Bài giảng Trường điện từ: Chương 2 - TS. Lương Hữu Tuấn

Trường điện từ

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Chương 1 : Khái niệm & phtrình cơ bản của TĐT
ª Chương 2 : Trường điện tónh (TĐt)

1

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 2 : Trường điện tónh
1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
5. Năng lượng trường điện
6. Lực điện
7. Phương pháp tính TĐt

2

1
CuuDuongThanCong.com

/>

1. Khái niệm chung
ª Đònh nghóa TĐT tónh :
ª Mô hình toán :

∂
= 0, J = 0
∂t

© TS. Lương Hữu Tuấn

 rotE = 0, E1t − E2t = 0
( A) 
 divD = ρ , D1n − D2 n = σ
 rotH = 0, H1t − H 2t = 0
( B) 
 divB = 0, B1n − B2 n = 0
TĐ tónh (A) : E ≠ 0, H = 0
TT tónh (B): E = 0, H ≠ 0
⇒ P = E × H = 0 trong TĐT tónh

Không có sự lan truyền năng lượng điện từ
3

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 2 : Trường điện tónh
1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
2.1. Công của lực điện tónh
2.2. Thế vô hướng
2.3. Ví dụ

4

2
CuuDuongThanCong.com

/>

2.1. Công của lực điện tónh
Công tdụng lên đtích điễm trên đường cong kín luôn bằng 0

© TS. Lương Hữu Tuấn

∫

...

C

Fdl =

∫

AaB

∫

C

qEdl = ... =0

Fdl = ∫

AbB

Fdl

Công chỉ phụ thuộc điểm đầu & điểm cuối mà không phụ
thuộc đường đi
Kết luận : TĐ tónh là một trường thế

5

2.2. Thế vô hướng
Đònh nghóa :

... E = − gradϕ

© TS. Lương Hữu Tuấn

dϕ =

= gradϕ .dl = − Edl

ϕ = − ∫ Edl + C
Qui ước :
°hệ hữu hạn ϕ∞ = 0
°hệ kỹ thuật ϕđất = 0
B

Hiệu thế điện :

ϕ A − ϕ B = ∫ Edl

A
∞

Hệ hữu hạn : ϕ A = ∫ Edl
A
6

3
CuuDuongThanCong.com

/>

2.3. Ví dụ
ª một điện tích điểm:

C:E =

ª hệ điện tích điểm:
© TS. Lương Hữu Tuấn

ϕ =∑
k

q
4πε r

i ⇒

2 r

ϕ=

q
4πε r

qk
4πε rk

ª hệ điện tích phân bố:

ρ dV
V 4πε R
dq
Tổng quát: ϕ = ∫
4πε R
ϕ=∫

R: khoảng cách từ dq đến P
7

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 2 : Trường điện tónh
1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
3.1. Thiết lập phương trình
3.2. Điều kiện biên đối với ϕ

8

4
CuuDuongThanCong.com

/>

3.1. Thiết lập phương trình
ª môi trường có ε = const :

ρ = divD ( III )
© TS. Lương Hữu Tuấn

ρ = − div(ε gradϕ )

(ptlh & đn thế)

ρ = −ε .div( gradϕ ) = −ε .∆ϕ ( gtvt )
∆ϕ = − ρ ε

( Poisson)

ª môi trường không có điện tích tự do
∆ϕ = 0

( Laplace)

9

ª Ví dụ
S

ε = const
© TS. Lương Hữu Tuấn

E ? ϕ ( x) ? C ?

Dùng htđ D như hình vẽ
Do đối xứng : D = D ( x)ix
Do
mà

0 = divD =
o

dD
dx

⇒ D = const
0
D
d ε

U = ∫ Edx = ∫
d

E = Dε ix

dx = − Dε d ⇒ D = −ε Ud

0

ϕ ( x) = ∫ Edx = − Dε x
σ

1
2

x

σ = n ( D1 − D2 ) = ix (0 − Dix ) = − D ⇒ C = Uq = σUS
10

5
CuuDuongThanCong.com

/>

Ôn tập
ª tónh :

© TS. Lương Hữu Tuấn

∂
= 0, J = 0
∂t
ª thế vô hướng:
g:

 E = − gradϕ


gt

rotE = 0 ⇒ ϕ A = ∫ Edl
A

dq
 ϕ = ∫ 4πε R
ª tính TĐt :
divD = ρ ⇒ ∆ϕ = − ρ ε

(đồng nhất)
11

3.2. Điều kiện biên đối với ϕ

© TS. Lương Hữu Tuấn

...

