Bài giảng Trường điện từ - Chương 4: Trường điện từ biến thiên

Ch 4:
Trường điện từ biến thiên

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

1


Nội dung chương 4:
4.1 Trường điện từ biến thiên và các hàm thế .
4.2 Trường điện từ biến thiên điều hòa .
4.3 Sóng điện từ phẳng đơn sắc (upw).
4.4 Định lý Poynting.
4.5 Tính phân cực của sóng phẳng.
4.6 Sóng phẳng trong môi trường vật liệu.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

2


4.1: Trường điện từ biến thiên và
các hàm thế

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

3


a) Giới thiệu trường điện từ biến thiên
 Điện tích tạo ra trường điện và dòng điện tạo ra trường từ.
 Đối với trường điện tĩnh và trường từ tĩnh, các đại lượng đặc
trưng không thay đổi theo thời gian.
 Ở trường điện từ tĩnh, trường E và D độc lập với trường B và
H.
 Khi nguồn điện tích và dòng điện biến thiên theo t, thì ta có:
 Trường điện từ không chỉ biến thiên theo t .
 Trường điện và trường từ còn chuyển hóa lẫn nhau.
 Sự chuyển hóa lẫn nhau của trường điện và trường từ tạo nên
sóng điện từ lan truyền trong không khí hay môi trường vật liệu .
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

4


 Mô hình trường điện từ biến thiên :
Phương trình liên hệ

Hệ Ptrình Maxwell

rot H

J

rotE

B
t

divD ρV

divB 0

div J

B μH μ0 (H M)

D (1)
t

D

(2)

0

E P

J

E

Phương trình ĐKB

(3)
(4)

V

E

t

(5)

H1t

H 2t

JS

E1t

E 2t

0

D1n D 2n ρS
B1n B2n 0
ρS
J1n J 2n
t

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

5


b) Các hàm thế của TĐT biến thiên:
1. Thế từ vector:

div B 0 (4)

B

div(rot A) 0 (vector algebra)
2. Thế điện vô hướng:

rot(E

A
t

)

rot( grad )

B
t

(2) : rot E

rot A

rot

A
t

0

0 (vector algebra)

3. Điều kiện phụ Lorentz : đa trị

div A

t

E

grad

A
t

đơn trị

0

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

6


c) Ptrình D’Alembert cho thế vector:
 (1) : rot H

J

D
t

rot(rot A)

rot B

J

grad(div A)

E
t

J

A
t

t ( grad

A

J grad(

Dùng điều kiện Lorentz : div A

)

t )

2

A

t

2

0

t

Phương trình D’Alembert cho thế từ vector:
2

A

t

A
2

J

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

7


d) Ptrình D’Alembert cho thế vô hướng:
 (3) :
V

div D

A
)
t

.div( grad

.

Dùng điều kiện Lorentz : div A
2
V

t

t

(div A)

0

2

t2

Phương trình D’Alembert cho thế điện vô hướng :
2
V

t2
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

8


 Tổng kết:
i.

Thế điện (t) thế từ A(t) thỏa phương trình truyền sóng:

1
A 2
v
1
2
v

2

t

A
2

J

2
V

t

2

Trường điện từ biến thiên lan truyền với vận tốc:

Hình thành sóng điện từ

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

v

1
με

Áp dụng trong viễn thông
9


ii. Nghiệm phương trình truyền sóng:
A(t )

(t )

4

V

1
4

J (t r v) dV
r
V

V

(t r v) dV
r

(t) and A(t) : gọi là thế chậm.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

10


4.2 Trường điện từ biến thiên điều
hòa

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

11


a) Giới thiệu:
 Là trường điện từ biến thiên điều hòa theo thời gian.

E(x,y,z,t)

Emx ( x, y, z ) cos[ t

x

( x, y, z )]ax

Emy ( x, y, z ) cos[ t

y

( x, y, z )]ay

Emz ( x, y, z ) cos[ t

z

( x, y, z )]az

 Trường điện từ điều hòa : thực tiễn và tiện ích.
Với các trường hợp khác, dùng phân tích Fourier.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

12


b) Vector biên độ phức:
 Định nghĩa: là hàm phức
Miền tgian:
Kgian phức:

E

E

Emx ( z)cos[ t

Emx ( z).e

j (z)

ax

x

( z)]ax

Emx ( z)

( z).ax

 Quan hệ giữa giá trị tức thời và vector biên độ phức :

E(z)
 Tính chất:

E(z,t)

E(z,t)
t

jωt

Re{E(z) e }

jω E(z)
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

13


 VD 4.2.1: Vector biên độ phức
 Ví dụ 1: Cho trường điện:

