Bài giảng Giải tích mạch: Chương 3.4 - Đỗ Quốc Tuấn

3.8 Chuỗi Fourier & bài toán xác lập chu kỳ
Hàm tuần hoàn
f (=
t ) f (t + n T)



T : chu kỳ cơ bản

Trong mạch xác lập chu kỳ các đáp ứng và kích
thích là có cùng chu kỳ
Phân loại & cách phân tích


Mạch tuần hoàn sin: → ảnh phức



Mạch tuần hoàn không sin: → khai triển Fourier → xếp
chồng trong miền t
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

1
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm tuần hoàn
f (=
t ) f (t + n T)



T : chu kỳ cơ bản

Khai triển Fourier lượng giác
a0 +∞
+ ∑ [ an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ]
f (t ) =
2 n =1
2π
 ω0 =
: tần số cơ bản.
T
 nω0
: họa tần, sóng hài.
 a0 , an , bn : các hằng số.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

2
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Khai triển Fourier lượng giác
a0 +∞
+ ∑ [ an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ]
f (t ) =
2 n =1
T /2

2
a0 =
f (t )dt
∫
T −T /2



Hàm số chẵn :

f (t ) = f (−t ) → bn = 0
2
an =
f (t ) cos(nω0t )dt
∫
T −T /2
 Hàm số lẻ :
T /2
2
f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0
(
)
sin(
)
bn =
f
t
n
t
dt

ω
0
∫
T −T /2
T /2

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

3
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm số chẵn
f (t ) = f (−t ) → bn = 0
a0 +∞
)
+ ∑ an cos(nω0t )
f (t=
2 n =1
4
a0 =
T

T /2

4
an =
T

T /2

∫

f (t )dt

0

∫

f (t ) cos(nω0t )dt

0

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

4
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm số lẻ
f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0
+∞

f (t ) = ∑ bn sin(nω0t )
n =1

4
bn =

T

T /2

∫

f (t ) sin(nω0t )dt

0

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

5
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm bán sóng
T
f (t ) =
− f (t ± )
2
+∞

f (t )

∑ [a

n =1
n = 2 k +1

4
an =
T

T /2

4
bn =
T

T /2

∫

n

cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ]

f (t ) cos(nω0t )dt

(n = 2k + 1)

f (t ) sin(nω0t )dt

(n = 2k + 1)

0

∫

0

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

6
/>

Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f1

Sóng vuông
 f1(t)

A

hàm lẻ
-T/2

T/2

T

f1 (t ) =

+∞

∑

n =1

=
n 2 k +1

4A
sin(nω0t )
nπ

-A

4
4 A ( − cos(nω0t ) )
A sin(nω0t )dt
=
∫
T 0
T
nω0
0

T /2

T /2

bn

2 A ( − cos(nπ ) + 1) 4 A
=
nπ
nπ =n

2 k +1

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

7
/>

Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
Sóng tam giác
 f2(t)

f2
A

hàm lẻ
-T/2

bn

4

T

T/2

-T/4
T/4

T

-A

T /4

∫
0

T /2

4
A


 −4 A
T 
(t − 2 )  sin(nω0t )dt 
t  sin(nω0t )dt + ∫ 

T
 T 

T /4 


  −t cos(nω t ) sin(nω t ) T / 4

0
0



+
+
2 
(nω0 )  0
nω0

16 A  
= 2 
T /2 
T   (t − T ) cos(nω t ) sin(nω t )  
0
0
2
+
−
 

2 
n
n
(
)
ω
ω
0
0
T / 4 
 
CuuDuongThanCong.com

/>

Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
Sóng tam giác
f2
A
T/2

-T/4
-T/2

T/4

T

f 2 (t ) =

+∞

∑

n =1
=
n 2 k +1

8A
nπ
sin(
2 ) sin( nω0 t )

2 2
nπ

-A

bn

  − T cos( nπ ) sin( nπ ) 

2
2
 4

+
+
2 
(nω0 ) 
nω0

16 A  
8A
nπ
=
sin(


2 )
2
2 2
T   T cos( nπ ) sin(nπ ) − sin( nπ )   n π

4
2
2
+
−
 
 
2
n
ω
n
ω
(
)
0
0
 
 
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

9
/>

Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f3

Sóng răng cưa
 f3(t)

hàm lẻ

A
-T/2

T/2

T

-A

4
bn =
T

T /2

∫
0

−2 A
cos(nπ ) sin(nω0t )
f3 (t ) = ∑
 2A 
t  sin(nω0t )dt
n =1 nπ

 T 
+∞

T /2

8 A  −t cos(nω0t ) sin(nω0t ) 
+
2 
2 
T 
nω0
(nω0 )  0

8 A  − T2 cos(nπ ) sin(nπ )  −2 A
cos(nπ )
=
+
=
2 
2 
T 
nω0
(nω0 )  nπ
CuuDuongThanCong.com

/>

Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f1

f1 (t ) =

A

T/2

-T/2

T

f1 (t=
)

