Bài giảng Trường điện từ: Chương 3 - TS. Lương Hữu Tuấn

Trường điện từ

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª
ª
ª

Chương 1 : Khái niệm & phtrình cơ bản của TĐT
Chương 2 : Trường điện tónh
Chương 3 : TĐT dừng

1

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang dòng
5. Hỗ cảm
6. Năng lượng trường từ
7. Lực từ
8. Một số ví dụ

2

1
CuuDuongThanCong.com

/>

1. Khái niệm
ª Đònh nghóa :

∂ ∂t = 0

ª TĐT của dòng điện không đổi
© TS. Lương Hữu Tuấn

TĐ dừng

TT dừng

rotE = 0
divD = ρ
E1t − E2t = 0
D1n − D2 n = σ
D =εE

rotH = J
divB = 0
H1t − H 2t = J s
B1n − B2 n = 0
B = µH

divJ = 0

J1n − J 2 n = 0
J =γE

3

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
2.1. Tính chất & đònh luật cơ bản của mạch
ª Tính chất
ª Đònh luật cơ bản của mạch
2.2. Sự tương tự giữa TĐd & TĐt
2.3. Điện trở cách điện

4

2
CuuDuongThanCong.com

/>

ª Tính chất
°TĐd là một trường thế : rotE = 0 ...
°Trường của nguồn ngoài
© TS. Lương Hữu Tuấn

... J = γ ( E + Es )

° vật dẫn đồng nhất : … ρ = 0
° vật dẫn gần như đẳng thế

... En

Et

5

Ôn tập
C2 : - pp ảnh điện

© TS. Lương Hữu Tuấn

+ phân cách phẳng ε − γ : đối xứng, -q
+ phân cách cầu ε − γ : b = a 2 D , Q ' = Qa D
ε −ε
2ε
+ phân cách phẳng ε1 − ε2 : q1 = ε11 +ε 22 q, q2 = ε1 +ε2 2 q

C3 : - tổng quan :
+ TĐT của dòng điện không đổi
+ TĐ dừng : divJ = 0
- TĐd :
+ tính chất : thế, nguồn, ρ ≠ 0, ϕ ≈ const

6

3
CuuDuongThanCong.com

/>

ª Đònh luật cơ bản của mạch
°Đònh luật Kirchhoff 1 :
divJ = 0
© TS. Lương Hữu Tuấn

∑

n

∫

S

JdS = 0

I =0

k =1 k

°Đònh luật Kirchhoff 2 :
rotE = 0

∑

m
k =1

∫

C

Edl = 0

Uk = 0

°Đònh luật Ohm : E + Es = γ1 J
… U + E = RI

dR = γ1

dl
S

7

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
2.1. Tính chất & đònh luật cơ bản của mạch
2.2. Sự tương tự giữa TĐd & TĐt
2.3. Điện trở cách điện

8

4
CuuDuongThanCong.com

/>

2.2. Sự tương tự giữa TĐ dừng & TĐ tónh
ª Miền không chứa điện tích
ª Tương tự về phương trình

∫ DdS , D = ε E , divD = 0...
TĐ dừng : rotE = 0, E = − gradϕ , I = ∫ JdS , J = γ E , divJ = 0...

© TS. Lương Hữu Tuấn

TĐ tónh : rotE = 0, E = − gradϕ , q =
 E , ϕ , q, D, ε , C ,...

 E , ϕ , I , J , γ , G ,...

ª Nhận xét :
°dùng kết quả, phương pháp của TĐt cho TĐd
°dùng mô hình của TĐd cho TĐt

ª Ví dụ :

C = εdS ⇒ G = γdS =
C ε =G γ

1
R

9

© TS. Lương Hữu Tuấn

2.3. Điện trở cách điện
ª
ª
ª
ª

Thực tế : γ ≠ 0 ⇒ điện áp U sinh ra dòng rò I
Điện trở cách điện : Rcđ = U/I
Điện dẫn rò :
G = 1/Rcđ
Ví dụ :
Rcđ ?
TĐt : E = 2πεq rL ir

E=

I
2πγ rL r
R2

i

U = ∫ Edr =
R1

Rcd = UI =

1

2πγ L

I
2πγ L

ln RR12

ln RR12
10

5
CuuDuongThanCong.com

/>

Ôn tập GHK
ª Phần lý thuyết
ª Phần bài tập : bỏ
© TS. Lương Hữu Tuấn

°phân bố q và ϕ của hệ thống vật dẫn
°phương pháp phân ly biến số

ª Khác ...