∂ϕ
∂n

= − En , ∂∂ϕτ = − Et

ª Điều kiện liên tục của ϕ :
∂ϕ
ª Điều kiện biên đối với ∂n :
∂ϕ
ª Điều kiện biên đối với ∂τ :

... ϕ1 = ϕ 2
... − ε1 ∂∂ϕn1 + ε 2

∂ϕ 2
∂n

=σ

... − ∂∂ϕτ1 + ∂∂ϕτ2 = 0

ª Ví dụ :

ϕ1 (0) = U
ϕ 2 (d ) = 0
ϕ1 (∆) = ϕ 2 (∆ )
ε1 ddxϕ − ε 2 ddxϕ = σ
1

2

∆

∆

12

6
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2 : Trường điện tónh

© TS. Lương Hữu Tuấn

1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
4.1. Vật dẫn
4.1.1. Tính chất
4.1.2. Màn điện
4.1.3. Tụ điện
4.2. Điện môi
4.3. Hệ thống vật dẫn
13

4.1.1. Tính chất
ª Trường điện trong vật dẫn

© TS. Lương Hữu Tuấn

... E = 0

btrong VD

ª Mật độ điện tích tự do trong vật dẫn
ρ = = 0 btrong VD
ª Thế điện trong vật dẫn
... ϕ = const

btrong VD

ª Trường điện trên mặt vật dẫn
... E = σε n

trên mặt VD
14

7
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

4.1.2. Màn điện

màn điện

ª Màn điện được dùng để chắn nhiễu của trường ngoài
ª Trong thực tế màn điện được thay bằng lưới kim loại

15

4.1.3. Tụ điện
ª Cảm ứng điện toàn phần

© TS. Lương Hữu Tuấn

∫

S

DdS = q (Gauss điện)

⇒ q A + qB = 0 (tc1& tc 2)
ª Tụ điện
ª Điện dung

q
q = q A = − qB , U = ϕ A − ϕ B
U
q
Hệ cô lập : C =
C=

ϕ

16

8
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2 : Trường điện tónh

© TS. Lương Hữu Tuấn

1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
4.1. Vật dẫn
4.2. Điện môi
4.3. Phân bố điện tích và thế điện của HTVD

17

4.2. Điện môi trong TĐt

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Điện tích liên kết

ρ = div (ε 0 E + P)

ρ + ρlk = div(ε 0 E )

ρlk = −divP
σ lk = − P1n + P2 n
ª Ví dụ

ρ
σ
1
ϕ = 4πε
∫ dV + 4πε1 ∫ dS =
V

r

S

r

1
4πε 0

∫
V

ρ + ρlk
r

dV + 4πε1 0 ∫
S

σ + σ lk
r

dS
18

9
CuuDuongThanCong.com

/>

Ôn tập
ª mô hình thế :

∆ϕ = − ρ ε

ϕ1 = ϕ 2 , −ε1 ∂∂ϕn + ε 2

© TS. Lương Hữu Tuấn

1

∂ϕ 2
∂n

= σ , ∂∂ϕτ1 =

∂ϕ 2
∂τ

ª vật dẫn :
E = 0, ρ = 0, ϕ = const , E = σε n
C= q U

ª điện môi :

ρlk = −divP
σ lk = − P1n + P2 n
19

4.3. Phân bố đ.tích & thế điện của htvd (tự đọc)

trạng thái 1 : q1 ,..., qn , ϕ1 ,..., ϕ n

© TS. Lương Hữu Tuấn

trạng thái 2 : q1′,..., qn′ , ϕ1′,..., ϕ n′
ª Đònh lý tương hỗ :

q1'ϕ1 + ... + qn' ϕ n = q1ϕ1' + ... + qnϕ n'

ª Hệ số thế :

ϕ k = Bk 1q1 + ... + Bkn qn

ª Hệ số điện dung :

qk = Ak 1ϕ1 + ... + Aknϕ n

ª Điện dung bộ phận : qk = Ck 1uk 1 + ... + Ckk uk 0 + ... + Cknukn

20

10
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2 : Trường điện tónh

© TS. Lương Hữu Tuấn

1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
5. Năng lượng trường điện
5.1. theo vtơ cđộ TĐ & vtơ c.ứng điện
We =

∫

1
2 V
∞

EDdV =

∫

1
2 V
∞

ε E 2 dV

5.2. theo thế điện & mật độ điện tích
5.3. của hệ thống vật dẫn
21

5.2. tính theo thế điện & mật độ điện tích

© TS. Lương Hữu Tuấn

We =

∫

1
2 V
∞

EDdV = − 12 ∫ gradϕ .DdV
V∞

S ′ = S1 + S 2

... We = − 12
...
...

