qz
+ c))
+ c))
) ++)O(1);
+ O(1);
(r,
N (r,
nd (qzN
(k)
N (r,

)
≤
T
(r,
(f
(z)f
+
c))
)
+
O(1);
nm
nd
(k)
nm
nm
nd
nd
(k)
(k)
nm
nd
(k)
(f nm
(z)f
+
c))
(f
(z)f
(qz

+
c))
(k)
(z)f(z)f(qz (qz
+ c))
+ c))
(f nm (z)f nd (qz +(fc))(f

d
n−k mm
n−k
m ddd(qz
n−k
m
n−k
(f m(f(z)f
(qzd (qz
+ c))
m
(fn−k
(z)f
c))
(f
(f
(z)f
(z)f
(qzd (qz
++c))
+n−k
c))

(z)f
+
c))
N
(r,
)
≤
k(m
+
d)T
(r,
f
3.
N
(r,
)≤
k(m
d)T
(r,f(r,
f)+
)+
3.
N
3.
(r,
N
(r,
))+
)k(m
≤ k(m

++d)T
+ d)T
(r,
f )+
nd
(k)
3. N (r,
)≤
k(m
+
d)T
(r,
f≤
)+
nm nm
nd
(k)
nm
nd
nd (qz
(k)
nd
(k)
(f nm
+ c))
(f
(z)f
(qz
+c))
c))

nm (z)f(qz
nd (qz
(k)
(f
(z)f
(z)f
(qz
+
+(k)
c))
(f(z)f
+(f
c))nm
m
d
mm
m≤dddk(m
d +
m(z)f
m
kNkN
(z)f
(qzd +
c))
+1f(r,
d++
(r,≤≤
f(r,)k(m
+
O(1).

kN
fO(1)
(qz
c))
+
O(1)
k(m
2)T
(r,f(r,
f))+
O(1).
1 (r, f
kN
fO(1)
(z)f
(qz
++c))
+
c))
O(1)
+2)T
O(1)
≤
++O(1).
dd+++d2)T
+ 2)T
(r,
f+)O(1).
+ O(1).
1(r,

1kN
1(r,
c))
+(z)f
≤ (qz
k(m
d2)T
+
f )k(m
+
1 (r, f (z)f (qz +

Bây giờ, cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K thỏa mãn E f (1) = E g (1). Cho a là
một không điểm của f − 1 với bội µ0f −1 (a), và là không điểm của g − 1 với bội µ0g−1 (a). Ta ký hiệu
1
N1 (r, f −1
; µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a)) là2 hàm đếm các không điểm của f − 1, mà µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a) và những
212 2 0
2
không điểm đó được đếm với bội 1, ký hiệu N1,2 (r, f −1
; µf −1 (a) = µ0g−1 (a)) là hàm đếm các không điểm
của f − 1, mà µ0f −1 (a) = µ0g−1 (a) ≥ 2, và mỗi không 3điểm đó được đếm với bội 1. Bằng cách tương tự,
161(6) 06.2019
1
ta định nghĩa: N1 (r, g−1
; µg−1 (a) > µ0f −1 (a)), N1,2 (r, f −1
; µ0g−1 (a) = µ0f −1 (a)).
Bổ đề 2.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Nếu E f (1) = E g (1), thì một trong

Khoa học Tự nhiên

Bây
Bây
Bây
Bây
Bây
giờ,
giờ,
giờ,
giờ,
giờ,
cho
cho
cho
cho
ffcho
fvà
fvà
và
vàvà
là
là
glà
làhai
là
hai
giờ,
hai
hàm

hàm
hàm
hàm
cho
hàm
phân
phân
fphân
phân
phân
vàphân
hình
hình
gBây
hình
hình
hình
là khác
hai
giờ,
khác
khác
khác
khác
hàm
cho
hằng
hằng
hằng
hằng

hằng
fphân
trên
và
trên
trên
trên
ghình
K
là
KK
Bây
thỏa
K
hai
thỏa
thỏa
khác
thỏa
thỏa
giờ,
hàm
mãn
mãn
mãn
hằng
mãn
cho
mãn
phân

E
EE
trên
(1)
(1)
(1)
và
hình
(1)
=
g=(1)
=cho
là
E
=
thỏa
khác
E
=
E
(1)
E
(1)
mãn
(1)
.ghằng
.hàm
(1)
Cho
.Cho

E
phân
Cho
trên
afCho
aa(1)
làlà
alàK
alà
hình
là
thỏa
(1)
mãn
. Cho
hằng
E f (1)
atr
Bây
fE
và
g.Cho
hai
hàm
phân
hình
kl
Bây
giờ,
fggggBây

và
ghai
là
hai
hàm
hình
khác
hằng
trên
K
thỏa
mãn
E
(1)
.là
a=
làE gkhác
ff
fE
fE
fgiờ,
f(1)
g=
ghai
g(1)
gE
fK
g.Cho
0000 0 0
0

0
000 0 0 0
0
0
0
một
một
một
một
không
không
không
không
không
điểm
điểm
điểm
điểm
của
của
của
của
của
một
không
điểm
của
một
không
điểm

của
một
không
điểm
của
ffcủa
ff−−
f−
−
1−
1f1với
với
1với
với
bội
bội
bội
µµbội
µ
µ
µ
(a)
(a)
f
(a)
(a)
(a)
,
−
,

,
và
,
và
1
,
và
và
và
là
với
là
là
là
không
là
không
không
bội
không
không
µ
điểm
điểm
điểm
điểm
f
(a)
−
của

,
của
của
1
và
của
của
với
g
g
là
g
−
−
g
g
−
bội
không
1
−
1
−
1
với
với
1
µ
1
với

với
với
bội
điểm
bội
bội
(a)
bội
bội
µ
µ
f
,
µ
của
và
µ
−
µ
(a).
(a).
1
là
(a).
g
(a).
với
−
không
(a).

Ta
Ta
Ta
1
bội
Ta
ký
với
ký
Ta
ký
điểm
µ
ký
hiệu
bội
hiệu
ký
hiệu
hiệu
(a)
µ
hiệu
của
,
và
(a).
g
−
là

1
Ta
không
với
ký
bội
hiệ
đi
một
không
điểm
của
f
−
1
với
bội
µ
(a)
,
và
một
không
điểm
−
1bội
với
µ
(a)
,

và
là
không
điểm
của
g
−
1
với
bội
µ
(a).
Ta
ký
hiệu
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
ff−1
f−1
f−1
−1
f −1f −1
f −1
f −1
f −1 g−1
f −1
g−1

1111 1 00
1
1
0000 0 10
0
0
0
0
0 000 00 10
00 000 0 0 0
0
0
10µ0(a)
0(a)
NNN
N
(r,
(r,
(r,
;
;
µ
;
µ
µ
;
(a)
(a)
>
>

>
>
N
µ
>
µ
µ
µ
(r,
µ
(a))
(a))
(a))
(a))
;
là
µ
là
là
hàm
là
hàm
hàm
hàm
(a)
hàm
đếm
đếm
>
N

đếm
đếm
đếm
µ
(r,
các
các
các
các
các
(a))
không
không
không
;
không
không
µ
là
điểm
hàm
điểm
(a)
điểm
điểm
điểm
>
đếm
của
của

của
µ
N
của
f
các
f
(r,
f
−
(a))
−
f
−
không
1,
−
1,
1,
là
mà
1,
1,
mà
;
mà
µ
hàm
mà
mà

µ
điểm
µ
µ
(a)
µ
µ
đếm
(a)
(a)
của
(a)
>
(a)
(a)
>
các
µ
>
f
>
µ
>
µ
−
>
µ
không
(a))
µ

1,
µ
(a)
(a)
mà
(a)
là
(a)
điểm
và
(a)
và
µ
và
hàm
và
những
những
và
những
của
những
(a)
đếm
những
f
>
các
−
µ

1,
không
mà
(a)
µvà0fđiểm
nhữn
(a)kc
N
(r,
;
µ
(a)
>
(a))
là
hàm
các
(r,
;
µ
(a)
>
µ
(a))
là
hàm
đếm
các
không
điểm

của
f
−
1,
mà
µ
(a)
>
µ
(a)
và
những
11(r,
1(r,
1N
1
1
1
1ff−1
1−1
g−1
g−1
g−1
g−1f −1
g−1 f −1
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1 đếm

g−1
g−1
f−1
−1
f −1f −1 g−1
f −1
f −1
f−1
−1
fff−1
−1
−1
f−1
−1
f −1
g−1 f −1
g−1 fg−1
fff−1
f−1
−1
f −1ff−1
f −1
f −1 g−1
−1
111 11 0100 00 0
1
1
000 00 10
0
0

0
0
0
không
không
không
không
không
điểm
điểm
điểm
điểm
điểm
đó
đó
đóđó
được
được
được
được
được
không
đếm
đếm
đếm
đếm
đếm
với
với
với

điểm
với
bội
bội
bội
bội
đó
đếm
với
điểm
bội
đó
đếm
không
với
điểm
bội
đó
đếm
với
bội
11,1bội
,ký
,1được
ký
ký
,ký
hiệu
hiệu
hiệu

hiệu
hiệu
N
NN
N
N
(r,
(r,
(r,
(r,
(r,
1f;−1
,;được
µ;µ
ký
µ
;;f−1
µfµ−1
hiệu
(a)
(a)
(a)
=
N
==
µ=
µg−1
µ(r,
µg−1
(a))

(a))
(a))
1g−1
(a))
,(a))
;ký
là
µ(a))
làlà
hàm
hiệu
là
hàm
là
hàm
(a)
hàm
hàm
N
đếm
=
đếm
đếm
đếm
µ(r,
các
các
các
các
(a))

không
các
không
không
;đếm
không
1µkhông
là
,fkhông
ký
điểm
hàm
điểm
điểm
(a)
hiệu
điểm
điểm
=
đếm
N
µ11,2
(r,
(a))
không
là; µhàm
điểm
không
điểm
đó

được
với
bội
,các
ký
hiệu
không
điểm
đó
được
đếm
với
1ký
,không
ký
hiệu
N
(r,
µ
=
là
hàm
đếm
điểm
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2

1,2
1,2
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
−1
f;f(a)
−1
−1
fđược
−1
−1
−1((
ff−1
f−1
f−1
−1ff−1
fµ−1
f −1các
f −1 Nf1,2
f −1 (a)
000 0 0
000 0 0
0
0
0
0
0

00
0
fffcủa
f−
−
−
f−1,
1,
−
1,
1,
mà
mà
mà
µµfµ
(a)
(a)
(a)
(a)
==
=
f=µ=
µ
−
µg−1
µ1,g−1
(a)
(a)
(a)
(a)

≥≥
µ
≥
≥2,
2,
2,
2,và
2,
và
(a)
và
và
và
mỗi
mỗi
mỗi
f=
mỗi
mỗi
−µkhông
không
không
1,không
không
mà
(a)
điểm
điểm
µ≥
điểm