11

© TS. Lương Hữu Tuấn

Phần lý thuyết (bắt buộc)

ª C1 :
°đònh luật cơ bản
°dòng điện dòch
°hệ phương trình Maxwell
°đònh lý Poynting - năng lượng điện từ
°mô hình toán
ª C2 :
°tính chất thế
°phương trình Poisson - Laplace & 3 ĐKB
°tính chất của vật dẫn trong TĐt
°Năng lượng điện từ :
− theo thế
− của hệ thống vật dẫn
°lực : theo biểu thức năng lượng

12

6
CuuDuongThanCong.com

/>

Khác ...
ª C1 :

© TS. Lương Hữu Tuấn

°giải tích vectơ
°TĐT ? mô hình ?
°thông số chính :

+ E , B; J , ρ ; D, H
+ 3 phương trình liên hệ
°ĐKB : chiếu, n

ª C2 :
° điện dung
° điện tích liên kết
° lực Coulomb

ª C3 : tương tự (ε ↔ γ, q ↔ Ι)
13

Công thức ...
dl = h1du1i1 + ...
D:
T:
C:

© TS. Lương Hữu Tuấn

dS1 = ± h2 h3 du2 du3i1 ,
dV = h1h2 h3 du1du2 du3

gradϕ =

divA =
rotA =

1 ∂ϕ
h1 ∂u1 i1 + ...

∂ ( h2 h3 A1 )
1
h1h2 h3
∂u1

[

1
h1h2 h3

h1
1
1
1

h2
1
r
r

h3
1
1
rsinθ

+ ...]

h1i1
∂
∂u1

...

h1 A1
∆ϕ = div ( gradϕ )
14

7
CuuDuongThanCong.com

/>

Coâng thöùc ...

© TS. Lương Hữu Tuấn

A.B = A1 B1 + ...
i1 i2
A × B = A1 A2
B1 B2

i3
A3
B3

∫ divAdV = ∫ AdS
∫ rotAdS = ∫ Adl

V

S

S

C

∇( A × B ) = B (∇ × A) − A(∇ × B)
rot ( gradϕ ) = 0
15

© TS. Lương Hữu Tuấn

Coâng thöùc ...
rotH = J + ∂∂Dt , H1t − H 2 t = J s

, E1t − E2t = 0
rotE = − ∂∂Bt

, D1n − D2 n = σ
divD = ρ

, B1n − B2 n = 0
divB = 0
divJ = − ∂ρ
, J1n − J 2 n = − ∂∂σt
∂t

W=

∫

1
2 V

D = ε E

B = µ H

J = γ E

( B.H + E.D )dV

P = E × H , PS = PJ + dW
dt , we , wm

16

8
CuuDuongThanCong.com

/>

Công thức ...
gt

dq
E = − gradϕ , ϕ A = ∫ Edl , ϕ = ∫ 4πε
R
A

∆ϕ = − ρ ε ; ϕ1 = ϕ 2 , −ε1 ∂∂ϕn1 + ε 2

∂ϕ 2
∂n

= σ , − ∂∂ϕτ1 + ∂∂ϕτ2 = 0

© TS. Lương Hữu Tuấn

E = 0, ρ = 0, ϕ = const , E = σε n
C= q U

ρl = −divP, σ l = − P1n + P2 n , P = (ε − ε 0 ) E
We =

n

∫

1
2 V
∞

ε E 2 dV = 12 ∫ ρϕ dV + 12 ∫ σϕ dS = 12 ∑ ϕ k qk
V

S

k =1

F = qE
n

∑ ϕ dq
k

k

= FdX + dWe , F = ± ∂∂WXe

k =1

17

Công thức ...

© TS. Lương Hữu Tuấn

Gauss về điện :

D.S = q* S = 4πr2
D.St = q* St = 2πr.L
D.Sđ = q* Sđ = Sđ1 + Sđ2 = 2S0
Ảnh điện
+ phân cách phẳng ε − γ : đối xứng, -q
+ phân cách cầu ε − γ : b = a 2 D , Q ' = Qa D
ε −ε
2ε
+ phân cách phẳng ε1 − ε2 : q1 = ε11 +ε 22 q, q2 = ε1 +ε2 2 q
divJ = 0

