Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính - Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử

Đậu Thế Phiệt

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

1/1


Đặt vấn đề

Đặt vấn đề

Trong chương này, chúng ta sẽ học một số phương pháp giải hệ phương
trình đại số tuyến tính

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1i xi + . . . + a1n xn = b1




.................................... ... ...


ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aii xi + . . . + ain xn = bi
(1)


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ani xi + . . . + ann xn = bn
thường xuất hiện trong các bài toán kỹ thuật.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

2/1


Đặt vấn đề

Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn số, trong đó A = (aij ) ∈ Mn (K )
và detA = 0. Do đó hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A−1 B.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

3/1


Đặt vấn đề

Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn số, trong đó A = (aij ) ∈ Mn (K )
và detA = 0. Do đó hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A−1 B.
Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A−1 đôi khi còn khó khăn gấp
nhiều lần so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1).
Do đó cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

3/1


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ

Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1j xj + . . . + a1n xn




....................................

ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij xj + . . . + ain xn


....................................




an1 x1 + an2 x2 + . . . + anj xj + . . . + ann xn

ng.com

n ẩn
=
...
=
...
=

b1
...
bi
...
bn

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

4/1


Phương pháp Gauss

Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1):
1

Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại
các ẩn.

2

Nhân vào một phương trình của hệ một số λ = 0(hi → λhi ).

3

Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được
nhân với một số (hi → hi + λhj )

thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1).

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

5/1


Phương pháp Gauss










a11
a21
...
an1
c11
0
...
0

a12
a22
...
an2
c12
c22
...
0

...
...

...
...
...
...
...
...

ng.com

a1n
a2n
...
ann
c1n
c2n
...
cnn

Hệ phương trình tương đương


b1
BĐ sơ cấp trên hàng
b2 
−
−−−−−−−−−−−−−−→
... 
bn

d1

d2 
 với cii = 0, i = 1, 2, . . . , n.
... 
dn

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

6/1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

1

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1).

2

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng
về ma trận bậc thang.

3

Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

7/1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

1

Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1).

2

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng
về ma trận bậc thang.

3

Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.

4

Ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó
xn−1 , . . . , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