điểm
2,điểm
đó
(a)
đó
và
đóđó
được
được
mỗi
=
được
được
µfg−1
không
đếm
−
đếm
đếm
(a)
1,
đếm
đếm
với
mà
với
≥
với
điểm
với

với
bội
2,
µ
bội
bội
bội
đó
bội
1.1.1.
(a)
mỗi
Bằng
được
1.
Bằng
1.
Bằng
=
Bằng
không
Bằng
µ
đếm
cách
cách
cách
(a)
cách
với

điểm
tương
tương
tương
≥
tương
bội
đó
2,
1.
tự,
và
tự,
được
tự,
Bằng
mỗi
tự,
cách
điểm
bội 1.
tự
đ
của
của
của
của
của
của
của

fvới
−
1,
mà
µ
(a)
=tương
µtự,
(a)
≥không
2, với
vàtương
mỗi
kh
của
f1,mà
−
1,
mà
µ
=
µmà
≥
2,
và
mỗi
không
đó
được
đếm

bội
1.
Bằng
cách
tương
tự,đếm
g−1
g−1
g−1
f−1
fµ
−1
−1
−1
f(a)
−1
f≥
−1
fđiểm
−1
fvà
−1
g−1
fcách
−1
g−1 (a)
f −1 (a)g−1
1111 1 01000 0 0
111 110 010010 0 0
1

11
1
0000 0 10
0
000 00 10 0 0
0 0
000
00
ta
ta
tađịnh
định
ta
định
định
định
nghĩa:
nghĩa:
nghĩa:
nghĩa:
nghĩa:
ta
định
định
ta
định
nghĩa:
NNN
N
(r,

(r,
(r,
;;µ
;;µµg−1
;g−1
µnghĩa:
(a)
(a)
(a)
>>>
N
µ>
µ1fµµf(r,
(a))
(a))
(a))
(a))
,;,µN
,N
,g−1
N
,nghĩa:
N
N
(r,
(a)
(r,
(r,
(r,
(r,

>
N
µ;(r,
;µ
µ;−1
µ
(a))
(a)
µ,(a)
=
N
==
µ=
=
µ
(a)
µ−1
(a)).
(a)).
(a)).
µ(a)).
N
(a)).
µ
(r,
(a))
(a)
,N
;=
µN

µ(r,
(a)
>; ;µµµfg−1
(a))
µµf1,2−1
(r,
(a)).
; µ0
nghĩa:
(a))
(a)=,>N
ta
định
nghĩa:
(r,
;g−1
µ(a)
>
µ
,1,2
N
(r,
;(a)
µ;(a)
(a)
=
µ
11(r,
1(r,
1N

1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1(a)).
1f(r,
1g−1
1,2
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1
−1
fµ
−1
fta
−1
−1
f(a))
−1
f;µ
fµ(r,
f−1
fµ

−1
f>
fta
−1
f;−1
−1f (a)).
−1(a)
f −1
g−1 (a)
g−1
g−1
g−1
g−1
g−1g−1
g−1
ff−1
f−1
−1
ff1−1
−1
g−1
f−1
−1
g−1 1,2
−1
f −1, Ng1
f −1 (a))
fđịnh
−1
g−1 g−1

f−1
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề
đề
đềđề
2.6.
2.6.
2.6.
2.6.
Cho
Cho
Cho
Cho
Cho
fCho
fffvà
và
Bổ
fvà
vàvà
gfggđề
là
là
glàhai
là

2.6.
hai
hai
hàm
hàm
hàm
hàm
Cho
hàm
phân
phân
phân
phân
fphân
Bổ
và
hình
hình
hình
gđề
hình
hình
làkhác
2.6.
khác
hai
khác
khác
khác
hàm

hằng
hằng
Cho
hằng
hằng
hằng
phân
trên
ftrên
trên
và
trên
K.
Bổ
hình
K.
gK.là
K.
K.
Nếu
Nếu
đề
Nếu
hai
khác
Nếu
Nếu
2.6.
ENếu
E

hàm
E
(1)
(1)
(1)
phân
(1)
=
trên
=
E
=
fE=
E
hình
(1)
và
E
(1)
E
(1)
(1)
gg,,Nếu
(1)
khác
là
thì
thì
, ,thì
hai

một
E
thì
một
hàm
(1)
một
trong
trong
trong
=
trong
phân
trong
Ehai
(1)
hình
Nếu
, thìkhác
E
một
hằng
tron
=
Bổ
đề
Cho
fhằng
và
gtrên

là
hàm
phân
hình
Bổ
đề
2.6.
và
ghai
là
hai
hàm
phân
hình
khác
hằng
trên
K.
E
(1)
(1)
,một
thì
một
trong
fhằng
fE
fE
fCho
f(1)

g2.6.
g=
gK.
gE
fmột
gK.
f (1)
f=
g,thì
các
các
các
các
hệ
hệ
hệ
hệhệ
thức
thức
thức
thức
thức
sau
sau
sau
sau
xảy
xảy
xảy
xảy

ra:
các
ra:
ra:
ra:ra:hệ
ra: hệ thức sau xảy ra:các hệ thức các
sau hệ
xảythức
ra: sau xảy ra:
các
hệ
thức
sau
xảy
ra:thức sau xảycác
11 1
1111 11 1
1 1 111 11 1
1 1 1 111 1 11 1
1 1
1.
1.
1.1.TT
1.
1.g)
TT(r,
(r,
(r,
T(r,(r,
ffT)f)(r,

)f≤≤
)≤fN
≤
N
(r,
N
(r,
(r,
(r,
fff2)f1.
)(r,
)+
)f+
+
+
)TN
+
N
(r,
N
(r,
f2N
(r,
)f1f12)f≤
)(r,
+
)f++
N
+
)NN

+N
N
(r,
N
(r,
(r,
(r,
fN
(r,
g)
)g)
g)
+
+
Tg)
++
N
(r,
N
+
N
+
N
(r,
(r,
N
)2(r,
≤
(r,
))+

N
)+)+
)N
2(N
+
(r,
2(N
+2(N
(r,
2(N
f11(r,
)2(N
g)
+
(r,
(r,
f+
N
f1)fT)N
+
)f(r,
+
(r,
+
(r,
+
+
N
f(r,
N

)1N
)(r,
+
(r,
)≤
(r,
+
(r,
N
))
N
2(N
))
+
))
(r,
+
))
Ng)
N
+(r,
N
+
f11(r,
N
+
)1(r,
N
(r,
f+

N
(r,
g)
)1g)
N
(r,
+
(r,
+
+
N
(r,
g)
N
+
N
(r,
)+(r,
N
+
(r,
(r,
N
(r,
))N
)(r,
)(r,
+
−
)2g−

)(r,
N
−
)g)
−
(r,
ff)+
g)
+
(r,
)))
+g+
2(
)N
−
Tf(r,
N
(r,
)+
+
(r,
)+
+NN
N
(r,1g1(r,
1.
)N
≤
fN
+

)(r,
+
(r,
g)
+
N
fN
N
g)
N
222
2(r,
2N
2)2(r,
2(r,
22N
2(r,
2+
2g)
2f
2(r,
2(r,
1(r,
11.
2))N
2))
1≤
21g)
1N
1)

1f2(N
1(r,
21(r,
2+
2−
2N
fgg2g(r,
gg 2 g2) +
f1)1+
g 11
f1.
f1f(r,
f f1))
g 1f1f
g1g1gN
gg1) −
fg) +
f22222 2 2
222log
log
2log
log
rr2rr+
+
+
r+O(1),
O(1),
+rO(1),
O(1),
2 log r + O(1),

2 log r + O(1),
2 log r + O(1),
log
+ O(1), 2 log r + O(1),
và
và
vàvà
có
có
có
cóvà
bất
có
bất
bất
bất
bất
đẳng
đẳng
đẳng
đẳng
thức
thức
thức
thức
tương
và
tương
tương
tương

tương
cótương
tự
bất
tự
tựđối
tự
đối
đẳng
đối
đối
với
với
với
với
thức
với
TTTvới
(r,
T(r,
T(r,
và
(r,
tương
(r,
g)
g)
g)
có
g)

;(r,
;g)
;;bất
;g)
tự;đẳng
đối với
thức
T (r,
tương
g)
và; cótựbất
đốiđẳng
với
thức
(r,bất
g)tương
;đẳng tự
đốitương
với Ttự
(r,đối
g); với T (r, g);
và Tcó
thức
có
bất
đẳng
thức
tự
đối
T

2.
2.
2.2.f2.
2. f g ≡ 1;
2. f g ≡ 1;
2. f g ≡ 1; 2. f g ≡ 1;
ffgfgg2.
gf≡
≡
g≡
≡
1;
1; 1;
f1;
g1;≡
3.
3.
3.3.f3.
fff≡
≡
≡
f
≡
g.
≡
g.
g.
g.
3.
f

≡
g.
3.
f
≡
g.
3. f ≡ g. 3. f ≡ g.
3. f ≡ g.
Áp
Áp
Áp
Áp
Áp
dụng
dụng
dụng
dụng
dụng
các
các
các
các
bổ
bổ
bổ
bổ
đề
đề
đề
đề

đề
trên,
trên,
trên,
Áp
trên,
trên,
dụng
ta
ta
tachứng
ta
chứng
chứng
chứng
các
chứng
bổ
minh
minh
minh
minh
đề
minh
Áp
được
trên,
được
được
được

được
dụng
ta
một
một
một
một
chứng
một
các
kiểu
kiểu
kiểu
kiểu
bổ
kiểu
minh
của
của
đề
của
của
Định
trên,
Định
Định
được
Áp
Định
Định

ta
lýlý
dụng
một
lýthứ
chứng
lý
lý
thứ
thứ
thứ
thứ
kiểu
các
hai
hai
hai
minh
hai
hai
của
bổ
của
của
của
của
đề
của
Ritt
Định

được
Ritt
Ritt
trên,
Ritt
Ritt
như
như
một
lý
như
ta
như
thứ
như
sau:
sau:
chứng
kiểu
sau:
sau:
hai
sau:
của
của
minh
Định
Ritt
được
lý

như
thứ
một
sau:
hai
kiểu
của
củ
Áp
dụng
các
bổ
đề
trên,
ta
chứng
minh
được
Áp
dụng
các
bổ
đề
trên,
ta
chứng
minh
được
một
kiểu

của
Định
lý
thứ
hai
của
Ritt
như
sau:
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề
đề
đềđề
2.7.
2.7.
2.7.
2.7.
Cho
Cho
Cho
Cho
Cho
Cho
Bổ
đề

Cho
Bổ
fCho
fffBổ
và
fvà
và
vàvà
glà
là
glà2.7.
hai
là
hai
hai
hàm
hàm
hàm
hàm
hàm
phân
phân
phân
fphân
phân
vàphân
hình
hình
ghình
hình

hình
là2.7.
khác
khác
hai
khác
khác
khác
hàm
hằng
hằng
hằng
hằng
phân
fhằng
trên
trên
và
trên
trên
ghình
K
KK
là
,đề
,K
K
,q,q,
hai
,q,

khác
,K
c2.7.
cq,
q,
c,∈∈
hàm
cq,
∈
cBổ
K
∈
hằng
K
K
,Cho
,∈
K
,|q|
phân
K
|q|
,|q|
,trên
|q|
=
f|q|
=|q|
và
hình

1,
=
1,=
1,
K=
cg1,
,c1,
cCho
=
q,
là
khác
=
c=c0,
=
hai
0,
=
∈
và
0,
hằng
và
K
hàm
0,0,
và
cho
,cho
cho

|q|
trên
cho
phân
cho
=
K
1,hình
,hàm
cq,=c khác
0,
∈
K
và,hằn
ch
|q
đề
2.7.
f=
và
gvà
là
hai
phân
hì
Bổ
đề
2.7.
fggđề
và

ghai
là
hai
hàm
hình
khác
trên
c∈
K
,=
1,
c0,
và
cho
m,
m,
m,m,
nnnm,
là
là
là
nlàcác
là
các
các
các
các
số
số
số

nguyên
số
nguyên
nguyên
nguyên
nguyên
m,
dương
dương
dương
n
dương
dương
là
các
thỏa
thỏa
thỏa
thỏa
số
mãn
mãn
nguyên
mãn
mãn
mãn
điều
m,
điều
điều

điều
điều
n
dương
kiện
kiện
là
kiện
kiện
kiện
các
n
n
thỏa
n
>
n
số
>
n
>
>
m.
>
m.
nguyên
mãn
m.
m.
m.