E(z,t)

20cos(2 .109 t

E(z)

20.e

j3z

e

j30o

3z

30o ).a x (V/m)

a x (V/m)

 Ví dụ 2: Cho vectơ biên độ phức trường điện :

E(z)
E(z,t)

100ax

20 30o ay e

100 cos( t

0, 21z )a x

20 cos( t

0, 21z

j0,21z

30o )a y (V/m)

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

14

c) Hệ phương trình Maxwell dạng phức:
 Ở môi trường

rot H

, ,

J

E
t

rot H (

H
t

rot E
div E

= const , hệ phương trình Maxwell:

div H 0

)E

jωμ H

rot E

ρV /

j

div E

ρV /

div H

0

 Và các phương trình liên hệ :

J

E ; D εE ; B μH
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

15


 VD 4.2.2: Dùng hệ pt Maxwell phức
Môi trường

= 0,

=

0,

=

0

tồn tại trường điện:

βz)a y (V/m)

20sin(108 t

E(z,t)
Tìm β và H(z,t) ?

o Cách 1: Giải trực tiếp trong miền t (xem lại 1.7) .
o Cách 2: Dùng phức:

rotE

E

20.e

ax

ay

az

/ x

/ y

/ z

0
H

E(z,t)

20.e

1
rotE
jωμ 0

jβz

jβz

a y (V/m)

j20β.e

jβz

ax

0

20β
.e
ωμ 0

jβz

ax

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

16


 VD 4.2.2: Dùng hệ pt Maxwell phức

rotH

ax

ay

az

/ x

/ y

/ z

j20β 2

jβz

ay

0

jβz

20β.e

.e

0

0

0

Chú ý là :

β

jωε 0 E

rotH

ω

H

H(z,t)

0

1
2

108 /3.108

0

.e

jωε 0 20.e

jz/3

1
2

jβz

ay

1/ 3

ax

.cos(108 t
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

z / 3)a x (A/m)
17


4.3 Sóng điện từ phẳng đơn sắc
(upw):

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

18


a) Khái niệm sóng phẳng đơn sắc :
i.

Upw: là mô hình đơn giản
nhất của TĐT điều hòa.

ii. E và H nằm trên mặt phẳng

vuông góc với phương lan
truyền của sóng phẳng.
iii. Do không có thành phần theo
phương truyền sóng, sóng
phẳng đơn sắc thuộc loại sóng
điện từ ngang (TEM wave).
iv. Các đại lượng đặc trưng có cùng biên độ và hướng trên mặt
phẳng chứa nó.
Đơn sắc
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

19


b) Phương trình của sóng phẳng :
 Giả sử môi trường khảo sát là tuyến tính, đồng nhất, đẳng
hướng và không nguồn ( v = 0 ) .
Sóng phẳng truyền theo phương +z. Trường điện và từ là điều
hòa và không phụ thuộc vào biến x, y.

E

Ex a x

E(z)cos[ t

E

( z)]a x

H

Hya y

H(z)cos[ t

H

( z)]a y

Vector phức:

E

E(z)

E

( z)a x

E.a x

H

H(z)

H

( z )a y

H.a y

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

20


b) Phương trình của sóng phẳng :
jωε) E

rot H (
rot E

jωε)E 0

E jωμ(

jωμ H
2

And E

E
H

M1e

M1
e
η

E
z2

E(z).a x
γz

γz

M 2e

γz

γ

M 2 γz
e
η

jωμ(

jωμ(

jωε)E

0

jωε) α jβ

(hệ số truyền [m –1] )

η

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

jωμ
| η|
jωε
(trở sóng [ ])
21


c) Các đặc trưng của sóng phẳng :
i.

upw = sóng tới + sóng phản xạ

E

M1e

H

M1
e

η

γz

γz

M 2e

γz

M 2 γz
e
η

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

22


ii. Vector phức của sóng tới :
 Khi không có phản xạ :

E
H
M1 = m 1

E 0 , H0

E.a x

M1e

H.a y

M1
e
η

1=

γz

.a x

γz

.a y

E 0e
H0e

γz

γz

biên độ/pha của trường điện tại z = 0.

= Vector phức tại z = 0.

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

23


iii. Hệ số truyền :
γ

jωμ(

jωε) α jβ

E

E0e

γz

[m1e

β phase const

(

1

βz)]a x

2

ω μ 0ε 0
α attenuation const
c 2

ω μ 0ε 0
c
2

αz

1

1 (Np/m)

ωε
2

1

ωε

1 (rad/m)

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

24


 Mô tả sự thay đổi biên độ trường điện :

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch4

25