-A
f2

T/4

sin(3ω0t ) sin(5ω0t )
4A 

t
sin(
)
...
+
+
+
ω
0

3
5
π 



8A
nπ
sin(
2 ) sin( nω0 t )
2 2
n =1 n π

T

f 2 (t=
)

-A

sin(3ω0t ) sin(5ω0t )
8A 

t
sin(
)
...
−
+
−
ω
0

32

52
π 2 

−2 A
cos(nπ ) sin(nω0t )
n =1 nπ
+∞

f3

f3 (t ) = ∑

A
T/2

-A

n =1
=
n 2 k +1

f 2 (t ) = ∑

T/2

-T/4

-T/2

∑

4A
sin(nω0t )
nπ

+∞

A
-T/2

+∞

T

f3 (t=
)

CuuDuongThanCong.com

sin(2ω0t ) sin(3ω0t )
2A 

t
sin(
)
...
−
+
−
ω

0

2
3
π 

/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Khai triển Fourier dạng sóng hài


Dạng sóng hài cosin

+∞

f (t ) =
C0 + ∑ Cn cos(nω0t + α n )
n =1
+∞





Dạng sóng hài sin

Các hệ số khai triển

f (t ) =

C0 + ∑ Cn sin(nω0t + β n )
n =1

a0
=
C0
2

;

=
Cn

bn
an
; βn =
αn =
−arctg
arctg
an
bn

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

an2 + bn2

12
/>

3.8.1 Khai triển Fourier
Khai triển Fourier dạng mũ phức f (t ) =

+∞

•

∑D

n

e

jnω0t

n = −∞





•

2

1
D n = ∫ f (t )e − jnω0t dt
T −T 2

Các hệ số khai triển phức

Quan hệ với các hệ
số của khai triển
lượng giác và khai
triển hài

T

•

a0
D=
C=
0
0
2
•
an − jbn Cn
=
∠α n
D=
n
2
2
•
∗
an + jbn Cn
=
∠ − α=
D −=
Dn

n
n
2
2

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

13
/>

3.8.2 Phổ tần số
Phổ tần số Là biểu diễn đồ thị các hệ số chuỗi Fourier.
a) Phổ tần số một phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng :
+∞

f (t ) =
C0 + ∑ Cn cos(nω0t + α n )
n =1
+∞

f (t ) =
C0 + ∑ Cn sin(nω0t + β n )
n =1

Phổ biên độ : biểu diễn Cn theo n .
Phổ pha : biểu diễn αn , βn theo n .
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

14
/>

3.8.2 Phổ tần số
Phổ tần số Là biểu diễn đồ thị các hệ số chuỗi Fourier.
b) Phổ tần số hai phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng :

f (t ) =

+∞

•

∑D

n

e

jnω0t

n = −∞

Phổ biên độ : biểu diễn |Dn| theo n .
Phổ biên độ nhận trục tung làm trục đối xứng.
Phổ pha : biểu diễn ∠Dn theo n .
Phổ pha nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
 Cả hai loại phổ có cùng thông tin
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

15
/>

Ví dụ phổ biên độ


Khai triển lượng giác
+∞

∑

f (t ) =

n =1
n 2 k +1)
(=




f(t)
A

4A
sin(nω0t )
nπ

Và khai triển phức D
n

-T/2

-3

-1

+∞

∑

f (t )
=
2A/π

n = −∞
(=
n 2 k +1)

2A/3π

-5

1

T/2

t

3

2A/5π
5

2 A jnω0t
e
−j
nπ

2A/7π
7

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

T

-A

Phổ biên độ

-7

0

ω

ω0
16

/>

3.8.3 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Bài toán: Cho mạch :
Tìm đáp ứng xác lập y(t) ?

Phương pháp phân tích : Xếp chồng trong miền tần số.