Khi
Khi
Khi
Khi
điều
Khi
đó
m,
đó
dương
đó
đó
kiện
n
là
thỏa
n
các
>
mãn
số
m.
nguyên
Khi
điều
đó
kiện
dương
n
>

thỏa
m.
mãn
Khi
đó
điều
kiện
n
>
m.
Khi
m,
n
là
các
số
nguyên
dương
thỏa
mãn
điều
kiện
n là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n > m. Khi đó
llnm
l ll l n+m
l
nnn n nmm
m
mm m
n nn n

mmm
mmm m
n mm
m
n l m n+m
n+m
n+m
n
n+m
i)
i)i)i)Nếu
Nếu
i)
Nếu
Nếu
Nếu
i)
Nếu
i)+
Nếu
i)
ffNếu
f(z)f
f(z)f
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz

++
+
+
c).g
+
c).g
c).g
c).g
(z)g
f(z)g
(z)g
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
+++
+
c)
+
c)
c)
c)
=
c)
=
c).g
==

1c)
=
11với
1nvới
f1với
(z)g
với
với
mọi
mọi
mọi
mọi
mọi
(qz
zzmọi
(qz
z∈∈
z+
∈K
∈
K
+
c)
K
thì
c).g
=
thì
thì
fNếu

1fnfthì
=
(z)g
với
=
ff=f=
mọi
với
(z)f
với
(qz
với
zvới
llNếu
+
ln+m
∈
(qz
lc)
lKn+m
+
thì
=
1(z)f
=
1c).g
,1=
,f,với
l=
1l=

1,∈
lm
∈,1∈
l(z)g
mọi
K
KK
K
.+K
z.(qz
.l∈. K
+n (z)g
thì
c)
==
1fm
, 1=
l∈
vớiK
mọi
.c) l=n+m
z 1∈
i)với
f=
(qz
(qz
+với
i)
f(z)f
(z)f

(qz
+nn(z)g
c).g
(z)g
(qz
+
=
1(z)f
với
zKthì
∈
K
f=
=
với
l=
,l∈
l.∈.với
∈
Kc).g
ggg gg g
g
g
nnn n nmm
m
mm m
nn n
m
m
mm m

nn
m
n mn+m
n+m
mn+m
n+m
m
n
m n
m
n+m
ii)
ii)
ii)
ii)ii)
Nếu
Nếu
Nếu
Nếu
Nếu
ffNếu
f(z)f
f(z)f
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
+

ii)
+
+
+
c)
+
c)
Nếu
c)=
c)
==gc)
=
gfngnn(z)g
g(z)g
(z)f
(z)g
(z)g
(z)g
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
ii)
++
+
+
+
c)

+
c)
Nếu
c)
c)c)
với
c)
với
=
với
với
fvới
gmọi
mọi
mọi
(z)f
(z)g
mọi
mọi
zzmọi
zm∈
∈
zz(qz
∈
(qz
K
∈
K
+
K

+
thì
thì
ii)
c)
c)
thì
fff=
Nếu
=
với
=
ff=glg
=
lg
=
lg
(z)g
fvới
lg
lg
với
với
(z)f
với
zvới
ll∈
(qz
ln+m
lK

l(qz
+
thì
=
1+
=
1,=
1f(z)f
,với
c)
,l=
1l=
1,∈
l∈
=
,1∈
lmọi
lg
K
K
g(qz
K
K
.(z)g
zK
.+
.ln+m
K(qz
=g+n1f(z)g
,c)=

l với
∈lg
K
với
mọi
. +ln+m
zc)∈
ii)
Nếu
fc)
=thì
(qz
ii)
f(z)f
(z)f
(qz
+
=
g mm(z)g
(qz
+
c)
với
zKthì
∈
K
thì
fnmọi
=
lg

với
l==
,l∈
l.∈.với
∈
K∈
.c)
Chứng
Chứng
Chứng
Chứng
Chứng
minh:
minh:
minh:
minh:
Chứng
minh:
Chứng
minh:
Chứng
minh:
Chứng
minh:
Chứng minh:
nn n nmm
m
mm m
n nn n
mmm

mmm m
n mm
n
m
n
i).
i).
i).
i).Từ
i).
Từ
Từ
Từ
Từ
i).
Từ
i).
Từ
i).1nTừ
ffnfTừ
(z)f
f(z)f
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
++
+

+
c).g
+
c).g
c).g
c).g
(z)g
f(z)g
(z)g
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
+++
+
c)
+
c)
+
c)
c)
=
c)
=
c).g
=
=

1c)
=
11ta
1nta
f1ta
(z)g
ta
có
ta
(z)f
cócó
có(qz
++
c) c).g
=
ta
(z)g
fcónm(z)f
(qz
+Từ
(qz
c) f=
+
1c).g
tam
có
(z)g
(qz
c) =m1(qz
ta +cóc) = 1

i).m
(z)f
(qz +
c).g+n (z)g
i).
f(z)f
(z)f
(qz
+nn(z)g
c).g
(z)g
(qz
+
=
1có
ta
có(qz
nnn n n
n mmm
mm m
n m
m
n
m
n
m
fff(z)g(z)
f(z)g(z)
(z)g(z)
(z)g(z)

f (z)g(z)
f
f
(qz
f
(qz
(qz
(qz
f
(qz
+
+
+
+
c)g(qz
+
c)g(qz
f
c)g(qz
c)g(qz
(z)g(z)
c)g(qz
+
+
+
c)
+
c)
c)
c)

f
(qz
=
=
=
=
1.(1)
=
1.(1)
+
1.(1)
1.(1)
1.(1)
f
c)g(qz
(z)g(z)
+
c)
f
(qz
=
+
1.(1)
c)g(qz
f
(z)g(z)
+
c)
=
f

(qz
1.(1)
+
c)g(qz
+
c)
=
1.(1)
f
(z)g(z)
f
(qz
+
c)g(qz
+
c)
= 1.(1)
f (z)g(z) f (qz + c)g(qz + c) = 1.(1)
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
lllĐặt
=
l=
==
l f=
ffl(z)g(z).
f(z)g(z).
(z)g(z).

f (z)g(z).
Ta
Ta
Ta
Ta
Đặt
Ta
chứng
chứng
chứng
chứng
chứng
l =chứng
minh
fminh
minh
(z)g(z).
minh
llllàlàllà
làhằng.
là
hằng.
Ta
Đặt
hằng.
hằng.
chứng
lGiả
Giả
=

Giả
Giả
Giả
fsử
minh
sử
(z)g(z).
sử
sử
trái
sử
trái
trái
trái
trái
l lại,
là
lại,
lại,
Ta
lại,
lại,
hằng.
lllkhác
chứng
khác
Đặt
lkhác
khác
lkhác

hằng.
hằng.
=
hằng.
minh
sử
hằng.
hằng.
f (z)g(z).
trái
Khi
Khi
lKhi
là
Khi
Khi
lại,
đó
đó
hằng.
đó
từ
lTa
đó
từ
từ
khác
(1)
từ
(1)

chứng
từ
Giả
(1)
(1)
ta
(1)
hằng.
ta
ta
sửcó:
ta
có:
minh
ta
có:
trái
có:
Khi
có:
lại,
l đó
làl hằng.
từ
khác
(1)hằng.
Giả
ta
sửhằng.
Khi

tráiđó
lại,
từl
Đặt
lđó
=
fđó
(z)g(z).
Ta
chứng
minh
l làcó:
Giả
=
f (z)g(z).
Ta
minh
lhằng.
là
hằng.
Giả
sử
trái
lại,
lGiả
hằng.
Khi
từ
(1)
ta

có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
nn n
n
,,lvới
,(z)
llnnln(z)
(z)
(z)
l(z)
(z)
==
= m=m m ,,với
với
với
với
mọi
mọi
=
mọi
zzmọi
z∈∈z∈K∈

K
K
..K
.. .K.,lnvới
(z)mọi
= zm ∈ K. , vớilnmọi
(z) =
z ∈mKl.n (z) =, với
mọi z ∈, với
K. mọi z ∈ K.
,mọi
l=
(z)
với
zK
∈
llmm
l (qz
l(qz
(qz
(qz
+
+
c)
+
c)
c)
c)c)
lm (qz + c)
l (qz + c)

l (qz + c) lm (qz + c)
l ++
(qz
+ c)
Từ
Từ
Từ
Từ
đây
đây
đây
đây
đây
và
và
và
vàvà
từ
từ
từvà
Bổ
từ
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề
đề
đề
đề

2.4
Từ
2.4
2.4
2.4
2.4
ta
đây
ta
ta
ta
suy
ta
suy
suy
và
suy
ra
ra
từ
rara
BổrađềTừ
2.4đây
ta suy
và từ
ra Bổ đề 2.4Từ
tađây
suy và
ra từ
đềvà

2.4từtaBổ
suy
TừBổ
đây
đềra2.4 ta suy ra
Từ
đây
từ
Bổ
đề
2.4
ta
suy
11111 1n
1
1n
1
1
nnnn n n
n
n
=
=
=
mT
=
mT
mT
mT
mT

(r,
(r,
(r,
(r,
(r,
l(qz
l(qz
l(qz
l(qz
+
+
+
c))
+
c))
c))
c))
c))
+
+
=
+
O(1)
+
O(1)
+
mT
O(1)
O(1)
O(1)

(r,
=
=
=
l(qz
mT
=
mT
=
mT
mT
mT
(r,
+
(r,
(r,
(r,
l)
c))
l)
(r,
l)
+
+
l)
=
+
l)
O(1).
+

