Bài giảng Trường điện từ: Lecture 4 - Trần Quang Việt

EE 2003: Trường điện từ

Lecture 4
Trường điện tĩnh (1)
L.O.2.1 – Dùng luật Gauss tính trường điện tĩnh tạo ra do
các phân bố điện tích đx.
L.O.2.2 – Thiết lập phương trình Poisson-Laplace và điều
kiện biên, sau đó áp dụng tính thế và trường điện tĩnh.
Electromagnetics Field

 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT

Trường điện tĩnh & mô hình toán
Trường điện tĩnh là trường điện không thay đổi theo thời
gian và không có mặt của dòng điện, thỏa mãn các phương
trình sau:

Các phương trình Maxwell:

Các điều kiện biên:

Phương trình liên hệ:


(II)
 rot E  0
 
 div D  ρv
(III)
 E1t  E2t  0


 D1n  D2n  ρS




D  εE  εr 0 E

Vậy trường điện tĩnh được tạo ra bởi các vật mang điện
tích không thay đổi theo thời gian
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

1
CuuDuongThanCong.com

/>

Tính chất thế của trường điện tĩnh
Xét phương trình (II) của hệ pt Maxwell

B



rot E  0
a

Lấy tích phân 2 phương trình trên ta có:
b

 



S AaBbA







AaBbA

A

rot EdS  0



Edl  0  AaB Edl  AbB Edl

Công của trường điện tĩnh dịch chuyển 1 đv điện tích từ A
tới B không phụ thuộc vào đường đi  trường thế.
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Thế điện vô hướng
Định nghĩa thế điện:


rot E  0 (II)
rot(grad  )  0 (gtvt)



E   grad

Dấu “-” là quy ước,  là thế điện (V)
Ý nghĩa:
Trường điện hướng theo
chiều giảm của thế điện

Trường điện vuông góc với
các mặt đẳng thế - mặt
=const
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

Trường điện

Mặt đẳng thế
TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

2
CuuDuongThanCong.com

/>

Tính thế điện theo trường điện
Ta có (xem lại toán tử Gradient):


d =grad dl






 =   Edl  K

d =  Edl

E =  grad

Nhận xét: Thế điện có tính chất đa trị  chọn gốc thế (Ref)
+ hệ hữu hạn  = 0
+ hệ kỹ thuật đất = 0
Hiệu thế điện giữa 2 điểm:
Thế điện tại 1 điểm:

A

B 

B

A

U AB = A  B = d =  Edl

 A = A  ref =

Ref  

A

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

Edl

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Dùng mặt Gauss tính trường & thế

Áp dụng phương trình Maxwell (III):


div D  V (III)

 

 DdS  q

*

(Gauss Law)

S

--Phù hợp cho các mô hình phân bố điện tích đối xứng--

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

3
CuuDuongThanCong.com

/>

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm
Do đối xứng ta có:

   (r)

E



 
E   grad   ar
r





 E  E(r)ar  D   E  D(r)ar

aR

Áp dụng:

R

q

Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:



S





0


DdS  q



2

0

(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--

D(r) r 2 sin  d d  q  D(r) 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

q
4 r 2

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm

Suy ra:


 D
E 



E

q 
ar
4 r 2

aR
R

q

Do hệ hữu hạn nên gốc thế tại 




   Edl  
r



r

q
4 r

2

dr 

q
4 r

(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

4
CuuDuongThanCong.com

/>

Thế điện của hệ điện tích điểm
Do hệ tuyến tính  thỏa mãn tính chất xếp chồng  tính
thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm

RN

R1

N
qk
P φ = 1

P
4πε k=1 R K

R2

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Thế điện của hệ điện tích điểm
Do hệ tuyến tính  thỏa mãn tính chất xếp chồng  tính
thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm
dq=ρSdS
R

P

R

S

P
R
dq=ρ V dV

dq=ρ  d

L

P

Surface charge

Line charge

V
Volume charge

dq
L,S,V 4πεR

φP = 
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

5
CuuDuongThanCong.com

/>

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện

z
Do đối xứng: =(r)