Tính chất : thế, nguồn, ρ ≠ 0, ϕ ≈ const
Tương tự (ε ↔ γ, q ↔ Ι)
R = 1 G = UI
18

9
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
3.1. Khái niệm
3.2. Khảo sát TTd bằng thế vectơ
3.3. Phương trình & ĐKB đối với thế vectơ
3.4. Từ thông tính theo thế vectơ
3.5. Đònh luật Biot-Savart

19

3.1. Khái niệm
ª TT dừng là TT của dòng điện không đổi : rotH = J

© TS. Lương Hữu Tuấn

J ≠ 0 : xoáy

J = 0 : H = − gradϕ m

∆ϕ m = 0
ϕ1m = ϕ 2 m
µ1 ∂ϕ∂n1m − µ 2
∂ϕ1 m
∂τ

−

∂ϕ 2 m
∂τ

∂ϕ 2 m
∂n

=0

E = − gradϕ

=0

∆ϕ = 0
ϕ1 = ϕ 2
ε1 ∂∂ϕn1 − ε 2
∂ϕ1
∂τ

−

∂ϕ 2
∂τ

∂ϕ 2
∂n

=0

=0

ª tương tự giữa TTd của miền không dòng & TĐt
của miền không điện tích tự do
TĐ tónh : E , ϕ , ε , D,...
TT dừng : H , ϕ m , µ , B,...
20

10
CuuDuongThanCong.com

/>

3.2. Khảo sát TT dừng bằng thế vectơ
ª Từ

© TS. Lương Hữu Tuấn

 divB = 0
( IV )

 div(rotA) = 0 ( gtvt )

Ta có thể đònh nghóa :
B = rotA

ª Thế vectơ có tính đa trò
ª điều kiện phụ để đơn giản hóa phương trình

21

3.3. Phương trình & ĐKB đối với thế vectơ
ª Thiết lập phương trình (µ = const) :
J = rotH
© TS. Lương Hữu Tuấn

... ∆A = − µ J

(I )

(ptrình Poisson)

ª Nghiệm của phương trình ... A = 4µπ ∫V Jr dV
ª Yếu tố dòng JdV
Dòng điện dây JdV = JSdl = Idl
A=

µ
4π

⇒ dA =

∫

µI
4π

I
C r

dl

dl

ª Điều kiện biên : divA = 0 ⇒ A1n − A2 n = 0
22

11
CuuDuongThanCong.com

/>

3.4. Tửứ thoõng tớnh theo theỏ vectụ
m = BdS = rotAdS
â TS. Lng Hu Tun

S

m =

S

Adl

(Stokes)

C

23

3.5. ẹũnh luaọt BiotBiot-Savart
Idl
à
dl
)=
I rot ( ) (hvtt )
r
4 C
r
C
dl
1
1
r
rot ( ) = rot ( dl ) + grad ( ) ì dl = 3 ì dl
r
r
r
r

â TS. Lng Hu Tun

B = rotA = rot (

B=

à
4



à I dl ì r
4 C r 3

24

12
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm

© TS. Lương Hữu Tuấn

2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang dòng
4.1. Phương trình & điều kiện biên
4.2. Sự tương tự giữa TTd & TĐt

25

4.1. Phương trình & điều kiện biên
ª Phương trình : trục mang dòng song song với trục z
J = J ( x, y )iz ⇒ A = A( x, y )iz
© TS. Lương Hữu Tuấn

∆A = − µ J ⇒

∆A = − µ J

ª Nghiệm : A = 4µπI ∫L dlr
ª Điều kiện biên :
B = rotA =

ix

iy

iz

n

τ

iz

∂
∂x

∂
∂y

∂
∂z

∂
∂n

∂
∂τ

∂
∂z

0

0

A

0

0

−

∂A2
∂τ
1 ∂A1

µ1 ∂n

−

=0

+ µ12

 B = ∂A ∂τ
⇒ n
 Bt = −∂A ∂n
A

( B vật lý)
( B1n − B2 n = 0)

A1 − A2 = 0
∂A1
∂τ

=

∂A2
∂n

= Js

( H1t − H 2t = J s )
26

13
CuuDuongThanCong.com

/>

4.2. Sự tương tự giữa TT dừng & TĐ tónh
ª tương tự :
TTd : ∆A = − µ J , A1 = A2 , − µ1 ∂∂An + µ1 ∂∂An = J s , ∂∂Aτ = ∂∂Aτ ,...
TĐt : ∆ϕ = − ρε , ϕ1 = ϕ 2 , −ε1 ∂∂ϕn + ε 2 ∂∂ϕn = σ , ∂∂ϕτ = ∂∂ϕτ ,...
1

