Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1. CHUỖI SỐ DƯƠNG

2. CHUỖI ĐAN DẤU
3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

§2. CHUỖI LŨY THỪA
1. CHUỖI LŨY THỪA
2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các
số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)
n 1

un

là chuỗi số

Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un
3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
S lim Sn
n

Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc
không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta
nói chuỗi phân kỳ
un
lim Sn S
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
n 1

CuuDuongThanCong.com

n

/>

§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
n
1 3 7 15
2
1
...
un
n
2 4 8 16
2
2
1

22
1.2

23
1.2.3

24
1.2.3.4

...

un

2n
n!

Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi
n 2
5 2
7
Tính u5?
u5
1
n 1 4n
4.5 1 19
(2n 1)!!
Tính u6
1)!
n 1 (n
(2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11

u6
(6 1)!
7! 1.2.3.4.5.6.7
CuuDuongThanCong.com

/>
99
48


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

qn

Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
n 0

Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
n, q 1
Sn 1 q q 2 ... q n
1 qn
,q 1
1 q
Rõ ràng khi q=1, Sn=n thìchuỗi là phân kỳ
1
n
Khi |q|<1: q →0 khi n→∞ nên S lim Sn
n
1 q
Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S

Khi |q|>1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ

Vậy chuỗi cấp số nhân
CuuDuongThanCong.com

q n hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
n 0

/>

§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
1
1
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
n
n
3
5
n 0
Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có
1
1n
1
3
( )
n
2
n 03
n 0 3
1 1

3
1
1n
1
5
( )
n
5
4
n 0 5
n 0
1 1
5
1
1
3 5 1
Vậy:
n
n
2 4 4
3
5
n 0

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của

Tổng riêng: Sn
Ta có:

2Sn

2Sn

un
1 1
1 3

u1

u2

...

1
n 1 4n

un

1

1 1
1
(
)
2
4n 1 2 2n 1 2n 1

1 1
1 1
1
1
...
3 5
5 7
2n 1 2n 1

1
1
2n 1

Tổng của chuỗi:

CuuDuongThanCong.com

2

S

1
n 1 4n

2

1

lim Sn

n

/>
1
2

1


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

1
ln(1
)
n
1

Tổng riêng:
n

Sn

n
1
ln(1
)
ln(1 k ) ln k

k
k 1
k 1
(ln2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln(n

Sn

ln(n

Sn

Ta có: S

1)

lim Sn

n

lim ln(n

n

1)

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

CuuDuongThanCong.com

/>

1) ln n)


§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ

Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi
n 1

un hội tụ thì un→0

Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
số phân kỳ bằng cách chứng minh
1. lim un 0
n

2. lim un
n

Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
n
n
, v? lim un
lim
1 0
n
n
1
n 1
n 1n
n

n

( 1)n
n
1
n
n
1 ( 1)

n

n

( 1)n
, v? lim
n
n

, v? lim un

CuuDuongThanCong.com

n

n

1

n

lim
n
( 1)n

0
n

1

/>
0


§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ

Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay
đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
n 1

un v?

n p

un

Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ
n 1

un

Q v?

vn

n 1

Các chuỗi sau hội tụ với tổng
n 1

un

vn

Q

P,
n 1

un = Q

Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
CuuDuongThanCong.com

/>
P


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Chuỗi số
n 1

un , un

0 với tất cả các số hạng

không âm thì gọi là chuỗi không âm
Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2. Tiêu chuẩn so sánh
3. Tiêu chuẩn Cauchy
4. Tiêu chuẩn d’Alembert
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).

f (n ) HT khi và chỉ khi tp f ( x )dx HT

Khi ấy, chuỗi
n 1

1

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

* Khi α<0: un
* Khi α=0: un

1
n
1 n

lim un

n

Chuỗi PK theo đkccsht

lim un

1 0
Chuỗi PK theo đkccsht

n

* Khi α>0: Xét hàm f ( x )
CuuDuongThanCong.com

1
1n

1
x

thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn tích phân
/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1
Vìtích phân
dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
1 x
1 Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
Chuỗi
n 1n
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
n

Xét hàm f ( x )

1
2 n(ln n )

1
trên [2,+∞), ta có
x(ln x )

f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu

chuẩn tích phân
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
khi
1
dx
d (ln x )
1
khi >1
1
2 x (ln x )
2 (ln x )
(
1)(ln2)
1
Vậy chuỗi
HT khi β>1 và PK khi β≤1
n 2 n(ln n )

