Bài giảng Trường điện từ: Chương 1 - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

CHƢƠNG 1

MỞ ĐẦU

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƢƠNG I: MỞ ĐẦU
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Giải tích vectơ
Khái niệm
Các đại lƣợng đặc trƣng
Các định luật cơ bản của trƣờng điện từ
Hệ phƣơng trình Maxwell
Điều kiện biên
Định lý Poynting – năng lƣợng điện từ
CuuDuongThanCong.com

/>

1. Giải tích vectơ
1.1. Hệ tọa độ
1.2. Các toán tử

1.3. Định lý tích phân

1.4. Các hệ thức thường gặp

CuuDuongThanCong.com

/>

1.1. Hệ tọa độ
 Hệ tọa độ Descartes
ix  i y  iz ; i y  iz  ix ; iz  ix  i y
A  Ax .i x  Ay .i y  Az .i z

Các yếu tố vi phân:
dl  dx.ix  dy.i y  dz.iz
dS x   dy.dz.ix
dS y   dx.dz.i y
dS z   dx.dy.iz
dV  dx.dy.dz
CuuDuongThanCong.com

/>

 Hệ tọa độ trụ
ir  i  iz ; i  iz  ir ; iz  ir  i
A  Ar .ir  A .i  Az .iz

Các yếu tố vi phân:
dl  dr.ir  r.d .i  dz.iz
dS r   r.d .dz.ir

dS   dr.dz.i
dS z   r.dr.d .iz
dV  r.dr.d .dz

CuuDuongThanCong.com

/>

 Hệ tọa độ cầu
ir  i  i ; i  i  ir ; i  ir  i
A  Ar .ir  A .i  A .i

Các yếu tố vi phân:
dl  dr.ir  r.d .i  r.sin  .d .i
dS r   r 2 .sin  .d .d .ir
dS   r.sin  .dr.d .i
dS   r.dr.d .i
dV  r 2 .sin  .dr.d .d

CuuDuongThanCong.com

/>

1.2. Các toán tử
 Gradient (grad)
A
A
A
 HTĐ descartes: gradA  .ix  .iy  .iz
x

y
z

A
A
A
ir 
.i  .iz
 HTĐ trụ: gradA 
r
r.
z

A
A
A
 HTĐ cầu: grdA 
ir 
.i 
.i
r
r.
r.sin  .

CuuDuongThanCong.com

/>

 Divergence (div)
Ax Ay Az



 HTĐ descartes: div A 
x
y
z
r. Ar  A Az


 HTĐ trụ: div A 
r.r
r. z





A
 r 2 . Ar
sin  . A 


 HTĐ cầu: div A  2
r .r
r.sin  . r.sin  .

CuuDuongThanCong.com

/>

 Rotation (rot)
 HTĐ descartes:

ix

rot A 
x
Ax

 HTĐ trụ:

ir
r

rot A 
r
Ar

 HTĐ cầu:

ir
r 2 . sin 

rot A 
r
Ar

CuuDuongThanCong.com

i



r. A

iy

y
Ay

iz

z
Az

iz
r

z
Az

i
r. sin 


r. A

i
r



r. sin  . A

/>

 Laplace (∆)
 Tác dụng lên 1 vô hướng

• HTĐ descartes:

2 A 2 A 2 A
A  div gradA  2  2  2
x
y
z

• HTĐ trụ:

1   A  1  2 A  2 A
A  div gradA 
 2
r   2
2
r r  r  r 
z

• HTĐ cầu:

1   2 A 
1
 

A 
1
2 A
A  2  r
 2
 sin 
 2
r r  r  r .sin   
  r .sin 2   2

 Tác dụng lên 1 vectơ:  A  grad div A  rotrot A

CuuDuongThanCong.com

/>

1.3. Định lý tích phân
Định lý Divergence:

 div AdV  A.dS

V

S

Định lý Stokes:

 rot A.dS  A.dl
S

CuuDuongThanCong.com

C

/>

1.4. Các hệ thức thƣờng gặp

 
A  B   B   A  A  B 
  A  div rot A  0
 f . A  f . A  A.f

  f   rot  gradf   0

 

 A   A  A

CuuDuongThanCong.com

/>

2. Khái niệm
 Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, chuyển
động với vận tốc C trong mọi hệ quy chiếu quán
tính trong chân không, nó thể hiện sự tồn tại và vận
động qua những tương tác với một dạng vật chất
khác là những hạt hoặc những môi trường chất
mang điện.