O(1).
mT
O(1)
O(1).
+
O(1).
O(1).
(r,
=
l(qz
mT
+
(r,c))
+ O(1)
O(1).
= mT=(r,ml
TTT(r,
(r,
(r,
T(r,(r,
llT
ll)(r,
)l)=
=)=
=
nT
nT
(r,
(r,
(r,

(r,
(r,
l)l)
l)
l)+
+
l)
+
+
TO(1)
+
O(1)
(r,
O(1)
O(1)
=
)==
=T=
TTnT
r,
Tr,r,
r,(r,
l)
+
T
(r,
O(1)
l
)
=

=
T
nT
r,
(r,
l)
+
O(1)
T
(r,
=
l
)
T
=
r,
nT
(r,
l)
+
O(1)
=
T
r,
T
(r,
l
)
=
nT

(r,
l)
+
O(1)
=
Tl)r,+
=
mT
(r,
l(qz
+
c))
+
O(1)
=
mT
(r,
l)
+
O(1).
lnT
)nT
=
nT
(r,
l)
+l O(1)
=
Tr,
r,

m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
llll(qz
l(qz
(qz
(qz
(qz
+
c)
+
c)c)c)
c)
l (qz + c)
l (qz + c)
l (qz + c) l (qz + c)
l +++
(qz
+ c)
Điều
Điều
Điều
Điều

này
này
này
này
này
mâu
mâu
mâu
mâu
thuẫn
thuẫn
thuẫn
thuẫn
thuẫn
Điều
với
với
với
với
với
giả
giả
giả
này
giả
giả
thiết
thiết
thiết
mâu

thiết
nnn
thuẫn
>>
n>
>m
>
m
m
m
..>
m
với
.. .mnày
giả
mâu thuẫn
n > mvới
. Điều
giảnày
thiếtmâu
n >thuẫn
m
. với
thiếtvới
n>
.
Điều
này
mâugiả
thuẫn

giảmthiết
n > m.
Điều
này
mâu
thuẫn
với
giả
thiết
nĐiều
. thiết
nnn n nmm
m
mm m
nnnn n n
mm
m
m
mm m
nn
m
m
n n m m
m
n
m n
n
ii).
ii).
ii).

ii).
ii).
Từ
Từ
Từ
Từ
Từ
ii).
Từ
ii).
Từ
fffTừ
(z)f
f(z)f
(z)f
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
++
+
+
c)
+
c)
c)Từ
=
c)
==gc)

=
gfg(z)g
g(z)g
(z)f
(z)g
(z)g
(z)g
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
(qz
+ii).
+
+
+
+
c)
+
c)
c)
c)
c)
ta
c)
ta
=
tata
fcó

ta
có
gcócó
(z)f
có
(z)g
(qz +
+ c)
c) =
ta
gcó(z)g
f (z)f
(qzTừ
(qz
+fc)
+(z)f
ta
c) =
có g(qz(z)g
c) tam (qz
có + c) t
ii).
+ c)(qz
= g+(z)g
ii).
f(z)f
(z)f
(qz
+
=

g (z)g
(qz
+
c)
ta
có (qz
n
n
n
n
m
m
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
fff(z)
f(z)
(z)
(z)
f (z)

f(qz
(qz
f (qz
+
+
+
c)
+
c)
c)
c)c)
(z)
f (qz + c) f (z)
f (qz + c)
f (z)
f (qz
+ c) f (qz + c)
f (z)
f (z)ff(qz
f+
(qz
+fc)
===1.(2)
=
1.(2)
1.(2)
1.(2)
= 1.(2)
= 1.(2)
= 1.(2)

= 1.(2)
=
1.(2)
g(z)
g(z)
g(z)
g(z)
g(z)
g(qz
g(qz
g(qz
+
+
+
+c)
+
c)
c)
c)c)
g(qz + c) g(z)
g(qz + c)
g(z)
g(qz
+ c) g(qz + c)
g(z)
g(z)g(qz
g(qz
+g(z)
c)
ff(z)

f(z)
(z)
f (z)
f (z) ff(qz
ff(qz
(qz
f(qz
(qz
+
+
c)
+
c)c)c)
c)
f (z) f (qz + c)
f (z)fn(qz
c)(z) 111 1 11 nf (qz + c) f1(qz +nc)
f (z)
f++
(qz
+ c)
n nn+nf
. Đặt
. c)
..=.Từ
.+
. Từ
. và
. ta
.=Từ

..l.Lập
.(z)
. . Lập
Đặt
Đặt
Đặt
Đặt
l(z)
l(z)
l(z)
l(z)
l(z)
=
=
== = .. .Khi
Khi
Khi
Khi
Khi
đó
đó
đó
l(z)
đó
l(qz
l(qz
l(qz
l(qz
=++
+c)

+
c)c)=
c)
==
=
=
Khi
Đặt
l(z)
l(qz
Từ
Từ
Từ
đây
c)
đây
đây
=
đây
Khi
và
vàvà
(2)
(2)
Đặt
(2)
đó
(2)
ta
ta

l(qz
ta
l(z)
nhận
ta
nhận
nhận
nhận
+
Từ
nhận
=nhận
c)
được
được
đây
được
=
được
được
và
l.llnKhi
(z)
(z)
(2)
l(z)
l=
(z)
=
đó

=
ta
=
=nhận
l(qz
+đây
được
c)đóvà
=
Lập
(2)
Lập
Lập
ta
=c)
nhận
được
đâyl. và
Lậ
(z.
Đặt
l(z)
l(qz
+
=. Từ
.đó
.đây
Đặt
l(z)
Khi

đó
l(qz
+
= đó
Từ
đây
và
(2)
được
l(z)
(z)
=.mKhi
Lập
m (qz
g(z)
g(z)
g(z)
g(z)
g(z) g(qz
g(qz
g(qz
g(qz
g(qz
+
+++
c)
+
c)c)c)c)
g(z) g(qz + c)
g(z)g(qz + c)

llmlmm
(qz
l(qz
(qz
lm(qz
+
(qz
++
c)
+
c)c)
+c)
g(qz
+ c)+ c)
g(z)
g(qz
g(z)
g(qz
+ c)
lm
(qz
+c)
c) + lc)
luận
luận
luận
luận
tương
tương
tương

tương
tương
tự
tự
tựnhư
tự
như
như
như
chứng
chứng
chứng
chứng
luận
chứng
minh
tương
minh
minh
minh
phần
phần
tự
phần
phần
phần
như
i)i)i)i)ta
chứng
luận

i)
ta
ta
tanhận
ta
nhận
nhận
tương
nhận
minh
được
được
được
được
được
tự
phần
kết
kết
như
kết
kết
kết
quả
quả
i)quả
chứng
quả
quả
tacủa

của
luận
nhận
của
của
minh
ii).
ii).
ii).
tương
được
ii).
ii).ii).
phần
tự
kếtnhư
i)quả
tachứng
nhận
củatự
ii).
được
minh
kết
phần
quả
i)
của
ta nhận
ii). được

quả
luận
tương
như chứng
minh
phần
i) ta kết
nhận
đ
luận
tương
tự
như
chứng
minh
phần
i)nhận
ta
nhận
được
kết
quả
của
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề

đề
đề
đề
2.8.
2.8.
2.8.
2.8.
Cho
Cho
Cho
Cho
Cho
Bổ
đề
2.8.
Cho
Bổ
đề
2.8.
Cho
Bổ
đề
2.8.
Cho
f
f
f
f
là
f

là
là
là
một
là
một
một
một
hàm
hàm
hàm
hàm
phân
phân
phân
phân
phân
hình
f
hình
hình
hình
là
hình
khác
một
khác
khác
khác
khác

hàm
hằng
hằng
hằng
hằng
hằng
phân
trên
trên
trên
trên
trên
f
K
hình
K
K
là
,
,
q,
K
,
q,
một
q,
,
c
khác
c

q,
c
∈
∈
c
∈
hàm
K
∈
K
∈
hằng
K
,
,
|q|
K
,
K
|q|
|q|
phân
,
,
|q|
=
|q|
trên
=
=

1,
=
1,
=
1,
hình
m,
K
1,
m,
m,
1,
f
,
m,
n
q,
là
m,
n
khác
n
là
c
n
là
một
là
n
∈

hai
là
hai
hai
là
hằng
K
hai
hàm
,
số
hai
số
|q|
số
số
nguyên
trên
nguyên
=
phân
nguyên
số
nguyên
1,
nguyên
K
m,
hình
,

q,
n
c
là
∈
khác
hai
K
,
|q|
hằng
số
=
nguyê
trên
1,
m
Bổ
đề
2.8.
Cho
f
là
một
hàm
phân
hình
khá
Bổ đề 2.8. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n là hai số nguyên
nnn nmmm

mm m
n
m
n
m
m
n
m
dương
dương
dương
dương
dương
thỏa
thỏa
thỏa
thỏa
thỏa
mãn
mãn
mãn
mãn
dương
mãn
dương
thỏa
mãn
dương
thỏa
mãn

nmãn
nn≥≥
n
≥
≥
m
≥
m
m+
m
+
+
+4m
+
4thỏa
.4..Khi
4+
Khi
Khi
. 4Khi
đó
đó
đóđó
ffnnffnđó
(z)f
≥
f(z)f
(z)f
(z)f
(z)f

+(qz
(qz
(qz
4(qz
(qz
. +Khi
++
+
c)
+
c)c)c)
đó
nhận
c)
nhận
nhận
n
nhận
nhận
f≥
(z)f
mọi
mọi
m
mọi
mọi
+
giá
giá
giá

(qz
4giá
.trị
trị
Khi
trị
+
trị
trị
aac)
ađó
khác
khác
aakhác
nhận
khác
fakhác
không
n
(z)f
không
không
mọi
≥
không
không
m
giá
thuộc
(qz

thuộc
+
thuộc
thuộc
4trị
+
thuộc
.thuộc
Khi
c)
K
aK
..K
khác
nhận
.m
K
đó
.K.+
mọi
giá
thuộc
(qz
trịfa+
K
khác
.c) nhận
khôn
dương
thỏa

mãn
nK
≥
4n .(z)f
Khi
đó
(z)f
(qzm
dương
thỏa
nm
≥
.đó
Khi
fm
(z)f
(qz
+
c)
nhận
mọi
giá
trị
khác
không
.fkhông
nnn nn nmmmmmm
n
m
Chứng

Chứng
Chứng
Chứng
Chứng
minh.
minh.
minh.
minh.
Do
Do
Do
Do
Do
f
f
f
f
khác
khác
f
khác
khác
Chứng
khác
hằng
hằng
hằng
hằng
minh.
và

và
và
và
Bổ
và
Bổ
Do
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề
đề
f
đề
đề
2.4
khác
Chứng
2.4
2.4
2.4
2.4
ta
ta
ta
ta
hằng
có
ta

có
minh.
có
có
f
có
f
(qz
f
(qz
và
f
(qz
f
(qz
(qz
Do
+
Bổ
+
+
c)
+
c)
f
đề
c)
khác
c)
khác

khác
2.4
khác
Chứng
ta
hằng.
hằng
hằng.
hằng.
có
hằng.
hằng.
f
minh.
Đặt
và
Đặt
(qz
Đặt
Bổ
Đặt
Đặt
+
F
F
F
Do
đề
c)
=