1

2

1

© TS. Lương Hữu Tuấn

1

2

2

2

1

2

ϕ , ρ , ε , λ , C0 ,...
trục mang điện :
A, J , µ1 , I , L1 ,...
trục mang dòng :
ª ví dụ :
ϕ = 2λπε ln Cr
°trục mang điện λ :
trục mang dòng I :
A = 2µπI ln Cr
°2 trục mang điện ±λ : ϕ = 2λπε ln rr
2 trục mang dòng ± I : A = 2µπI ln rr
°Ảnh điện
λ1 = εε +−εε λ , λ2 = ε 2+εε λ
0

−
+

−
+

I1 =

1

2

1

2

µ 2 − µ1
µ1 + µ 2

2

1

I , I2 =

2

2 µ1
µ1 + µ 2

I

27

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang dòng
5. Hỗ cảm
5.1. Đònh nghóa
5.2. Ví dụ

28

14
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

5.1. Đònh nghóa

ª Qui ước :

Φ ij

vòng i

dòng j

ª Biểu thức :
Φ1 = Φ11 + Φ12 = L11 I1 + L12 I 2 ≡ L1 I1 + MI 2

Φ 2 = Φ 21 + Φ 22 = L21 I1 + L22 I 2 ≡ MI1 + L2 I 2
Lij = Φ ij I j (i ≠ j ) ...
ª Hổ cảm :

ª Điện cảm : Li = Lii = Φ ii I i ...

29

5.2. Ví du (1)ï
ª Điện cảm riêng L0 của 2 trục mang dòng ±I :

© TS. Lương Hữu Tuấn

d

a

L0 = Φ 0 I
Φ0 = ∫
Adl = ... = A+ − A−
MNPQ

 A+ 2µπI ln da
 − µI a
 A
2π ln d
µI
Φ 0 = π ln da
L0 = πµ ln da
30

15
CuuDuongThanCong.com

/>

5.2. Ví du (2)ï

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Hỗ cảm riêng của 2 hệ trục mang dòng song song :

A = Aiz ⇒ M 0 =

Φ12 =

∫

C1
+
2

Φ12
I 2 .∆ z
+
2

, ∆z = 1

A2 dl = A − A2−

 A = µ2πI 2 ln dd12 '
12
 − µ I 2 d1' 2 '
 A2 = 2π ln d1' 2
Φ12 = µ2πI 2 ln dd1212 d'd1'1'22' ⇒ M 0 =

µ
2π

ln dd1212 d'd1'1'22'

31

Ôn tập

© TS. Lương Hữu Tuấn

J = 0 : ϕm
J : B = rotA, divA = 0, ∆A = − µ J
µ JdV
A= ∫
4π V r

(đồng nhất)

Φm = ∫ BdS = ∫ Adl
S

C

µ JdV × r
(đồng nhất)
B= ∫
4π V r3
Trục mang dòng : ϕ , λ , ε , ρ ,... ↔ A, I , µ1 , J ,...
Điện cảm : Lij = Φ ij I j (i: vòng, j: dòng)

32

16
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 3 : Trường điện từ dừng

© TS. Lương Hữu Tuấn

1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang điện
5. Hỗ cảm
6. Năng lượng trường từ
6.1. tính theo vectơ cảm ứng từ & vectơ cđộ TT
Wm =

∫

1
2 V
∞

BHdV =

∫

1
2 V
∞

µ H 2 dV

(J )

6.2. tính theo thế vectơ & vectơ mđộ dòng điện
6.3. NLTT của hệ dòng điện dây

33

© TS. Lương Hữu Tuấn

6.2. tính theo thế vectơ & vectơ mđộ dòng điện
Giả sử không có dòng điện mặt
1
Wm = ∫ B.H .dV
2 V∞
1
1
... Wm = ∫ A × H .dS + ∫ A.JdV
2 S∞
2 V∞
...