 Mơ hình vật lý: hệ tương tác TĐT – MTC mang điện
 Mơ hình tốn học:Hệ PT Maxwell, các điều kiện biên

CuuDuongThanCong.com

/>

3. Các đại lƣợng đặc trƣng
 Điện tích: q (C)

 Mật độ điện tích:
 Mật độ điện tích
 Mật độ điện tích
 Mật độ điện tích

dq
C 
 
đường:
dl
m
dq
C 


 2
mặt:
dS
m 
dq

C 


 3
khối:
dV
m 



dq  dl  dS  dV

 Vectơ mật độ dòng điện:

dq
 A
J  2   I   J .d S  
S
dt
m 
 A
JS 
  I  L J S .dl
m 

 Vectơ mật độ dòng điện mặt:
CuuDuongThanCong.com

/>

 Lực tương tác điện từ: F  Fe  Fm  q.E  qv  B
 Lực điện: Fe  q.E
 Lực từ: Fm  qv  B
 Vectơ cường độ điện trường:

V 
E  
m

 Vectơ cảm ứng từ: B  Wb2  , T 
m 

CuuDuongThanCong.com

/>

 MT điện môi: Phân cực điện trong điện môi
C 
P


.

.
E
 2
 Vectơ phân cực điện:
0
e
m 

 Vectơ cảm ứng điện: D   0 .E  P   0 1  e E   0 r .E   .E
 Trong đó:

1
12
0 

8
,
85
.
10
36 .109

F
 
m

  e : độ cảm điện của môi trường

CuuDuongThanCong.com

/>

 MT từ môi: Phân cực từ trong từ môi
 Vectơ phân cực từ: M   m .H
 Vectơ cường độ từ trường: H  B  .M  A 
0

m

 Vectơ cảm ứng từ: B  0 1   m H  0 r .H  .H
H

m

7


4

.
10

 Trong đó: 0

  m :độ cảm từ của môi trường

CuuDuongThanCong.com

/>

 MT vật dẫn: gây ra công suất tiêu tán dưới
dạng nhiệt
 Mật độ công suất tiêu tán: p  J .E
 Công suất tiêu tán trong thể tích V: P  V p.dV
J2

 Định luật Ohm: J   .E  p   .E  

2

 Trong đó:

CuuDuongThanCong.com

 1  S
 
, 
 m   m 

là độ dẫn điện

/>

4. Các định luật cơ bản của TĐT
 Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday
 Sức điện động cảm ứng có giá trò bằng và ngược chiều
với tốc độ biến thiên từ thông theo thời gian gửi qua diện
tích bao bởi đường cong kín C
 Biểu thức dạng tích phân:


d
e
   B.dS   E.dl
C
t
dt S

 Phương trình dạng vi phân:

B
rot E  
t
CuuDuongThanCong.com

/>

 Đònh luật lưu số Ampere-MaxWell
 Lưu số của vectơ cường độ từ trường theo đường cong kín
C bất kỳ bằng tổng đại số cường độ các dòng điện chảy
qua diện tích bao bởi đường cong kín C
 Biểu thức dạng tích phân:
n

 H .dl   I
C

i

 I1  I 2  ...I n

1

 Phương trình dạng vi phân:

rot H  J 

CuuDuongThanCong.com

D
t

/>

 Đònh luật Gauss đối với điện trường
 Thông lượng của vectơ cảm ứng điện (vectơ dòch chuyển
điện ) gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điện tích tự
do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S (bên trong mặt
cong kín đó)
 Biểu thức dạng tích phân:

 D.dS  q
S

 Phương trình dạng vi phân:

div D  

CuuDuongThanCong.com

/>

 Đònh luật Gauss đối với từ trường
 Thông lượng của vectơ cảm ứng từ B gửi qua mặt kín S
bất kỳ luôn bằng không
 Biểu thức dạng tích phân:

 B.dS  0

S

 Phương trình dạng vi phân:

div B  0

CuuDuongThanCong.com

/>

 Đònh luật bảo toàn điện tích
 Tổng các điện tích của một hệ cô lập luôn được bảo
toàn.
 Phương trình:

I   J .dS  
S

dq
dt

 Nếu điện tích q giảm thì dòng điện chảy ra ngồi mặt S, khi
đó:
dq


I   J .dS  
S

dt

 div J  

t

 Đây là phương trình liên tục hóa, là mơ hình tốn học của
định luật bảo tồn điện tích

CuuDuongThanCong.com

/>

5. Hệ phƣơng trình Maxwell
Hệ phương trình Maxwell
rot H  J 

D
t

B
rot E  
t
div D  
div B  0


 
 

Trong đó: D   .E; B  .H ; J   .E

Ý nghĩa hệ phương trình Maxwell
CuuDuongThanCong.com

/>

6. Các điều kiện biên
ĐKB đối với thành phần pháp tuyến:
D1n  D2 n  
B1n  B2 n  0
J1n  J 2 n



t

ĐKB đối với thành phần tiếp tuyến:

H1t  H 2t  J s
E1t  E2t  0
CuuDuongThanCong.com

/>