7/1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

Ví dụ
Giải hệ phương trình


 x1

2x1

3x


 1
4x1

ng.com

+ 2x2
+ x2
+ 2x2
+ 3x2

+ 3x3
+ 2x3
+ x3
+ 2x3

+ 4x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4

= 7
= 6
= 7
= 18

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

8/1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss

Ví dụ
Giải hệ phương trình


 x1

2x1
3x


 1
4x1

1 2 3 4
 2 1 2 3
Giải. 
 3 2 1 2
4 3 2 1

ng.com

+ 2x2 + 3x3
+ x2 + 2x3
+ 2x2 + x3
+ 3x2 + 2x3

h2 →h2 −2h1
7
h3 →h3 −3h1

6  h4 →h4 −4h1
−−−−−−−→
7 
18

+ 4x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4

= 7
= 6
= 7
= 18

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

8/1


Phương pháp Gauss



1
2
3
4
 0 −3 −4 −5

 0 −4 −8 −10
0 −5 −10 −15

ng.com

Phương pháp Gauss


7
−8 

−14 
−10

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

9/1


Phương pháp Gauss



1
2
3
 0 −3 −4

 0 −4 −8
0 −5 −10

1

h2 →h2 −h3  0
−−
−−−−→ 
0
0

ng.com


7
4
−8 
−5

−14 
−10
−10
−15
2
3
4
1
4
5
−4 −8 −10
−5 −10 −15

Phương pháp Gauss


7
h3 →h3 +4h2
6 
h4 →h4 +5h2
−
−−−−−−→
−14 
−10

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

9/1


Phương pháp Gauss



1
 0

 0
0

2 3 4
1 4 5
0 8 10
0 10 10

ng.com

Phương pháp Gauss



7
h3 ↔h4
1
h3 → 10
h3
6 
 −−−−−→

10
20

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

10 / 1


Phương pháp Gauss



1
 0

 0
0

2 3 4
1 4 5
0 8 10
0 10 10

ng.com


7
h3 ↔h4
1
h3 → 10
h3
6 
 −−−−−→

10
20

Phương pháp Gauss



1
 0

 0
0

2

1
0
0

3 4
4 5
1 1
8 10


7
6 
h4 →h4 −8h3
−
−−−−−−→
2 
10

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

10 / 1


Phương pháp Gauss



1
 0

 0
0

2
1
0
0

3
4
1
0

4
5
1
2

ng.com

Phương pháp Gauss


7
6 
.

2 
−6

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

11 / 1


Phương pháp Gauss


7
1 2 3 4
 0 1 4 5
6 
.

 0 0 1 1
2 
−6
0 0 0 2
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ

x1 + 2x2 + 3x3 +




x2 + 4x3 +
x3 +




Phương pháp Gauss



ng.com

sau
4x4
5x4
x4
2x4

=
7
=
6
=
2
= −6

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

11 / 1


Phương pháp Gauss


7
1 2 3 4
 0 1 4 5
6 
.

 0 0 1 1
2 
−6
0 0 0 2
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ

x1 + 2x2 + 3x3 +



x2 + 4x3 +
x3 +




Phương pháp Gauss



ng.com

sau
4x4
5x4
x4
2x4

=
7
=
6
=
2
= −6


x1



x2
⇔
x



 3
x4

=
2
=
1
=
5
= −3

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

11 / 1


Phương pháp Gauss


7
1 2 3 4
 0 1 4 5
6 
.


 0 0 1 1
2 
−6
0 0 0 2
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ

x1 + 2x2 + 3x3 +



x2 + 4x3 +
x3 +




Phương pháp Gauss



sau
4x4
5x4
x4
2x4

=
7
=
6

=
2
= −6


x1



x2
⇔
x


 3
x4

=
2
=
1
=
5
= −3

Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2, 1, 5, −3)

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

11 / 1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan

Định nghĩa
Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất, sao cho không cùng hàng
và cột với những phần tử đã chọn trước.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

12 / 1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan

Định nghĩa
Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất, sao cho không cùng hàng
và cột với những phần tử đã chọn trước.
Phương pháp Gauss-Jordan
1

Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các phần tử trên cùng cột
của phần tử trội bằng không.

2

Qua n bước ta sẽ tìm được nghiệm cần tìm.

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

12 / 1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ
Giải hệ phương trình


 x1

2x1
x


 1
x1

ng.com

− x2
− 2x2
+ x2
− x2

+ 2x3
+ 3x3
+ x3
+ 4x3

− x4
− 3x4

+ 0x4
+ 3x4

= −8
= −20
= −2
=
4

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

13 / 1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ
Giải hệ phương trình


 x1 − x2 + 2x3

2x1 − 2x2 + 3x3
x + x2 + x3



 1
x1 − x2 + 4x3


1 −1 2 −1
−8
 2 −2 3 −3
−20 

Giải. 
 1
1 1
0
−2 
1 −1 4
3
4

ng.com

− x4
− 3x4
+ 0x4
+ 3x4

= −8
= −20
= −2

=
4

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

13 / 1


Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss-Jordan

Chọn phần tử trội là a43 = 4. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp
h3 →4h3 −h4
h2 →4h2 −3h4
h1 →2h1 −h4

−−−−−−−−→

ng.com

/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

14 / 1


Phương pháp Gauss

Chọn phần tửtrội
h3 →4h3 −h4
1
h2 →4h2 −3h4
5
h1 →2h1 −h4 
−−−−−−−−→ 
 3
1

ng.com

Phương pháp Gauss-Jordan

là a43 = 4. Thực hiện
−20
−1 0 −5
−92
−5 0 −21
−12
5 0 −3
4
−1 4
3

các
 phép biến đổi sơ cấp




/>Đậu Thế Phiệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

14 / 1