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn so sánh 1:

Cho 2 chuỗi số không âm
n 1

p : un

vn n

Khi ấy: 1.
n 1

2.

un v?

vn

thỏa

n 1

p

un HT
v n PK

n 1

v n HT

n 1

n 1

un PK

Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2n
n 13

n

1

Ta so sánh

2n

un

3

n

1

2n
n
3

n

Vì
n

2
n
13

n 1

2
3

vn, n
n
n

q ,q
n 1

2

3

là chuỗi hội tụ

Suy ra chuỗi đã cho hội tụ

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn so sánh 2:

un v?
vn
Cho 2 chuỗi số không âm
n 1
n 1
un
lim
K
n
vn
Khi ấy:
un HT
v n HT
1. Nếu K=∞ thì
n 1

thỏa

n 1

2. Nếu 03. Nếu K=0 thì

v n HT

n 1

CuuDuongThanCong.com

n 1

un HT

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Chuỗi cấp số nhân:

q

n

n 1

Hội tụ khi |q|<1
Phân kỳ khi |q|≥1

q
n 0

n

1
1 q

,q

Chuỗi điều hòa :

n

1
1n

Hội tụ khi α>1

Phân kỳ khi α≤1

CuuDuongThanCong.com

/>
1

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

n 2 2n 2
3
n 1
1 n

Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞

n 2 2n 2
3
n
n 1

Khi n→∞ thì un

Tức là lim un
n
vn
Mà

vn

n 1

n

1
n

vn

1 (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)

1
1n

là chuỗi phân kỳ

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

1 1 n
2
n
1n

n

n

Khi n→∞ thì un
Mà chuỗi

vn

n 1

1 1 n
1
.e
2
2
n
n
n
1
.e hội tụ
2
n 1n

vn

Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

1

2n 1
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
ln
1
n 1
n 1n
1
2n 1
1
3
Ta có :
un
ln
ln 2(1
n 1
n 1
n 1
2(n 1)

un
Do

1

3
ln2 ln(1
)

n 1
2(n 1)

ln2
1
3
ln(1
)
n 1 n 1
2(n 1)

1

3
1
3
3
n
:
ln(1+
)
.
n 1
2(n 1)
n 1 2(n 1) 2(n 1)2
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
ln2
1
3
của 2 chuỗi

PK v?
ln(1
) HT
1
2
2(n 1)
n 2n
n 2n
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

1
1 n sin
n
1

1
0
Khi n→∞ thì
n
1
Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm sin
n
Vậy khi n→∞ thì
un

1
1 n sin
n

Mà chuỗi
n

1
2
6
n
1

CuuDuongThanCong.com

1
1 n
n
HT

1 1
3! n 3

1
O( 3 )
n

1
6n 2

Nên chuỗi đã cho HT

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
n2



n e
n  1

ln 
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  3

n 1  n 
n 2
2
1
n
Khi n →∞ : e
0 Suy ra
2
en
un
un

Mà chuỗi
n

n

n2

e
n 1
ln(
)
3
n
n 1

n

n2

e
1
ln(1
)
3
n
n 1

n

n2

e

1
ln(1
)
3
n
n 1

n 1
3
nn

1
3
n

1
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
3
1 n

CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn d’Alembert :
Xét chuỗi số dương:
n 1

Đặt :

un

un 1 •  q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ
Dn 
un

• Dn  1 : chuỗi phân kỳ
• D < 1 : hội tụ

un 1
D  lim Dn  lim
n 
n  un

• D > 1 : phân kỳ

• D = 1 : không có kết luận
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn Cauchy :
Xét chuỗi số dương:
n 1

Đặt :

Cn  n un

un

•  q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ
• Cn  1 : chuỗi phân kỳ
• C < 1 : hội tụ

C  lim Cn  lim n un • C > 1 : phân kỳ
n 
n 

• C = 1 : không có kết luận
CuuDuongThanCong.com

/>

§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm

Tiêu chuẩn Rapb :
(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1)
 un 1 
Đặt
Rn  n 1 
nu
R

n
1



n
n
un 

Hoặc
R  lim Rn
R  lim Rn



n 

n 

• R > 1 : hội tụ
• R < 1 : phân kỳ
• R = 1 : không có kết luận
CuuDuongThanCong.com

/>