 
E   grad   ar
r

 



 E  E(r)ar  D   E  D(r)ar
Áp dụng:



Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:


DdS   L



S



2

0



L

0

(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--

D(r) rd dz   L  D(r) 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems


2 r

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện

Suy ra:


E


D



z



 
ar
2 r

Do hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế
tại mặt trụ r=r0



r0

r

 r0 
r


Edl  
dr   ln 0
r 2 r
2 r

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field

Systems


(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

6
CuuDuongThanCong.com

/>

Thế điện của 2 trục mang điện trái dấu

P

r



r0 r
0
r

 
Gốc thế
--mặt trung trực--

r 
r

   ln 0   ln 0
2 r 2 r
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

 r 

ln
2 r 
TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện
Do đối xứng: =(y)



 
E   grad   a y
y





 E  E( y)a y  D   E  D( y)a y

y
E

ρs

x

Áp dụng:


E

z

Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:



S

2


DdS  S A



D( y)dxdz  S A  D( y) 

A(yconst)
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

S
2

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

7
CuuDuongThanCong.com

/>

Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện
 ρs 
  2ε a y (y>0)
E= 

  ρ s a y (y<0)
 2ε

Suy ra:

y
E

ρs

x

Hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế tại
y=0. Ta có:

z


E

S
 0 S
dy



y, y>0
 y 2
0 
2
   Edl  
y
 0 S dy  S y, y<0
 y 2
2

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Phương trình Poisson - Laplace
Áp dụng phương trình Maxwell (III):


div D  V (III)




D E

div( grad  )   V



E   grad
Nếu môi trường đồng nhất =const:

  V / 

(Phương trình Poisson)

Tại điểm tính trường V=0:

  0
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

(Phương trình Laplce)
TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

8
CuuDuongThanCong.com

/>

Phương trình Poisson - Laplace
Hình chiếu của trường lên phương pháp tuyến và tiếp tuyến




En  Ean   grad an  
n



Et  Eat   grad at  


Điều kiện biên liên tục của :
(En & Et phải hữu hạn)

1  2

Điều kiện biên pháp tuyến:

1

(D1n-D2n=S)
Điều kiện biên tiếp tuyến:

(E1t-E2t=0)



1

  2 2  S
n
n

1 2

0
 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

NDWn  N AWp

x
   S  const
Do đối xứng: N=N(x), P=P(x)
Áp dụng phương trình Poisson ta có:

N q 2
VN
N q
  D  N   D x  AN x  BN
2


N Aq 2

N q
x  AP x  BP
P   VP  A  P 
2




N  

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang

QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

9
CuuDuongThanCong.com

/>

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

S (x   Wp )  
S (x  Wn )  

P

x

N
x

N Aq

0



x WP

0
x Wn

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems



ND q



WP  AP  0

Wn  AN  0

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

AP 
AN 

N Aq



WP

ND q



EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

Wn

N Aq 2 N A q
x 
W x  BP
2
 P
N q
N q
N   D x2  D Wn x  BN
2


P 

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT


Tran

10
CuuDuongThanCong.com

/>

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

N Aq 2 N Aq
WP 
W W B 0
2
 P P P
N q
N q
N (x  Wn )   D Wn2  D WnWn  BN  Vbi
2



P (x  WP ) 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

N Aq 2
WP
2
N q
BN  Vbi  D Wn 2
2

BP 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

N Aq
( x  WP )2
2
N q
N   D ( x  Wn )2  Vbi
2

P 

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

11
CuuDuongThanCong.com

/>

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

N Aq 2
N q
WP   D Wn 2  Vbi
2
2
N AWP 2  NDWn 2  2Vbi / q

P (x  0)  N (x  0)

(WP  Wn )2 

2 ( N A  ND )Vbi
qN A ND

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN

N DWn  N AWp
   S  const

x
  Vbi
S (x  Wn )  0

 0

S (x   Wp )  0
Áp dụng các điều kiện biên ta có:

W  (WP  Wn ) 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

2 S ( N A  ND )Vbi
qN A N D

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

12
CuuDuongThanCong.com

/>