∫
∫

S∞
S'

∫

S∞ + S '

ϕ DdS + 12 ∫ ϕρ dV

V∞

( Divergence & III )

ϕ DdS = 0
ϕ DdS = − ∫ ϕσ dS

... We =

S

∫

1
2 V

ρϕ dV + 12 ∫ σϕ dS
S

22

11
CuuDuongThanCong.com

/>

5.3. của hệ thống vật dẫn

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Hệ n vật dẫn : ρ = 0

We =

∫

1
2 V

ρϕ dV + 12 ∫ σϕ dS = 12 ∫ σϕ dS
S

S

... We = ϕ1q1 + ... + ϕ n qn
1
2

1
2

ª n = 1 : q = Cϕ ⇒ We = 12 ϕ q = 12 Cϕ 2 =

1
2C

q2

ª n = 2 (cảm ứng điện toàn phần) : tụ
... We = 12 CU 2 =

1
2C

Q2

23

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 2 : Trường điện tónh
1. Khái niệm chung
2. Tính chất thế của trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
5. Năng lượng trường điện
6. Lực điện
6.1. Lực Coulomb
6.2. tính theo biểu thức năng lượng

24

12
CuuDuongThanCong.com

/>

6.1. Lực Coulomb
ª điện tích điểm

© TS. Lương Hữu Tuấn

F = qE

ª điện tích phân bố

F = ∫ Edq

25

6.2. Lực tính theo biểu thức năng lượng (1)
ª Hệ n vật dẫn

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phương pháp dòch chuyển ảo
Công do nguồn cung cấp :

n

dAng = ∑ ϕ k dqk
k =1

Đl. btoàn & ch.hóa nlượng :
n

∑ ϕ dq
k

k

= FdX + dWe

... dAng = dAme + dWe

(pt cân bằng động)

k =1

F : lực suy rộng
X : tọa độ suy rộng

(lực, momen, áp suất, …)
(cdài, góc, thể tích, …)

26

13
CuuDuongThanCong.com

/>

Ôn tập
ª năng lượng :

We =

∫

1

2 V
∞

ε E 2 dV =

∫

1
2 V

n

ρϕ dV + 12 ∫ σϕ dS = 12 ∑ ϕ k qk
S

k =1

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª lực:
F = qE
n

∑ ϕ dq
k

(htvd, dòch chuyển ảo)

= FdX + dWe

k

k =1

27

6.2. Lực tính theo biểu thức năng lượng (2)
n

∑ ϕ dq
k

k

= FdX + dWe

© TS. Lương Hữu Tuấn

k =1

ª Các trường hợp đặc biệt :
° Quá trình đẳng thế ... FdX = dWe = 12 dAng (ptcbđ)
F = ( ∂∂WXe )ϕ = const
Nhận xét :
° Quá trình đẳng tích

... FdX = −dWe (ptcbđ)

F = −( ∂∂WXe ) q = const
Nhận xét :

° Nhận xét chung
28

14
CuuDuongThanCong.com

/>

6.2. Lực tính theo biểu thức năng lượng (3)
ª Ví dụ (3.54)
S

© TS. Lương Hữu Tuấn

o

1. đẳng thế (ε0)
2
2
dòch chuyển ảo : We = 12 CU 0 = 12 ε 0 Sx U 0

F1 =

dWe
dx x = d

2

0
= − ε 02SU

d2

2. đẳng tích (ε)
dòch chuyển ảo : q = C0U 0 = ε 0 dS U 0
We =

2
x
1
2C
2ε S
dWe
dx x = d

F2 = −

q =

2
S2
0
d2
ε 02 SU 02

ε 02

=−

U

2ε d 2

29

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 2 : Trường điện tónh
3. Phương trình PoissonPoisson-Laplace & ĐKB
4. Vật liệu trong TĐt
5. Năng lượng trường điện
6. Lực điện
7. Phương pháp tính TĐt
7.1. Tổng quan
7.2. Phương pháp xếp chồng
7.3. Phương pháp dùng đònh luật Gauss về điện
7.4. Phương pháp ảnh điện
7.5. Phương pháp giải trực tiếp phương trình thế
30