F
=
F
=
khác
2.4
f
=
f
=
f
khác
(z)f
f
(z)f
ta
f
(z)f
hằng.
(z)f
có
(z)f
hằng
(qz
f
(qz
(qz
(qz
Đặt
(qz

+
và
(qz
+
+
+
c)
+
c)
F
Bổ
c)
c)
.
+
.
c)
Ta
.
=
Ta
khác
c)
đề
Ta
.
f
Ta
.
2.4

Ta
(z)f
hằng.
ta
có
(qz
Đặt
f
(qz
+
F
c)
+.=
c
Chứng
minh.
Do
f
khác
hằng
và
Bổ
đề
2.4
taT
Chứng minh. Do f khác hằng và Bổ đề 2.4 ta có f (qz + c) khác hằng. Đặt F = f (z)f (qz + c). Ta
thấy
thấy
thấy
thấy

rằng
rằng
rằng
rằng
rằng
mọi
mọi
mọi
mọi
cực
cực
cực
cực
điểm
điểm
điểm
điểm
thấy
điểm
của
của
của
của
rằng
của
mọi
cực
điểm
thấy
của

rằng
mọi
điểm
thấy
của
rằng
mọi
FFcủa
Fhoặc
Fhoặc
hoặc
hoặc
là
làlà
làcực
là
cực
cực
cực
cực
điểm
điểm
điểm
điểm
điểm
của
của
Fcủa
của
của

hoặc
ffcủa
,f,cực
fhoặc
,fhoặc
,hoặc
,làfhoặc
hoặc
là
làlà
cực
là
điểm
cực
cực
cực
điểm
điểm
F
điểm
của
điểm
điểm
hoặc
của
fcủa
của
, của
hoặc
của

là
fcực
fcủa
(qz
fcực
(qz
(qz
ffđiểm
(qz
là
(qz
+
điểm
+
cực
c)
+
c)c)
+
;của
;c)
mọi
;điểm
c)
mọi
của
mọi
;c)
;mọi
F;mọi

không
fkhông
của
hoặc
không
, không
hoặc
không
fcủa
là
điểm
(qz
điểm
điểm
làcực
điểm
cực
điểm
c)
điểm
;điểm
mọi
của
của
không
hoặc
(qz
điểm
+
thấy

rằng
mọi
cực
điểm
F+
hoặc
là
cựcf ,fđiểm
c
thấy
rằng
mọi
cực
điểm
F
hoặc
là
cực
điểm
,cực
hoặc
là
cực
điểm
f+
(qz
+
mọi
không
điểm

F
FFcủa
Fhoặc
F
hoặc
hoặc
hoặc
hoặc
là
làlàkhông
là
không
không
không
không
điểm
điểm
điểm
điểm
điểm
F điểm
của
hoặc
của
của
của
ffcủa
,flà
, hoặc
,fhoặc

không
hoặc
,hoặc
làlà
làkhông
điểm
là
không
không
không
Flà
không
hoặc
của
điểm
điểm
điểm
điểm
điểm
flà,điểm
của
không
hoặc
của
của
của
của
ffcủa
(qz
flà

(qz
f(qz
điểm
không
(qz
+
c)
F
+
c)
của
c)
..c)
hoặc
c)
điểm
Áp
.Áp
Áp
.f.c)Áp
,Áp
dụng
hoặc
là
dụng
của
dụng
dụng
không
Định

flà
Định
Định
(qz
Định
không
Định
điểm
+
lýlýlý
chính
lý
chính
lý
chính
điểm
.của
chính
Áp
chính
thứ
fdụng
thứ
của
thứ
,điểm
thứ
hoặc
hai
thứ

hai
fthứ
hai
Định
(qz
hai
và
là
và
hai
và
+
và
không
c)
.hoặc
Áp
điểm
dụng
của
hai
Định
fv(
của
của
của
của
của
của
của

Fdụng
hoặc
làc)
không
của
flývà
,vàchính
làthứ
không
của
F
hoặc
là
không
fhoặc
, là
hoặc
không
f++
(qz
+
.dụng
Áp
Định
lý
chính
hai
kết
kết
kết

kết
hợp
hợp
hợp
hợp
hợp
với
với
với
với
với
Bổ
Bổ
Bổ
Bổ
đề
đề
đề
đề
2.5
2.5
2.5
2.5
kết
2.5
ta
ta
ta
ta
hợp

nhận
ta
nhận
nhận
nhận
nhận
với
được
được
được
Bổ
được
đề 2.5
kếttahợp
nhận
với được
Bổ đề 2.5 ta
kếtnhận
hợp được
với kết
Bổ đề
nhận
được
hợp2.5
vớitaBổ
đề 2.5
ta nhận được
kết
hợp
với

Bổ
đề
2.5
ta
nhận
được
111 1n1 1 m
111 1 111 n
1n 1
nnnnn nmmmm
m m
n
m
TTT(r,
(r,
(r,
T(r,(r,
ffT
f)f)(r,
)f=
=)=f(n−m)T
=
(n−m)T
(n−m)T
(n−m)T
(r,
(r,
(r,
T(r,(r,
fff)+O(1)

)+O(1)
)+O(1)
f ))+O(1)
(n−m)T
≤≤≤
≤T≤
TT(r,
T(r,
T(r,
(r,
T
(r,
f(r,
ff(r,
f(r,
(z)f
f(z)f
f(z)f
f)+O(1)
(z)f
)=
(qz
(qz
(qz
(n−m)T
(qz
(qz
+c))
+c))
≤

+c))
+c))
+c))
T +c))
(r,
≤≤≤
(r,
N
≤
fNN
f1≤
(r,
N
(z)f
)+O(1)
(r,
(r,
F
(r,
F
f1F)+N
)(r,
)+N
F(qz
F
)+N
=)+N
)+N
≤
+c))

r,
(r,r,
≤
N
+N
(r,
+N
(z)f
+N
+N
f1+N
(qz
)+N
r,
+c))
≤
−−(r,
−N−1+N
f−
(r,
F
r,Tm(r,
(qz1f+c))
r,(z)−
(r,
fr,f)r,
=
(n−m)T
fT
)+O(1)

)(n−m)T
=
(n−m)T
(r,
f=)+O(1)
≤
T
f(z)f
(z)f
(qz
F(n−m)T
+N
r,(r,
−(z)f
1T
1(r,
11N
1)+N
1T1T
1r,
1r,
1 (r,
1 ≤r,
1)+O(1)
1Fr,
1r,
1 r,
1≤)+N
1
1 r,

FFFFFF
FFF−
F
−−
Fa−
aa−a−Faa
F −a F
F
11111 1
111 1 1
111 11 11
11
1
1
(r,
(r,
(r,
(r,
F
FF1F)+N
)+N
)+N
F)+N
)+N
(r,
ff1(qz+c))+N
f≤
(qz+c))+N
(qz+c))+N
f(qz+c))+N

(qz+c))+N
(r,log
F )+N
r,
(r,
r,
+N
+N
(qz+c))+N
+N
+N
+N
(r,
r,
r,Fr,
(r, f+N
+N
(qz+c))+N
+N
+N
+N
+N
r,1r,r,
(r,
r,
r,−log
−log
−log
−log
+N

+N
r+O(1)
fr+O(1)
r+O(1)
(qz+c))+N
r+O(1)
r,r,
≤≤≤
r, +N
r+O(1)
+N
log
log
log
log
r+O(1)
r+O(1)
r+O(1)
r+O(1)
r+O(1)
≤
≤≤N
≤
NN
N
log
r+O(1)
Nf1(qz+c))+N
r+O(1)
≤

N
log
≤
N
(r,
F
(r,
f≤
(qz+c))+N
log
r+O(1)
≤
N
(r,
F1)+N
(r,
r,
r,1r+O(1)
r,1)+N
−log
r+O(1)
log
r+O(1)
11≤
1(r,
1N
1(r,
1(r,
1 (r,
1111r,

1r,
1r,
111+N
11r,
1r,
1111+N
1r,
1 (r,
1r+O(1)
1)+N
1≤−log
1 r,
1 r, ≤
1−log
1≤
1 f
1 )+N
1r,F
fffff f
ff(qz
f(qz
f(qz
(qz
+
c)
+
c)c)
f c)
c) c)
FFfF−

(qz
F
−F
−a−
a−
a+a−c)
af a
fF(qz
− a+ c) f
F−
f++
(qz
+
F
1111 1 1
1
1
1
1
4T
4T
4T(r,
4T
(r,
(r,
(r,
(r,
fff)f))(r,
)+
f+

++
)N
+N
+
(r, f−
)+
) +r +
N
r,r,
−)log
−
log
log
log
rNrr+
r+O(1);
r,
+
O(1);
O(1);
O(1);
logNr1 +r,O(1); 4T (r,
− flog
r, f ) + N1 −r,log r + O(1);
4T1O(1);
(r,
− log r + O(1);
4T
fN
)11N

+
N
r, (r,−f−
−
log
rO(1);
+4TO(1);
1 r,
1r,
1+
1 4T
FF
F−
F
−
−
−a−
aaa a− a
F −a
F −a
F −a
F −a
F
Suy
Suy
Suy
Suy
ra
ra
ra

rara ra
Suy ra
Suy ra
Suy ra
Suy ra
Suy
11111 1
1
1
1
1
(n
(n
(n
(n−
(n
−
−−m
m
−
m
m−
m
−−4)T
−
4)T
4)T
4)T
(r,
(r,

(r,
(r,
fff)f)(r,
))+
f(n
+
+
+
)log
log
−
log
rm
rr≤
≤
−
r≤N
≤
N
4)T
N
(r,
r,
r,r,
(n
+−
log−
m
−−
r−

log
−
log
≤
log
log
4)T
log
rNrr+
rr+
(r,
O(1).
r,
+
+
O(1).
fO(1).
)+
(n
log−
−
rm
≤
logN
−r14)T
+(n
r,O(1).
(r,
f )−
+4)T

log
− log
r ≤rf )+
N+
r, r ≤ N1 −r,log r + O
−m
(r,
log
(n
−
m
−(r,
4)T
f+
) log
+
log
rN
N
−
log
rO(1).
+
O(1).
11≤
11r,
1r,
1+
1O(1).
1f )r,

FFFF−
F
−−
a−
aaaa− a
F −a
F −a
F −a
−
F −a
F
61(6) 6.2019

4

33333 3

3

3

3


của F hoặc là không điểm của f , hoặc là không điểm của f (qz + c). Áp dụng Định lý chính thứ hai và
Trường hợp 2. A.B = 1 tức là f n f (qz + c).g n g(qz + c) =
kết hợp với Bổ đề 2.5 ta nhận được
1
1
ln+1