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

17
/>

3.8.3 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Xếp chồng trong miền tần số
1. Tìm chuỗi Fourier của x(t) :
∞

x(t ) =
X 0 + ∑ X n cos(nω0t + ϕn )
n =1

2. Tìm Y0 : đáp ứng DC.
 Có thể thay ω = 0 trong biểu thức hàm truyền đạt tần số
H(jω) hay tiến hành bài toán giải tích mạch xác lập DC.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

18

/>

3.8.3 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Xếp chồng trong miền tần số
3. Tìm vecto phức của hài:
 Thay ω = nω0 trong
biểu thức hàm truyền đạt
tần số H(jω) , hay giải
tích mạch phức khi cho
ω = nω0 .
•

X0
X 1 cos(ω0t + ϕ1 )

Mạch
tuyến
tính

HDC
&
X n cos(nω0t + ϕn ) H(jnω0)

y (t )

•

Yn= H ( jnω0 ). X n= Yn ∠ψ n

 Đáp ứng cần tìm

có dạng :
CuuDuongThanCong.com

∞

y (t ) =
Y0 + ∑ Yn cos(nω 0t + ψ n )
n =1

/>

3.8.4 Công suất trong mạch không sin
 Cho một nhánh có áp , dòng là tín hiệu không sin
∞

u (t ) =
U DC + ∑ U n cos( nω 0t + ϕ un )
n =1
∞

i (t ) =
I DC + ∑ I m cos( mω 0t + ϕ im )
m =1

a) Công suất tác dụng P [W] :
T

1
P = ∫ u (t ).i (t )dt
T 0

∞

1
P=
U DC I DC + ∑ U n I n cos(ϕUn − ϕ In )
n =1 2

P = PDC + ΣP(hài)
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

20
/>

3.8.4 Công suất trong mạch không sin
b) Trị hiệu dụng của tín hiệu (RMS) :
 Cho tín hiệu không sin có khai triển chuỗi Fourier :
∞

u (t ) =
U DC + ∑ U n cos(nω0t + ϕn )
n =1

∞
1
2
2
U DC + ∑ U n
2 n =1

=
 Trị hiệu dụng (RMS value) : U
RMS
 Trên phần tử mạch:
i(t)
+

u(t)

-

=
PR RI
=
2
RMS

U 2RMS
R

PL ; PC = 0
Bài giảng Giải tích Mạch 2015

CuuDuongThanCong.com

21
/>

3.8.4 Công suất trong mạch không sin

c) Công suất phản kháng Q [Var ] :
 Trên một nhánh bất kỳ :
∞

Q

∑
n =1

1
2

U n I n sin(ϕUn − ϕ In ) [Var]

 Trên phần tử mạch:
i(t)
=
QL

∞

∞

(nω L)I ∑
∑=

1
1 U 2n
2
n

2 ω L0
2 n 0
=
n 1=
n 1

+

u(t)

-

∞

∞
1 I2n
1
C
2 ω
n C0
2
=
n 1=
n 1

Q =
−∑
=
−∑ (nω0 C)U n2 [Var]

QR = 0
CuuDuongThanCong.com

[Var]

/>

3.8.4 Công suất trong mạch không sin
d) Công suất S và T [VA]
 Công suất biểu kiến S [VA] S = U RMS I RMS

 2 1 ∞ 2  2 1 ∞ 2 
S=
 U DC + 2 ∑ U n  I DC + 2 ∑ I n 
=
n 1=
n 1



 Công suất méo dạng T [VA] : có một số hài chỉ tồn
tại ở u(t) hay i(t), mà khi thay đổi biên độ của chúng , S
thay đổi nhưng P và Q không đổi. Người ta đưa ra khái
niệm công suất méo dạng.

T=

S − P −Q
2

2

2

Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

23
/>

3.8.4 Công suất trong mạch không sin
e) Các hệ số đặc trưng
 Hệ số công suất cosϕ (p.f): cos=
ϕ p.f
=
 Hệ số dạng:
 Hệ số đỉnh kp :

=
kf

=

FRMS
F0

=
kp

 Hệ số méo dạng:

 Hệ số hàm lượng hài thứ n :
CuuDuongThanCong.com

P
S

RMS Value
Average Value

Fmax
FRMS

=

Peak Value
RMS Value

k =

F1(RMS)

kn =

FRMS
Fn(RMS)
FRMS

/>

3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier cho tín hiệu không tuần hoàn f(t) : là
một công cụ toán có phạm vi áp dụng rất lớn trong các
bài toán kỹ thuật , nó được định nghĩa là một cặp biến
đổi thuận – ngược như sau :
F (ω ) =

∞

∫

f (t ).e − jω t dt

−∞

và :

1
(
)
f t =
2π

∞

∫

F (ω ).e jω t dω

−∞

Để có biến đổi Fourier, tín hiệu f(t) cũng phải thỏa mãn
điều kiện Dirichlets.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
CuuDuongThanCong.com

25
/>