15
CuuDuongThanCong.com

/>

7.1. Tổng quan

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª phương pháp xếp chồng
ª phương pháp dùng đònh luật Gauss về điện

ª phương pháp ảnh điện
ª phương pháp giải trực tiếp phương trình Poisson
ª phương pháp biến hình bảo giác
ª phương pháp lưới đường sức điện - mặt đẳng thế
ª phương pháp số

31

7.2. Phương pháp xếp chồng (1)
ª ví dụ 1

© TS. Lương Hữu Tuấn

P

P :ϕ ? E ?

đều

ϕ ( P) =

∫

λ dl
λ
Q
=
.2π a =
C 4πε R
4πε R

4πε a 2 + z 2
dϕ
Qz

Do đối xứng : E = Eiz = −

dz

iz =

4πε ( a 2 + z 2 )3

iz
32

16
CuuDuongThanCong.com

/>

7.2. Phöông phaùp xeáp choàng (2)
ª ví duï 2

ϕ = 4πεQr + 4πε− Qr
+

P
© TS. Lương Hữu Tuấn

(C)

r − − r + MN
ϕ = Qs4πεcosr 2θ

... E =

r+

Qs
4πε r 3

Q ( r − −r + )
−

4πε r 2

s cos θ

(2 cos θ ir + sin θ iθ )

r
r−
M

O
N

r >> s

33

© TS. Lương Hữu Tuấn

7.2. Phöông phaùp xeáp choàng (3)

34

17
CuuDuongThanCong.com

/>

7.3. Phương pháp dùng đ.luật Gauss về điện
ª Tổng quan
ª Ví dụ về đối xứng cầu
© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Ví dụ về đối xứng trụ

35

ª Tổng quan

∫

S

DdS = q*

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phạm vi sử dụng : đối xứng cầu, trụ hoặc phẳng

S : D dS , D = const

St : D dS , D = const
Sđ : D ⊥ dS

ª Kết quả :
° đối xứng cầu
° đối xứng trụ
° đối xứng phẳng

D.S = q*
D.St = q*
D.Sđ = q*

Sb : D ⊥ dS
Sđ : D dS , D = const

S = 4πr2
St = 2πr.L
Sđ = Sđ1 + Sđ2 = 2S0

36

18
CuuDuongThanCong.com

/>

ª Ví dụ về đối xứng cầu
ρ 0 = const , ϕ ?

© TS. Lương Hữu Tuấn

C : do đối xứng E = E (r ).ir
D.S = q* (đối xứng cầu)

ρ0

° miền ngoài (r > a) :

ε E1 4π r 2 = ρ 0 43 π a 3
E1 =

ρ0 a 3

i

3ε r 2 r
∞

∞

ϕ1 = ∫ Edr = ∫ E1dr =
r

r

ρ0 a3
3ε r

° miền trong (r < a) :

ε E2 4π r 2 = ρ 0 43 π r 3
E2 =

ρ0 r
3ε r
∞

i

a

∞

r

a

ϕ 2 = ∫ Edr = ∫ E2 dr + ∫ E1dr
ϕ2 =

r
ρ0 a 2
2ε

−

ρ0 r 2
6ε

37

ª Ví dụ về đối xứng trụ

© TS. Lương Hữu Tuấn

T : do đối xứng E = E (r ).ir
D.St = q* (đối xứng trụ)
ε E.2π r.L = λ .L
E=

° trục mang điện :

λ
ir
2πε r

ϕ = 2λπε ln Ar

° 2 trục mang điện ± λ (gốc thế ở mặt trung trực) :

... ϕ =

λ
r−
ln +

2πε r
38

19
CuuDuongThanCong.com

/>

7.4. Phương pháp ảnh điện
ª Nguyên tắc
ª Phân cách phẳng điện môi - vật dẫn
© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phân cách cầu điện môi - vật dẫn
ª Phân cách phẳng điện môi - điện môi