= 1.
T (r, f ) = (n−m)T (r, f )+O(1) ≤ T (r, f n (z)f m (qz
+c))
≤ N1 (r, F )+N1 r,
+N1 r,
−
F là f n f (qz
F+
− c)
a = g n g(qz + c).
Trường
hợp
3.
A
=
B
tức
1
1
1 Khoa học Tự nhiên
+N
+N1 r,
−log r+O(1) ≤
log r+O(1) ≤ N1 (r, F )+N1 (r, f (qz+c))+N1 r,
hn+1
1 r,= 1.
f
f (qz + c)
F −a
1

Chứng minh Định lý 2.
m + 4 suy ra4T
N1(r,r,f ) + N r,
khilog
r rtiến
ra ∞. Vậy f n (z)f m (qz + c) nhận giá trị a.
tiến 1ra ∞ −
+
O(1);
Ta dùng các ký hiệu trong Định lý 1.
F − a1
F −a
minh các định
lý
chính
Áp dụng Bổ đề 3.6 [5] cho A, B ta chỉ cần xét các trường hợ
Suy ra
1
1
ng minh Định lý 1.
T
(r,
A)
≤
N
(r,
A)
+
N
r,

+ N2 (r, B) + N
Trường
hợp
1.
(n
−
m
−
4)T
(r,
f
)
+
log
r
≤
N
r,
−
log
r
+
O(1).
2
2
1
A
− ta
a có các trường hợp sau:
= f n f (qz + c) và B = g n g(qz + c). Áp dụng Bổ đề 3.2F[7]

1 1 11 1
1 N (r, B)1 + N r, 1 − 2 log r + O(1).
m
1log
1 mnTa
n tiến
n m
m
m
m(qz + c) nhận
ng hợp 1. T (r,
A)nTừ
N
(r,
+
N
r,
+
N
(r,
B)
+
N
r,
r∞.
+f O(1).
có
Từ
n
≥

m
+
4
suy
ra
N−r1∞.
r,
khi
r+
tiến
Vậy
f nn(z)f
ra
2+
2
2
Từ
Từ
Từ
n≤
≥
≥
≥nm
m
m≥
+
+m
444A)
suy
+

suy
suy
4rasuy
ra
ra
N2N
N
ra
r,
N
r,
r,
r,
tiến
∞
ra
khi
∞
∞
r
khi
khi
∞
tiến
rra
tiến
tiến
ra
ra
Vậy

∞.
ra
Vậy
∞.
Vậy
(z)f
Vậy
ff n(qz
(z)f
(z)f
+(z)f
c)
(qz
(qz
nhận
(qz
+
c)
giá
c)+ra
nhận
nhận
trị
c)∞.anhận
. giá
giá trị
giá
trị
aatrị
.. a

.
tiến
tiến
ra
tiến
ra
ra
Bf∞
1 11 A 1
1 tiến
Brkhi
F
−
a
F
−
F
a
−
a
F
−
F
a
−
a
n
n
Đánh giá
tương

tự như
, A) = N2 r,Chứng
f fChứng
(qz minh
+
c)minh
≤
N
(r, định
f lý
) +chính
N2chính
r, f (qz minh
+ c) các
≤ 2N
+N
r, f (qz
+ c)trong
≤ Định lý 1 ta có
2định
Chứng
định
3 1 (r,lýf )chính
Chứng
Chứng
minh
minh
các
các
các

định
các
định
lý
lý
chính
chính
lý
1
+ T r, f (qz + c)Chứng
+Chứng
O(1)
=minh
2T
(r, fĐịnh
) lý
+
(r,1.
f ) +Chứng
O(1) =minh
3T (r,Định
f ) + lý
O(1);
N1.
≤ 3T (r, f ) + O(1).
2 (r, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r,
Chứng
Chứng
minh
minh

minh
Định
Định
Định
lý
lý
1.T1.
1.
lý
A
1 nnn n
1 n nn Đặt
1 + c) và B = g nng(qz
1 + c). Áp dụng Bổ
1 đề 3.2 [7]1ta có các trường hợp sau:
1
n A = f nnf(qz
A
A
A=
=
=A
fff=
f(qz
fff(qz
(qzf+≤+
(qz
+
c)N
c)

c)
và
và
B
c)B
=
B
và=
g=Bg(qz
g=
g=g(qz
g(qz
g+
c)
+
. Áp
c)
c)+
.. dụng
Áp
Áp
c). dụng
Áp
dụng
Bổ dụng
đềBổ
Bổ
3.2đề
đề
Bổ

[7]
3.2
đề
ta
có
3.2
[7]
các
ta
ta
[7]
trường
có
ta
các
cór,fcác
trường
hợp
trường
trường
sau:
hợp
hợpNhợp
sau:
sau:
sau: ≤ 3T (r, f ) + O(1).
Đặt
Đặt
ĐặtĐặt
= N2 r,

r,
N
r,+
≤
2N
r,[7]
=có
Ncác
r,
2+và
2 g(qz
13.2
N
(r,
B)
≤
3T
(r,
)
+
O(1);
r,≤
n
n
n
n
2
1
f f (qz + c)
f

f f1(qz 1+
f1
A
1 c)1
11 1f1 f (qz + c)2
B
Trường
(r,N
A)
≤2B)
N
(r,
A)
+N
+rrlog
N+
B)O(1).
+Ta
N22có
r, có − log r + O(1).
22r,r,
22(r,
Trường
Trường
Trường
Trường
hợp
hợp
hợp1.hợp
1.

1.T T
(r,
T1.
(r,
(r,
A)
TA)
A)
(r,
≤≤
N
≤
A)
(r,
N≤
A)
(r,
N2A)
+
A)
(r,
N+
+
A)
N
r,+
N
r,
r,2+1.r,
NT2+

+
(r,
N
B)
+
(r,
+
N
N
B)
(r,
+
B)
r, N
N+
−
r,
r,N
r−
+
− log
O(1).
log
−
+
Ta
rO(1).
O(1).
có
+

Ta
có
Ta
2N
22(r,
2 N
22 hợp
22(r,
222+
22có
2log
+ O(1).
Mặt
khác,
ta
B
A A
A A
B
B BA
B
nn
n
n =
nn N n r, f nnf(qz + c) ≤ N (r, f nnn) + N r, f(qz + c) ≤ 2N (r, f) + N r, f(
ự ta có
N2 (r,
(r,
A)
22N

22r,
22+
111 (r,≤
A)c)
≤1c)
N
(r,
) 1f+
r,++
fr,
(qz
=+Nc)
f ) + N1 r,
N
N222(r,
(r,
(r,
NA)
A)
A)
(r,==
A)
=NN
N
r,
r,
f n2fff(qz
r,fff(qz
(qz
+f c)

(qz
+
+ c)
c)
≤
+N
c)
≤
≤
N
≤2f2(r,
(r,
N
) 2f+
f(r,
N
))f2+
+
)N
Nf(qz
+
r,
r,2f+
fN(qz
(qz
r,
c)
f (qz
+
+

≤
c)
2N
+
≤
(r,
≤2212N
f)
2N
≤+
(r,
(r,
N
f(r,
r,))N
f(qz
+
f1 )N
N
r,
N
c)ff(qz
(qz
r,+
≤fc)
(qz
+
+ c)
c)
≤

≤
f
1 (r,
2
2=
22r,N
22 N
1f
12N
, B) ≤ 3T (r, 2T
f2T
)
+
O(1);
2T
(r,
f)
+
T
r,
f(qz
+
c)
+
O(1)
=
2T
(r,
f)
+

T
(r,
f)
+
O(1)
=
3T
(r,
f)
+
O(1);
Tf(r,
fO(1)
)(r,
+
T3T
r,(r,
f f(qz
+
c)+ O(1);
+ O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1)
2T(r,
(r,
2Tf)
ff(r,
))++
+
fTT
)T+
Tff(qz

r,r,
r,f(qz
(qz
r, +
f+
(qz
+
c)c)
c)+
++
O(1)
c)
+ O(1)
O(1)
+=O(1)
2T
=
=(r,
2T
2T
=f)
(r,
(r,
2T
+ff(r,
T))(r,
+
+
fT
)f)

T+
(r,
(r,
+TfO(1)
f≤
(r,
)) +
+
O(1)
)=
O(1)
+3T
=
=f)
3T
=+
(r,
3T
O(1);
f(r,
)) +
f O(1);
)O(1);
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 1 11
11 1 1
1
1
1
1
r,
≤ 3T (r, f )N
+ O(1).
NN222=
r,r,N
≤
≤ 2N
r,≤
221 1r,r,
212 1r,
22 N
≤

+N
N
2T11(r,r,f )≤
N
N
=NN
N
r,
r,2n nr,
≤ N≤
≤
N
r,
r,2==nr,
=
N=
r,
r,12 r,
r,
≤NN
2N
≤
≤
r,nn2N
2N
≤=
2N
r,
r,
N

r,r,=
=
N
N= r,
N
r, nr,
≤+=O
≤
r,
r,2 r,==
2=
22r,N
22 N
2
2n N
11=
222 r,
n
n
B
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
+ffc)
A
(qz +
AA
A A
f fff(qz
fff(qz
(qz
+fc)
+
(qz
+ c)
c)+ c) A
f ff f ff f(qz
f(qz
c)
(qzf +
(qz
+ c)
c)+ c)fff
c)fff(qz
(qzf +
(qz
+ c)
c)+ fc)
ff++ffc)
f(qz

ff ffff(qz
bất đẳng thức trên và Bổ đề 2.5 ta nhận được 3T (r, f) + O(1).
3T
3T
3Tf)
ff(r,
))++
fO(1).
O(1).
)O(1).
+ O(1).
3T(r,
(r,
+
Tương tự, ta có
1)T (r, f ) ≤ T (r, A) + O(1) ≤ 6 T (r, f ) + T (r,
g) −tựlog
1
Tương
ta rcó+ O(1);
Tương
Tương
Tương
Tương
tự
tự
tựta
ta
ta
tự

cócó
có
ta có
N1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N1 r,
≤ 2T (r, f ) + O(1).
1)T (r, g) ≤ T (r,N
B)
+
O(1)
≤
6
T
(r,
f
)
+
T
(r,
g)
−
log
r
+
O(1).
N222(r,
(r,
(r,
NB)
B)
B)

(r,≤≤
B)
≤3T
3T
3T
≤
(r,(r,
(r,
3T
f)ff(r,
+
)) +
O(1);
+
f O(1);
)O(1);
+ O(1); N22(r, B) ≤ 3T (r, f) + O(1);
B
2
1
ó
Từ các bất đẳng thức trên, ta có
111 1
N22 r,
≤ 3T (r, f) + O(1).
N
N22g)
N
r,
r,2≤ r,