( Divergence & I )

∫ A × H .dS = 0
S∞

Wm =

1
A.JdV
2 V∫J

(J )

Nhận xét
34

17
CuuDuongThanCong.com

/>

6.3. NLTT của hệ dòng điện dây

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª hệ n dòng điện dây : I1, …, In, Φ1, ..., Φn
Wm =

1
1 n
1 n
A

JdV
A
JdV
.
=
.
=
∑
∑ AI k dl
2 V∫J
2 k =1 V∫k
2 k =1 C∫k

Wm =

1 n
∑ Ik Φk
2 k =1

(J )

ª n = 1 : Wm = 1 I Φ = 1 LI 2

2
2
... L = Φ I = 2Wm I 2
... Ltr = 2Wmtr I 2 , Lng = 2Wmng I 2

ª n = 2 : Wm = 12 I1Φ1 + 12 I 2Φ 2 = 12 I1 ( L1 I1 + MI 2 ) + 12 I 2 ( MI1 + L2 I 2 )
Wm = 12 L1 I12 + 12 L2 I 22 + MI1 I 2

35

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang điện
5. Hỗ cảm
6. Năng lượng trường từ
7. Lực từ
7.1. Lực Lorentz
7.2. tính theo biểu thức năng lượng

36

18
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

7.1. Lực Lorentz
ª điện tích điểm :

F = q.v × B

ª yếu tố dòng điện dây:

dF = Idl × B

F = ∫ Idl × B

37

7.2. tính theo biểu thức năng lượng (1)
ª Hệ n dòng điện dây : I1, …, In, Φ1, ..., Φn

© TS. Lương Hữu Tuấn

ª Phương pháp dòch chuyển ảo
n

Công do nguồn ‘thực sự’ cung cấp dAng: ... dAng = ∑ I k d Φ k
k =1

Đluật btoàn & ch.hóa nlượng
n

∑ I dΦ
k

k

= FdX + dWm

… dAng = dAcơ + dWm
(pt cân bằng động)

k =1

F : lực suy rộng
X : tọa độ suy rộng

(lực, momen, áp suất, …)
(cdài, góc, thể tích, …)
38

19
CuuDuongThanCong.com

/>

7.2. tính theo biểu thức năng lượng (2)
n

∑ I dΦ
k

k

= FdX + dWm

k =1

ª Các trường hợp đặc biệt :
© TS. Lương Hữu Tuấn

° Quá trình đẳng dòng

... FdX = dWm = 12 dAng (ptcbđ)

F = ( ∂∂WXm ) I = const
Nhận xét :
° Quá trình đẳng từ thông ... FdX = −dWm (ptcbđ)

F = −( ∂∂WXm )Φ= const
Nhận xét :
° Nhận xét chung
39

© TS. Lương Hữu Tuấn

7.2. tính theo biểu thức năng lượng (3)

Cho biết trường từ không đổi và chỉ tồn tại bên trong cdây
Quá trình đẳng dòng :
Wm = 12 µ 0 H a2 S (la − l ) + 12 µ 0 ( H a + H b ) 2 Sl + 12 µ0 H b2 S (lb − l )

F=

dWm
dl

= µ0 H a H b S
40

20

CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

Chương 3 : Trường điện từ dừng
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang điện
5. Hỗ cảm
6. Năng lượng trường từ
7. Lực từ
8. Một số ví dụ
8.1. Phương pháp xếp chồng
8.2. Phương pháp dùng đònh luật Ampère
41

© TS. Lương Hữu Tuấn

8.1. Phương pháp xếp chồng

B ( P) ?

Do đối xứng : B = B ( z )iz
B=

µI
4π

∫
C

dl × R
R3

⇒B=

µI

∫ dB.cos α = 4π ∫

C

B=

µ Ia 2
2 ( z 2 + a 2 )3

C

iz

Rdl
µI 2
.cos α =
.a
3
R

2 R3

(T )

ª cách khác : dl = dl.iΦ , R = − air + ziz

42

21
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

8.2. Phương pháp dùng đònh luật Ampère (1)

r

ª đối xứng trụ : H = H (r )iφ
 H || dl

 H = const

∫ Hd l = I

*

C

⇒ H .2πr = I *
43

© TS. Lương Hữu Tuấn

8.2. Phương pháp dùng đònh luật Ampère (2)

Chọn htđ T như hình vẽ, do đx : H = H (r )iφ
Áp dụng đl Ampère.
miền 1 (r > a) : H1.2π r = I
H1 =

I
2π r

iφ

I
.π r 2
2
πa
Ir
H2 =
iφ
2π a 2

miền 2 (r < a) : H 2 .2π r =

44

22
CuuDuongThanCong.com

/>

© TS. Lương Hữu Tuấn

Tóm tắt chương 3
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng
3. Trường từ dừng
4. Trường từ dừng của trục mang dòng
5. Hỗ cảm
6. Năng lượng trường từ
7. Lực từ
8. Một số ví dụ

45

23
CuuDuongThanCong.com

/>