39

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Nguyên tắc

ª Loại trừ ảnh hưởng của điện tích cảm ứng, điện tích liên kết
ª Nguyên tắc :
° Bước 1 : đồng nhất toàn bộ không gian
° Bước 2 : duy trì điều kiện biên
Đònh lý duy nhất nghiệm : nghiệm không thay đổi
40

20

CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phân cách phẳng điện môi - vật dẫn (1)

41

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phân cách phẳng điện môi - vật dẫn (2)

42

21
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phân cách cầu điện môi - vật dẫn (1)

0 = ϕ ( P3 ) =

Q
4πε r1

+

−Q '
4πε r2

Q r1
D 2 + a 2 + 2 Da cosθ
= =
Q ' r2
b 2 + a 2 + 2ba cosθ
D 2 + a2 b2 + a2
=
Da
ba

... b =

∀θ

a2
Qa
,Q ' =
D
D
43

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phân cách cầu điện môi - vật dẫn (2)

44

22
CuuDuongThanCong.com

/>

â TS. Lng Hu Tun

ê Phaõn caựch phaỳng ủieọn moõi - ủieọn moõi (1)

D D2 n = = 0
(1) 1n
E1t E2t = 0

D1n = 4qr 2 .sin + 4q1r 2 .sin
E1t = 4q r 2 .cos 4q1 r 2 .cos
1

1

(1) ... q1 =

1 2
1 + 2

q, q2 =

D2 n = 4q2r 2 .sin
E2t = 4q2 r 2 .cos

2

2 2
1 + 2

q

45

â TS. Lng Hu Tun

ê Phaõn caựch phaỳng ủieọn moõi - ủieọn moõi (2)

46

23
CuuDuongThanCong.com

/>

7.5. Phương pháp giải trực tiếp phtrình thế (1)
ª Thế là hàm một biến
ª Thế là hàm đa biến : phương pháp phân ly biến số
© TS. Lương Hữu Tuấn

° Bước 1 : tách biến
° Bước 2 : tách phương trình
° Bước 3 : tính các thông số dựa vào ĐKB & t.chất b.toán

47

7.5. Phương pháp giải trực tiếp phtrình thế (2)
ª Tách biến :
ϕ = ϕ ( r , φ ) = R(r ).Φ (φ )
© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Tách phương trình :

0 = ∆ϕ = 1r ∂∂r ( r ∂∂ϕr ) + r12

∂ 2ϕ
∂φ 2

Nhân cho r2/RΦ :

0=

r d
R dr

1
(r dR
dr ) + Φ

d 2Φ
dφ 2

2
 Rr drd (r dR


R = M 0 r + Nr0
dr ) = n
⇒
 1 d 2Φ
= −n 2
Φ = A cos nφ + B sin nφ
 Φ dφ 2

ª Tính chất của bài toán

ϕ ( r , φ ) = ϕ (r , −φ )  B = 0  ϕ1 = ( M 1r + Nr1 ) cos φ
⇒
⇒

N2
π
 n = 1 ϕ 2 = ( M 2 r + r ) cos φ
 ϕ (r , ± 2 ) = 0
48

24
CuuDuongThanCong.com

/>

7.5. Phửụng phaựp giaỷi trửùc tieỏp phtrỡnh theỏ (3)
1 = ( M 1r + Nr1 ) cos

N
2 = ( M 2 r + r2 ) cos

â TS. Lng Hu Tun

ê ẹkb

1 (r 0) = 0
N =0
... 1

E2 (r ) = E0 ix
M 2 = E0
1 (a, ) = 2 (a, )
M 1 = 2+2 E0
1
2
...
1
2
1 2
2


=
2 r
1 r r =a
N 2 = 1 + 2 E0 a
r =a

ê Kquaỷ
2 2
2 2

1 = 1 + 2 E0 r cos = 1 + 2 E0 x

1 2 a 2
2 = (1 + 1 + 2 r 2 ) E0 r cos
2
E2 r = (1 + 1 + 2 a2 ) E0 cos
E1 = 2+2 E0 ix
1
2 r
1
2

1 2 a 2

E
=
(

1
+
E
E
i
E
i
=
+
2

1 + 2 r 2 ) E0 sin

2
2r r
2

49

â TS. Lng Hu Tun

7.5. Phửụng phaựp giaỷi trửùc tieỏp phtrỡnh theỏ (4)

50

25
CuuDuongThanCong.com

/>