≤
≤
≤3T
3T
3T
≤
(r,(r,
(r,
3T
f)Tff+
(r,
)) +
O(1).
+
fB)
O(1).
)O(1).
++O(1).
2 r,
1) T (r, f ) + T (r,
T
(r,
A)
+
(r,
O(1)
≤
12
T
(r,

f
)
+
T
(r,(ng)− −
2 (r,
logfr)+≤O(1);
1)T
14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1),
B
BB
B B
Từ
các
bất
đẳng
thứcđược
trên (n
và −
Bổ1)T
đề (r,
2.5 g)
ta ≤
nhận
Từ
Từ
Từ
các
Từ
cácg)

bất
các
bất
bất+
đẳng
bất
đẳng
đẳng
thức
thức
thức
trên
trên
vàtrên
và
và
BổBổ
Bổ
đề
và đề
2.5
đề
Bổ2.5
ta
2.5
đềnhận
ta
2.5
ta nhận
nhận

ta
được
nhận
được
được
14Tđược
(r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1).
13) T (r, f ) +
T các
(r,
logđẳng
rthức
≤ trên
O(1).
(n
−
1)T
(r,
f)
≤
T
(r,
A)
+
O(1)
≤
6
T
(r,
f)

+
(n
(n−
−
−
(n
1)T
1)T
1)T
−(r,
(r,
1)T
(r,f)ff(r,
)≤
)≤
≤
fT )(r,
TT≤
(r,
(r,
A)
TA)
A)
(r,
+ O(1)
+
+
A)O(1)
O(1)
+≤O(1)

6≤
≤T6(r,
6≤TTf)
6(r,
(r,
+
TffT
(r,
))(r,
+
+
f g)
T
)T+
(r,
(r,
−Tg)
g)
log
(r,
g)
r−+log
log
−
O(1);
rrlog
+
+rO(1);
O(1);
+ O(1); T (r, g) − log r + O(1);

Do
đó −
13 nên ta gặp mâu
thuẫn.
(r,
g)
≤
(r,
B)
O(1)
≤
T
f)l + T (r, g) − log r + O(1).
(n
(n−
−
−
(n
1)T
1)T
1)T
−(r,
(r,
1)T
(r,g)g)
g)
(r,
≤≤
≤
Tg)(r,

TT≤
(r,
(r,
B)
TB)
B)
(r,
+ O(1)
+
+
B)O(1)
O(1)
+≤O(1)
6(n
≤
≤T−
6(r,
6≤1)T
6(r,
TTf)
(r,
+
TffT
(r,
))(r,
+
+
f g)
T
)TT+

(r,
(r,
−Tg)
g)
log
(r,+
−
g)
r−+
log
log
−
O(1).
rrlog
+
+6rO(1).
O(1).
+(r,
O(1).
với
ng hợp 2. A.B = 1 tức là f n f (qz + c).g n g(qz + c) = 1. Theo Bổ đề 2.7i) suy ra f =
Do đó, có
g
Do
Do
Do đó,
đó,
Do
đó,có
có

đó,
có có
.
−
1)
T+
(r,
f)
++
TO(1)
g)≤
Tf)(r,
A)
Tg)
B)
+
≤
12
T+(r,
f)O(1);
+ T (r,
4 g) − 2 log
(n
(n−
−
−
(n
1)
1)
1)−TTT1)

(r,
(r,
(r,f)
Tff(r,
)+
)+
+
Tf (r,
T
)T+
(r,
(r,
g)Tg)
g)
(r,
≤ T≤
g)
≤(r,
TT≤
A)
(r,
(r,(n
T+
A)
A)
(r,
T+
(r,
+
A)TTB)

(r,
(r,
+
TB)
B)
(r,
O(1)
B)
O(1)
≤(r,
+12O(1)
≤
T≤
(r,
12
12
≤
TT
12
+
(r,
(r,
TTf(r,
f+
(r,
)) +
+
f(r,
T
)T−

+
(r,
(r,
2Tg)
log
g)
(r,O(1)
r−
g)
−+22O(1);
−
log
log
2rrlog
+
rO(1);
O(1);
+
n
n
ng hợp 3. A = (n
B
tức
làT13)
f(r,
ff)
=g)
g(qz
c).
Theo

2.7ii)
= hg với
−
TO(1).
(r, Bổ
f) +đềT (r,
g) +suy
logra
r ≤f O(1).
(n−
−
−
(n
13)
13)
13)
−
TT
(r,
(r,
T(qz
ff(r,
+
)) +
+
T+
f(r,
T
)Tc)
+

(r,
(r,
g)T
g)
(r,
+glog
+
g)
+
log
log
r+
≤(n
r+
rlog
O(1).
≤
≤
r13)
O(1).
O(1).
≤
1.
Do n ≥ 13 nên ta gặp mâu thuẫn.
Do
Do
Do nDo
n≥
≥
≥n13

13
13
≥nên
nên
nên
13tanên
ta
tagặp
gặp
gặp
tamâu
gặp
mâu
mâu
thuẫn.
mâu
thuẫn.
thuẫn.
thuẫn.
ng minh Định lý 2.
ll l
nn
n hợp
nA.Bn = 1 tức là f nnf(qz + c).g nng(qz + c) l= 1. Theo
A.B
A.B
A.B
=
=
1 tức

11=tức
tức
là
1 ftức
là
làn f(qz
ffTrường
là
fff(qz
+
(qz
fc).g
(qz
+
+nc).g
c).g
g(qz
+2. nc).g
g(qz
+
g(qz
c)g(qz
+
=
+ c)
1c).+Theo
=
=
c)11=
.. Bổ

Theo
Theo
1.đềTheo
2.7i)
Bổ
Bổ đề
Bổ
đề
suy2.7i)
2.7i)
đềra 2.7i)
fsuy
suy
= suy
ra
ravới
ffra=
=f =Bổ
với
vớiđề
với2.7i) suy ra
Trường
Trường
Trường
hợp
hợp
hợp2.hợp
2.
2.A.B
2. =

dùng các ký hiệuTrường
trong
Định
lý
1.
gg g
g
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1 = 1.hợp sau:
dụng Bổ đề 3.6
[5]
lln+1
l=
=
=cho
1.
1.
1.=A,
1. B ta chỉ cần xét các ltrường
n
n nnTrường
nn= B
n tức là f nnf(qz + c)
1
1A
1suy
hợp

3.
=
g(qz
c).fvới
Theo
Bổvới
đề với
2.7ii) suy ra
Trường
Trường
Trường
Trường
hợp
hợp
hợp
3.
hợp
3.
3.
AN
A
A3.
==
=
B
A
B
B
tức
= tức

tức
B
là N
tức
flà
là (r,
f(qz
fflàB)
fff(qz
(qz
+n+fc)N
(qz
+
+=
c)
c)+
g n=
=
g(qz
c)
gg=
g(qz
+
g(qz
g2c).
g(qz
+
+
Theo
c).

c).
+A)
Bổ
Theo
c).
Theo
đề
Theo
Bổ
2.7ii)
Bổr,đề
Bổ
đề
2.7ii)
2.7ii)
đềg+
ran2.7ii)
fsuy
suy
=+suy
ra
hg
ra
fra
=
=f hg
hg
=
hg
với

A)
≤
N
(r,
A)
+
r,
+
r,
(r,
+
N
ờng hợp 1. T (r,n+1
+
N
2
2
2
2
1
1
n+1
n+1
n+1 n+1
n+1 = 1.
h
A
B
A
hh h=

=
=111..=
. 1.
1
Chứng
Chứng
Chứng
Chứng
minh
minh
minh
Định
Định
Định
Định
lýlý
lý
2. 2.
2.
lý 2. Chứng minh Định lý 2.
) + N1 r,
− 2 log r +minh
O(1).
B
Ta1.
dùng
Ta
Tadùng
dùng
Ta dùng

các
cáckýcác
ký
hiệu
hiệu
kýtrong
hiệu
trong
Định
trong
Định
lýĐịnh
1.lý
lý
1.
lý 1. các ký hiệu trong Định lý 1.
Ta
dùng
các
ký
hiệu
trong
Định
á tương tự như trong Định lý 1 ta có
Áp
dụng
đềtrường
3.6 các
[5]hợp
cho

A,
Bhợp
ta
chỉ
cần xét các trường hợp sau:
Áp
dụng
Bổ
A,
B
ta
cần
xét
các
trường
hợp
sau:
Áp
Ápdụng
Áp
dụng
dụng
Bổ
Bổđềđề
đề
Bổ
3.6
đề
[5][5]
3.6

[5]
chocho
cho
[5]
A, cho
B
A,ta
B
A,
chỉ
ta
Bchỉ
cần
chỉ
ta
xét
chỉ
cầnBổ
các
cần
xét
xét
các
trường
trường
sau:
hợp
sau:
sau:
13.63.6

, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r,
≤ 3T (r, f ) + O(1). 1 11 1
1
11 1 1
1
111 1
T(r,
(r,
+N
hợp
1.2+
N11(r, A)+N
2r,
22N1r,
221(r,
22N
Trường
hợp
1.
(r,
T1.
(r,
(r,
A)
TA)
A)
(r,
≤≤
N
≤

A)
(r,
N≤
A)+N
(r,
N2A)
A)
(r,Trường
+
+
N
N
r,+
r,
r,2+N
r,
+(r,
N
N
B)+N
+
(r,
(r,
N≤
B)
B)
(r,
+
N
N+

r,
r,22 r,
(r,22A)+N
(r,
A)
A)
(r,
r,B)+N
+
+
A)
N
N+
r,
r,r,1 r, +
+
+2 +
Trường
Trường
Trường
hợp
hợp1.hợp
1.TAT
+
+
+
+N
N211(r,
N
2N

22(r,
2A)
22 N
22A)
2
2N+
2B)
2A)+N
2 N
1
11+
B A
1
B
A
A A
A A
B
B BA
A
A
, B) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r,1 11 ≤
1
1 3T (r, f ) + O(1).
B
B) + N11 r,
− 2 log r + O(1).
11(r,
N
N

N11(r,
NB)
−
−
−
2 log
22−
log
log
r 2+rrlog
O(1).
+
+rN
O(1).
O(1).
+
O(1).
(r,
B)
B)
(r,
+
+
+
B)
N
N
N
+
r,

N
r,
r,
r,
1
1 11
1
B
BB
B B
c, ta có
giá
n Đánh
Đánh
giá
giá1tương
tương
giá
tương
tựtự
tự+
như
như
như
tựtrong
như
trong
trong
trong
Định

Định
lýĐánh
Định
1lý
lýta11có
lý
ta
ta1tương
có
có
ta cótự như trong Định lý 1 ta có
, A) ≤ N1 (r, Đánh
fĐánh
) +giá
N
r, f tương
(qz
c)
=
NĐịnh
1 (r, f ) + N1 r, f (qz + c)
1
1 11 1
N
A)
≤
3T
(r,ffO(1).
f)
O(1);

N22 r,
≤ 3T (r, f) + O(1).
) + T r, f (qz + N
c)
+
O(1)
=
T(r,
(r,ff(r,
f)) )+
T
fNr,)22+N
=
2T
(r,
+f+O(1).
N222(r,
(r,
(r,
NA)
A)
A)
(r,≤≤
≤
A)
3T
3T
3T
≤
(r,

(r,
3T
f)
+
O(1);
+
f+O(1);
)O(1);
+(r,
NO(1);
r,
r,O(1)
≤r,3T
≤
≤(r,
3T
3T
≤
f)
(r,
3T
+
(r,
)) +
)O(1);
O(1).
+ O(1).
2
2N
222(r,

A
A
A
A
A
1
1
1
1
11 O(1).
1
r,
≤ N1 r, N
+
N
r,3T
≤
2T
(r,
f1N
)222+
1≤
N
(r,
B)
≤3T
3T
(r,ffO(1).
f)
+

O(1);
N22 r,
≤ 3T (r, f) + O(1).
N
N
≤
3T
≤
≤
(r,
3T
≤
f)
(r,
(r,
3T
+
(r,
)
)
+
+
f
O(1).
)
O(1).
+
O(1).
(r,
(r,

(r,
B)
B)
B)
(r,
≤
B)
≤
3T
3T
≤
(r,
(r,
(r,
3T
f)
f
f
(r,
+
)
)
+
O(1);
+
f
O(1);
)
O(1);
+

N
O(1);
N
N
r,
r,
r,
r,
n
2
2
2
2
2
2
2
A
f
f (qz + c)
B
B B
B B
Mặt khác, ta có
ự, ta có
Mặt
Mặt
MặtMặt
khác,
khác,
khác,

khác,
ta
ta
tacócó
có
ta có
nn
1
n nn
n
Nfc)11+
(r,=
A)
f(qz
111(r,
N
N11O(1);
(r,
(r,
NA)
A)
A)
(r,
≤≤
≤
A)
NN
N
(r,
(r,

N
f 1ff)(r,
f+
N
+1N
)(r,
Nr,
+
f(qz
N
r,
r,
f(qz
(qz
r,
+
(qz
+
c)
c)
+N=
c)
=(r,N
Nf)
=
(r,
(r,
N
+f1fN
f(r,

))1)+
+
r,
fN
)N
f(qz
+
N
r,
r,+
c)
(qz
r, f++
(qz
+c)c)
c)+=c)N11(r, f) + N11 r, f(qz + c)
1(r,
1
1≤
11(r,
11f
1≤
1
1111 r,
1ff(qz
, B) ≤ 2T (r, f ) +
N
≤+))2T
) 1f+
O(1).

1 r,
B
≤O(1)
r,
f(qz
++2T
O(1)
=
(r,
(r,O(1);
f) + O(1) = 2T (r, f) + O(1);
≤
≤
≤ TT≤
(r,
(r,
(r,Tf)
ff(r,
))++
+
fTT
)T+
r,r,
r,
f(qz
Tff(qz
(qz
r,+
f+
(qz

+
c) c)
c)+
+ O(1)
+
c)
+ O(1)
O(1)
+=
TT=
=
(r,
(r,TTf)
f)
=
(r,
(r,+
T
+ff(r,
T)T)(r,
+
+
fT
)f)
T
+
(r,
(r,
+TfO(1)
f+

(r,
))c)
+
+
f O(1)
)=
O(1)
O(1)
(r,
=
=f)
2T
2T
=T+(r,
(r,
2T
O(1);
fff)
(r,
)) +
+f T
O(1);
)O(1);
+
bất đẳng thức trên, ta có
1
1
111 1
1 11 1
1 11 1 1

N
r,(r,
≤ 2T (r, f) + O(1).
11 r,
112T
11 +r,O(1).
N
N
r,
r,
r,)1+r,10T
≤≤
≤N(r,
N
N
r,
r,−
r,+
N
+
+1rN
N
r,
+
N
r,
r,1Nr,
≤ ≤2T≤
≤
(r,

2T
f)
≤
(r,
+
2TO(1).
ff(r,
))++
+
fNO(1).
)O(1).
1)T (r, f ) ≤ 14TN
(r,
g)N
log
+
111 f
1≤
11r,
1 2
11 O(1),
A c)
f nn
f(qz + c)
A A
(qzfc)+
(qz
+
c)+ c)
AA

f nffnn f n
f(qzff(qz
+
1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1).
Tương tự, ta có
Tương
Tương
Tương
Tương
tự,
tự,
tự,ta
ta
tự,
tacócó
có
ta có
1
1 11 1
N
B)
≤2T
2T
(r,ffO(1).
f)
+
O(1);
N11 r,
≤ 2T (r, f) + O(1).
11(r,

N
N111(r,
(r,
(r,
NB)
B)
B)
(r,≤≤
B)
≤2T
2T
2T
≤
(r,(r,
(r,
2T
f)ff(r,
+
)
)
+
O(1);
+
f
O(1);
)
O(1);
+
N
O(1);

N
N
r,
N
r,
r,
≤
r,
2T
≤
≤
(r,
2T
≤
f)
(r,
(r,
2T
+
(r,
)
)
+
+
f
O(1).
)
O(1).
+
O(1).

5
1
1
1
1
1
61(6) 6.2019
B
B B
B B
Từ
Từ
Từ các
các
Từ
cácbất
các
bất
bấtđẳng
bất
đẳng
đẳng
đẳng
thức
thức
thức
trên,
thức
trên,
trên,

ta
trên,
ta
có
ta có
có
taTừ
có các bất đẳng thức trên, ta có
1)T
(r,
f)
≤
14T
(r,O(1),
f) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1),
(n
(n−
−
−
(n
1)T
1)T
1)T
−(r,
(r,
1)T
(r,f)ff(r,
)≤
)≤
≤

f14T
)14T
14T
≤(r,14T
(r,
(r,
f) f+
f(r,
)4)10T
+
+
f 10T
)10T
(r,
+(n
g)
10T
(r,
(r,−
−g)
g)
(r,
2−
log
−g)
22r−
log
log
+2O(1),
rrlog

+
+
rO(1),
O(1),
+


Đánh giá tương tự như trong Định lý 1 1ta có
1
N
N22 (r,
(r, A)
A) ≤
≤ 3T
3T (r,
(r, ff )) +
+ O(1);
O(1); N
N22 r,
r, A ≤
≤ 3T
3T (r,
(r, ff )) +
+ O(1).
O(1).
A
11
N
N22 (r,
(r, B)

B) ≤
≤ 3T
3T (r,
(r, ff )) +
+ O(1);
O(1); N
N22 r,
r, B ≤
≤ 3T
3T (r,
(r, ff )) +
+ O(1).
O(1).
B
Khoa học Tự nhiên
Mặt
khác,
ta
có
Mặt khác, ta có
n
N
N11 (r,
(r, A)
A) ≤
≤N
N11 (r,
(r, ff n )) +
+N
N11 r,

r, ff (qz
(qz +
+ c)
c) =
=N
N11 (r,
(r, ff )) +
+N
N11 r,
r, ff (qz
(qz +
+ c)
c)
≤
T
(r,
f
)
+
T
r,
f
(qz
+
c)
+
O(1)
=
T
(r,

f
)
+
T
(r,
f
)
+
O(1)
=
2T
(r,
≤ T (r, f ) + T r, f (qz + c) + O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1) = 2T (r, ff )) +
+ O(1);
O(1);
11
11
11
N1 r,
≤ N1 r,
+
N
+N
N11 r,
r, f (qz + c) ≤
≤ 2T
2T (r,
(r, ff )) +
+ O(1).
O(1).

1 r, A ≤ N1 r, f n
A
fn
f (qz + c)
Tương
Tương tự,
tự, ta
ta có
có
11
N
(r,
B)
≤
2T
(r,
f
)
+
O(1);
N
r,
1
1
N1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N1 r, B ≤
≤ 2T
2T (r,
(r, ff )) +
+ O(1).
O(1).

B
Từ
các
bất
đẳng
thức
trên,
ta
có
Từ các bất đẳng thức trên, ta có
(n
(n −
− 1)T
1)T (r,
(r, ff )) ≤
≤ 14T
14T (r,
(r, ff )) +
+ 10T
10T (r,
(r, g)
g) −
− 22 log
log rr +
+ O(1),
O(1),
(n
−
1)T
(r,

g)
≤
14T
(r,
f
)
+
10T
(r,
g)
−
2
log
r
+
O(1).
(n − 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1).
Do
Do đó
đó

(n − 25) T (r, f ) + T (r, g) + 4 log r ≤ O(1).
Mà n ≥ 25 nên trường hợp này không xảy ra.
44
l
n
n
với
Trường hợp 2. A.B = 1 tức là f f (qz + c).g g(qz + c) = 1. Theo Bổ đề 2.7i) suy ra f =
g

ln+1 = 1.
Trường hợp 3. A = B tức là f n f (qz +c) = g n g(qz +c). Theo Bổ đề 2.7ii) suy ra f = hg với hn+1 = 1.

TÀI
TÀI LIỆU
LIỆU THAM
THAMKHẢO
KHẢO
[1]J. J.
(1922),
"Prime
andpolynomials”,
compositeTrans.
polynomials",
Trans.
Amer. Math.
[1]
RittRitt
(1922),
“Prime and
composite
Amer. Math. Soc.,
23(1), pp.51-66.

Soc., 23(1), pp.51-66.
[2]
W.K.
Hayman
(1967),
Research

problems
in
Function
Theory,
The
Athlone
Press University of
[2] W.K. Hayman (1967), Research problems in Function Theory, The Athlone Press University of London, London.
London,
[3] C.C. London.
Yang, X.H. Hua (1997), “Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 22, pp.395-406.
[3] C.C. Yang, X.H. Hua (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann.
[4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials, Interactions
Acad. real
Sci.andFenn.
Math.,
between
complex
analysis,22,
Sci. pp.395-406.
Technics Publ. House, Hanoi, pp.152-161.
[4]
Vu
Hoai
An,
Pham
Ngoc
Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several vari[5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), “Value sharing problems for differential and difference polynomials of
ables difference
Interractions

between
real andAnalysis
complex
analysis, Sci.
Technics Publ.House,
meromorphic
functionspolynomials",
in a non-Archimedean
field”, Adic Numbers,
Ultrametric
and Applications,
9(1), pp.1-14.
Hanoi,
pp.152-161.
[6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), “Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and
difference
polynomials”,
J., 64(2),
[5] Vu
Hoai An,Ukranian
PhamMath.
Ngoc
Hoa,pp.147-164.
and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential
and[7]difference
polynomials
of
meromorphic
functions
in a non-Archimedean

p-Adic
Numbers,
UlHa Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012),
“Value sharing
problem and Uniquenessfield",
for p-adic
meromorphic
functions”,
Ann.
Univ. Sci.Analysis
Budapest., Sect.
38, pp.71-92.
trametric
andComp.,
Applications,
9(1), pp.1–14.
[6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value sharing problem for p-adic meromorphic functions
and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math. J., 64(2), pp.147-164.
[7] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness
for p-adic meromorphic functions", Ann. Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 38, pp.71-92.

61(6) 6.2019

6